Функція, її границя та неперервність

Нехай задано множину Д упорядкованих пар чисел (х; у). Якщо кожній парі чисел (х; у) Д за певним законом відповідає число, то кажуть, що на множині Д визначимо функцію від двох змінних х і у та записують .

Змінну називають залежною змінною (функцією), в змінні х та у — незалежними змінними (аргументами).

Множину пар (х, у) значень х та у, для яких функція визначена, називають областю визначення цієї функції і позначають Д (f) або Д. границя неперервність диференціал похідна.

Множину значень позначають E (f) або E. Значення функції в точці М₀ (х₀; у₀) позначають z₀ = f (x₀; y₀) або z₀ = f (M₀), або. Лінію, що обмежує область Д, називають межею області визначення. Точки області, які не лежать на її межі, називаються внутрішніми. Область, яка містить одні внутрішні точки, називається відкритою. Якщо ж до області визначення належать і всі точки межі, то така область називається замкненою.

Функцію двох змінних можна задавати різними способами: аналітичним, коли функція задається за допомогою формули; графічно у вигляді деякої поверхні.

Графіком функції в прямокутній системі OXYZ називають геометричне місце точок M (x;y; f (x, y)), проекції яких (х;у) належать області Д. Це геометричне місце точок утворює в тривимірному просторі R₃ певну поверхню, проекцією якої на площину OXY є множина Д. (Рис.1).

Побудова графіків функцій двох змінних часто пов’язано із значними труднощами. Тому для зображення функцій двох змінних користуються методом перерізів, який полягає у тому, що поверхню перетинають площинами х = х₀ та у = у₀ і за графіками кривих z =f (x₀, y) та z = f (y₀, x) визначають графік функції. Можна фіксувати не х чи у, а саму функцію , тобто перетинати поверхню площинами z = c, де c — довільне число взяте з множини E (f) значень даної функції. При цьому одержимо криву f (x, y) = c, яку називають лінією рівня (або ізокривою) функції.

Інакше кажучи, лінія рівня на площині OXY — це проекція кривої, яка утворюється при перетині поверхні площиною z = c.

Лінії і поверхні рівня часто зустрічаються на практиці. Наприклад, сполучивши на карті поверхні Землі точки з однаковою середньодобовою температурою або з однаковим середньодобовим тиском, дістанемо відповідні ізотерми та ізобари, які є важливими даними для прогнозу погоди.

Введено поняття д-околу заданої точки М₀ (х₀; у₀) і поняття збіжності точок площини.

Множина всіх точок М (х;у), координати яких задовольняють нерівність, де — відстань від точки М до М₀, називається д — околом точки М₀ (х₀; у₀).

Розглянемо послідовність точок М₁(х₁;у₁), М₂ (х₂;у₂),…, М_n(x_n; y_n), яку позначаємо символом. Послідовність точок називається збіжною до точки М_0, якщо для довільного числа > 0 існує номер такий, що при n > N виконується нерівність. При цьому точку М₀ називають границею послідовності і записують так:

або при.

Розглянемо границю функції двох змінних. Її означення аналогічне означенню границі однієї змінної.

Означення. Число А називають границею функції у = f (x) в точці х₀ (або при, якщо для довільної збіжної до х₀ послідовності, де, , послідовність має границю, яка дорівнює числу А, і записують:

Нехай функція задана в деякій області Д і точка М₀ (х₀; у₀) Д або М₀ (х₀; у₀) Д, але має таку властивість, що в довільному д-околі цієї точки міститься хоча б одна точка множини Д, відмінна від М_0. Число А називається границею функції z = f (M) в точці М₀,якщо для довільної збіжної до М₀ послідовності точок M₁, M₂, …, M_n…(M_n Д, M_n M₀), f (M₁), f (M₂),…, f (M_n)… збігається до числа А. При цьому пишуть:

, або.

Це означення границі функції називають означенням за Гейне або означенням на мові послідовностей.

Є ще означення границі функції за Комі або означення «на мові «.

Число А називається границею функції z = f (M) в точці М_0, якщо для кожного числа > 0 знайдеться число таке, що для всіх точок M (x;y) Д, які задовольняють умову, виконується нерівність .

Теорема. Нехай функції f (M) і g (M) визначені на одній і тій самій множині Д; мають в точці М₀ границі В і С. Тоді функції, f (M)*g (M),, , мають в точці М₀ границі, які відповідно дорівнюють, B* C,, .

Розглянемо неперервність функції багатьох змінних. Поняття неперервної функції багатьох змінних вводиться за допомогою границі.

Нехай функція z = f (M) визначена на множині Д, точка М₀ Д і довільний д-окіл точки М₀ містить точки множини Д.

Функція z = f (M) називається неперервною в точці М_0, якщо границя:

(1).

Точки, в яких функція неперервна, називаються точками неперервності, а точки. В яких неперервність порушується — точками розриву цієї функції.

Умові (1) неперервності можна надати іншого вигляду. Позначимо ?х = х — х_0, ?у = у — у_0, ?z = f (x, y) — f (x₀, y₀). Величини ?х, ?у, ?z — називаються приростами аргументів х і у, а ?z — повним приростом функції f (x, y) в точці (х₀; у₀). З рівності (1) маємо:

(2).

Рівність (2) дає ще одне означення неперервності.

Функція f (x, y) називається неперервною в точці М₀ (х₀; у₀), якщо повний приріст її в цій точці прямує до нуля, коли прирости її аргументів х та у прямують до нуля.

Функція f (x, y) називається неперервною на множині Д якщо вона неперервна в кожній точці (х; у) цієї множини.

Властивості функції z = f (M) неперервної в замкненій області аналогічні властивостям неперервної на відрізку функції однієї змінної.

Точка М називається внутрішньою точкою множини Д, якщо існує д-окіл цієї точки, який цілком міститься у множині Д.

Множина Д точок площини називається зв’язною, якщо будь-які її дві точки можна сполучити неперервною лінією, яка цілком належить множині Д.

Множину Д називають відкритою, якщо кожна її точка внутрішня.

Областю (або відкритою областю) називають зв’язну відкриту множину точок.

Точку М називають межовою точкою множини Д, якщо будь-який її окіл містить як точки, що належать Д, так і точки, що не належать множині Д.

Множину всіх межових точок області називають межею області.

Область разом з її межею називають замкненою. Якщо існує круг скінченого радіуса, який цілком містить область, то вона називається обмеженою.

Основні властивості неперервних функцій двох змінних= в замкненій обмеженій області:

• 1. Якщо функція z = f (M) неперервна в замкненій обмеженій області, то вона обмежена в цій області, тобто існує таке число C >0, що для всіх точок області виконується нерівність .
• 2. Якщо функція z = f (M) неперервна в замкненій обмеженій області, то в цій області існують точки, в яких функція набуває найбільшого і найменшого значень.
• 3. Якщо функція z = f (M) неперервна в замкненій обмеженій області Д і f (M₁) ₂), де M₁, M₂ Д, то існує точка М₀ (х₀; у₀), в якій f (M₀)=C. Зокрема, якщо f (M₁)<0, а f (M₂)<0, то в області Д існує точка М₀, в якій f (M₀)=0