Природа математичних абстракцій

Природа математичних абстракций

Реферат виконав Филитов Василь Сергеевич Московский Державний Інститут Управління Уряди Москвы Кафедра Математики Москва.

2003 год.

Абстрагирование як розумовий процесс

Для більш-менш докладного обговорення предмета математики необхідно попередньо з’ясувати генезу та особливості її найважливіших вихідних понять, т.к. математика відрізняється з інших наук, передусім, використовуваними нею абстракціями. Стрижневим питанням філософських проблем математики є ставлення її понять до реальності, питання об'єктивному змісті математичного знання. Щоб краще зрозуміти характер цих взаємовідносин, необхідно розглянути ключове питання — процес освіти математичних абстракций.

Процесс абстрагування є значний і необхідний прийом пізнання навколишньої дійсності. Коли чуттєвої щаблі пізнання людина з допомогою відчуттів відображає явища природи, то шляхом мислення (в узагальненої форми і опосередковано) він проникає в сутність цих явищ. Однак було б помилкою вважати, що відбувається просто логічна переробка чуттєвих даних, що у мисленні нічого немає, чого не було в ощущениях.

Процесс абстрагування і що з нього процес аналізу являє собою відволікання від несуттєвих сторін досліджуваного об'єкта, виділення і розгляд лише істотних властивостей. Мета абстрагування — отримання глибшого і «чистого» знання про об'єкті, ніж чуттєвої щаблі пізнання. Отже, процес абстрагування завершується освітою вихідних абстракцій, але вони виявляють собою щось неконкретне і одностороннє, для отримання глибших і правильних знань про досліджуваному об'єкті, необхідно враховуватиме й другу, чуттєву щабель пізнання. Потрібно здійснити рух сьогодні вже від загального до окремого шляхом синтеза.

Путем споглядання можливо пізнати лише зовнішній бік предмета, тоді як абстрагування дозволяє пізнати його сутність. Це пояснює чому сучасна математика найчастіше здатна глибші й адекватне описати складні процеси дійсності, хоча слідство з мері свого розвитку її поняття мають усі менше подібності з реальними явищами навколишнього нас світу, втрачають свою наглядность.

Таковы характерні риси й можливості прийому абстрагування у його органічному єдність із методами сходження від абстрактного до конкретного, аналізу та синтезу. Але у чому ж таки полягає своєрідність математичних абстракций?

Специфика математичних абстракций

Как зазначалось, процес абстрагування у звичайних науках залежить від уявному відволіканні від неіснуючих сторін досліджуваного предмета. Однак у математиці усе відбувається складнішим. Чи є такі вихідні поняття, які віддзеркалювали б реально існуючі властивості і боку предмета, явища, процесу? Переважна більшість учених дає це питання негативний ответ.

И тож. Візьмемо, приміром, таку область математики, як геометрію. У матеріальній дійсності ми, слід сказати, не знайдемо квадрата, трикутника, прямий лінії тощо об'єктів. Інакше висловлюючись, формування цих об'єктів не можна розуміти, як результат виділення людиною якихось математичних властивостей в явищах зовнішнього світу. Вони — результат творчого уяви, логічного конструювання, идеализации.

Среди учених існують протилежні погляди, зокрема, твердження у тому, що математичні властивості і фігури не що інше, як плід чистої фантазії, нічого загального немає з об'єктивною реальністю. Голландський учений А. Гейтинг писав, що математика «не висловлює істину про навколишній світ, а пов’язана лише з розумовими побудовами». Це твердження ставить дослідника на помилкові позиції наївного реалізму, ідеалізму, априоризма і конвенціоналізму. А Енгельс писав: «Поняття і фігури взято звідкись, а з дійсного світу. Десять пальців, у яких люди навчилися вважати, тобто. виробляти першу арифметичну операцію, є усе, що завгодно, тільки продукт вільного творчості розуму». Пізніше він доповнив цю думку: «ми доходимо до продуктів творчості і уяви самого розуму», тобто. до таких понять, зв’язок яких навколишнім світом безпосередньо не просматривается.

Как ж історично й логічно відбувався процес освіти вихідних понять натурального вересня арифметиці і фігури в геометрии?

Как показують дослідники древньої культури, ранній період розвитку суспільства люди й не мали поняття числа, хоча своєрідний рахунок ними, звісно, здійснювався: скажімо, величину стада овець вони висловлювали з допомогою пальців рук. Згодом кількість об'єктів стали визначати шляхом ототожнення їх поєднанні з равночисленным безліччю інших предметів. Наприклад, одне з гіпотез про виготовлення гігантських статуй на острові Великодня таке: тубільці вытесывали тулуба з сірого каменю й «перуки» червоної у різних каньйонах і вміючи вважати, вони змушені були вживати камінчики, зіставляючи їх спочатку з тілами, і потім з головами.

Как бачимо, спочатку людина не відокремлював кількість речей від нього самих, використовуючи звані «іменовані числа» — дві руки, три пальця т т.п. Людина не абстрагировал поняття числа від розуміння речі. Цьому він навчився значно пізніше. Людина почав користуватися поруч натуральних, порядкових і кількісних чисел.

Абстракция ототожнення і поняття числа

Это був гігантський стрибок у «вдосконаленні уявлень людини про мир, як писав Д. Гільберт. Причому у складний процес становлення поняття натурального числа першочергового значення мала фундаментальна науці абстракція ототожнення. До речі, використання її не лише областю математики, як писала С. А. Янковская. Істотно, що виявлення тотожності не тільки виключає, але, навпаки, передбачає різницю між сопоставляемыми об'єктами. Без єдності цих протилежностей порівняння як такий втрачає всякий смысл.

Эта абстракція використовувалася Карлом Марксом в наукової теорії стоимости.

Итак, практичні потреби у рахунку й вимірах, пов’язані з недостатнім розвитком громадського виробництва та удосконаленням економіки, призвели до такого революційного акта, як виникнення поняття натурального числа, що, своєю чергою, послужило історично вихідним пунктом її подальшого розвитку математики. Позаяк на вирішальній ролі зіграла абстракція ототожнення, то логічне визначення поняття числа здійснюється з обов’язковим її использованием.

По думці відомого вченого Г. Фрёге, число не що інше, як загальне властивість класу еквівалентних множин — сукупностей предметів незалежно від своїх якісної визначеності з природою. Важливо, що порівнянні безлічі мали изоморфизмом, коли кожного члена одного відповідає єдиний член другого.

Наряду з допомогою абстракції ототожнення, під час зародження математичного знання застосовувалася операція порівняння, що передбачає оцінку в судженнях типу «більше», «менше», «одно». Надалі великій ролі зіграла також операція непрямого виміру, коли фокус людського уваги зміщувався в бік відносин між числами, у яких відбивалися реальні взаємозв'язку між об'єктами, що б свідчило про зростанні активності познающего суб'єкта. Завдяки непрямому виміру виникли три інші найпростіші арифметичні операції - віднімання, множення і розподіл. В. Вундт писав, що непрямого виміру величин «ніколи не розвинулося математичне мышление».

Понятие фигуры

Метод співвіднесеності, який виявляє схожі риси у порівнюваних предметах, лежать у основі формування поняття постаті, оскільки цьому використовується принцип подоби, виражає найважливіше загальне властивість різних геометричних тіл. Поняття постаті, на відміну поняття числа, складалося без його точного прообразу насправді, тому людина змушена був користуватися не лише абстракцією ототожнення, а й прийомом ідеалізації в чистому виде.

Сущность даного прийому залежить від освіті таких абстракцій, що відбивають не лише реально існуючі властивості об'єкта, бо як писав Н.А. Шанін, значно отклоняющиеся і навіть уявлювані. Як зазначалося, у природі немає ліній, точок, правильних трикутників, квадратів та інших геометричних постатей. Але, тим щонайменше, без цих вихідних, початкових понять у математиці замало. І якщо науковці змушені були логічно конструювати такі об'єкти, маючи лише якийсь мері подібну зовнішню форму предметів у навколишній дійсності. Для прикладу найкраще взяти астрономію. Земля та інші планети Сонячної системи, включай саме Сонце, людині давно представляли у вигляді кулі, але ми ніколи сьогодні добре знаємо, що не зовсім вірні, а точніше — цілком невірні уявлення. Так, наша планета хіба що сплюснена у районі полюсів, і тому є еліпсоїдом обертання. З іншого боку, у ньому присутні неровности.

Исходные початкові поняття арифметики і геометрії неможливо знайти визначено у спосіб (тобто. підбито під ширше родове поняття з зазначенням на видове відмінність), бо ні існує широких фундаментальних категорій математичного характеру. Через це визначення точки, прямий та інших вихідних понять дано Евклидом на інтуїтивному рівні, і при подальшому доказі теорем фактично не використовувалися. Геометрична точка (по Евклиду) те, що ні має частин; у лінії немає товщини, вона є слідом що просувалася точки; площину — результат руху прямий лінії т.д. Втім, і пізніше багато вчених змушені були давати визначення вихідних математичних понять на інтуїтивному уровне.

Количество і якість в математике

Итак, об'єкти дійсності є єдність дискретного і безперервного (недизъюнктивность). Якщо натуральному числі фіксується дискретність й у цьому сенсі стійкість з зовнішнього боку явищ дійсності, то понятті постаті - безперервність і також устойчивость.

Примечательно, що натуральні числа і фігури виявляються подібними з чуттєвими образами в тому сенсі, що у даних поняттях відображається зовнішній бік предметів дійсності. Саме ця мав на оці Платон, коли зближав математичні абстракції з чуттєвістю. Але не враховував, що відзначений феномен стосується тільки вихідних понять математики.

Абстракции математики многоступенчаты, мають різну міру спільності. На перших етапах її розвитку на понятті числа відволікалися від якісних особливостей реальних об'єктів, пізніше — від конкретних чисел і величин у створення алгебри і запровадження буквеної символіки. Нарешті, на етапі відволікаються навіть від конкретного змісту залежностей, отже, наприклад, звичайні арифметичні дії (складання, віднімання, множення і розподіл), що здійснюються з абстрактними об'єктами математичних структур, постають вже у вигляді абстрактних операций.

Абстракции сучасної математики значною мірою від вихідних понять. Вони також висловлюють як кількісний бік реальних процесів об'єктивної дійсності. Інакше важко пояснити дивовижну, незбагненну «ефективність математики природознавстві», як Ю. Вигнер, тобто. те що, що її нинішні моделі найчастіше описують досить непогано складні процеси матеріальної действительности.

Кстати, позиція прибічників кількісної концепції, тобто. тих, хто передбачає, що математика досліджує лише кількісний бік процесів дійсності і переконані у цьому, що визначення кількості (і забезпечення якості, відповідно) в математиці мали бути зацікавленими відмінні від філософських, виглядає штучної, неправомірної. Поняття кількості і забезпечення якості повинні бути однаковими всім наук.

Количество — те й зовнішнє, і внутрішнє, різне в подібних за якістю об'єктах, і, водночас, подібне у різних за своєю якістю речах. Це така визначеність предметів, явищ, що характеризує їхньої величини, форму, інтенсивність властивостей, темпи розвитку та т.п.

Попытки у минулому дати два поняття матерії (філософське і природничонаукове) були визнані ошибочными.

Математика певною мірою описує і якісну бік явищ матеріальної дійсності (щоправда, частково, побічно, опосередковано й своєрідно, з допомогою особливого штучного мови), тим паче, що є нерозривна зв’язок кількості і качества.

Уже вихідні категорії математики кількісний бік явищ дійсності відбивають дизъюнктивно й у сенсі неадекватно, огрублено. Надалі використовуються поняття вищих рівнів спільності (абстракції від абстракцій), найчастіше мають жодного референта в навколишній світ (наприклад, будь-який трійці дійсних чисел відповідає точка у просторі трьох вимірів, а четвірки, п’ятірки тощо. чисел адекватні була настільки звані багатовимірні, параметричні простору). Проте, сучасна математика точніше, повніше описує реальні явища, ніж раніше. Це відбувається, очевидно, завдяки потенційним можливостям аксіоматичного методу і здібностям розвиненою математики висловлювати певною мірою і якісну бік процесу дійсності. У цьому кількість не зводиться до величинам чи выражающим їх числам, як це було до другої половини XIX в.

Заключение

Рассматриваемые абстракції мають специфікою. Їх характерною рисою є що: відволікання вихідних категорій від якісної боку об'єктів дійсності, наявність елементів ідеалізації, значна відносна самостійність цих понять, яка веде до необхідність створення «ідеальних елементів», які мають прообразу в об'єктивному світі (наприклад, квадратний корінь з -1), ієрархія математичних абстракций.

Важное в методологічному відношенні обставина — вихідні поняття фіксують момент стійкості явищ навколишнього світу, котрі з насправді представляють собою, як відомо, єдність стійкості й змінності, отже кожен об'єкт є й світло результат, та інформаційний процес, те й чи, рух тіло й у цьому місці, разом із тих його немає. Якщо натуральне число можна розглядати, як інваріант класу еквівалентних множин, то постать — як інваріант зовнішньої форми подібних тел.

Итак, у вихідних поняттях елементарної математики відбиваються або дискретність і стійкість зовнішньої кількісної боку явищ дійсності, або (в разі поняття постаті) безперервність і таки стійкість зовнішньої природи предметів матеріального мира.

И у фіналі наводжу визначення математики з погляду аналізованої теми. Математика — своєрідний, формальний спосіб теоретичного описи дійсності, область знання, має особливий статус і в системі наук; з її допомогою можна, у принципі, описати будь-який процес об'єктивної дійсності. Для математики більш характерний метод, ніж предмет, як ж своїх об'єктів вона розглядає просторові форми ці відносини дійсності, точніше, ідеалізовані об'єкти, починаючи з натурального числа і фігури і закінчуючи своєрідними структурами.

Список литературы

Жуков «Специфіка математичних абстракцій», Мінськ, 1986.

Бурбаки М. «Нариси з історії математики», Москва, вид. Наука, 1963.

Энциклопедия юного математика.