Методика розв"язання рівнянь і нерівностей у середній школі

Міністерство освіти і науки, молоді та спорту України Дніпропетровський національний університет

іменi Олеся Гончара Механіко-математичний факультет Дипломна робота за освітньо-кваліфікаційним рівнем спеціаліста на тему:

Методика розв’язання рівнянь і нерівностей у середній школі

Дніпропетровськ 2013 р.

РЕФЕРАТ Дипломна робота 150 с., рис. 46, табл. 6, джерел 57

Об'єкт дослідження: методологія викладення розділу «Рівняння та нерівності» в курсах алгебри в загальноосвітній школі

Мета роботи: узагальнення сучасного учбового матеріалу шкільного курсу алгебри в розділі «Рівняння та нерівності» та розробити пропозиції щодо впровадження інноваційних методів викладання розділів «Рівняння та нерівності» з застосуванням комп’ютерних програмних комплексів.

Одержані висновки та їх новизна: доведена ефективність використання програмно-графічного комплексу Microsoft Mathematics 4.0 для впровадження інтегрованих інноваційних методологій викладання тем «Рівняння та нерівності» в курсах алгебри 7−10 класів загальноосвітньої школи.

Результати дослідження можуть бути використані в якості спеціалізованого посібника курсу «Методика розв’язання рівнянь та нерівностей у середній школі» для вчителів математики у 7−10 класах середньої школи.

Перелік ключових слів: рівняння; нерівність; тотожність; лінійні, квадратичні, ірраціональні, показові, логарифмічні, тригонометричні рівняння та нерівності.

RESUME on diploma work

METHOD OF SOLUTION Equations and InequalitiesIn the Schools

The diploma work’s present the student of five-year training. The work is done in DNU, Faculty of Mechanics and Mathematics, Department of Mathematics.

The work contains 57 sources, 46 illustration, 6 tables, composed on 150 pages.

The work’s results can be used as a specialized guide the course «Methods of solving equations and inequalities in high school» for teachers of mathematics in grades 7−10 high school.

Keywords: equations, inequality, identity, linear, quadratic, irrational, shows, logarithmic, trigonometric equations and inequalities.

АНОТАЦІЯ Дипломна робота спеціаліста на тему: «Методика розв’язання рівнянь та нерівностей у середній школі» — 150 с., 6 табл., 46 рис., 57 джерел.

Мета дипломного дослідження — узагальнення сучасного учбового матеріалу шкільного курсу алгебри в розділі «Рівняння та нерівності» та розроблення пропозиції щодо впровадження інноваційних методів викладання розділів «Рівняння та нерівності» з застосуванням комп’ютерних програмних комплексів.

1. В першому розділі на типових прикладах розв’язання рівнянь проведено узагальнення учбових програм та традиційних методологій викладення тем «Рівняння та системи рівнянь» в курсах алгебри 7−10 класів;

2. В другому розділі на типових прикладах розв’язання нерівностей проведено узагальнення учбових програм та традиційних методологій викладення тем «Нерівності та системи нерівностей» в курсах алгебри 7−10 класів загальноосвітньої школи;

3. В третьому розділі при практичному розв’язанні складних рівнянь та нерівностей доведена доцільність, наочність та практична цінність впровадження програмно-графічного комплексу Microsoft Mathematics 4.0 в інноваційних методологіях викладання тем «Рівняння та нерівності» в курсах алгебри 7−10 класів загальноосвітньої школи.

4. В четвертому розділі викладені основи організації охорони праці та безпеки в надзвичайних ситуаціях в середній школі. Теоретичний матеріал в кожному підрозділі супроводжується розв’язанням типових прикладів, що робить дипломну роботу практичним спеціалізованим посібником курсу «Методика розв’язання рівнянь та нерівностей у середній школі» для вчителів математики у 7−10 класах середньої школи.

Ключові слова: рівняння; нерівність; тотожність; лінійні, квадратичні, ірраціональні, показові, логарифмічні, тригонометричні рівняння та нерівності.

ABSTRACT

Specialist Thesis entitled «Methods of solving equations and inequalities in high school» — 150 p., Table 6., 46 fig., 57 sources.

The aim of graduate study — a synthesis of contemporary educational material school algebra course in «Equations and Inequalities» and develop proposals for the introduction of innovative teaching methods sections «Equations and Inequalities» using computer software.

1. In the first chapter on typical examples of solving equations summarize conducted educational programs and traditional methodologies for presenting topics «equation and the equation system» courses in algebra classes 7−10 secondary school;

2. In the second section on typical examples of solving inequalities held generalization curricula and traditional methodologies for presenting topics «inequalities and systems of inequalities» in the know algebra grades 7−10 secondary school;

3. In the third section, the practical solution of complex equations and inequalities proved the feasibility, clarity and practical value of implementing complex graphical software Microsoft Mathematics 4.0 in innovative teaching methodologies topics «Equations and Inequalities» in the know algebra grades 7−10 secondary school.

4. In the fourth section sets out the basics of health and safety in emergencies in high school.

The theoretical material in each section is accompanied by a resolution of typical examples, which makes the thesis practical tool specialized course «Methods of solving equations and inequalities in high school» for teachers of mathematics in grades 7−10 high school.

Keywords: equations, inequality, identity, linear, quadratic, irrational, shows, logarithmic, trigonometric equations and inequalities.

ЗМІСТ ВСТУП Розділ 1. Рівняння та методологія їх розв’язання у середній школі

1.1 Лінійні рівняння з однією змінною (7 клас)

1.2 Система лінійних рівнянь з двома змінними (7 клас)

1.3 Квадратні рівняння (8 клас)

1.4 Ірраціональні рівняння (10 клас)

1.5 Показникові рівняння (10 клас)

1.6 Логарифмічні рівняння (10 клас)

1.7 Тригонометричні рівняння (10 клас) Розділ 2. Нерівності та методологія їх розв’язання у середній школі

2.1 Лінійні нерівності з однією змінною (9 клас)

2.2 Системи лінійних нерівностей з однією змінною (9 клас)

2.3 Квадратні нерівності (9 клас)

2.4 Ірраціональні нерівності (10 клас)

2.5 Показникові нерівності (10 клас)

2.6 Логарифмічні нерівності (10 клас)

2.7 Тригонометричні нерівності (10 клас) Розділ 3. Інноваційні методології розв’язання рівнянь та нерівностей у 10 класі середньої школи

3.1 Інноваційна методологія розв’язання рівнянь і нерівностей з аналізом нетотожних перетворень в стандартних методах розв’язків (10 клас)

3.2 Інноваційна методологія інтерактивно-графічного розв’язання рівнянь та нерівностей вищих рівнів складності з використанням комп’ютерно-графічного калькулятора Microsoft Mathematics 4.0 (10 клас) Розділ 4. Охорона праці та безпека в надзвичайних ситуаціях в загальноосвітній школі

4.1 Законодавчі основи організації охорони праці в галузі освіти та безпеки життєдіяльності в загальноосвітній школі

4.2 Аналіз стану охорони навчання і праці та безпеки в надзвичайних ситуаціях в приміщенні кабінету математики та інформатики 10 класу

4.3 Обґрунтування заходів щодо покращення санітарно-гігієнічних умов навчання учнів в кабінеті математики та інформатики 10 класу загальноосвітньої школи ВИСНОВКИ СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ ДОДАТКИ

ВСТУП Швидкозмінність сучасного суспільства відбувається під впливом багатьох факторів, серед яких чільне місце займають:

а) процеси глобалізації, що виявляються в економіці, міграційних процесах, розподілі світових трудових ресурсів, обміні інформації (зокрема, через Інтернет), створенні міжнародних проектів;

б) розвиток тенденції переважання ринкових стосунків у суспільстві, в якому знання людини стали товаром;

в) утворення інформаційного суспільства, зокрема, бурхливий розвиток інформаційно-комп'ютерних технологій та їх застосування у всіх життєвих сферах життя суспільства.

Всі наведені фактори впливають на встановлення нових вимог та форматів для системи освіти загалом та математичної освіти в школі зокрема.

Традиційні погляди в освіті на формування в учнів знань, умінь і навичок вже не задовольняють суспільство. Сучасному суспільству потрібні не просто добросовісні виконавці, що мають певні знання, уміння й навички, а особистості. Це вимагає відкритості системи освіти до змін, що відбуваються в суспільстві, постійного перегляду й адаптування нормативної бази в освіті, розробки й впровадження в педагогічний процес нових методів і форм навчання та виховання. Як наслідок? з’явилися поняття «традиційне навчання» та «інноваційне навчання».

Традиційність навчання пов’язана з нормами освіти, що розробляються різними органами освіти, науковцями, педагогами-новаторами. Саме досягнення норм освіти є основним завданням традиційного навчання. Традиційне навчання покликане сформувати в учнів певну базу знань, умінь і навичок, без яких формування особистості проблематичне. Тому традиційне навчання є важливим аспектом підготовки учнів до самостійного життя. Однак традиційне навчання як система володіє певною замкнутістю, консервативністю й часто «не встигає» за швидкозмінним розвитком суспільства. Саме тому в науці виникла інша стратегія навчання — інноваційне навчання.

Актуальність теми дипломної роботи полягає в необхідності впровадження інноваційних форм викладення курсів математики в загальноосвітній школі на основі інтегрованих процесів інформатизації методологій викладання математики з застосуванням наочності комп’ютерних програмно-графічних систем.

Об'єкт дипломного дослідження — методологія викладення розділу «Рівняння та нерівності» в курсах алгебри в загальноосвітній школі

Предмет дипломного дослідження — інноваційні підходи до викладення розділу «Рівняння та нерівності» в курсах алгебри в загальноосвітній школі.

Мета дипломного дослідження — провести узагальнення сучасного учбового матеріалу шкільного курсу алгебри в розділі «Рівняння та нерівності» та розробити пропозиції щодо впровадження інноваційних методів викладання розділів «Рівняння та нерівності» з застосуванням комп’ютерних програмних комплексів.

Завдання дипломного дослідження:

1. Провести узагальнення учбових програм та традиційних методологій викладення тем «Рівняння та системи рівнянь» в курсах алгебри 7−10 класів загальноосвітньої школи;

2. Провести узагальнення учбових програм та традиційних методологій викладення тем «Нерівності та системи нерівностей» в курсах алгебри 7−10 класів загальноосвітньої школи;

3. Проаналізувати інноваційні напрямки розробки методологій та наочності викладання тем «Рівняння та нерівності» в курсах алгебри 7−10 класів загальноосвітньої школи;

4. Довести доцільність та практичну цінність впровадження програмно-графічного комплексу Microsoft Mathematics 4.0 в інноваційних методологіях викладання тем «Рівняння та нерівності» в курсах алгебри 7−10 класів загальноосвітньої школи.

Методами дипломного дослідження були методи порівняння та узагальнення історичних методів алгебри рівнянь та нерівностей, методи практичного розв’язання характерних математичних завдань, методи практичного комп’ютерного розв’язання та побудови графічних наочних матеріалів.

Інформаційною основою дипломного дослідження були програмні стандарти Міністерства освіти та науки України щодо обсягів та тематики курсів алгебри в 7−11 класах загальноосвітньої школи, сучасні (2007;2012 рр.) та історичні (1963;1992 рр.) підручники та посібники з курсу алгебри для 7−11 класів загальноосвітньої школи, методологічні документи НПУ ім. М. П. Драгоманова, Кіровоградського РВВ КДПУ ім. В. Винниченка, Науково-методичного центру вищої освіти (м. Київ).

Практична цінність отриманих результатів дипломного дослідження полягає в доведенні ефективності використання програмно-графічного комплексу Microsoft Mathematics 4.0 для впровадження інтегрованих інноваційних методологій викладання тем «Рівняння та нерівності» в курсах алгебри 7−10 класів загальноосвітньої школи.

РОЗДІЛ 1. РІВНЯННЯ ТА МЕТОДОЛОГІЯ ЇХ РОЗВ’ЯЗАННЯ У СЕРЕДНІЙ ШКОЛІ

1.1 Лінійні рівняння з однією змінною (7 клас) Алгебра багато століть розвивалась як наука про рівняння.

Рівняння — це рівність, яка містить невідомі числа, позначені буквами та інші числові дані. Невідомі числа в рівнянні називають змінними. Змінні найчастіше позначають буквами, хоч можна застосувати і інші букви латинь-кого або грецького алфавіту.

Приклад рівняння:. Якщо в ньому замість змінної написати число 5, матимемо правильну числову рівність 13*5−30=7*5. Говорять, що число 5 задовольняє дане рівняння.

Число, яке задовольняє рівняння, називається його коренем, або розв’язком.

Рівняння має тільки один корінь .

Рівняння має три корені:.

Рівняння не має жодного кореня, бо при кожному значенні число на 7 більше від .

Розв’язати рівняння — це означає знайти всі його корені, або показати, що їх не існує.

Найпростіші рівняння можна розв’язувати на підставі відомих залежнос-тей між доданками та сумою, між множниками і добутком тощо.

Приклад 1.1.1 Розв’яжіть рівняння.

Розв’язок. Тут невідомий від'ємник. Щоб знайти його, слід від зменшуваного відняти різницю:

або

Тут невідомий множник. Щоб знайти його, треба добуток поділити на відомий множник:

Відповідь: .

Кожне рівняння має ліву і праву частину. Наприклад, у рівнянні різниця — це ліва частина, а число 13 — права частина. Разом та 13 — члени цього рівняння.

Рівносильні рівняння.

Розглянемо два рівняння: і. Кожне з них має один і той самий розв’язок:. Такі рівняння називаються рівносильними.

Два рівняння називаються рівносильними, якщо кожне з них має ті самі розв’язки, що й друге. Рівносильними вважають і такі рівняння, які не мають розв’язків, наприклад: та .

Щоб розв’язувати складніші рівняння, слід вміти замінювати їх простіши-ми і рівносильними даним.

З розподільного закону множення випливає, що при будь якому значенні, числа та рівні. Тому рівносильні такі, наприклад, рівняння: та .

З розподільного закону випливає, що при кожному значенні числа і рівні. Тому рівносильні і такі рівняння:

та

Взагалі, якщо в будь-якій частині рівняння звести подібні доданки або розкрити дужки, то дістанемо рівняння, рівносильне даному.

Додавши до обох частин правильної числової рівності одне й те саме число, отримаємо також правильну рівність. З цього випливає, що коли, наприклад, до обох частин рівняння додати по, то отримане рівняння, рівносильне даному. А додати по — це те саме, що перенести з правої частини рівняння в ліву його член з протилежним знаком. Взагалі, якщо з однієї частини рівняння в іншу перенести будь-який його член з протилежним знаком, то дістанемо рівняння, рівносильне даному.

Згадаємо також, що обидві частини числової рівності можна помножити або поділити на одне й те саме число, відмінне від нуля. Тому й коли обидві частини рівняння помножити або поділити на одне й те саме число, відмінне від нуля, то дістанемо рівняння, рівносильне даному рівнянню.

Завжди правильні такі основні властивості рівнянь [2]:

1. У будь-якій частині рівняння можна звести подібні доданки або розкрити дужки.

2. Будь-який член рівняння можна перенести з однієї частини рівняння в іншу, змінивши його знак на протилежний.

3. Обидві частини рівняння можна помножити або поділити на одне й те саме число, відмінне від нуля.

У результаті таких перетворень завжди дістанемо рівняння, рівносильне даному.

Лінійні рівняння.

Рівняння виду, де і - задані числа, називається лінійним рівнянням із однією змінною. Числа і - називаються коефіцієнтами лінійного рівняння: — коефіцієнт при змінній , — вільний член рівняння.

Якщо, то рівняння називають рівнянням першого степеня з однією змінною. Його корінь. Кожне рівняння першого степеня з однією змінною має тільки один корінь. Лінійне рівняння може не мати коренів, мати один корінь, або безліч коренів.

Так, рівняння не має жодного кореню, а рівняння має безліч коренів.

Розв’язуючи рівняння, його спочатку намагаються звести до лінійного. Роблять це декількома способами [2]:

1. Позбуваються знаменників (якщо вони є);

2. Розкривають дужки (якщо вони є);

3. Переносять члени з змінними в ліву частину рівняння, а інші - в праву.

4. Зводять подібні доданки.

У результаті такого перетворення отримують рівняння, рівносильне даному, а його корені є також коренями даного рівняння.

Приклад 1.1.2. Розв’яжіть рівняння [2]

Розв’язок Щоб розв’язати задачу з допомогою лінійних рівнянь спочатку треба скласти відповідно до умов задачі лінійне рівняння. Тобто треба перекласти задачу із звичайної мови на мову алгебраїчну.

Задача 1.1.3 На двох токах 1000 т зерна. Скільки зерна на кожному току, якщо на першому його на 200 т менше, ніж на другому?

Розв’язок. Нехай на першому току т зерна. Тоді на другому його

(), а на обох токах. Складаємо рівняння за умовами задачі:

Відповідь: 400 т та 600 т.

Розв’язуючи задачі на рух, бажано пам’ятати, що при рівномірному русі пройдена тілом відстань дорівнює добутку швидкості на час (

Якщо тіло рухається при наявності течі, то його швидкість руху за течією (проти течії) дорівнює сумі (різниці) його власної швидкості і швидкості течі.

Задача 1.1.4 Катер пройшов відстань між пристанями за течією за 2 год., а назад — за 3 год. Знайдіть власну швидкість катера, якщо швидкість течії річки 2 км/год.

Розв’язок. Нехай власна швидкість катера км/год. Тоді

км/год — його швидкість за течією; км/год — його швид-кість проти течії; км — катер пройшов відстань за течією; км — катер пройшов відстань проти течії.

Відстані та рівні. Отже маємо рівняння:

= звідки, Відповідь. 10 км/год.

1.2 Система лінійних рівнянь з двома змінними (7 клас) Рівняння виду, де — задані числа, називається лінійним рівнянням з двома змінними та. Якщо і, його називають рівнянням першого степеня з двома змінними.

— приклади лінійних рівнянь, два перших із них — рівняння першого степеня з двома змінними.

Пара чисел і задовольняють рівняння, бо. А пара чисел і цього рівняння не задовольняють, бо .

Кожна пара чисел, яка задовольняє рівняння з двома змінними називається розв’язком цього рівняння (при цьому коренями їх не називають).

Щоб знайти розв’язки рівняння з двома змінними слід підставити в рівняння довільне значення першої змінної та, розв’язавши отримане лінійне рівняння з однією змінною, знайти його значення.

Приклад 1.2.1. Знайдемо кілька розв’язків рівняння .

1. Якщо, то. Відповідно пара чисел є одним із розв’язків цього рівняння, його коротко записують як (1;-2).

2. Якщо, то. Відповідно пара чисел є другим із розв’язків цього рівняння, його коротко записують як (3;4).

3. Якщо, то. Відповідно пара чисел є третім із розв’язків цього рівняння, його коротко записують як (15;40).

Таким чином, кожне рівняння першого степеня з двома змінними має безліч розв’язків.

Два рівняння з двома змінними називають рівносильними, якщо кожне з них має такі самі розв’язки, що і друге. Рівняння, які не мають розв’язків також вважаються рівносильними. Обидві частини рівняння з двома змінними можна помножити або поділити на одне й те саме відмінне від нуля число. Будь який член такого рівняння можна перенести з однієї частини рівняння в іншу, змінивши його знак на протилежний. У результаті дістанемо рівняння, рівносильне даному.

Наприклад, рівняння можна перетворити так:

Кожне з цих рівнянь рівносильне іншому.

Як тільки між змінними та задається друге додаткове рівняння зв’язку, то розв’язок може бути тільки одним, що доведемо прикладом.

Приклад 1.2.2. Серед розв’язків рівняння, знайдіть таку пару розв’язків, яка складалась би з однакових чисел.

Розв’язок. Нехай — шукана пара чисел. Оскільки вона повинна задовольняти задане рівняння, то

звідки

Відповідь: (9;9)

Системи рівнянь Рівносильні перетворення лінійних рівнянь з двома змінними використовують при пошуку рішень в системах двох рівнянь з двома змінними. В таких системах необхідно знати таку пару чисел (розв'язків), які задовольняли б і перше і друге рівняння при умові що вони не є рівносильними.

Враховуючи, що кожне окреме лінійне рівняння з двома змінними має безліч розв’язків, розв’язком системи лінійних рівнянь називається спільний розв’язок усіх її рівнянь. Тобто розв’язати систему лінійних рівнянь з двома змінними:

(2)

— при заданих коефіцієнтах — це знайти множину значень (), які задовольняють кожному рівнянню.

Найпоширенішими способами Розв’язок системи рівнянь з двома змінними є спосіб підстановки та спосіб додавання.

Спосіб підстановки.

Щоб розв’язати систему (2) способом підстановки, треба:

1) виразити з якого-небудь її рівняння одну змінну через другу змінну та коефіцієнти, наприклад із системи (2):

(3)

2) підставити в інше рівняння системи замість цієї змінної здобутий вираз;

(4)

3) розв’язати утворене лінійне рівняння (4) з однією змінною ;

4) знайти відповідне значення (3) другої змінної .

Приклад 1.2.3. Нехай треба розв’язати способом підстановки систему:

Виразимо з другого її рівняння змінну через .

Через те, що перше рівняння системи повинне задовольняти тіж самі значення змінних, що й друге, підставимо знайдений вираз замість у перше рівняння. Дістанемо рівняння з однією змінною:

Звідки Підставивши знайдене значення в рівняння, дістанемо відповідне значення змінної :

Отже, розв’язком системи є пара чисел (3;2).

Способом підстановки зручно користуватись тоді, коли коефіцієнт при якій-небудь змінній в рівняння дорівнює 1. Та цим способом можна розв’язува-ти і будь-яку систему лінійних рівнянь з двома змінними.

Приклад 1.2.4 Розв’язати систему рівнянь:

Розв’язок. Замінимо дані рівняння лінійними, дістанемо систему:

Із першого рівняння виразимо змінну через

та підставимо це значення у друге рівняння системи:

та після перетворень

і, відповідно, Відповідь: (2; -3)

Спосіб додавання.

При розв’язанні системи рівнянь способом додавання:

1) Виконуємо рівносильними перетвореннями зрівнювання коефіцієнтів перед однією парою однакових змінних в першому та другому рівнянні;

(5)

Для цього перше рівняння (праву і ліву частину) домножуємо на, друге рівняння (праву і ліву частину) на .

Отримуємо рівносильну систему з рівними коефіцієнтами з різними знаками перед змінною :

(6)

2) Додаючи одне рівняння від другого по частинам, отримуємо рівняння з однією змінною, яке розв’язуємо.

(7)

(8)

3) підставляючи отримане значення в одне з рівнянь системи (5), отримуємо рівняння з однією змінною, яке розв’язуємо, таким чином знаходячи розв’язок системи.

Приклад 1.2.5. Нехай задано систему рівнянь:

Розв’язок. При додаванні по частинам першого рівняння до другого отримуємо рівносильні ліву та праву частину:

звідки

Відповідь: (5; 2)

Так розв’язують системи, в яких коефіцієнти при якій-небудь змінній — протилежні числа. А до такого вигляду можна звести будь-яку систему лінійних рівнянь з двома змінними.

Приклад 1.2.6 Нехай задано систему рівнянь:

Розв’язок. Домножимо всі члени 1 рівняння на 2, а всі члени другого рівняння на -3, отримаємо рівносильну систему рівнянь:

Додаючи по частинам перше рівняння до другого отримаємо:

Відповідно:

Відповідь. (15; -2)

1.3 Квадратні рівняння (8 клас) Квадратним називають рівняння другого степеня з однією змінною виду

де — змінна, а — дані числа, причому.

Числа — коефіцієнти квадратного рівняння: — перший коефіцієнт, — другий, — вільний член.

Згідно з означенням, перший коефіцієнт квадратного рівняння не може дорівнювати нулю. Якщо хоч один коефіцієнт або дорівнює нулю, то квадратне рівняння називають неповним. Неповні квадратні рівняння бувають трьох видів [3]:

1) 2) 3)

1) рівняння виду рівносильне рівнянню і тому воно завжди має тільки один корінь .

2) рівняння виду рівносильно рівнянню і завжди має два корені .

Приклад 1.3.1 Розв’яжіть рівняння .

Розв’язок. Винесемо змінну за дужки: .

Отже,, або, звідки .

Відповідь.

3) рівняння виду рівносильне рівнянню. Якщо, воно має два розв’язки, якщо — жодного розв’язку.

Якщо знаки коефіцієнтів і різні, то число додатне і Розв’язок має два корені, якщо знаки коефіцієнтів і однакові, то число від'ємне і рівняння не має коренів.

Приклад 1.3.2 Розв’яжіть рівняння .

Розв’язок. Перетворимо дане рівняння до виду. Тоді - це квадратний корінь з. Квадратних коренів з числа є два:

та .

Відповідь. .

Формула коренів квадратного рівняння Приклад 1.3.3 Розв’яжемо для прикладу рівняння. Якщо до виразу додати та відняти 9, то достанемо квадрат двочлена та додаткове число -9:

еквівалентне

Отже,, звідки два корені .

Відповідь:

Такий спосіб розв’язування квадратного рівняння називають способом виділення квадрата двочлена.

Розв’яжемо подібним способом рівняння .

Помноживши обидві частини рівняння на (по визначенню), отримаємо:

Вираз називають дискримінантом даного квадратного рівняння і позначають буквою .

Якщо, то дане рівняння не має коренів, не існує такого дійсного значення, при якому б значення виразу було б від'ємним.

Якщо, то, звідки — єдиний корінь рівняння.

Якщо, то дане квадратне рівняння рівносильне рівнянню:

звідки два розв’язки:

або

У цьому випадку дане рівняння має да корені, які відрізняються тільки знаками перед коренем з дискримінанту. Коротко розв’язок формули коренів квадратного рівняння записують:

де

Користуючись нею, можна розв’язати будь-яке квадратне рівняння.

Приклад 1.3.4. Розв’язати квадратні рівняння:

а)

б)

в)

Розв’язок а)

Відповідь:

б)

Відповідь:

в)

Відповідь: Коренів немає.

Теорема Вієта [3]

Квадратне рівняння називають зведеним, якщо його перший коефіцієнт дорівнює одиниці.

Теорема Вієта. Якщо зведене квадратне рівняння має два корені, то їх сума дорівнює другому коефіцієнту рівняння, взятому з протилежним знаком, а добуток — вільному члену.

Доведення. Якщо рівняння має корені, то їх можна знаходити по формулам:

і (1)

Додамо і перемножимо ці корені:

Отже, що і треба було довести.

Примітка. Якщо, то рівняння має два однакові корені .

Кожне квадратне рівняння виду (при) рівносильне зведеному квадратному рівнянню. Тому якщо таке рівняння має два корені, то:

та

Теорема (обернена до теореми Вієта). Якщо сума і добуток чисел і дорівнюють відповідно — і, то і - корені рівняння .

Доведення. Нехай і. За цих умов рівняння рівносильне рівнянню .

Підставимо в це рівняння замість значення і .

Як видно з Розв’язок цих рівнянь числа і - корені рівняння, що і потрібно було довести.

При розв’язанні квадратних рівнянь застосовують знання формул скороченого множення многочленів [4]:

1.

2.

3.

За допомогою квадратних рівнянь можна спростити розв’язування багатьох задач.

Задача 1.3.5. Знайдіть довжини сторін прямокутника, периметр якого дорівнює 42 см, а площа 108 см².

Розв’язок. Півпериметр прямокутника дорівнює сумі його основи та бокової сторони (висоти) — 21 см. Якщо основу прямокутника позначити см, то висоту прямокутника можна розрахувати як (21-) см. Площа прямокутника дорівнює добутку основи та висоти прямокутника:

або або

Розв’яжемо це рівняння Відповідь:

1.4 Ірраціональні рівняння (10 клас) Рівняння називається ірраціональним, якщо невідоме входить під знаком чи радикала невідоме зводиться в ступінь із дробовим показником. Розв’язок ірраціонального рівняння зводиться до звільнення від ірраціональності і розв’язанню отриманого рівняння. При зведенні рівняння в ступінь можуть з’явитися сторонні корені. Тому необхідно робити перевірку, чи є знайдені корені. Розв’язок вихідного рівняння. Основним методом Розв’язок ірраціональних рівнянь є зведення обох частин рівняння в ступінь. Приведемо основні способи Розв’язок ірраціональних рівнянь.

1. Метод рівняння на область допустимих значень (ОДЗ).

Знаходимо ОДЗ з умов того, що підкоренева функція вираження задовольняє умові. При розв’язанні ірраціонального рівняння перевіряємо, чи входять знайдені корені в ОДЗ.

Приклад 1.4.1 Розв’яжемо рівняння

.

Зведемо обидві частини рівняння в квадрат

.

Корінь не задовольняє рівнянню, тому що під коренем будуть негативні вираження.

Приклад 1.4.2 Розв’яжемо ірраціональне рівняння ОДЗ значень визначаються додатним чи нульовим значенням виразу під коренем, відповідно до чого ОДЗ визначається як .

У рівняння 3 розв’язки, які знаходяться при розв’язанні рівнянь Відповідно розв’язок:

Корені, не входять в ОДЗ і не задовольняють рівнянню.

Приклад 1.4.3 Розв’яжемо рівняння

.

ОДЗ цього рівняння визначається додатним чи нульовим значенням виразу під коренем

З рівнянь знаходимо корені, ,. Корінь не входить в ОДЗ і є стороннім.

Приклад 1.4.4 Розв’яжемо рівняння ОДЗ цього рівняння визначається додатним чи нульовим значенням виразу під коренем .

Рівняння має очевидний корінь, що не входить в ОДЗ і є стороннім. Після скорочення на одержимо рівняння

,

Варто оцінити значення лівої і правої частин рівняння в ОДЗ. Якщо вони не можуть бути рівними в ОДЗ, то рівняння не має розв’язків.

Приклад 1.4.5 Розв’яжемо рівняння Знаходимо ОДЗ. В ОДЗ для виконується нерівність

Тому рівняння не має розв’язків.

Приклад 1.4.6. Розв’яжемо рівняння Знаходимо ОДЗ із нерівностей Рівняння рішень не має.

Приклад 1.4.7 Розв’яжемо рівняння Знаходимо ОДЗ:. В ОДЗ права частина рівняння негативна, а ліва частина не негативна. Рівняння не має розв’язків, (пуста множина значень).

2. Метод зведення рівняння в квадрат[52]

Приклад 1.4.8 Розв’яжемо рівняння Зведемо рівняння в квадрат Приклад 1.4.9. Розв’яжемо рівняння

.

Виділимо обох частин рівняння в квадрат Після приведення подібних членів одержимо

.

Приклад 1.4.10 Розв’яжемо рівняння ОДЗ для цього рівняння визначається двома нерівностями

та, тобто загальна ОДЗ

Перетворимо рівняння Зводимо обох частин рівняння в квадрат Цей розв’язок не задовольняє ОДЗ рівняння, тобто (пуста множина).

Приклад 1.4.11. Розв’яжемо рівняння ОДЗ для цього рівняння визначається двома нерівностями

та, тобто загальна ОДЗ Зведемо обидві частини рівняння в квадрат. Одержимо Зведемо рівняння в квадрат Розв’язок задовольняє ОДЗ, але не задовольняють рівнянню.

Відповідь:

Приклад 1.4.12 Розв’яжемо рівняння ОДЗ для цього рівняння визначається двома нерівностями

та

Зведемо обидві частини рівняння в квадрат

чи .

3. Метод заміни.

Заміна підкореневого вираження спрощує зведення ірраціонального рівняння до раціонального.

Приклад 1.4.13 Розв’яжемо рівняння

.

Позначимо. Одержимо рівняння за зведемо дві його частини в квадрат Одержимо рівняння та його корені

.

Приклад 1.4.14 Розв’язати рівняння Позначимо. Одержимо рівняння та його корені

Відповідно вставлюючи отримане значення в підстановку, отримуємо

та його корені

.

Приклад 1.4.15 Розв’язати рівняння

.

Позначаючи, одержимо рівняння.. Розв’язуємо рівняння

;

.

Приклад 1.4.16 Розв’язати рівняння

.

Проводячи заміну . Одержимо рівняння та його корені

.

З рівняння

.

Приклад 1.4.17 Розв’язати рівняння Проводимо заміну

.

Розв’язуємо рівняння:

.

Звідси знаходимо

.

Приклад 1.4.18 Розв’язати рівняння Проводимо заміну. Одержимо рівняння

.

4. Виділення повного квадрата [52]

При розв’язанні ірраціональних рівнянь часто використовують прийом виділення повного квадрата.

Приклад 1.4.19 Розв’язати рівняння

.

Виділимо під радикалами повний квадрат чи Розв’язуємо рівняння на інтервалах і знаходимо корені, .

Приклад 1.4.20 Розв’язати рівняння

.

Позначимо й одержимо рівняння Одержимо розв’язок .

Приклад 1.4.21 Розв’язати рівняння

.

Запишемо рівняння чи

чи

чи .

Приклад 1.4.22 Розв’язати рівняння

Під знаком кореня — повний квадрат

Знаходимо ОДЗ З першої системи знаходимо. Корінь — сторонній.

З другої системи знаходимо .

Корінь — сторонній.

Приклад 1.4.23. Розв’язати рівняння

.

Виділимо повний квадрат Покладемо. Одержимо рівняння Позначимо й одержимо рівняння

Якщо покладемо, то одержимо систему

.

Віднімаючи рівняння, одержимо

.

Розв’язуємо рівняння Оскільки

.

5. Множення на сполучене вираження [52]

Приклад 1.4.24 Розв’язати рівняння

(1)

Помножимо обох частин рівняння на сполучене вираження

.

Одержимо рівняння

. (2)

Маємо корінь рівняння. З рівнянь (1), (2) знаходимо Зводимо обох частин рівняння в квадрат.

Корінь не задовольняє рівнянню.

Приклад 1.4.25. Розв’язати рівняння Ліву і праву частини рівняння множимо і ділимо на сполучені вираження Одержимо рівняння

Є загальний множник .

Приклад 1.4.26 Розв’язати рівняння з кубічними ірраціональностями

.

Помножимо на сполучене вираження .

Одержимо різницю кубів

.

Одержимо більш просте рівняння

.

Покладемо,. Одержимо

,; ,

6. Метод однорідних ірраціональних рівнянь [52]

Рівняння виду називається однорідним. Воно зводиться до квадратного рівняння заміною Приклад 1.4.27 Розв’язати рівняння

.

Уведемо позначення

і приходимо до рівняння

, .

З рівняння

Приклад 1.4.28 Розв’яжемо рівняння

чи .

Думаючи,

,

, , .

Корінь не задовольняє рівнянню.

7. Метод розкладання на множники[52]

Приклад 1.4.29 Розв’язати рівняння

Знайдемо спочатку ОДЗ із нерівностей

Винесемо загальний множник

Зведемо обидві частини рівняння до квадрату

Або

.

Приклад 1.4.30 Розв’язати рівняння

Винесемо корінь четвертого ступеня за дужки

, , .

Приклад 1.4.31 Розв’язати рівняння

Винесемо корінь за дужки

;

, , .

8. Метод заміни радикалів новими невідомими.

Основним способом Розв’язок складних ірраціональних рівнянь є заміна кожного радикала новим невідомої. Це дозволяє звести ірраціональне рівняння до системи алгебраїчних рівнянь.

Приклад 1.4.32 Розв’яжемо рівняння

.

Уведемо позначення

і при цьому приходимо до системи алгебраїчних рівнянь

У першу чергу виключаємо невідоме .

Звідси знаходимо розв’язок, ,

1.5 Показникові рівняння (10 клас)

Приведемо деякі властивості показників функції.

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

При показникова функція зростає при всіх значеннях х, при показникова функція убуває при всіх значеннях х

Способи розв’язку показникових рівнянь[27].

1. Спосіб прирівнювання показників при одній підставі

З рівняння знаходимо .

Приклад 1.5.1

;

.

Приклад 1.5.2

.

Прирівнюємо показники при основі 5.

Корінь не задовольняє рівняння.

2. Спосіб логарифмування рівняння.

Приклад 1.5.3

Логарифмуємо рівняння по основі 3.

.

Приклад 1.5.4

.

Оскільки, то можна логарифмувати рівняння.

.

3. Спосіб позначень Приклад 1.5.5. .

Позначимо .

.

.

Приклад 1.5.6

.

Позначимо

. При цьому; .

.

Приклад 1.5.7

.

Позначимо

:

4. Спосіб однорідних рівнянь Рівняння, можна переписати у вигляді

Вважаючи, отримаємо рівняння .

Приклад 1.5.8

.

Перепишемо рівняння у вигляді

Приклад 1.5.9

х = 1,18 681 439

Приклад 1.5.10

.

Запишемо рівняння у вигляді

;

.

5. Спосіб розкладання рівняння на множники.

Рівняння намагаємося подати у вигляді і прирівнюємо до нуля кожний множник.

Приклад 1.5.11

.

Покладемо і розкладемо рівняння на множники. Приходимо до рівняння:

; .

і знаходимо корінь .

Приклад 1.5.12

.

Покладемо і згрупуємо члени з множниками

.

1), 2), ;

. Корінь не задовольняє рівняння.

1.6 Логарифмічні рівняння (10 клас) Логарифмічна функція є функція зворотна до показникової функції.

При логарифмічна функція зростає при, при логарифмічна функція убуває при .

Логарифмом числа b по основі а називається степінь, в яку потрібно звести основу а, щоб отримати число b

.

Звичайно думають .

Основні тотожності для визначення логарифмів

Приведемо деякі властивості логарифмів [52]:

1.

2.

3.

4.

5. .

6. .

7. Формула переходу до нової основи

.

8. .

9. .

10.

11. .

12. .

Способи Розв’язок логарифмічних рівнянь.

1. Спосіб переходу до загальної основи. Якщо в рівнянні є логарифми з різними основами, то переходимо до загальної основи.

Приклад 1.6.1

.

Приклад 1.6.2

Переходимо до основи 5.

.

2. Спосіб потенціювання. Якщо під знаком логарифма є сума або різниця, то рівняння потенціюють. Розв’язок обов’язково перевіряють.

Приклад 1.6.3

. Перейдемо до основи 2.

.

Потенціюємо рівняння

.

Корінь не задовольняє рівняння.

Приклад 1.6.4

.

Корінь не задовольняє рівняння.

3. Спосіб логарифмування. Якщо в показнику при невідомому є логарифми невідомого, то звичайно рівняння логарифмується.

Приклад 1.6.5 ,

Логарифмуємо рівняння по основі 10.

.

Приклад 1.6.6

4. Спосіб позначень,, .

Логарифмічне рівняння зводиться до алгебраїчного рівняння.

Приклад 1.6.7

,

.

Приклад 1.6.8

. Позначимо .

5. Спосіб розкладання на множники. Рівняння розкладається на множники і кожний множник прирівнюється до нуля.

Приклад 1.6.9

1.7 Тригонометричні рівняння (10 клас) Рівняння називаються тригонометричними, якщо невідома величина знаходиться під знаком тригонометричних функцій. Найпростішими тригонометричними рівняннями називаються рівняння.

Розв’язати найпростіше тригонометричне рівняння — означає знайти множину всіх кутів, що мають дане значення тригонометричної функції.

Якщо тригонометричне рівняння не є найпростішим, то за допомогою тотожних перетворень його треба звести до одного або кількох найпростіших, Розв’язок яких визначається стандартними формулами.

Вкажемо вісім основних груп формул тригонометрії, які використовуються при розв’язанні тригонометричних рівнянь [41]:

1. Основні співвідношення між тригонометричними функціями того самого аргументу:

2. Формули додавання аргументів:

3. Формули подвійного і потрійного аргументів:

4. Формули зниження степеня:

5. Формули перетворення добутку тригонометричних функцій у суму:

6. Формули перетворення суми і різниці однойменних тригонометричних функцій:

7. Формули, які дають раціональний вираз тригонометричних функцій через тангенс половинного аргументу:

8. Формули тригонометричних функцій половинного аргументу:

Знак перед радикалом в останніх трьох формулах залежить від того, в якій кординатній чверті знаходиться кут .

Крім основних формул тригонометрії, при розвязуванні прикладів часто використовують метод введення допоміжного кута для виразів виду

де

Цей вираз можна перетворити у добуток у такий спосіб:

(такий кут існує, оскільки

)

Таким чином,

де

(інакше).

Розглянемо розв’язання найпростіших тригонометричних рівнянь.

1. Рівняння

Оскільки, то рівняння має розв’язки тільки при. Корені рівняння можна розглядати як абсциси точок перетину синусоїди з прямою (рис. 1.7.1)

Рис. 1.7.1 До рівняння [27]

Нехай .Тоді при и — точки перетину синусоїди і прямої. Абсциси цих точок мають координати і. Враховуючи періодичність функції, дістанемо дві серії (дві множини) розв’яків:

Серії (групи) коренів і можна показати однією формулою Дійсно, якщо

(серія коренів);

якщо

(серія коренів).

Таким чином, остаточно дістаємо Приклад 1.7.1 Розв’язати рівняння

Розв’язок Відповідь .

Приклад 1.7.2 Розв’язати рівняння

Розв’язок Відповідь .

Приклад 1.7.3 Розв’язати рівняння

Розв’язок Відповідь .

2. Рівняння

Оскільки, то рівняння має розв’язки тільки при. Використовуючи рис. 3.17, і провівши міркування, аналогічно при розв’язанні рівняння, остаточно дістаємо:

Для окремих випадків

А) Б)

В) Відповідні геометричні ілюстрації наведені на рис. 1.7.2.

Рис. 1.7.2 До рівняння [27]

Приклад 1.7.4 Розв’язати рівняння

Необхідно відзначити, що Дуже часто наводиться помилковий запис Тому бажано перевіряти себя на деяких етапах Розв’язок рівнянь.

Зокрема, оскільки ,

Відповідь:

Приклад 1.7.5 Розв’язати рівняння Відповідь:

3. Рівняння

Використовуючи рис. 1.7.3, неважко довести, що всі корені рівняння задаються формулою Для окремих випадків, коли дістаємо:

Рис. 1.7.3 До рівняння [27]

Приклад 1.7. 6. Розв’язати рівняння

Розв’язок Відповідь

Приклад 1.7.7 Розв’язати рівняння Розв’язок.

Відповідь:

4. Рівняння

Використовуючи рис. 1.7.4, неважно довести, що всі корені рівняння визначаються співвідношенням

Для окремих випадків, коли дістаємо:

Рис. 1.7.4 До рівняння [27]

Приклад 1.7.8 Розв’язати рівняння

Розв’язок Відповідь:

Приклад 1.7.9 Розв’язати рівняння

Розв’язок

Відповідь:

Приклад 1.7.10 Розв’язати рівняння

Розв’язок

якщо Відповідь:

Завершуючи розгляд найпростіших тригонометричних рівнянь наведемо таблицю розв’язків найпростіших тригонометричних рівнянь табл. 1.7.1.

Таблиця 1.7.1

В усіх наведених формулах таблиці

Способи розв’язку тригонометричних рівнянь з комбінацією тригонометричних функцій наведені в наступних прикладах.

Приклад 1.7.11 Розв’язати рівняння

Розв’язок Початкове рівняння рівносильне системі

Звідси

тобто підходять тільки Таким чином,

Відповідь:

Приклад 1.7.12 Розв’язати рівняння

Розв’язок Звідси підходять тільки парні тобто Таким чином, .

Відповідь:

Приклад 1.7.13 Розв’язати рівняння

Розв’язок Відповідь:

Приклад 1.7.14 Розв’язати рівняння

Розв’язок.

Звідси

підходять тільки парні тобто

Таким чином,

Відповідь:

Розв’язування тригонометричних рівнянь із застосуванням комбінованих способів ґрунтується на використанні властивостей тригонометричних функцій і основних співвідношень між ними.

Розглянемо основні методи розв’язку тригонометричних рівнянь. Ці рівняння в загальному підсумку зводяться до найпростіших, розв’язок яких уже розглянуто.

1. Розв’язок тригонометричних рівнянь методом розкладання на множники.

Застосування цього методу засновано на тому, що рівняння рівносильне сукупності рівнянь в області визначення рівняння .

Приклад 1.7.15 Розв’язати рівняння

Розв’язок Відповідь:

Приклад 1.7.16 Розв’язати рівняння

Розв’язок.

Відповідь:

Приклад 1.7.17 Розв’язати рівняння

Розв’язок. За формулою зниження степеня дістаємо Відповідь:

При розв’язанні рівнянь методом розкладання на множники воно може виявитися не рівносильним дістаній сукупності рівнянь, оскільки можлива поява сторонніх коренів.Щоб уникнути помилок у відповіді, бажано знаходити ОДЗ (якщо ОДЗмножина дійсних чисел, то про ОДЗ звичайно не згадується)і при записі відповіді виключити розв’язки, які не задовольняють ОДЗ.

Приклад 1.7.18 Розв’язати рівняння Наведемо дві форми запису розв’язку вихідного рівняння.

1 форма запису розв’язку.

ОДЗ:

Знаходимо значення, що задовольняють рівнянням і

якщо якщо

Оскільки через ОДЗ, то серія розв’язків непридатна, вона не входить в ОДЗ, і відповіддю є тільки друга серія розв’язків Відповідь:

2 форма запису розв’язку.

Відповідь:

2. Спосіб зведення тригонометричних рівняння до однієї з функції.

Якщо рівняння, що містять дві або більше тригонометричних функцій, вдається звести до якоїсь однієї (тощо), то після відповідної замінної тригонометричне рівняння перетворюється в алгебричне відносно зробленої заміни змінної.

Якщо алгебричне рівняння вдається розв’язати, то тим самим початкове рівняння зводиться до одного або до сукупності кількох найпростіших рівнянь Особливо відзначимо тригонометричні рівняння, що зводяться до квадратних рівнянь.

Тут часто використовується основна тригонометрична тотожність

Приклад 1.7.19 Розв’язати рівняння

Розв’язок Замінюючи через дістаємо

Поклавши дістаємо квадратне рівняння

Розв’язуючи це рівняння, знаходимо

Отже, або Якщо, то Якщо то

Відповідь:

Приклад 1.7.20 Розв’язати рівняння

Розв’язок З огляду на те, що і позначивши дістанемо

корені якого

Рівняння коренів не має, а рівняння можна

розв’язати двома способами.

1 спосіб.

2 спосіб.

Можна показати, що серії коренів. отримані другим способом, збігаються із серією, отриманою першим способом.

Відповідь:

Приклад 1.7.21 Розв’язати рівняння

ОДЗ:

Оскільки то після заміни приходимо до квадратичного рівняння звідки

Звідки знаходимо

З рівняння знаходимо

Очевидно що всі серії коренів входять в ОДЗ.

Відповідь:

3. Розв’язування тригонометричних рівнянь однорідних відносно синуса і косинуса, а також зводяться до одноріних Однорідними тригонометричними рівняннями називаються рівняння виду:

(однорідні рівняння 1-го степеня);

(однорідні рівняння 2-го

степеня);

(однорідні

рівняння 3-го степеня);

(однорідні рівняння к-го степеня);

Бачимо, що у всіх доданих однорідних рівнянь сума показників степенів однакова.

Рівняння при не є однорідним, але його можна звести до однорідного рівняння 2-го степеня, замінивши число тотожно рівним йому виразом

Для розв’язування однорідних рівнянь у випадку розглянемо такі значення, для яких. Тоді з початкового однорідного рівняння випливає, що при тих самих значеннях має бути, а це неможливо, оскільки суперечить основній тригонометричній тотожності Звідси розв’язками однорідного рівняння (при) можуть бути тільки такі значення, для яких .

Звідси однорідне тригонометричне рівняння можна звести до рівняння відносноякщо всі його члени поділити на і при цьому (якщо) таке ділення не приведе до втрати розв’язків, оскільки значення, при яких, не задовольняють початковому рівнянню.

Якщо ж, то таке ділення приведе до втрати коренів і, значить, у відповідь варто включити розв’язок рівняння

тобто

Приклад 1.7.22 Розв’язати рівняння

Розв’язок. Поділивши обидві частини початкового рівняння на

Дістаємо Відповідь:

Приклад 1.7.23 Розв’язати рівняння

Розв’язок. Поділивши обидві частини початкового рівняння на дістаємо

звідси

Відповідь:

Приклад 1.7.24 Розв’язати рівняння

Розв’язок. Початкове рівняння не є однорідним, однак воно легко зводиться до однорідного 2-го степеня після заміни Тоді дістанемо Відповідь:

4. Розв’язування тригонометричних рівняннь за допомогою універсальної підстановки

При використанні універсальної підстановки функції нескладно виражаються через за такими формулами:

Оскільки використання універсальної підстановки можливо лише при то потрібно перевіряти, чи не є числа виду розв’язками початкового рівняння.

Приклад 1.7.25 Розв’язати рівняння

Розв’язок. Виконавши у початковому рівнянні підстановку, дістаємо рівняння З рівняння дістаємо

З рівняння

Залишається перевірити, чи не задавольняють початковому рівнянню числа Підставляючи у початкове рівняння, маємо:

значить, числа не є розв’язками початкового рівняння.

Відповідь:

5. Метод введення допоміжного аргументу

Іноді при розв’язуванні тригонометричних рівнянь корисно скористатися формулою де .

У цьому випадку називається допоміжним аргументом або допоміжним кутом.

Приклад 1.7.26 Розв’язати рівняння

Розв’язок.

Оскільки то У процесі розв’язування ми врахували той факт, що то покласти таким, що дорівнює

Відповідь:

Зауваження 3. Приклад 14 можна розв’язати ще, наприклад, такими способами:

А) Відповідь:

Б) Застосовуючи універсальну тригонометричну підстановку, дістанемо

Необхідно перевірити ще серію коренів

Перевіркою переконуємося, що значення задовольняють початковому рівнянню, тобто є розв’язками.

Відповідь:

Зазначимо, що відповідь збігається з отриманими способами а) і б), якщо покласти і .

При цьому в обох серіях розв’язків цілочисловий параметр буде позначений однією буквою .

Приклад 1.7.27 Розв’язати рівняння

Розв’язок Допоміжний кут можна вввести в такий спосіб:

тоді Звідси Відповідь:

6. Розв’язок рівнянь перетворенням суми (різниці) тригонометричних функцій у добуток.

Приклад 1.7.28 Розв’язати рівняння

Розв’язок.

Відповідь:

7. Розв’язок рівнянь перетворенням добутку тригонометричних функцій у суму Приклад 1.7.29 Розв’язати рівняння

Розв’язок Застосовуючи формулу перетворення добутку тригонометричних функцій у суму, дістаємо:

Відповідь:

8. Тригонометричні рівняння, що розв’язуються із застосуванням формул зниження степеня.

При розв’язанні подібного роду рівнянь користуються формулами зниження степеня Приклад 1.7.30 Розв’язати рівняння

Розв’язок Застосовуючи формулу зниження степеня дістаємо

Застосовуючи до перших двох доданків формулу перетворення суми однойменних тригонометричних функцій у добуток дістаємо:

Відповідь:

9. Розв’язування рівнянь із застосуванням формул подвійного і потрійного аргументів Приклад 1.7.31 Розв’язати рівняння

Розв’язок. У лівій частині застосуємо формулу Поділити обидві частини отриманого рівняння на не можна, оскільки це приведе до втрати розв’язків, що є коренями рівняння Дістаємо Відповідь:

Приклад 1.7.32 Розв’язати рівняння

Розв’язок Перетворимо початкове рівняння, використовуючи формулу

Відповідь:

РОЗДІЛ 2. НЕРІВНОСТІ ТА МЕТОДОЛОГІЯ ЇХ РОЗВ’ЯЗАННЯ В СЕРЕДНІЙ ШКОЛІ

2.1 Лінійні нерівності з однією змінною (9 клас) Два математичних вирази, з'єднані знаком «більше» >, «менше» <, «не більше» або «не менше», називаються нерівностями.

Запис позначає, що або або .

Нерівності бувають чисельні і буквені. Якщо в нерівність входять перемінні, то нерівність називається з перемінними. Якщо нерівність виконується при всіх значеннях перемінних, то воно називається тотожньою нерівністю. Нерівність називається алгебраїчною, якщо з перемінними виконуються алгебраїчні дії. Інші нерівності називаються неалгебраїчними або трансцендентними.

Властивості числових нерівностей[22].

Якщо: а < b і b < с, то, а < с;

а < b і с — довільне число, то, а + с < b + с;

а < b і с > 0, то ас < bс;

а < b і с < 0, то ас > bс;

а < b і c < d, то, а + с < b + d;

а < b, c < d і а, b, с, d — числа додатні, то ас < bd.

Нерівності виду, а < х < b, а? х < b, а < х? b, а? х? b називаються подвійними нерівностями. Їх зручно використовувати для оцінювання значень величин і наближених обчислень. Адже якщо, а < х < b і с < у < d, то, а + с < х + у < b + d, a — d < х — у < b — с, ас < ху < bd, a: d < х: у < b: c.

Дві останні подвійні нерівності правильні за умови, якщо числа, а і с — додатні.

Розв’язати нерівність означає знайти всі її розв’язки або показати, що їх немає. Множини розв’язків найчастіше утворюють проміжки.

Нерівності зі змінними мають багато властивостей, аналогічних до властивостей рівнянь [22]:

1. Якщо з однієї частини нерівності перенесемо в іншу доданок з протилежним знаком, то одержимо нерівність, рівносильну даній.

2. Якщо обидві частини нерівності помножимо або поділимо на одне й те саме додатне число, то одержимо нерівність, рівносильну даній.

3. Якщо обидві частини нерівності помножимо або поділимо на одне й те саме від'ємне число, змінивши при цьому знак нерівності на протилежний, то одержимо нерівність, рівносильну даній.

Якщо, а і b — дані числа, а х — невідома змінна, то кожна з нерівностей ах < b, ах > b, ах? b, ах? b (2.1.1) називається лінійною нерівністю першої степені з однією змінною х (невідомим).

Залежність розв’язків лінійної нерівності від значення коефіцієнтів при змінній і знака нерівності наведено в табл. 2.1.1.

Таблиця 2.1.1

Якщо, а = 0, то кожна з нерівностей (2.1.1) або не має розв’язків, або множиною її розв’язків є множина всіх дійсних чисел.

Приклад 2.1.1. Розв’яжемо нерівність

. (2.1.2)

Розв’язок.

1. Переносимо однорідні члени нерівності зі змінною до лівої частини нерівності із зміною знака, а числа — вправу частину нерівності із зміною знака.

При такому перенесені знак нерівності не міняється:

Провівши групування, отримуємо відповідь: .

Відповідь: .

Приклад 2.1.2. Розв’яжіть нерівність