Допомога у написанні освітніх робіт...
Допоможемо швидко та з гарантією якості!

Марковські процеси з дискретними станами та неперервним часом (реферат)

РефератДопомога в написанніДізнатися вартістьмоєї роботи

Таким чином, систему (157) за допомогою ймовірнісних твірних функцій зведено до простого лінійного диференціального рівняння відносно A (x, t).. А тому, припускаючи, що досліджуваний процес є марковським, скористаємося математичним апаратом дослідження марковських процесів. Якщо — достатньо мала величина, то ймовірність того, що за час t + не настане жодна з подій, можна подати, як показано… Читати ще >

Марковські процеси з дискретними станами та неперервним часом (реферат) (реферат, курсова, диплом, контрольна)

РЕФЕРАТ На тему:

Марковські процеси з дискретними станами та неперервним часом.

Випадковий процес із дискретними станами і неперервним часом називають марковським, якщо для будь-якого моменту часу t умовні ймовірності всіх станів системи в майбутньому (за t > 0 ) залежать лише від того, в якому стані i перебувала вона у фіксований момент часу t = t i , і не залежать від того, коли і як саме система набула цього стану.

У реальному світі марковські процеси трапляються дуже рідко. Здебільшого доводиться стикатися з процесами, які лише наближено можна вважати марковськими.

А тому, припускаючи, що досліджуваний процес є марковським, скористаємося математичним апаратом дослідження марковських процесів.

Теорію марковських процесів із дискретними станами і неперервним часом застосовують до систем, в яких можуть відбуватися переходи з одного стану до іншого під впливом зовнішніх випадкових збурень, котрі, як правило, вважають пуассонівськими.

1. Пуассонівський процес Математичні моделі, які вивчатимуться в наступних темах, пов’язані переважно з пуассонівськими потоками подій. При цьо­му ставляться певні умови, які мають бути виконані, задовольняючи низку обов’язкових властивостей.

Для пуассонівського потоку ймовірність появи випадкової події k раз протягом проміжку часу t обчислюється за формулою:

p k ( t ) = ( ) k k ! е - , (133).

де  — інтенсивність потоку.

Тоді зі (133) випливає: ймовірність того, що за час t жодна з подій не настане, подається у вигляді.

p 0 ( t ) = е - , (134).

а ймовірність настання однієї події за час t — у вигляді.

p 1 ( t ) = - . (135).

Тоді ймовірність настання за час t більш як однієї події буде така:

p k > 1 ( t ) = 1 - p 0 <= k <= 1 ( t ) = 1 - ( е - + - ) . .

Розклавши в ряд функцію.

е - = 1 - + ( ) 2 2 ! - ( ) 3 3 ! + ( ) 4 4 ! . . . , .

дістанемо відповідно.

p 0 ( t ) = 1 - + ( ) 2 2 ! - ( ) 3 3 ! + ( ) 4 4 ! . . . , (136).

p 1 ( t ) = ( 1 - + ( ) 2 2 ! - ( ) 3 3 ! + ( ) 4 4 ! . . . ) , (137).

p k > 1 ( t ) = 1 - ( 1 - + ( ) 2 2 ! - ( ) 3 3 ! + ( ) 4 4 ! . . . + .

+ ( 1 - + ( ) 2 2 ! - ( ) 3 3 ! + ( ) 4 4 ! . . . + ) ) . (138).

Для малих значень t і k >= 2 значення t k нескінченно малі, а тому формули (136)-(138) набирають такого вигляду:

p 0 ( t ) = 1 - + ( t 2 ) , (139).

p 1 ( t ) = + ( t 2 ) , (140).

p k > 1 ( t ) = ( t 2 ) . (141).

Ця властивість пуассонівського процесу (потоку) вельми важлива для багатьох практичних його застосувань.

Отже, якщо рівності (139)-(141) виконуються, то для малого інтервалу часу відповідно дістаємо:

p 0 ( ) = 1 - + 0 ( ) , (142).

p 1 ( ) = + 1 ( ) (143).

p k > 1 ( ) = k ( ) , (144).

де.

lim -> 0 0 ( ) = 0, lim -> 0 1 ( ) = 0, lim -> 0 k ( ) = 0, .

тобто 0 ( ) , 1 ( ) , k ( )  — нескінченно малі вищого порядку порівняно з . .

Нехай p k ( t )  — імовірність появи k-ї події, що може відбутися за проміжок часу t, причому 0 <= p k ( t ) <= 1, а також.

k = 0 p k ( t ) = 1, (145).

оскільки події p k ( k = 1, 2, 3, . . . ) несумісні й утворюють повну групу.

Якщо  — достатньо мала величина, то ймовірність того, що за час t + не настане жодна з подій, можна подати, як показано на рис. 21.

Рис. 21.

Отже, подія не настане на інтервалі (0, t) і на проміжку . Оскільки ці події незалежні, виконується рівність.

p 0 ( t + ) = p 0 ( t ) p 0 ( ) , .

або.

p 0 ( t + ) = p 0 ( t ) ( 1 - + 0 ( ) ) . (146).

Аналогічно для ймовірності p k ( t + ) дістаємо (рис. 22):

Рис. 22.

З огляду на незалежність подій, які можуть відбутися в інтервалах (0, t) і ( t , t + ), маємо:

p k ( t + ) = p k ( t ) p 0 ( ) + p k - 1 ( t ) p 1 ( ) + p k - 2 ( t ) p 2 ( ) + .

+ p k - 3 ( t ) p 3 ( ) + . . . + p 0 ( t ) p k ( ) , .

або.

p k ( t + ) = p k ( t ) p 0 ( ) + p k - 1 ( t ) p 1 ( ) + i = 2 k p k - i ( t ) p i ( ) .

Проте за i = 2, 3, 4, . . . , k p i ( ) є величиною нескінченно малою:

p i ( ) = i ( ) , .

причому.

lim -> 0 i ( ) = 0 . .

Тому.

p k ( t + ) = p k ( t ) p 0 ( ) + p k - 1 ( t ) p 1 ( ) + k ( ) , .

де k ( ) = i = 2 k i ( ) (сума нескінченно малих величин також нескінченно мала).

Беручи до уваги (142) і (144), дістаємо систему:

{ p 0 ( t + ) = p 0 ( t ) ( 1 - + 0 ( ) ) , p k ( t + ) = p k ( t ) ( 1 - + 0 ( ) ) + p k - 1 ( t ) ( + 1 ( ) ) + k ( ) , (147).

яку можна подати у вигляді.

{ p 0 ( t + ) = p 0 ( t ) - tp 0 ( t ) + p 0 ( t ) 0 ( ) , p k ( t + ) = p k ( t ) - tp k ( t ) + p k ( t ) 0 ( ) + + tp k - 1 ( t ) + p k - 1 ( t ) 1 ( ) + k ( ) , .

або.

{ p 0 ( t + ) - p 0 ( t ) = - tp 0 ( t ) + p 0 ( t ) 0 ( ) , p k ( t + ) - p k ( t ) = - tp k ( t ) + p k ( t ) 0 ( ) + + tp k - 1 ( t ) + p k - 1 ( t ) 1 ( ) + k ( ) . (148).

Поділивши ліву і праву частини обох рівнянь системи на , дістанемо:

{ p 0 ( t + ) - p 0 ( t ) = - 0 ( t ) + p 0 ( t ) 0 ( ) , p 0 ( t + ) - p 0 ( t ) = - 0 ( t ) + p 0 ( t ) 0 ( ) + k - 1 ( t ) + + p k - 1 ( t ) 1 ( ) + k ( ) . . .

Якщо -> 0, то виконуються такі співвідношення:

{ lim -> 0 p 0 ( t + ) - p 0 ( t ) = - 0 ( t ) + p 0 ( t ) lim -> 0 0 ( ) , lim -> 0 p 0 ( t + ) - p 0 ( t ) = - 0 ( t ) + p 0 ( t ) lim -> 0 0 ( ) + + k - 1 ( t ) + p k - 1 ( t ) lim -> 0 1 ( ) + lim -> 0 k ( ) . .

Отже, за -> 0 від системи (148) переходимо до системи.

{ p 0 ' ( t ) = - 0 ( t ) , p k ' ( t ) = - k ( t ) + k - 1 ( t ) , k >= 1 , (149).

яку називають системою диференціально-різницевих рівнянь.

Цю систему розв’язують методом імовірнісних твірних функцій.

Імовірнісною твірною функцією A ( x , t ) називають збіжний степеневий ряд виду.

A ( x , t ) = k = 0 x k p k ( t ) = p 0 ( t ) + xp 1 ( t ) + x 2 p 2 ( t ) + x 3 p 3 ( t ) + x 4 p 4 ( t ) + . . . , (150).

де | x | <= 1 . .

Звідси можна визначити p k ( t ) для будь-якого значення k = 0, 1, 2, 3, . . . . .

Зокрема, за x = 0 маємо:

p 0 ( t ) = A ( 0, t ) . .

Щоб знайти p 1 ( t )

продиференціюємо (150) один раз і візьмемо.

x = 0 .

Тоді дістанемо.

.

p 1 ( t ) = A ' ( 0, t ) . .

Для визначення p 2 ( t ) продиференціюємо (150) двічі і також візьмемо x = 0 . .

Отже,.

p 2 ( t ) = A ' ' ( 0, t ) 2 = A ' ' ( 0, t ) 2 ! . .

Аналогічно знаходимо:

p 3 ( t ) = A ' ' ' ( 0, t ) 6 = A ' ' ' ( 0, t ) 3 ! , p 4 ( t ) = A ' ' ' ' ( 0, t ) 24 = A ' ' ' ' ( 0, t ) 4 ! , p k ( t ) = A k ( 0, t ) k ! . (151).

Зауважимо, що виконуються такі рівності:

A ( 1, t ) = k = 0 p k ( t ) = 1 - (152).

A ' ( x , t ) = d A ' ( x , t ) dt = d dt ( k = 0 p k ( t ) ) = k = 0 x k p k ' ( t ) . (153).

Помноживши обидві частини першого рівняння системи диференціально-різницевих рівнянь (149) на x 0 , а обидві частини другого рівняння на x k ( k >= 1 ), дістанемо:

{ p 0 ' ( t ) = - 0 ( t ) , x k p k ' ( t ) = - x k k ( t ) + x k k - 1 ( t ) . (154).

Додамо почленно ліві і праві частини рівнянь системи (154):

p 0 ' ( t ) + x k p k ' ( t ) = - k p k ( t ) - 0 ( t ) + k p k - 1 ( t ) . (155).

Далі, підсумувавши (154) за k, запишемо:

k = 0 x k p k ' ( t ) = - k = 0 x k p k ( t ) + k = 0 x k p k ( t ) , (156).

або з урахуванням (152) і (156):

dA ( x , t ) dt = ( x - 1 ) A ' ( x , t ) . (157).

Таким чином, систему (157) за допомогою ймовірнісних твірних функцій зведено до простого лінійного диференціального рівняння відносно A ( x , t ) . .

Розв’язуючи це рівняння, маємо:

dA ( x , t ) dt = ( x - 1 ) A ( x , t ) -> dA ( x , t ) A ( x , t ) = ( x - 1 ) dt -> 0 t dA ( x , t ) A ( x , t ) = ( x - 1 ) 0 t dt -> -> ln A ( x , t ) | t 0 = ( x - 1 ) t | t 0 -> ln A ( x , t ) - ln A ( x , 0 ) = ( x - 1 ) t -> .

-> ( A ( x , 0 ) = 1 ) -> ln A ( x , t ) = ( x - 1 ) t -> A ( x , t ) = e ( x - 1 ) t . (158).

Тепер, скориставшись (151), дістанемо:

p 0 ( t ) = A ( 0, t ) = e - - .

p 1 ( t ) = A ' ( 0, t ) = ( e - ( x - 1 ) ) x ' = te ( x - 1 ) | x = 0 = te - - .

p 2 ( t ) = A ' ' ( 0, t ) 2 ! = 1 2 ! ( e - ( x - 1 ) ) x '' = ( ) 2 2 ! e ( x - 1 ) | x = 0 = ( ) 2 2 ! e - - .

p 3 ( t ) = A ' ' ' ( 0, t ) 2 ! = 1 2 ! ( e - ( x - 1 ) ) x '' = ( ) 3 3 ! e ( x - 1 ) | x = 0 = ( ) 3 3 ! e - - .

p 4 ( t ) = A ' ' ' ( 0, t ) 4 ! = 1 4 ! ( e - ( x - 1 ) ) x '' = ( ) 3 4 ! e ( x - 1 ) | x = 0 = ( ) 3 4 ! e - - .

Показати весь текст
Заповнити форму поточною роботою