Впорядковані множини (реферат)

РЕФЕРАТ на тему:

" Впорядковані множини" .

ПЛАН.

1. Поняття множини.

2. Упорядковані і частково упорядковані множини.

3. Цілком упорядковані множини.

4. Спрямовані множини.

Список використаної літератури

1. Поняття множини Множина — одне з найпростіших (первісних) математичних понять, яке не можна означити через інші, ще простіші поняття. Його можна пояснити тільки за допомогою рівнозначних понять або на окремих прикладах.

Під множиною розуміють сукупність об'єктів об'єднаних в цю сукупність за певними ознаками. Наприклад, можна говорити про множину студентів даного курсу, множину чисел у натуральному ряді, множину сторінок у книжці тощо.

Множини позначають великими буквами латинського і грецького алфавітів. Об'єкти, що входять до складу множини, називають її елементами і позначають малими буквами алфавіту. Задати множину — це означає задати характеристику її елементів, за допомогою якої про будь-який об'єкт можна встановити, належить він цій множині чи ні. Так множину студентів даного курсу задають списком. Множина парних чисел характеризується тим, що кожний її елемент ділиться на число 2.

Якщо — множина, — її елемент, то це символічно записують: і читають: «належить «.

Символічний запис означає, що не належить.

Якщо через позначено будь-який елемент множини, то записують:

.

Нехай маємо дві множини і. Якщо кожний елемент множини належить і множині, то називається підмножиною множини Цей факт записують так:

або.

і читають: «міститься в «, або «містить в собі «. Наприклад, кожний елемент множини, елементами якої є парні додатні числа, належить також і множині натуральних чисел.

Якщо кожний елемент множини належить і множині і, навпаки, кожний елемент множини належить множині то множини та називаються рівними :

Якщо множина містить безліч елементів, то її називають нескінченною, у противному разі - скінченою.

Якщо у множині немає жодного елемента, то її називають порожньою і позначають символом .

Для множини введемо такі операції.

Об'єднання множин. Нехай маємо дві множини і. Тоді множинуяка містить у собі всі елементи множин та і не містить ніяких інших елементів, називають об'єднанням (сумою) множин та і записують:

Якщо задано множини, де може пробігати як скінчену, так і нескінченну множину значень, то об'єднання позначають так:

Переріз множин. Нехай маємо дві множини і Тоді множину, яка містить всі спільні елементи множин і і не містить ніяких інших елементів, називають перерізом /добутком/ множин та і записують:

Якщо ми маємо деякі множини, то переріз цих множин позначають так:

.

Різниця множин. Нехай маємо дві множини і. Тоді множину, що містить у собі всі ті елементи множини, які не належать множині, і не містить ніяких інших елементів, називаються різницею множин та і записують :

2. Упорядковані і частково упорядковані множини Упорядковані і частково упорядковані множини (математичні), множини, у яких яким-небудь способом установлений порядок проходження їхніх чи елементів, відповідно, частковий порядок. Поняття порядку і часткового порядку проходження елементів визначаються в такий спосіб. Говорять, що для пари елементів х, у множини М установлений порядок, якщо зазначено, котрий з цих елементів випливає за іншим (якщо у випливає з х чи, що те ж саме, х передує в, то пишуть х? у, у? х).

Говорять, що в множини М установлений частковий порядок проходження елементів, якщо для деяких пар його елементів установлений порядок, причому виконані наступні умови: 1) ніякий елемент не випливає сам за собою- 2) якщо х? в і в? z, те х? z (транзитивність відносини порядку). Може случитися, що в частково упорядкованій множини М порядок не встановлений ні для якої пари елементів М. З ін. сторони, може случитися, що порядок установлений для всіх пар різних елементів М, у цьому випадку частковий порядок проходження елементів, встановлений у множини М, називають просто порядком проходження елементів, чи лінійним порядком (упорядковані множини, таким чином, є видом частково упорядкованих множинаей).

Наприклад, будемо вважати, що комплексне число a? + b?і випливає за комплексним числом і а + bi, якщо a? > a і b? > b. Будь-яка множина комплексних чисел стає тоді частково упорядкованим. Зокрема, частково упорядкованим стає будь-як множина дійсних чисел (розглянутих як спеціальний випадок комплексних). Т. к. при цьому порядок проходження такий, що дійсне число a? випливає за дійсним числом, а тоді і тільки тоді, коли a? більше а, та всяка множина дійсних чисел виявляється навіть просто упорядкованим.

Поняття частково упорядкованого (інакше = напівупорядкованого) і упорядкованої множини належать до числа основних загальних понять математики.

3. Цілком упорядковані множини Впорядкована множина називається цілком впорядкованою, якщо кожна його підмножина має перший елемент (тобто елементом, за яким випливають всі інші). Усі кінцеві упорядковані множини цілком упорядковані. Натуральний ряд, упорядкований по зростанню (а також деякими ін. способами), утворить цілком упорядкована множина. Важливість цілком упорядкованих множинаей визначається головним чином тим, що для них справедливий принцип трансфінітної індукції.

Впорядковані множини, що мають однаковий порядковий тип, володіють і однаковою потужністю, так що можна говорити про потужність даного порядкового типу.

З іншої сторони, кінцеві впорядковані множини однакової потужності мають той самий порядковий тип, так що кожної кінцевої потужності відповідає визначений кінцевий порядковий тип. Положення міняється при переході до нескінченних множинаей. Дві нескінченних упорядкованих множини можуть мати ту саму потужність, але різні порядкові типи.

4. Спрямовані множини Частково упорядкована множина називається спрямованим, якщо для всяких його елементів х и у існує такий елемент z, що z? х і z? у (a ?b означає, що або a? b, або, а = b). Поняття спрямованої множини дозволяє дати дуже загальне визначення межі. Нехай f (p) — числова (для простоти) функція, задана на спрямованій множини Мчисло з називається межею f (p) по спрямованій множини М, якщо для всякого e > 0 знайдеться такий елемент, що для всіх p з М таких, що р³ р виконується нерівність. Це визначення дозволяє установити всі звичайні властивості межі й охоплює дуже широкий клас окремих випадків.

Історична довідка. Теорію упорядкованих множинаей створив Г. Кантор. У 1883 він увів поняття цілком упорядкованої множини і порядкового числа, а в 1895 = поняття упорядкованої множини і порядкового типу. У 1906=07 С. О. Шатуновський сформулював визначення спрямованої множини (у Шатуновського = розташований комплекс) і межі по спрямованій множини (амер. математиками Е. Г. Муром і Г. Л. Смитом цього ж поняття були розглянуті незалежно від Шатуновского, але значно пізніше = у 1922). Загальне поняття частково упорядкованої множини належить Ф. Хаусдорфу (1914).

Список використаної літератури

1. 1.Александров П. С., Введення в загальну теорію множин і функцій, М. = Л., 1948;

2. 2.Курош А. Г., Лекції по загальній алгебрі, 2 изд., М., 1973;

3. 3.Хаусдорф Ф., Теорія множин, пров. з ньому., М. = Л., 1937;

4. 4.Куратовский К., Мостовскиq А., Теорія множин, пров. з англ., М., 1970;

5. 5.Бурбаки Н., Теорія множин, пров. із франц., М., 1965.