Математичне моделювання та диференціальні рівняння (реферат)

Реферат на тему:

Математичне моделювання та диференціальні рівняння.

1.1. Поняття математичного моделювання.

Поняття математичного моделювання трактується різними авторами по своєму. Ми будемо його пов’язувати з нашою спеціалізацією — прикладна математика. Під математичним моделюванням ми будемо розуміти метод дослідження процесів або явищ шляхом побудови їхніх математичних моделей і дослідження цих процесів. В основу методу покладемо адекватність між змінними складеного рівняння і досліджуваного процесу. Зрозуміло, що на практиці ці процеси не будуть абсолютно ідентичні. Але можна удосконалювати математичну модель, яка більш точно буде описувати цей процес. Треба пам’ятати, що в останньому випадку, як правило, математичні рівняння ускладнюються. А це означає, що їх моделювання на ЕОМ потребує більше часу, або ж більше не визначаючих обчислювальних комплексів.

Схема таких досліджень починається з постановки задачі і закінчується проведенням ефективного обчислювального експерименту. Її умови можна записати в такій формі:

а) постановка задачі;

б) побудова математичної моделі;

в) перевірка її адекватності;

г) узагальнення та теоретичне дослідження даного класу задач;

д) створення програмного забезпечення;

е) проведення обчислювального експерименту;

ж) впровадження цих результатів в виробництво.

Розглянемо питання використання диференціальних рівнянь в деяких предметних областях.

1.2. Диференціальні рівняння в екології.

Екологія вивчає взаємо відношення людини і, взагалі, живих організмів з навколишнім середовищем. Основним об'єктом дослідження в екології являється еволюція популяцій (сукупність одного виду рослин, тварин, чи мікроорганізмів, які населяють протягом тривалого часу певну територію).

Опишемо математично процес розмноження чи вмирання популяцій.

Нехай $$x(t)$$ — кількісний стан популяції в момент $$t$$, $$A$$ — число, яке відповідає кількості народжених, $$B$$ — умираючих в одиницю часу. Тоді запис зміни координати $$x(t)$$ задається формулою:

$$\frac{\text{dx}}{\text{dt}}=A-B$$ (1.1).

В (1.1) $$A$$ і $$B$$ можуть залежати від $$x$$. Наприклад:

$$A=\text{ax}\text{,}B=\text{bx}$$ (1.2).

Де $$a$$ — коефіцієнт народжуваності, $$b$$ — смертності. Маємо з (1.2).

$$\frac{\text{dx}}{\text{dt}}=(a-b)x$$ (1.3).

Розв’язок диференціального рівняння запишемо в вигляді.

З розв’язку (1.4) видно, що при $$a>b$$ популяція виживаюча, а при $$a<b$$ — вмираюча.

$$x(t)=x_0{e}^{(a-b)(t-t_0)}$$ (1.4).

Рівняння (1.3) в деяких випадках береться нелінійне

$$\frac{\text{dx}}{\text{dt}}=\text{ax}-{\text{bx}}^2(a>\mathrm{0,}b>0)$$ (1.5).

Це рівняння Беруллі при $$n=2$$ і його розв’язок запишеться в такому вигляді.

$$x(t)=\frac{x_0\frac{a}{b}}{x_0+(\frac{a}{b}-x_0)e^{-a(t-t_0)}}$$ (1.6).

З формули (1.6) видно, що при $$t->\mathrm{},x(t)->\frac{a}{b}$$. При цьому можливі випадки.

$$\frac{a}{b}>x_0$$, та $$\frac{a}{b}<x_0$$.

Рівняння (1.5) описує.

Можна говорити і про більш складні рівняння, системи рівнянь.

Розглянемо більш детально двох видову модель «хижак-жертва», яка була побудована для виявлення коливань рибних уловів в Адріатичному морі.

Нехай $$x(t)$$ -число великих риб-хижаків, $$y$$ — число малих риб-жертв в момент часу $$t$$, тоді число риб-хижаків буде рости до тих пір, поки у них буде їжа. Якщо корму не буде вистачати, то кількість риб-хижаків буде зменшуватися і тоді, починаючи з деякого моменту, буде рости число риб-жертв. Модель має вигляд.

$$\{\begin{array}{c}\frac{\text{dx}}{\text{dt}}=-\text{ax}+\text{bxy}\\ \frac{\text{dy}}{\text{dt}}=\text{cx}-\text{dxy}\end{array}$$ (1.7).

де $$a,b,c,d$$ — додатні константи.

В (1.7) доданок $$\text{bxy}$$ виражає залежність приросту великих риб від числа малих, $$\pm \text{dxy}$$ — зменшення числа малих риб від великих.

1.3. Закони Кеплера руху планет.

Згідно закону всесвітнього тяжіння два тіла, які знаходяться на віддалі $$r$$ друг від друга і які мають маси $$m$$ і $$M$$ притягаються з силою.

$$F=\frac{mM}{r^2}$$ (1.8).

де $$$$ — константа тяжіння.

Опишемо рух планети з масою $$m$$ навколо Сонця маси $$M$$. Вплив других планет на них не будемо враховувати. (Мал 1.1).

Сонце знаходиться в початку координат, а планета має положення $$x(t),y(t)$$ в момент часу $$t$$. Використавши другий закон Ньютона маємо:

$$\{\begin{array}{c}m\stackrel{"}{x}=-\text{FCos}=-\frac{\text{mM}}{r^2}\text{Cos}\\ m\stackrel{"}{y}=-\text{FSin}=-\frac{\text{mM}}{r^2}\text{Sin}\end{array}$$ (1.9).

Враховуючи, що

Позначимо $$k=M$$, прийдемо до системи.

$$\text{Cos}=\frac{x}{r},\text{Sin}=\frac{y}{r},z=\sqrt{x^2+y^2}$$.

$$\{\begin{array}{c}\stackrel{"}{x}=-\frac{\text{kx}}{(x^2+y^2{)}^{\frac{2}{3}}}\\ \stackrel{"}{y}=-\frac{\text{ky}}{(x^2+y^2{)}^{\frac{2}{3}}}\end{array}$$ (1.10).

Без обмеження загальності візьмемо початкові умови:

$$x=a,y=\mathrm{0,}\stackrel{}{x}=\mathrm{0,}\stackrel{}{y}=V_0$$ при $$t=0$$ (1.11).

Перейдемо до полярних координат:

$$x=\text{rCos},y=\text{rSin}$$.

$$\{\begin{array}{c}\stackrel{}{x}=\text{rCos}-\text{rSin}\stackrel{}{}\\ \stackrel{}{y}=\text{rSin}-\text{rCos}\stackrel{}{}\end{array}$$.

$$\{\begin{array}{c}\stackrel{"}{x}=\stackrel{"}{r}\text{Cos}-2\stackrel{}{r}\text{Sin}\stackrel{}{}-\text{rSin}\stackrel{"}{}-\text{rCos}{}^2\\ \stackrel{"}{y}=\stackrel{"}{r}\text{Sin}-2\stackrel{}{r}\text{Cos}\stackrel{}{}-\text{rCos}\stackrel{"}{}-\text{rSin}{}^2\end{array}$$.

Позначивши отримані вирази в (1.10) будемо мати.

$$\begin{array}{c}\\ \begin{array}{c}\{{\left(\stackrel{"}{r}-r{\stackrel{}{}}^2\right)\text{Sin}+\left(2\stackrel{}{r}\stackrel{}{}+r\stackrel{"}{}\right)\text{Cos}=-\frac{\text{kSin}}{r^2}}^{\left(\stackrel{"}{r}-r{\stackrel{}{}}^2\right)\text{Cos}-\left(2\stackrel{}{r}\stackrel{}{}+r\stackrel{"}{}\right)\text{Sin}=-\frac{\text{kCos}}{r^2}}\\ \end{array}\\ \\ \\ \end{array}$$.

Помножимо перше рівняння на $$\text{Cos}$$, друге на $$\text{Sin}$$ і складемо:

$$4\stackrel{"}{r}-{\mathit{r}}^2=-\frac{k}{r^2}$$ (1.12).

$$$$ Домножимо перше рівняння на $$-\text{Sin}$$, друге на $$\text{Cos}$$ і складемо:

$$2\stackrel{}{r}\stackrel{}{}+r\stackrel{"}{}=0$$ (1.13).

Перепишемо в нових змінних умови (1.11):

Рівняння (1.13) перепишемо у вигляді.

$$r=a,=\mathrm{0,}\stackrel{}{r}=\mathrm{0,}\stackrel{}{}=\frac{V_x}{a}$$ (1.14).

$$\frac{d}{\text{dt}}(r^2\stackrel{}{})=0$$ (1.15).

Звідки маємо.

$$r^2\stackrel{}{}=C_1$$ (1.6).

Константа $$C_1$$ має цікаву геометричну інтерпретацію. З курсу математичного аналізу відомо, що площа сектора $$\text{PQO}$$ обчислюється за формулою.

Звідки

$$S=\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{}{}}{r}^2\mathit{d}$$ (1.17).

$$\text{dS}=\frac{1}{2}{r}^2\mathit{d}$$, або $$\frac{\text{dS}}{\text{dt}}=\frac{1}{2}{r}^2\stackrel{}{}$$.

Останній вираз означає секторну швидкість. З (1.16) випливає, що вона являється постійною. Це означає, що радіус-вектор «замітає» за рівні проміжки часу рівні площі.

1-ій закон Кеплера: кожна із планет рухається по плоскій кривій відносно Сонця так, що радіус-вектор, який зв’язує Сонце і кожну з планет, «замітає» рівні площі за рівні проміжки часу.

Задачу Кощі (1.12)-(1.14) можна розв’язати. Розв’язок має еліпсоїдальну форму, на основі цього робиться наступний висновок:

2-ій закон Кеплера: траєкторії планет рухаються по еліпсам, в одному з фокусів яких знаходиться Сонце.

З аналізу траєкторій випливає таке твердження:

3-ій закон Кеплера: квадрати періодів обертання планет пропорційні кубам великих осей їх орбіт.

1.4. Диференціальні рівняння закону пропиту і пропозиції в економічних дослідженнях.

Попит і пропозиція — економічній категорії товарного виробництва. Попит — представлена на ринку потреба в товарах, пропозиція — продукт, який є на ринку чи може бути доставлений на нього.

Нехай $$p(t)$$ — ціна, наприклад, на фрукти, $$\frac{d(p)}{d(t)}$$ — тенденція формування ціни. Тоді, як попит так і пропозиція будуть функціями введених величин. Як показує практика, ці функції можуть бути різними. Часто попит $$q$$ і пропозиція $$S$$ задаються лінійними.

$$\begin{array}{c}q=4p^{\text{'}}-2p+\text{39}\\ {S=\text{44 {}p}^{\text{'}}+2p-1\end{array}$$ (1.17).

залежностями. Наприклад:

Для того, щоб попит відповідав пропозиції необхідно:

$${4p^{\text{'}}-2p+\text{39}=\text{44 {}p}^{\text{'}}+2p-1$$.

Звідки.

$$\begin{array}{c}\begin{array}{c}{\text{40 {}p}^{\text{'}}+4p-\text{40}=0\end{array}\\ 4\text{dp}=-4(p-\text{10})\frac{\text{10}\text{dp}}{p-\text{10}}=-\text{dt},p={\text{ce}}^{-\frac{1}{\text{10}}t}+\text{10}\end{array}$$ (1.8).

Припустимо, що в момент $$t=0$$ 1 кг фруктів коштував 1крб. Тоді $$1=c-\text{10}$$, $$c=-9$$, отже.

$$p=-9e^{\frac{1}{\text{10}}t}+\text{10}$$ (1.19).

Це закон зміни цін, щоб між попитом і пропозицією була рівновага.

1.5 Найпростіші рівняння руху частинок в електромагнітних поясах.

Швидкість зміни імпульсу частинки.

$$\stackrel{}{p}=m\stackrel{}{V}$$.

дорівнює силі Лоренса, яка діє на неї.

$$\frac{d}{\text{dt}}(m\stackrel{}{V})=\text{Ze}(\stackrel{}{E}+[\stackrel{}{V}\stackrel{}{B}])$$ (1.20).

де $$Z$$ — зарядове число, $$e$$ — заряд частинки, $$E$$ — вектор напруженості прискорюючого поля, $$B$$ — вектор магнітної індукції, $$V$$ — вектор швидкості частинки.

$$\begin{array}{c}\stackrel{}{E}=\left(\begin{array}{c}{E}_x\\ E_y\\ E_z\end{array}\right),\stackrel{}{B}=\left(\begin{array}{c}{B}_x\\ B_y\\ B_z\end{array}\right),\stackrel{}{V}=\left(\begin{array}{c}{V}_x\\ V_y\\ V_z\end{array}\right)\\ m=\frac{m_0}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}=\frac{m_0}{\sqrt{1-B^2}}={\mathit{}}_0\end{array}$$.

де $$m_0$$ — маса спокою, $$$$ — приведена енергія частинки.

$$\left[\stackrel{}{V},\stackrel{}{B}\right]=|\begin{array}{ccc}i& j& k\\ V_x& V_y& V_z\\ B_x& B_y& B_z\end{array}|=\left(V_y{B}_z-V_z{B}_y\right)i-\left(V_x{B}_z-V_z{B}_x\right)j-\left(V_z{B}_y-V_y{B}_x\right)k$$.

— векторний добуток двох змінних.

З (1.20) маємо:

$$m_0\frac{d\stackrel{}{V}}{\text{dt}}+m_0\stackrel{}{V}\frac{\mathit{d}}{\text{dt}}=\text{Ze}\left(\stackrel{}{E}+\left[\stackrel{}{V},\stackrel{}{B}\right]\right)$$ (1.21).

Рівняння (1.21) не враховує власного поля пучка (кулонівських сил).

Систему (1.21) перепишемо в скалярній формі:

$$\{\begin{array}{c}\frac{d^{2}x}{{\text{dt}}^2}=\frac{\text{Ze}}{m_0}\left[E_x+\frac{\text{dy}}{\text{dt}}{B}_z-\frac{\text{dz}}{\text{dt}}{B}_y-\frac{m_0}{\text{Ze}}\frac{\text{dx}}{\text{dt}}\frac{\mathit{d}}{\text{dt}}\right]\\ \frac{d^{2}y}{{\text{dt}}^2}=\frac{\text{Ze}}{m_0}\left[E_y+\frac{\text{dz}}{\text{dt}}{B}_z-\frac{\text{dx}}{\text{dt}}{B}_z-\frac{m_0}{\text{Ze}}\frac{\text{dy}}{\text{dt}}\frac{\mathit{d}}{\text{dt}}\right]\\ \frac{d^{2}z}{{\text{dt}}^2}=\frac{\text{Ze}}{m_0}\left[E_z+\frac{\text{dx}}{\text{dt}}{B}_y-\frac{\text{dy}}{\text{dt}}{B}_x-\frac{m_0}{\text{Ze}}\frac{\text{dz}}{\text{dt}}\frac{\mathit{d}}{\text{dt}}\right]\end{array}$$ (1.22).

Визначимо.

$$\frac{\mathit{d}}{\text{dt}}=\frac{d}{\text{dt}}\frac{1}{\sqrt{1-\frac{{\stackrel{}{V}}^T\stackrel{}{V}}{c^2}}}=-\frac{1}{2}{\left(1-\frac{{\stackrel{}{V}}^T\stackrel{}{V}}{c^2}\right)}^{-\frac{3}{2}}\left(-2\right)\frac{{\stackrel{}{V}}^T}{c^2}\frac{\text{dV}}{\text{dt}}$$.

тобто.

$$\frac{\mathit{d}}{\text{dt}}=\frac{{}^3}{c^2}{\stackrel{}{V}}^T\left(\frac{\text{Ze}}{m_0}\left(\stackrel{}{E}+\left[\stackrel{}{V}\stackrel{}{B}\right]\right)-\frac{1}{}\stackrel{}{V}\frac{\mathit{d}}{\text{dt}}\right)$$.

так як $${\stackrel{}{V}}^T\left[\stackrel{}{V}\stackrel{}{B}\right]=0$$, то визначимо $$\frac{\mathit{d}}{\text{dt}}$$ :

$$\frac{\mathit{d}}{\text{dt}}\left(1+\frac{{}^2{\stackrel{}{V}}^T\stackrel{}{V}}{c^2}\right)=\frac{{}^2\text{Ze}}{m_0{c}^2}{\stackrel{}{V}}^T\stackrel{}{E}$$.

Тому.

$$\frac{\mathit{d}}{\text{dt}}=\frac{\text{Ze}}{m_0{c}^2}\left(\frac{\text{dx}}{\text{dt}}{E}_x+\frac{\text{dy}}{\text{dt}}{E}_y+\frac{\text{dz}}{\text{dt}}{E}_z\right)$$ (1.23).

Підставляючи (1.23) в (1.22) отримаємо рівняння руху.

Але в ці складні рівняння ще входять компоненти електромагнітного поля, які визначаються рівняннями максвела:

$$\begin{array}{c}\begin{array}{c}{r}_{0}t\stackrel{}{E}=-\frac{\stackrel{}{B}}{t},\text{div {}\stackrel{}{E}\end{array}=\frac{}{{}_0}\\ \\ r_{0}t\stackrel{}{B}=\frac{1}{c^2}\frac{\stackrel{}{E}}{t}+{}_0\stackrel{}{j},\text{div {}\stackrel{}{B}\\ \{0\end{array}$$ (1.24).

Тут $${}_0,{}_0$$ — електрична і магнітна сталі, $$$$ — об'ємна густина заряду, $$\stackrel{}{j}$$ — вектор густини струму, $${}^t$$ — знак транспонування.

А (1.24) — це рівняння в частинних похідних з складними граничними умовами. Задача заключається не тільки в моделюванні рівнянь руху, а й в розрахунках оптимальних систем.

1.6. Використання диференціальних рівнянь в біології і математичних обчисленнях.

Біологія. Необхідно знайти залежність площі $$S$$ молодого листка, що має форму круга, від часу $$t$$. Відомо, що швидкість зміни площі $$\frac{\text{dS}}{\text{dt}}$$ в момент $$t$$ пропорцією площі листка, довжини його ободу та косинусу кута між падаючим на листок сонячним променем і вертикаллю листка. Маємо модель:

$$\frac{\text{dS}}{\text{dt}}=kS{S}^{\frac{1}{2}}\text{Cos}(t),$$ де $$S(t)=\text{at}+b>=0$$ (1.25).

$$a,b$$ — const, $$<=$$, $$k$$ — коефіцієнт пропорційностірозв'язуючи рівняння (1.25) ми отримаємо таку залежність:

$$S(t)={\left(c+\frac{k}{2a}\text{Sin}\left(\text{at}+b\right)\right)}^{-2}$$ (1.26).

Математика. Обчислити невласний інтеграл.

$$I(a)=\underset{0}{\overset{\mathrm{}}{}}{e}^{-x^2-2\text{ax}}\text{dx}$$ (1.27).

залежний від параметра $$a$$ .

Знайдемо похідну:

$$\frac{\text{dI}}{\text{da}}=-\underset{0}{\overset{\mathrm{}}{}}{e}^{-x^2-2\text{ax}}\text{dx}\text{=+}\underset{0}{\overset{\mathrm{}}{}}{e}^{-x^2-2\text{ax}}\text{dx}\left(d(-x^2-2\text{ax})+2\text{aI}(a)\right)=2\text{aI}(a)-1$$.

Отримали диференціальне рівняння.

$$\frac{\text{dI}}{\text{da}}=2\text{aI}(a)-1$$ (1.28).

При цьому відомо:

$$I(0)=\underset{0}{\overset{\mathrm{}}{}}{e}^{-x^2}\text{dx}=\frac{\sqrt{}}{2}$$ (1.29).

Розв’язуючи задачу Коші (1.28),(1.29), отримаємо:

$$I(a)=e^{a^2}\left[I(a)-\underset{0}{\overset{a}{}}{e}^{-t^2}\text{dt}\right]=e^{a^2}\frac{\sqrt{}}{2}-\underset{0}{\overset{a}{}}{e}^{a^2-t^2}\text{dt}$$ (1.30).

1.7. Побудова диференціальних рівнянь з заданими параметричними сімействами кривих.

Припустимо, що задано однопараметричне сімейство кривих:

$$\left(x,y(x),c\right)=0$$ (1.31).

Задача полягає в тому, щоб знайти диференціальне рівняння, розв’язками якого являються криві (1.31). Вважаючи, що функція (1.31) має повну похідну за x запишемо:

$${}_x^{\text{'}}\left(x,y,c\right)+{}_y^{\text{'}}\left(x,y,c\right)\frac{\text{dy}}{\text{dx}}=0$$ (1.32).

Тоді з (1.31) та (1.32) як з системи рівнянь, вилучаємо сталу $$c$$ і отримаємо шукане диференціальне рівняння першого порядку.

Якщо ж задано $$n$$ — параметричне сімейство кривих:

$$\left(x,y(x),c_1,\text{.}\text{.},c_n\right)=0$$ (1.33).

то до (1.33) додаються дані співвідношення:

$$\begin{array}{c}\frac{d}{\text{dx}}(x,y,c_1,\text{.}\text{.},c_n)={}_x^{\text{'}}\left(x,y,c_1,\text{.}\text{.},c_n\right)+{}_y^{\text{'}}\left(x,y,c_1,\text{.}\text{.},c_n\right)\frac{\text{dy}}{\text{dx}}=0\\ \frac{d^2}{{\text{dx}}^2}(x,y,c_1,\text{.}\text{.},c_n)=\frac{d}{\text{dx}}\left[{}_x^{\text{'}}\left(x,y,c_1,\text{.}\text{.},c_n\right)+{}_y^{\text{'}}\left(x,y,c_1,\text{.}\text{.},c_n\right)\frac{\text{dy}}{\text{dx}}\right]=\\ {}_{\text{xx}}^{\text{'}\text{'}}\left(x,y,c_1,\text{.}\text{.},c_n\right)+{}_{\text{xe}}^{\text{'}\text{'}}\left(x,y,c_1,\text{.}\text{.},c_n\right)\frac{\text{dy}}{\text{dx}}+{}_{\text{yy}}^{\text{'}\text{'}}\left(x,y,c_1,\text{.}\text{.},c_n\right){\left(\frac{\text{dy}}{\text{dx}}\right)}^2+\\ +{}_x^{\text{'}}\left(x,y,c_1,\text{.}\text{.},c_n\right)\frac{d^{2}y}{{\text{dx}}^2}=0\\ \frac{d^n}{{\text{dx}}^n}\left(x,y,c_1,\text{.}\text{.},c_n\right)=\frac{d}{\text{dx}}\left[\frac{d^{n-1}}{{\text{dx}}^{n-1}}\left(x,y,c_1,\text{.}\text{.},c_n\right)\right]=0\end{array}$$ (1.34).

з (1.33) та (1.34), як з системи рівнянь, кількість яких $$(n+1)$$, вилучаються сталі $$c_1,\text{.}\text{.},c_n$$ і отримане таким чином співвідношення між $$x,y,y^{\text{'}},\text{.}\text{.},y^{(n)}$$.

$$F\left(x,y,y^{\text{'}},\text{.}\text{.},y^{(n)}\right)=0$$ (1.35).

і буде шуканим диференціальним рівняння $$n$$ -го порядку.

В (1.32) та (1.34) $${}_x^{\text{'}}(),{}_y^{\text{'}}(),{}_{\text{xx}}^{\text{'}\text{'}}(),{}_{\text{xy}}^{\text{'}\text{'}}(),{}_{\text{yy}}^{\text{'}\text{'}}(),--$$ означають частинні похідні відповідних порядків за вказаними змінними. При цьому припускаємо, що похідні існують, тобто функції (1.32) та (1.34) являються диференційовними відповідну кількість разів.

Аналогічно поступають і при складанні систем рівнянь.

Приклад 1.1. Знайти диференціальне рівняння першого порядку, розв’язками якого буде однопараметричне сімейство.

$$e^{x+\text{cy}}=2x+3y$$ (1.36).

Розв’язання. Продиференціюємо за $$x$$ праву частину нашого співвідношення в припущенні, що $$y=y(x)$$ .

$$e^{x+\text{cy}}\left(1+c\frac{\text{dy}}{\text{dx}}\right)=2x+3\frac{\text{dy}}{\text{dx}}$$ (1.37).

Враховуючи (1.36) рівність (1.37) перепишемо таким чином:

$$\left(2x+3y\right)\left(1+c\frac{\text{dy}}{\text{dx}}\right)=2x+3\frac{\text{dy}}{\text{dx}}$$ (1.38).

З (1.38) знаходимо $$c$$.

$$c=\frac{1}{y^{\text{'}}}\left[\frac{2+3y^{\text{'}}}{2x+3y}-1\right]$$.

і підставивши в (1.36) отримаємо шукане диференціальне рівняння.

$$e^{x+\frac{x}{y^{\text{'}}}\left[\frac{2+3y^{\text{'}}}{2x+3y}-1\right]}=2x+3y$$ (1.39).

Приклад 1.2. Знайти диференціальне рівняння другого порядку, розв’язками якого буде двопараметричне сімейство.

$$y=c_1{e}^{3x}+c_2{e}^{-3x}$$ (1.40).

Розв’язання. Згідно описаного вище складаємо систему рівнянь:

$$\{\begin{array}{c}y=c_1{e}^{3x}+c_2{e}^{-3x}\\ y^{\text{'}}=3c_1{e}^{3x}-3c_2{e}^{-3x}\\ y^{\text{'}\text{'}}=9c_1{e}^{3x}+9c_2{e}^{-3x}\end{array}$$ (1.41).

З якої вилучивши $$c_1$$ і $$c_2$$ знаходимо шукане диференціальне рівняння:

$$$$ $$y^{\text{'}\text{'}}-9y=0$$ (1.42).