Диспут і формула Кардано

Диспут.

Формула Кардано.

Мостового.

Кирилла.

р. Одесса.

1999 г.

Диспут.

Диспути у середні віки завжди були собою цікаве видовище, що приваблювали пустопорожніх городян від малого до велика. Теми диспутів носили різноманітний характер, але науковий. У цьому під наукою розуміли те, що входила участь у перелік про семи вільних мистецтв було, звісно, і богослов’я. Богословські диспути були частими. Сперечалися про все. Наприклад, у тому, прилучати чи миша до духу святому, якщо з'їсть причастя, могла чи Кумская сивилла передбачити народження Ісуса Христа, чому брати і рятівника не зараховані до лику святих тощо. д.

Про суперечці, що був виникнути між прославленим математиком і проінвестували щонайменше прославленим лікарем, висловлювалися лише загальні здогади, оскільки ніхто нічого путнього не знав. Говорили, що з них обдурив іншого (хто кого саме, невідомо). Майже всі ті, хто зібралися площею мали про математиці найневиразніші уявлення, але кожен із нетерпінням очікував початку диспуту. Це цікаво було, можна було посміятися над невдахою, незалежно від цього, прав він чи нет.

Коли годинник на ратуші пробили п’ять, врата широко розкрилися, і натовп кинулася всередину собору. По обидва боки осьової лінії, що з'єднує вхід з вівтарем, двох бічних колон були спорудили дві високі кафедри, призначені для сперечальників. Присутні зчиняли галасу, не звертаючи ніякого увагу те, що перебувають у церкви. Нарешті, перед залізної гратами, отделявшей іконостас від решти центрального нефа, з’явився міської глашатай в черно-фиолетовом плащі і проголосив: «Славетні громадяни міста Мілана! Зараз перед вами виступить знаменитий математик Нікколо Тарталья з Брении. Його противником мав бути математик і лікар Джеронимо Кардано. Нікколо Тарталья звинувачує Кардано в тому, що останньою у своїй книжці „Ars magna“ опублікував спосіб розв’язання рівняння 3-Й ступеня, 96,67-відсотковий, Тарталье. Проте саме Кардано на диспут прийти не зміг і тому надіслав свого учня Луидже Феррарі. Отже, диспут оголошується відкритим, учасники його запрошуються на кафедри». На ліву від входу кафедру піднявся незграбний людина з горбатим носом і кучерявенької бородою, але в противополжную кафедру зійшов юнак двадцяти з гаком років, з гарним самовпевненим обличчям. В його манері триматися позначалася повна у тому, кожен його жест і кожен його слово буде ухвалено захоплено. Почав Тарталья. — Шановні добродії! Вам відомо, що 13 років тому вони мені вдалося знайти метод рішення рівняння III ступеня і тоді вже, користуючись у такий спосіб, здобув перемогу у диспуті з Фиори. Мій спосіб привернув увагу вашого співгромадянина Кардано, і він доклав весь свій хитромудре мистецтво, щоб вивідати в мене секрет. Він зупинився перед обманом, перед прямим підробкою. Ви знаєте також, що 3 роки тому Нюрнберзі вийшла книжка Кардано щодо правил алгебри, де мій спосіб, так безсовісно викрадений, було зроблено надбанням кожного. Я викликав Кардано та її учня на змагання. Я запропонував вирішити 31 завдання, стільки запропонували і мені моїми противниками. Було визначено термін вирішення завдань — 15 днів. Мені пощастило за 7 днів вирішити більшу частину тих завдань, хто був складено Кардано і Феррарі. Я надрукував їх і надіслав з кур'єром в Мілан. Однак мені довелося чекати аж п’ять місяців, поки що отримав відповіді до своїх завданням. Вони мусили вирішені неправильно. І це дало мені підставу викликати обох на публічний диспут. Тарталья замовчав. Юнак, подивившись на нещасного Тарталью, вимовив: — Шановні добродії! Мій гідний противник дозволив собі у перших словах свого виступу висловити стільки наклепу на мою адреса київська і на адресу мого вчителя, його аргументація був такий голослівною, що це чи доставить будь-якої працю спростувати перший і показати вам неспроможність другого. Насамперед, про яке обмані може, якщо Нікколо Тарталья цілком добровільно поділився характером свого на нас обома? І як пише Джеронимо Кардано про роль мого супротивника у відкритті алгебраического правила. Він розповідає, що ні йому, Кардано, «а моєму другу Тарталье належить честь відкриття такого прекрасного і дивного, переважає людське дотепність і всі таланти людського духу. Це відкриття уже є щодо істині небесний дар, таке прекрасне доказ сили розуму, його постигнувшего, що вони ніщо неспроможна вважатися йому недосяжним.» — Мій противник звинуватив мене і мета мого вчителя у тому, що ми нібито дали не правильне рішення зборів його завдань. Але мабуть неправильним корінь рівняння, якщо підставляючи їх у рівняння і виконуючи все запропоновані у тому рівнянні дії, ми дійшли тотожності? І якщо сеньйор Тарталья хоче послідовним, він мав вирішити зауваження, чому ми, котрі вкрали, та його словами, його винахід і использовавши її рішення запропонованих завдань, отримали неправильне рішення. Ми — мій вчитель і це — не вважаємо, проте винахід синьйора Тартальи маловажным.

Це винахід чудово. Понад те, я, спираючись значною мірою нею, знайшов спосіб розв’язання рівняння 4-го ступеня, й у «Ars magna» мій вчитель зізнається. Що й казати хоче нас сеньйор Тарталья? Чого вона прагне диспутом? — Панове, добродії, — закричав Тарталья, — я прошу вас вислухати мене! Не заперечую те, що мій молодий противник дуже сильний логіці й красномовстві. Але цього не можна замінити справжнє математичне доказ. Завдання, що їх дав Кардано і Феррарі, вирішені неправильно, а й я доведу це. Справді, візьмемо, наприклад, рівняння у складі які розв’язувалися. Воно, як відомо …

У церкві піднявся неймовірний шум, що поглинув повністю закінчення фрази, розпочатої невдачливим математиком. Йому вже дали продовжувати. Натовп, зажадала від нього, що він замовчав, і щоб чергу було надано Феррарі. Тарталья, бачачи, що далі спору марна справа, поспішно опустився з кафедри і вийшов через північний притвор на площа. Натовп бурхливо вітала «переможця» диспуту Луїджі Феррарі. …Так закінчився цю суперечку, який і зараз продовжує викликати дедалі нові суперечки. Кому насправді належить спосіб розв’язання рівняння 3- і ступеня? Ми говоримо зараз — Нікколо Тарталье. Він відразу відкрив, а Кардано виманив це відкриття. І сьогодні ми називаємо формулу, представляє коріння рівняння III ступеня через його коефіцієнти, формулою Кардано, це — історична несправедливість. Проте, несправедливість чи? Як облікувати міру участі у відкритті кожного з математиків? Може бути, згодом хто й зможе відповісти на питання достеменно, і може бути це таємницею …

Формула Кардано.

Якщо скористатися сучасним математичним розумом і сучасної символікою, то висновок формули Кардано може бути знайдений з допомогою наступних найвищою мірою елементарних соображений:

Нехай нам дано загальне рівняння 3-й степени:

ax3+3bx2+3cx+d=0 (1).

Якщо положить.

[pic], ми наведемо рівняння (1) до виду [pic] (2).

где [pic] ,.

[pic] .

Введем нове невідоме U з допомогою равенства.

[pic]. Вносячи цей вислів в (2), получим.

[pic] (3) Отсюда.

[pic], следовательно.

[pic] Якщо чисельник і знаменник другого доданка помножити висловити [pic] й урахувати, получающееся внаслідок вираз для u виявляється симетричним щодо знаків «+» і «-», то остаточно получим.

[pic]. (Твір кубічних радикалів у тому рівність має рівнятися p). Це і знаменита формула Кардано. Якщо вийти з y знову до x, то одержимо формулу, визначальну корінь загального рівняння 3-й степени.

Юнак, так немилосердно обійшлося з Тарталья, знався на математиці так само легко, як й у правах неприхотливой таємниці. Феррарі знаходить спосіб розв’язання рівняння 4-го ступеня. Кардано помістив цей спосіб на свій книжку. Що ж являє собою цей способ?

Нехай [pic] (1) — загальне рівняння 4-го ступеня. Якщо [pic], то рівняння (1) можна навести до виду.

[pic], (2) де p, q, r — деякі коефіцієнти, залежать від a, b, c, d, e. Легко бачити, що це рівняння можна записати у тому виде:

[pic] (3).

У насправді, досить розкрити дужки, всі члени, містять t, взаємно знищується, і ми повернемося до рівнянню (2).

Виберемо параметр t так, щоб права частина рівняння (3) була повним квадратом щодо y. Як відомо, необхідним і достатня умова цього є звернення до нуль дискриминанта з коефіцієнтів трехчлена (щодо y), стоїть справа:

[pic] (4) Отримали повне кубічне рівняння, що його вже можемо вирішити. Знайдемо який або його корінь і внесемо їх у рівняння (3), тепер прийме вид.

[pic].

Отсюда.

[pic]. Це квадратне рівняння. Вирішуючи його, можна знайти корінь уравнения (2), а отже й (1).

За 4 місяці на смерть Кардано закінчив свою автобіографію, якою він напружено писав весь останній рік і який мала підбити підсумки його складної життя. Він відчував наближення смерті. За деякими даними його власний гороскоп пов’язував його смерть з 75- летием. Він помер 21сентября 1576 г. за 2 дні річниці. Є версія, що він покінчив самогубством в очікуванні неминучої смерті і навіть яка має підтвердити гороскоп. У кожному разі Кардано — астролог ставився до гороскопа серьезно.

Зауваження формулу Кардано.

Проаналізуємо формулу на вирішення уравнения[pic] в речовинної області. Отже, [pic] При обчисленні x нам доводиться видобувати на початку квадратний корінь, а потім кубічний. Ми зможемо витягти квадратний корінь, залишаючись в речовинної області, якщо [pic]. Два значення квадратного кореня, відмінних знаком, фігурують у різних доданків для x. Значення кубічного кореня в речовинної області єдино виходить єдиний речовинний корінь x при [pic]. Досліджуючи графік кубічного трехчлена [pic], нетрудно переконатися, що він у насправді має єдиний речовинний корінь при [pic]. При [pic] є три речовинних кореня. При [pic] є дворазовий речовинний корінь і однократний, а при [pic] -триразовий корінь x=0.

Продовжимо дослідження формули при [pic]. Виявляється. А що як при цьому рівняння з цілими коефіцієнтами має целочисленный корінь, при обчисленні його за формулі виникатимуть проміжні ірраціональності. Наприклад, рівняння [pic] має єдиний корінь (речовинний) — x=1. Формула Кардано дає при цьому єдиного речовинного кореня выражение.

[pic]. Значит,.

[pic]. Але будь-яке доказ передбачає використання те, що цей вислів є коренем рівняння [pic]. Якщо ж ми вгадати того, при перетворення виникатимуть невигубні кубічні радикалы.

Проблема Кардано — Тартальи скоро забули. Формулу на вирішення кубічного рівняння пов’язували з «Великим мистецтвом» та поступово стали називати формулою Кардано.

В багатьох виникало бажання відновити справжньої картини подій у ситуації, якщо їх учасники безсумнівно говорили всієї правди. Багатьом було важливо встановити рівень провини Кардано. Наприкінці ХІХ століття частина дискусій стала носити характер серйозних историко-математических досліджень. Математики зрозуміли, яку великій ролі наприкінці XVI століття зіграли роботи Кардано. Стало ясно те, що раніше зазначав Ляйбніц: «Кардано був великим людиною попри всі її недоліках; без них він було б совершенством».