Скалярний добуток векторів, вираз скалярного добутку через координати. 
Кут між векторами (реферат)

Реферат на тему:

Скалярний добуток векторів, вираз скалярного добутку через координати. Кут між векторами.

ПЛАН.

1. Скалярний добуток векторів.

2. Вираз скалярного добутку через координати. Кут між векторами.

1.Скалярний добуток векторів.

Скалярним добутком двох векторів $$\stackrel{}{a}$$ і $$\stackrel{}{b}$$ називається число $$\stackrel{}{a}\stackrel{}{b}$$, що дорівнює добутку довжин цих векторів на косинус кута між ними :

$$\stackrel{}{a}\stackrel{}{b}=|\stackrel{}{a}||\stackrel{}{b}|\text{cos}$$, (1).

де $$=\left(\stackrel{}{a}\widehat{-}\stackrel{}{b}\right)$$ — кут між векторами $$\stackrel{}{a}$$ і $$\stackrel{}{b}$$ .

Якщо хоча б один з векторів $$\stackrel{}{a}$$ чи $$\stackrel{}{b}$$ нульовий, то за означенням $$\stackrel{}{a}\stackrel{}{b}=0$$. Оскільки за формулою $${\text{пр}}_u\left(\stackrel{}{a}\right)={\text{пр}}_u\stackrel{}{a}$$ $$|\stackrel{}{a}|\text{cos}={\text{пр}}_{\stackrel{}{b}}\stackrel{}{a}$$, $$|\stackrel{}{b}|\text{cos}={\text{пр}}_{\stackrel{}{a}}\stackrel{}{b}$$, то з формули (1) маємо.

$$\stackrel{}{a}\stackrel{}{b}=|\stackrel{}{a}|{\text{пр}}_{\stackrel{}{a}}\stackrel{}{b}=|\stackrel{}{b}|{\text{пр}}_{\stackrel{}{b}}\stackrel{}{a}\text{.}$$ $$$$ (2).

Формули (2) виражають геометричний зміст скалярного добутку: скалярний добуток двох векторів дорівнює добутку довжини одного вектора на проекцію на нього другого вектора .

З фізики відомо, що робота $$\stackrel{}{A}$$ сили $$\stackrel{}{F}$$ при переміщенні матеріальної точки з початку в кінець вектора $$\stackrel{}{S}$$, який утворює з вектором $$\stackrel{}{F}$$ кут $$$$, дорівнює $$A=|\stackrel{}{F}||\stackrel{}{S}|\text{cos}$$, або.

$$A=\stackrel{}{F}\stackrel{}{S}$$. (3).

Отже, робота дорівнює скалярному добутку вектора сили на вектор переміщення. В цьому суть механічного змісту скалярного добутку.

У векторному численні величину називають скалярним добутком векторів $$\stackrel{}{a}$$ та $$\stackrel{}{b}$$ тому, що, по-перше, ця величина є скаляр і, по-друге, має деякі алгебраїчні властивості звичайного добутку чисел.

Розглянемо три алгебраїчні властивості скалярного добутку.

1. Комутативна властивість множення :

$$\stackrel{}{a}\stackrel{}{b}=\stackrel{}{b}\stackrel{}{a}\text{.}$$.

• За означенням скалярного добутку і. Оскільки $$|\stackrel{}{a}||\stackrel{}{b}|=|\stackrel{}{b}||\stackrel{}{a}|$$ як добуток чисел і, тому що, то $$\stackrel{}{a}\stackrel{}{b}=\stackrel{}{b}\stackrel{}{a}$$ .

2. Асоціативна властивість відносно множення на число $$$$ :

$$\left(\stackrel{}{a}\right)\stackrel{}{b}=\left(\stackrel{}{a}\stackrel{}{b}\right)$$ .

• формул (2) і $${\text{пр}}_u\left(\stackrel{}{a}\right)={\text{пр}}_u\stackrel{}{a}$$ маємо.

$$\left(\stackrel{}{a}\right)\stackrel{}{b}=|\stackrel{}{b}|{\text{пр}}_{\stackrel{}{b}}\left(\stackrel{}{a}\right)=|\stackrel{}{b}|{\text{пр}}_{\stackrel{}{b}}\stackrel{}{a}=\left(\stackrel{}{a}\stackrel{}{b}\right)$$ .

3. Дистрибутивна властивість відносно додавання векторів :

$$\stackrel{}{a}\left(\stackrel{}{b}+\stackrel{}{c}\right)=\stackrel{}{a}\stackrel{}{b}+\stackrel{}{a}\stackrel{}{c}$$ .

• гідно з формулами (2) і $${\text{пр}}_u\left(\stackrel{}{a}+\stackrel{}{b}+\stackrel{}{c}\right)={\text{пр}}_u\stackrel{}{a}+{\text{пр}}_u\stackrel{}{b}+{\text{пр}}_u\stackrel{}{c}$$ дістанемо.

$$\stackrel{}{a}\left(\stackrel{}{b}+\stackrel{}{c}\right)=|\stackrel{}{a}|{\text{пр}}_{\stackrel{}{a}}\left(\stackrel{}{b}+\stackrel{}{c}\right)=|\stackrel{}{a}|{\text{пр}}_{\stackrel{}{a}}\stackrel{}{b}+|\stackrel{}{a}|{\text{пр}}_{\stackrel{}{a}}\stackrel{}{c}=\stackrel{}{a}\stackrel{}{b}+\stackrel{}{a}\stackrel{}{c}$$ .

Ці три властивості обумовлюють глибоку аналогію між векторною алгеброю і алгеброю чисел. Перша властивість дає змогу міняти місця-ми множники, друга — об'єднувати числові коефіцієнти векторних мно-жників, а третя — розкривати або вводити дужки і виносити за них спі-льні скалярні чи векторні множники. Проте аналогія між скалярним до-бутком векторів і добутком чисел є неповною. Зокрема, не існує скаляр-ного добутку трьох і більшого числа векторіврівність $$\stackrel{}{a}\stackrel{}{b}=0$$ може ви-конуватись і при не нульових множниках, якщо — не можна робити висновок, що з рівності $$\stackrel{}{a}\stackrel{}{b}=\stackrel{}{a}\stackrel{}{c}$$ випливає рівність $$\stackrel{}{b}=\stackrel{}{c}$$ навіть коли $$\stackrel{}{a}/=0$$. Рівність $$$$ $$\stackrel{}{a}\stackrel{}{b}=\stackrel{}{a}\stackrel{}{c}$$ при $$\stackrel{}{a}/=0$$ означає, що і правильна при $$\stackrel{}{b}/=\stackrel{}{c}$$ .

Наведемо геометричні властивості скалярного добутку.

4. Якщо $$\stackrel{}{a}/=0$$ і $$\stackrel{}{b}/=0$$, то $$\stackrel{}{a}\stackrel{}{b}>0$$, коли кут — гострий, і $$\stackrel{}{a}\stackrel{}{b}<0$$, коли кут — тупий.

5. Скалярний добуток двох ненульових векторів дорівнює нулю тоді, коли ці вектори взаємно перпендикулярні.

6. Скалярний квадрат вектора дорівнює квадрату його довжини.

$${\stackrel{}{a}}^2={|\stackrel{}{a}|}^2$$, (4).

звідки.

$$$$ $$|\stackrel{}{a}|=\sqrt{{\stackrel{}{a}}^2}$$. (5).

Властивості 4−6 безпосередньо випливають з формули (1).

2. Вираз скалярного добутку через координати.

Кут між векторами.

Нехай задано два вектори $$\stackrel{}{a}=\left(a_x-a{}_y{a}_z\right)$$ та $$\stackrel{}{b}=\left(b_z-b_y-b_z\right)$$ .Знайдемо їхній скалярний добуток. Використовуючи властивості 1 і 3 скалярного добутку, дістанемо.

$$\begin{array}{c}\stackrel{}{a}\stackrel{}{b}=\left(a_x\stackrel{}{i}+a_y\stackrel{}{j}+a_z\stackrel{}{k}\right)\left(b_x\stackrel{}{i}+b_y\stackrel{}{j}+b_z\stackrel{}{k}\right)=\\ a_x{b}_x{\stackrel{}{i}}^2+a_x{b}_y\stackrel{}{i}\stackrel{}{j}+a_x{b}_z\stackrel{}{i}\stackrel{}{k}+a_y{b}_x\stackrel{}{i}\stackrel{}{j}+a_y{b}_y{\stackrel{}{j}}^2+\\ +a_y{b}_z\stackrel{}{j}\stackrel{}{k}+a_z{b}_x\stackrel{}{k}\stackrel{}{i}+a_z{b}_y\stackrel{}{k}\stackrel{}{j}+a_z{b}_z{\stackrel{}{k}}^2\end{array}$$.

Оскільки $$\stackrel{}{i},\stackrel{}{j},\stackrel{}{k}$$ — попарно ортогональні орти, то $${\stackrel{}{i}}^2={\stackrel{}{j}}^2={\stackrel{}{k}}^2=\mathrm{1,}\stackrel{}{i}\stackrel{}{j}=\stackrel{}{i}\stackrel{}{k}=\stackrel{}{j}\stackrel{}{k}=0$$, тому.

$$\stackrel{}{a}\stackrel{}{b}=a_x{b}_x+a_y{b}_y+a_z{b}_z$$. (6).

Отже, скалярний добуток двох векторів, заданих координатами в прямокутній системі координат, дорівнює сумі добутків їхніх відповідних координат.

Вкажемо на ряд важливих висновків з формули (6).

1. Необхідною і достатньою умовою перпендикулярності векторів $$$$ $$$$ $$\stackrel{}{a}=\left(a_x-a_y-a_z\right)$$ і $$\stackrel{}{b}=\left(b_x-b_y-b_z\right)$$ є рівність.

$$a_x{b}_x+a_y{b}_y+a_z{b}_z=0$$. (7).

2. Довжина вектора $$\stackrel{}{a}=\left(a_x-a_y-a_z\right)$$ визначається формулою.

$$|\stackrel{}{a}|=\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}$$. (8).

Формула (8) випливає з формул (5) і (6).

3. Кут між векторами $$\stackrel{}{a}=\left(a_x-a_y-a_z\right)$$ та $$\stackrel{}{b}=\left(b_x-b_y-b_z\right)$$ визначається рівністю.

$$\text{cos}=\frac{\stackrel{}{a}\stackrel{}{b}}{|\stackrel{}{a}||\stackrel{}{b}|}=\frac{a_x{b}_x+a_y{b}_y+a_z{b}_z}{\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}\sqrt{b_x^2+b_y^2+b_z^2}}$$. (9).

Ця формула є наслідком формул (1), (6), (8).

Література

1. Барковський В. В., Барковська Н. В. Вища математика для економістів. — К., 2002.

2. Бугір М. К. Математика для економістів. — К.: Академія, 1998.

3. Дубовик В. П., Юрик І. І. Вища математика: Навчальний посібник. — К.: А. С. К., 2001.

Контрольні запитання

1. Що називається скалярним добутком ?

2. У чому полягає геометричний та механічний зміст скалярного добутку ?

3. Сформулювати і довести алгебраїчні властивості скалярного добутку.

4. Сформулювати і довести геометричні властивості скалярного добутку.

5. Записати формулу скалярного добутку векторів, заданих координатами в прямокутній системі координат.

6. Записати і довести формулу для знаходження скалярного добутку векторів, якщо відомий кут між векторами.

7. Записати формулу для знаходження довжини вектора.

$$$$.