Дифференциальные рівняння

Дифференциальные уравнения

Основные поняття і определения.

Дифференциальное рівняння називається співвідношення вида.

.

связывающее незалежну зміну x, її ф-цию у, а також похідні цієї функції до н-го порядку включно. тоді як рівнянні 1 входить одна незалежна змінна, то таке диф. кр. називається звичайним, тоді як рівняння 1 входить кілька незалежних змінних, то таке диф. кр. називається рівняння у приватних похідних. Порядком диференціального рівняння називається порядок старшої похідною, що входить у це рівняння.

Решением рівняння 1 називається н-раз диференційована функція y=f (x), яка за підстановці в рівняння 1 звертає їх у тотожність. У найпростішому разі визначення функції y=f (x) зводиться до вирахування інтеграла, тож процес знаходження рішення диф. уравн. називається його інтегруванням, а графік ф-ции y=f (x) називається інтегральної кривою диф. уравн. Т.к. при інтегруванні функції виходить безліч рішень, які один від друга постійним коефіцієнтом, то будь-яке диф. уравн. також мати безліч рішень, графічно визначених сімейством інтегральних кривих. Спільним рішенням (загальним інтегралом) диф. уравн. н-го порядку називається його прийняти рішення явно (неявно) виражене щодо ф-ции у і що містить н-независимых похідних постоянных.

.

Независимость констант СI означає, жодна їх може бути виражена через інші, а отже кількість цих констант може бути зменшено на одиницю.

Частным рішенням інтеграла диф. уравн. н-го понрядка називається таке його прийняти рішення, у якому довільним константам Сi надано конкретні значення. це конкретні значення з рішення системи про початкових условий.

.

В в цій системі праві частини рівності представляють собою деякі константи.

Диф. уравн н-го порядка Диф. уравн. 1-го порядку має вид.

.

Если уравн. 1 дозволити щодо похідною y', то отримують диференціальний рівняння першого порядку дозволене щодо y'.

.

Диф. уравн. 2 можна в так званої диф. формі.

.

P і Q багаточлени залежать від x і в диференціальний рівняння описуване співвідношенням 1,2,3 в частому разі, можуть не залежати від незалежної перемінної x чи його ф-ции у, але обов’язково включають похідну y'.

Диф. уравн. із перемінними.

Диф. кр з розділ перемінними називаються рівняння виду.

.

Где f1 (х) и f2 (х) зависят тільки від x, і f1 (у) и f2 (у), разделим обидві частини рівняння (1) на f1 (у) и f1 (х) получим.

(3).

Уравнения (3) і (3¢) називаються загальними інтегралами вихідного диф. уравнения.

ОДНОРОДНЫЕ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ УРАВНЕНИЯ.

Определение 1. Ф-ция ¦(x, y) наз-ся однорідної функцією н-го порядку щодо змінних x і y, для будь-якого t, відмінного від нуля справедливо тотожність ¦(tx; ty)=t^n ¦(x;y).

ОДНОРОДНАЯ ФУНКЦІЯ НУЛЬОВОГО ПОРЯДКА.

Отношение двох однорідних функцій однакового порядку є однорідна функція нульового порядка.

Определение 2. Диф. рівняння P (x;y)dx + Q (x;y)dy=0 (1) є однорідним рівнянням, якщо функції P (x;y) і Q (x;y) є однорідними функціями однієї й тієї ж порядка.

Разрешим рівняння (1) щодо похідною.

dy/dx=-P (x;y)/Q (x;y).

Производная є однорідної функцією нульового порядка.

Определение 3. Диф. рівняння у¢=¦(x;y) (2) наз-ся однорідним, якщо її права частина ¦(x;y) є однорідної функцією нульового порядку щодо своїх аргументов.

Однородное диф. рівняння наводиться до диф. рівнянням із перемінними підстановкою t=y/x; y=t*x.

При такий підстановці права частина рівняння (2) ¦(tx;ty) = ¦(1/x*x;1/x*y)= ¦(1;y/x) = j (y/x) =j (t).

t=1/x.

y/x=t.

следовательно однорідну функцію ¦(x;y) можна видати за функцію j від аргументу t=y/x.

y¢= t¢*x+t.

t¢*x+t=j (t).

dt/dx*x=j (t)-t.

dt/(j (t)-t)=dx/x.

ò dt/(j (t)-t)=ò dx/x + c.

общее рішення рівняння 2.

ДИФ. РІВНЯННЯ У ПОВНИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛАХ.

Д.У. P (x;y)dx + Q (x;y)dy=0 (1).

наз-ся рівнянням в повних дифференциалах якщо ліва частину акцій цього рівняння є повний диференціал деякою функції U (x;y)/.

Необходимым і достатня умова, того, що рівняння (1) буде рівнянням в повних дифференциалах, виконання равенства.

dP/dy=dQ/dx.

Действительно, якщо ліва частина рівності (1) є повний диф. функції U (x;y), то dU (x;y)=P (x;y)+Q (x;y)dy.

dU (x;y)= dU/dx*dx + dU/dy*dy (3).

dU (x;y)= P (x;y)dx+Q (x;y)dy (4).

Сравнивая рар. 3 і 4.

dU/dx=P (x;y) (5).

dU/dy=Q (x;y) (6).

dP/dy=d^2U/dxdy.

dQ/dx=d^2U/dydx.

Т.к для диф. ф-ции U (x;y) приватна произв. 2-го порядку не залежить від порядку диф., ми дійшли рівності (2). З урахуванням равенства (30 рівність (1) може бути залежно как.

dU (x;y)=0 (7).

U (x;y)=c (8).

Это це і є спільне рішення нашого д.у.

Для відшукання ф-ции U скористаємося ф-лой (5).

dU=P (x;y)dx.

U= ò(x;y)dx+C=òP (x;y)dx + j (y) (9).

Для відшукання ф-ции j (y) продифференцируем рівність (9) по перемінної y.

dU/dy=d/dyòp (x;y)dx+j¢(y).

j¢(y)=Q (x;y) — d/dyòp (x;y)dx (10).

Проинтегрировав ліву праву частина рар. (10) ми одержимо значення ф-ции j (y):

j (y)=ò(Q (x;y)-d/dy*òP (x;y)dx)dy=C (11).

Подставим рівність (11) в (9).

òP (x;y)dx=ò(Q (x;y)-d/dy*òP (x;y)dx)dy +C=C.

òP (x;y)dx+ò(Q (x;y)-d/dy*òP (x;y)dx)dy=C (12).

C=C-C отримуємо рішення диф. уравнения.

Замечание.

В ф-ле (12) знаки приватної похідною і диференціала можна змінити местами.

Ф-цию U можна було висунути зі равенства (6).

Список литературы

Для підготовки даної роботи було використані матеріали із сайту internet.