Алгебраїчні розширення числових полів (реферат)

Реферат на тему:

Алгебраїчні розширення числових полів Скінченні та алгебраїчні розширення числових полів.

1. 1.Поняття алгебраїчного і трансцендентного чисел.

Означення: Число $$$$ називається алгебраїчним відносно числового поля Р, якщо воно є коренем деякого многочлена над полем Р.

Число, яке не є алгебраїчним відносно поля Р, називається трансцендентним відносно поля Р.

Приклад: Будь-яке раціональне число $$$$ алгебраїчне, бо його можна розглядати як корінь многочлена f (x)=x- $$$$ з раціональними коефіцієнтами (бо f ($$$$)= $$$$ — $$$$ =0).

Проте ірраціональні числа теж можуть бути алгебраїчними.

Приклад: числа $$\sqrt{2}$$, $$\sqrt[3]{7}$$ алгебраїчні, бо вони є коренями многочленів x2−2 i x3−7 відповідно над полем Q.

Однак не всі ірраціональні числа алгебраїчні. Числа $$$$, lg2, $$2^{\sqrt{2}}$$ і інші - є трансцендентними.

Нехай $$$$ — корінь незвідного многочлена степеня п над полем Р: f (x)=xn+an-1xn-1+…+a1x+a0. (1).

Такий зведений многочлен f (x) — єдиний незвідний многочлен над полем Р, який має $$$$ своїм коренем, а його степінь п найнижчий серед степенів усіх многочленів з коренем $$$$. Це видно із того, що будь-який інший многочлен g (x) над полем Р, коренем якого є $$$$, (внаслідок незвідності f (x)) ділиться на f (x) і тому має степінь не нижчий за п (взаємно простими f (x) i g (x) бути не можуть, бо внаслідок спільності кореня вони мають спільний множник х- $$$$).

Означення: Зведений многочлен f (x), незвідний у полі Р, який має $$$$ своїм коренем, називається мінімальним многочленом числа $$$$, а його степінь п — степенем алгебраїчного числа $$$$ відносно поля Р.

Приклад:

1. 1.Мінімальним полем, яке містить число 1, є поле раціональних чисел Q, оскільки поле Q належить усім числовим полям, а (з другого боку) ніяке ірраціональне число не може належати всім числовим полям, бо воно не належить числовому полю Q.

2. 2.Мінімальним полем, що містить число $$\sqrt{2}$$, є поле Q ($$\sqrt{2}$$) чисел виду а+b $$\sqrt{2}$$, де a, b — довільні раціональні числа.

Дійсно, ця числова множина утворює поле, яке містить $$\sqrt{2}$$ (при a=0, b=1). З другого боку, кожне інше поле, яке містить $$\sqrt{2}$$, повинно містити і все поле Q ($$\sqrt{2}$$), бо разом із раціональними числами і числом $$\sqrt{2}$$ до нього входять всі числа a+b $$\sqrt{2}$$, що результатами додавання і множення даних чисел.

Нехай Р — деяке числове поле і $$$$ — число, яке не належить цьому полю ($$$$ $$$$ Р). Розглянемо мінімальне поле Р ($$$$), яке містить і поле Р і число $$$$. Р ($$$$) є мінімальним розширенням поля Р, яке містить число $$$$ .

Аналогічно можна розглядати розширення Р ($$$$ 1, $$$$ 2,…, $$$$ k), утворене приєднанням кількох чисел $$$$ 1, $$$$ 2,…, $$$$ k до поля Р, тобто мінімальне поле, яке містить як Р, так і числа $$$$ 1, $$$$ 2,…, $$$$ k: Р{P, $$$$ 1, $$$$ 2,…, $$$$ k}. Розширення, утворене приєднанням одного числа, називається простими.

Приклад: Поле чисел виду a+b $$\sqrt{2}$$ (a, b — раціональні) є простим розширенням поля раціональних чисел, утвореним приєднанням числа $$\sqrt{2}$$ .

Означення: Поле Р ($$$$), утворене приєднанням до поля Р числа $$$$, алгебраїчного відносно поля Р, називається простим алгебраїчним розширенням поля Р.

Будова простого алгебраїчного розширення характеризується теоремою.

Теорема 1. Поле Р ($$$$), утворене з поля Р приєднанням кореня $$$$ многочлена п-го степеня f (x)=xn+an-1xn-1+…+a1x+a0, складається з усіх чисел виду $$$$ =c0+c1 $$$$ +c2 $$$$ 2+…+cn-1 $$$$ n-1 (2), де c0, c1,…, cn-1 — довільні числа з поля Р.

Доведення:

Спочатку доведемо, що всі числа виду (2) утворюють поле. Той факт, що сума і різниця чисел виду (2) є числом такого ж виду — очевидний. Розглянемо добуток і частку. Ясно, що число виду (2) можна розглядати як результат підстановки $$$$ замість х у деякий многочлен q (x) над полем Р не вище п-1 степеня: $$=q()$$ .

Нехай маємо два числа $${}_1=q{}_1()$$, $${}_2=q_2()$$. Тоді добуток $${}_1{}_2=q{}_1()q_2()=q()$$, де q (x) — многочлен, степінь якого вже може перевищувати п-1. Поділимо q (x) на f (x). Маємо: q (x)=f (x)ath xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" >(х) +r (x) (3), де степінь остачі r (x) менший за степінь f (x), тобто не перевищує п-1. Підставивши $$$$ у вираз (3), одержимо q ($$$$)=r ($$$$) (бо f ($$$$)=0), тобто $${}_1{}_2=r()$$, або і добуток чисел $${}_1$$ і $${}_2$$ є числом виду (2), бо r (x) — многочлен степеня <= п-1.

Розглянемо частку. Тут досить показати, що для будь-якого числа $$=q()$$ /= 0 виду (2) $$\frac{1}{}$$ теж буде числом виду (2) (бо при множенні q ($$$$) на якесь t ($$$$) буде многочлен того ж виду). Оскільки f (x) — незвідний у полі Р многочлен, то многочлен q (x) або взаємно простий з f (x), або ділиться на f (x). але другий випадок неможливий, бо q (x) має степінь, менший ніж степінь мінімального многочлена f (x). Тому (f, g)=1.

Отже, існує єдина пара многочленів $${}_1(х)$$ і $${}_2(х)$$ таких, що справджується тотожність f (x)ath xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" >1(х) +q (x)ath xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" >2(х) =1. Підставивши х= $$$$ і врахувавши, що f ($$$$)=0, одержимо q ($$$$)ath xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" >2() =1, тобто $${}_2()=1$$. Отже, $$\frac{1}{}={}_2()$$. Якщо многочлен $${}_2(х)$$ має степінь, менший за п, то твердження доведено. Якщо ж $${}_2(х)$$ має степінь, не менший за п, то ділимо $${}_2(х)$$ на многочлен f (x), тобто $${}_2(х)$$ =f (x)ath xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" >(х) +r (x), звідси $${}_2(х)$$ =r ($$$$)= $$\frac{1}{}$$, і степінь r (x) менший за степінь f (x). Отже, $$\frac{1}{}$$ є числом виду (2).

Отже, числа виду (2) утворюють поле Р1. Доведемо, що Р1=Р ($$$$). Оскільки поле Р1 містить як поле Р, так і число $$$$, то воно містить і Р ($$$$), яке за означенням є мінімальним полем з такими властивостями, тобто Р1 $$$$ Р ($$$$).

З другого боку, будь-яке поле, яке включає $$$$ і поле Р, повинно включати і всі числа виду (2), які утворюються з чисел поля Р і числа $$$$ за допомогою дій множення і додавання. Отже, Р ($$$$) $$$$ Р1. Звідси Р1=Р ($$$$). Теорема доведена.

Наслідок. Якщо $$$$ — корінь многочлена другого степеня над полем Р f (x)=x2+px+q, причому $$$$ $$$$ Р, то просте алгебраїчне розширення Р ($$$$) поля Р, утворене приєднанням числа $$$$, складається з усіх чисел виду a+b $$$$, де a, b — довільні числа з поля Р.

Приклад. Поле Q ($$\sqrt{2}$$) утворене приєднанням до поля Q кореня $$\sqrt{2}$$ незвідного в полі Q многочлена другого степеня f (x)=x2−2. Елементи поля Q ($$\sqrt{2}$$) мають вигляд a+b $$\sqrt{2}$$, де a, b — раціональні числа.

Означення: Якщо корінь $$$$ квадратного тричлена над полем Р не належить полю Р, то просте алгебраїчне розширення Р ($$$$), утворене з поля Р приєднанням до нього числа $$$$, називається квадратичним розширенням поля Р.

Приклад. розглянуте вище поле Q ($$\sqrt{2}$$) є квадратичним розширенням поля Q раціональних чисел, утворене приєднанням кореня многочлена f (x)=x2−2.

3.

Нехай дано дріб $$\frac{p()}{q()}$$, де p (x) i q (x) — многочлени над полем Q, а $$$$ — ірраціональний корінь незвідного многочлена f (x)=xn+an-1xn-1+…+a1x+a0 з раціональними коефіцієнтами (звичайно, q ($$$$)/=0).

Щоб позбутись ірраціональності в знаменнику, треба виконати такі тотожні перетворення. Хід цих перетворень випливає із самого доведення теореми 1.

Якщо degq>=n, то, поділивши q (x) на f (x) з остачею, одержимо рівність q (x)=f (x)s (x)+r (x). Підставимо значення x= $$$$, одержимо q ($$$$)=r ($$$$), а тому $$\frac{p()}{q()}$$ = $$\frac{p()}{r()}$$, де degr<degf. Отже, завжди можна вважати степінь знаменника заданого дробу меншим за п. Але тоді q (x) i f (x) — взаємно прості, адже f (x) — незвідний многочлен.

Нехай тепер $${}_1(х)$$ та $${}_2(х)$$ — такі многочлена над полем Q, що f (x)ath xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" >1(х) +q (x)ath xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" >2(х) =1. (4) Оскільки f ($$$$)=0, то $$\frac{1}{q()}={}_2()$$ і тоді $$\frac{p()}{q()}$$ =р ($$$$)ath xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" >2() (5), тобто ірраціональності в знаменнику немає. Отже, щоб позбутися ірраціональності в знаменнику дробу $$\frac{p()}{q()}$$, де $$$$ — корінь незвідного многочлена f (x), треба здійснити такі дії:

1. 1.Якщо degq>=n, то замінити q ($$$$) числом r ($$$$), де r ($$$$) — остача від ділення q (x) на f (x).

2. 2.Знайти многочлени $${}_1(х)$$ та $${}_2(х)$$, які задовольняють рівність (4).

3. 3.Обчислити $${}_2()$$ і подати дріб $$\frac{p()}{q()}$$ у вигляді (5).

Приклад. $$\frac{\sqrt[3]{2}+4}{2-\sqrt[3]{2}}$$.

f (x)=x3−2 x= $$\sqrt[3]{2}$$.

p (x)=x+4.

q (x)=2-x.

degq<degf.

Знайдемо $${}_1(х)$$ та $${}_2(х)$$, такі що $${}_1(х)$$ (x3−2)+ $${}_2(х)$$ (2-х)=1.

x3−2=(-x+2)(-x2−2x-4)+6.

— x+2=6 $$(-\frac{1}{6}$$ x+ $$\frac{1}{3})$$.

6=(x3−2)+(x2+2x+4)(-x+2).

1= $$\frac{1}{6}$$ (x3−2)+ $$(\frac{1}{6}$$ х2+ $$\frac{1}{3}$$ х+ $$\frac{2}{3})$$ (-x+2).

Зробивши розрахунки, одержимо: $${}_1(х)$$ = $$\frac{1}{6}$$, $${}_2(х)$$ = $$\frac{1}{6}$$ х2+ $$\frac{1}{3}$$ х+ $$\frac{2}{3}$$. Тому $$\frac{\sqrt[3]{2}+4}{2-\sqrt[3]{2}}$$ =($$\sqrt[3]{2}$$ +4) $$\left[\frac{1}{6}{\left(\sqrt[3]{2}\right)}^2+\frac{1}{3}\sqrt[3]{2}+\frac{2}{3}\right]=\sqrt[3]{4}+2\sqrt[3]{2}+3$$ .

4.

Теорема 1 і наведені приклади свідчать про те, що числа $$$$ поля Р ($$$$) мають особливий вид: вони являють собою суму виду $$$$ =с0+с1 $$$$ +с2 $$$$ 2+…+сп-1 $$$$ п-1, де кожний член є добутком елемента ck поля Р на елемент $$$$ k (k=0,1,2,…, n-1) поля Р ($$$$). Тобто можна сказати, що довільний елемент $$$$ поля Р ($$$$), де $$$$ — корінь незвідного в полі Р многочлена степеня п, є лінійною комбінацією елементів 1, $$$$, $$$$ 2,…, $$$$ n-1 з коефіцієнтами з поля Р. Оскільки сума елементів Р ($$$$) і добуток їх на числа з поля Р є знову елементи поля Р ($$$$), то Р ($$$$) можна розглядати як лінійний простір над полям Р.

Покажемо, що сукупність чисел 1, $$$$, $$$$ 2,…, $$$$ n-1 є лінійно незалежною системою елементів відносно поля Р. Дійсно, запишемо рівність: a01+a1 $$$$ +…+an-1 $$$$ n-1=0, де ai $$$$ P. Якщо ця рівність справджується, коли не всі ai дорівнюють 0 (тобто 1, $$$$, $$$$ 2,…, $$$$ n-1 — лінійно залежні), то це означає що $$$$ є коренем деякого многочлена $$(х)$$ =a0+a1x+…+an-1xn-1 з коефіцієнтами з поля Р, степінь якого не первищує п-1. Але це неможливо, бо многочлен f (x) степеня п є мінімальним многочленом числа $$$$ .

Отже, якщо $$$$ — алгебраїчне число п-го степеня відносно поля Р, то елементи $$$$ розширення P ($$$$) є лінійними комбінаціями (з коефіцієнтами з поля Р) елементів лінійно незалежної відносно Р системи 1, $$$$, $$$$ 2,…, $$$$ n-1.

Означення: розширення $$\mathrm{}$$ поля Р називається скінченним, якщо в полі $$\mathrm{}$$ існує така лінійно незалежна відносно поля Р система елементів $$$$ 1, $$$$ 2,…, $$$$ n, що будь-який елемент $$\mathrm{}$$ є лінійною комбінацією цих елементів з коефіцієнтами з поля Р: $$$$ =a1 $$$$ 1+a2 $$$$ 2+…+an $$$$ n.

Система елементів $$$$ 1, $$$$ 2,…, $$$$ n називається базисом поля $$\mathrm{}$$ відносно поля Р.

Базис скінченого розширення можна вибрати не одним способом. Проте всі базиси поля $$\mathrm{}$$ мають те саме число елементів п. Число п називається степенем розширення $$\mathrm{}$$ над полем Р і позначається ($$\mathrm{}$$ :Р). Ясно, що ($$\mathrm{}$$ :Р) є розмірністю лінійного простору $$\mathrm{}$$ над полем Р.

Степінь п скінченого розширення $$\mathrm{}$$ над полем Р дорівнює максимальному числу елементів поля $$\mathrm{}$$, які можуть утворювати лінійно незалежну систему (і навпаки).

Приклад. поле Q ($$\sqrt{2}$$) чисел виду a+b $$\sqrt{2}$$, де a, b — довільні раціональні числа. Є розширенням поля Q степеня 2, бо існує базис поля Q ($$\sqrt{2}$$) відносно поля Q. Який містить два елементи. Наприклад, 1 і $$\sqrt{2}$$, або 1+ $$\sqrt{2}$$ і 1- $$\sqrt{2}$$, або взагалі два числа a1+b1 $$\sqrt{2}$$ i a2+b2 $$\sqrt{2}$$, щоб тільки система цих чисел була лінійно незалежною відносно Q, тобто щоб $$\frac{a_1}{a_2}/=\frac{b_1}{b_2}$$ .

Не кожне розширення поля є скінченим. Наприклад поле R дійсних чисел є розширенням поля Q раціональних чисел. однак це розширення не є скінченим, бо в ньому не існує скінченого базису, через який лінійно виражалося б будь-яке дійсне число.

Розширення $$\mathrm{}$$ першого степеня над полем Р просто збігається з полем Р.

5.

Розширення $$\mathrm{}$$ поля Р, утворене за допомогою кількох послідовно виконаних простих алгебраїчних розширень, називається складним алгебраїчним розширенням поля Р. Позначається Р ($${}_1$$)($${}_2$$)…($${}_k$$). Це означення не слід змішувати із символом Р ($${}_1$$, $${}_2$$ ,…, $${}_k$$), який позначає розширення поля Р, утворене одночасним приєднанням до нього чисел $${}_1$$, $${}_2$$ ,…, $${}_k$$ .

Означення. Розширення $$\mathrm{}$$ поля Р називається алгебраїчним, якщо всі його елементи є алгебраїчними відносно поля Р.

Усі раніше введені типи розширень (просте і складне, скінчене) належать до алгебраїчних. Розширення, які не є алгебраїчними, називаються трансцендентними.

Приклад. поле дійсних чисел R — трансцендентне розширення поля Q раціональних чисел.

З’ясуємо співвідношення між деякими типами розширень.

Теорема 2. Просте алгебраїчне розширення Р ($$$$), утворене з Р приєднанням алгебраїчного (відносно Р) числа $$$$, є скінченим розширенням поля Р. Степінь розширення Р ($$$$) над полем Р дорівнює степеню числа $$$$ відносно Р.

Доведення. Дійсно, в теоремі 1 доведено, що довільне число $$Р()$$ можна подати у виді $$$$ =с0+с1 $$$$ +с2 $$$$ 2+…+сп-1 $$$$ п-1. Крім того, ми вже довели, що елементи 1, $$$$, $$$$ 2,…, $$$$ n-1 є базисом поля Р ($$$$) відносно поля Р. Отже, Р ($$$$) — скінчене розширення числового поля Р степеня п. Теорему доведено.

Як наслідок: степінь будь-якого квадратичного рівняння числового поля дорівнює 2. Наступне твердження наводимо без доведення із-за його громіздкості.

Теорема 3. Складне алгебраїчне розширення поля Р є також скінченим розширенням цього поля.

Теорема 4. Будь-яке скінчене розширення поля є його алгебраїчним розширенням.

Доведення. Нехай Р1 — скінчене розширення п-го степеня поля Р. Отже, будь-які п+1 елементів у полі Р є лінійно залежними відносно Р. Тому, якщо взяти в Р1 довільний елемент $$$$ і за його допомогою скласти п+1 елементів 1, $$$$, $$$$ 2,…, $$$$ n, то ця система елементів є лінійно залежною відносно Р, тобто існують такі ai $$$$ P, з яких не всі дорівнюють 0, що справджується рівність a0+a1 $$$$ +a2 $$$$ 2+…+an-1 $$$$ n-1+an $$$$ n=0. Отже, $$$$ є коренем деякого многочлена f (x)=anxn+…+a1x+a0 з коефіцієнтами з поля Р, тобто є алгебраїчним числом відносно поля Р. Теорему доведено.

Отже, із теорем 2, 3, 4: кожне просте і складне алгебраїчне розширення числового поля Р є алгебраїчним розширенням цього поля.

Теорема 5. Розширення Р ($${}_1$$, $${}_2$$ ,…, $${}_k$$), утворене з Р одночасним приєднанням алгебраїчних відносно Р чисел $${}_1$$, $${}_2$$ ,…, $${}_k$$, збігається із складним алгебраїчним розширенням Р ($${}_1$$)($${}_2$$)…($${}_k$$).

Теорема 6. Будь-яке скінчене розширення поля Р є складним алгебраїчним розширенням цього поля.

Теорема 7. Будь-яке складне алгебраїчне розширення $$\mathrm{}$$ =Р ($${}_1$$)($${}_2$$)…($${}_k$$) поля Р є простим розширенням цього поля, тобто існує таке число $$$$, алгебраїчне відносно Р, що $$\mathrm{}$$ =Р ($$$$).

Отже, як наслідок: скінчене розширення поля Р є не тільки алгебраїчним, але простим алгебраїчним розширенням цього поля.

Розширення Р ($${}_1$$, $${}_2$$ ,…, $${}_k$$) називається алгебраїчно породженим.

Отже, ми розглянули 5 класів розширень числового поля Р:

K1 — прості алгебраїчні розширення.

K2 — складні алгебраїчні розширення.

K3 — скінченні розширення.

K4 — алгебраїчно породжені розширення.

K5 — алгебраїчні розширення.

$$K_1{K}_3$$ (теорема 2).

$$K_2{K}_3$$ (теорема 3).

$$K_3{K}_5$$ (теорема 4).

$$K_2{K}_4$$ (теорема 5).

$$K_3{K}_2$$ (теорема 6).

$$K_2{K}_1$$ (теорема 7).

Зрозуміло, що K2=K3 (теорема 3, теорема 5), K1=K2 (теорема 7 і очевидно $$K_1{K}_2$$, K2=K4 (теорема 5). Отже, K1=K2=K3=K4. Отже, поняття простого, складного алгебраїчного розширень, алгебраїчно породженого розширення і скінченого розширення по суті збігаються. Різні за способом побудови, всі вони являють собою ту саму алгебраїчну структуру.