Лінія на площині та її рівняння

Поняття про лінію та її рівняння

Розглянемо рівність F (х, у)= 0 (1), яка зв’язує змінні величини х та у.

Означення. Рівність F (х, у)= 0 називають рівнянням з двома змінними х та у. Якщо ця рівність виконується не для всіх пар чисел х, у, і тотожністю, якщо вона справедлива для всіх значень х, у.

Наприклад. Рівність х? у = 0 і хІ + уІ= 0 є рівняннями, а рівності х+у — (х+у)=0 та (х+у)І-хІ - 2 ху-уІ=0 — є тотожностями.

Означення. Рівняння F (х, у)= 0 називається рівнянням лінії L, яка задана на площині відносно певної системи координат, якщо це рівняння задовольняють координати х і у точки лінії L і не задовольняють координати х і у жодної точки, яка не лежить на цій лінії.

Коли рівняння (1) є рівнянням лінії L, то кажуть, що це рівняння визначає (або задає) лінію L. Отже, якщо лінія задана рівнянням, то про кожну точку площини можна сказати, чи лежить вона на цій лінії, чи не лежить. Якщо координати точки задовольняють рівняння лінії, то точка лежить на ній, якщо не задовольняють, то не лежить. Лінія, яка задана рівнянням 1.

Відносно певної системи координат у площині, є геометричним місцем точок, координати яких задовольняють задане рівняння.

Змінні х та у в рівнянні (1) лінії L називаються змінними координатами її точок. Якщо вираз F (х, у) в рівнянні (1) є многочленом від змінних х та у, то лінія, що задається цим рівнянням, називається алгебраїчною.

Алгебраїчні лінії розрізняють залежно від їхнього порядку.

Степенем рівняння (1) називається найвищий степінь одночлена, що входить до складу його.

Алгебраїчною лінією n-го порядку називається лінія, що виражається рівнянням n-го степеня.

Порядок алгебраїчної лінії не змінюється при заміні однієї декартової системи на іншу.

Лінія, яка не є алгебраїчною, називається трансцендентною.

Рівняння Ф (с, ц) = 0 називається рівнянням лінії L в полярних координатах, або полярним рівнянням, якщо його задовольняють полярні координати с і ц будь-якої точки лінії L і не задовольняють координати жодної точки, яка не лежить на цій лінії.

Щоб від полярного рівняння лінії перейти до рівняння 1, потрібно полярні координати в рівнянні Ф (с, ц) = 0 виразити через декартові. Тобто, декартові координати точки прямої виражаються через її полярні координати х= с cos ц, у= с sin ц, де с — полярний радіус, а ц — полярний кут. Формули х= с cos ц, у= с sin ц дають змогу знаходити прямокутні декартові координати точки за її полярними координатами. З цих формул маємо:

хІ + уІ= сІcosІ ц + сІsinІ ц= сІ(cosІ ц + sinІ ц)= сІ і отже, с=.

Якщо с?0, то випливають формули для переводу прямокутних декартових координат до її полярних координат:

cos ц=, sin ц=, ц=arctg.

Нехай залежність між змінними х і у виражена через третю змінну t, тобто х=х (t) та у=у (t). Змінна t називається параметром і визначає положення точки з координатами (х, у) на площині.

Якщо t змінюється, то точка на площині переміщується, описуючи деяку лінію L. Такий спосіб задавання ліній називається параметричним, а рівняння х=х (t) та у=у (t) називають параметричними рівняннями лінії L.

Лінію можна задати таким векторним рівнянням Їr=r (t), де t — cкалярний змінний параметр. Кожному значенню tо відповідає цілком визначений вектор ro = r (to) площини.

Векторному параметричному рівнянню r=r (t), в прямокутній системі координат Оху відповідають два скалярні рівняння х=х (t) та у=у (t), тобто проекціям на осі координат векторного рівняння лінії є її параметричні рівняння.

Векторне рівняння та параметричні рівняння лінії мають такий механічний зміст: якщо точка рухається на площині, то вказані рівняння називаються рівняннями руху точки, а лінія L — проекцією точки; параметром t при цьому є час.

Ми виявили, що одну й ту ж саму лінію можна задати різними рівняннями. Отже, вигляд рівняння лінії залежить від вибору системи координат, або, що те саме. Від розміщення лінії відносно системи координат.