Цифровые фільтри

Цифровые фильтры

А. Т. Бизин Сибирская Державна Академія телекомунікацій, і информатики Новосибирск 1998 г.

Цифровая система обробки сигналов

Обработка дискретних сигналів здійснюється, як правило у цифровій формі: кожному отсчёту ставлять у відповідність двоичное кодове словом, і, внаслідок, дії над отсчётами вживають дії над кодовими словами. Таким чином дискретна ланцюг стає цифровий ланцюгом, цифровим фільтром (ЦФ). Переклад отсчётов в двоичные кодові слова відбувається у аналогово-цифровом преобразователе (АЦП). На виході ЦФ (рис. 3.1) здійснюється зворотна операція: кодові слова в цифро-аналоговом преобразователе перетворюються на отсчёты дискретного сигналу і, нарешті, не вдома, синтезуючого фільтра (СФ) формується оброблений аналоговий сигнал.

.

Дискретная і цифрова ланцюга описуються однаковими рівняннями. Відмінність полягає у приближённом характері уявлення отсчётов сигналу кодовими словами кінцевої розмірності (помилки квантування). Тому сигнал не вдома цифровий ланцюга відрізняється від ідеального варіанту в величину похибки квантування.

Цифровая техніка дозволяє їм отримати високу якість обробки сигналів попри помилки квантування: помилки (шуми) квантування можна навести до тями збільшенням розрядності кодових слів. Раціональні способи конструювання цифровий ланцюга також сприяють мінімізації рівня шумів квантування.

Расчёт цифровий ланцюга по заданим вимогам до її характеристикам має низку принципових особливостей залежно від наявності зворотний зв’язок. Ці особливості є наслідком кінцевої довжини імпульсного відгуку нерекурсивного ЦФ.

Поэтому нерекурсивні фільтри містять велика кількість елементів ланцюга, але з тим мають низку важливих достоїнств: нерекурсивні ЦФ завжди стійкі, дозволяють будувати фільтри з мінімальним лінійної фазою, відрізняються простий настроюванням. З урахуванням викладеного стають зрозумілими причини, якими методи розрахунку нерекурсивных ЦФ і рекурсивних цифрових фільтрів прийнято розглядати отдельно.

Расчёт нерекурсивных ЦФ загального вида.

Цель розрахунку нерекурсивных цифрових фільтрів (рис. 3.2,а) залежить від розрахунку значень коэффицентов та його числа N по допускам на системні характеристики, а також у розрахунку розрядності кодових слів і виборі оптимального динамічного діапазону ЦФ за нормами на помехозащищённость сигналу і можливість перевантаження системи, що визначається ефектами кінцевої розрядності кодових слов.

Требования до системним характеристикам частіше задаютс щодо, а такою: імпульсної чи частотною. Тому розрізняють розрахунок ЦФ в тимчасовій області й розрахунок ЦФ в частотною области.

Расчёт ЦФ в тимчасовій области.

Требуемая імпульсна характеристика у випадку має нескінченну довжина у часу. Тому спочатку необхідно задатися кінцевим числом N перших отсчётов необхідної імпульсної характеристики.

.

Оставшиеся отсчёты через їх дрібниці відкидають визначають похибка наближення, що можна оцінити, наприклад, по середньоквадратичному критерію близости.

Коэффициенты фільтра приймаються рівними відповідним отсчётам необхідної імпульсної характеристики. Після розрахунку розрядності коэффицентов, шумів квантування і масштабирующих коэффицентов залишається оцінити похибка реалізованої імпульсної характеристики по відношення до необхідної і ухвалити рішення про необхідності повторного расчёта.

Расчёт ЦФ в частотною области.

Вначале необхідно продовжити необхідну частотну характеристику на діапазон [0,5wд; wд] за правилами комплексно-сопряжённой симетрії (рис. 3.2,б), що визначається речовинним характером імпульсного відгуку. За характеристиками слід визначити N комплексних частотних отсчётов.

,.

где число N вибирається ориентировачно з такою розрахунком, щоб плавним з'єднанням точок і необхідні криві відновилися не мають відчутних искажений.

.

Расчёт коэффицентов фільтра виконується за такою формулою зворотного ДПФ.

(3.1).

Затем необхідно расчитать реалізовані частотні характеристики по формулам, що випливають із висловлювання для передавальної функції фильтра.

, чи . (3.2).

Остаётся порівняти необхідні і реалізовувалися характеристики і ухвалити рішення про необхідності повторного расчёта.

Расчёты по учёту ефектів кінцевої різниці кодових слів залишаються прежними.

Схемы і характеристики фільтрів з лінійної фазой

Нерекурсивный фільтр дозволяє їм отримати четную чи непарну импульсную характеристику як і результат, лінійну ФЧХ чи довільній АЧХ, що з теореми про спектрі парних і непарних сигналів: спектр фаз парних і непарних сигналів є лінійним.

Фильтры з парними імпульсними характеристиками називаються симетричними, з непарними — антисимметричными. Кожен із відзначених типів фільтрів має свої особливості в залежність від парності числа відводів N, що зручно розглянути на конкретних прикладах.

Симметричные фільтри з непарною N.

На рис. 3.3, а приведено схема і імпульсна характеристика симетричного фільтра для випадку N=5. Передатна функція такий цепи:

.

H (Z) = a2 + a1Z-1 + a0Z-2 + a1Z-3 + a2Z-4 = Z-2 [a0 + a1 (Z + Z-1) + a2 (Z2 + Z-2)].

Отсюда, після підстановки Z = e jwT і з урахуванням формули Эйлера.

H (jw) = ej2wT (a0 + 2a1 co wT + 2a2cos 2wT).

следовательно, формули АЧХ і ФЧХ.

H (w) = a0 + 2a1 co wT + 2a2cos 2wT, j (w) = -2wT.

График АЧХ і графіки поясняющие характер АЧХ — co wT, co 2wT — наведено на рис. 3.4, а.

Симметричные фільтри з четным N.

На рис. 3.3, б наведено схема і імпульсна характеристика симетричного фільтра для випадку N=4. Передатна функція фільтра.

H (Z) = a2 + a1Z-1 + a1Z-2 + a2Z-3 = Z-1,5 [a1 (Z0,5 + Z-0,5) + a2 (Z1,5 + Z-1,5)].

Отсюда H (jw) = ej1,5wT (2a1 co 0,5 wT + 2a2cos 1,5wT).

Соответствующие формули АЧХ і ФЧХ.

H (w) = 2a1 co 0,5 wT + 2a2cos 1,5wT, j (w) = -1,5wT.

Характер АЧХ і поясняющие графіки — на рис. 3.4, б.

.

Антисимметричные фільтри з непарною N.

На рис. 3.5, а наведено схема і імпульсна характеристика антисимметричного фільтра для випадку N=5.

.

Передаточная функція фильтра.

H (Z) = a2 + a1Z-1 + 0Z-2 — a1Z-3 — a2Z-4 = Z-2 [a1 (Z — Z-1) + a2 (Z2 — Z-2)].

отсюда H (jw) = ej2wT j (2a1 sin wT + 2a2 sin2wT).

Поэтому формули АЧХ і ФЧХ.

H (w) = 2a1 sin wT + 2a2 sin 2wT, j (w) = -2wT.

Характер АЧХ і поясняющие графіки — на рис. 3.6, f.

Антисимметричные фільтри з четным N.

Схема і імпульсна характеристика для випадку N=4 наведено на рис. 3.5, б. Передатна функция.

H (Z) = a2 + a1Z-1 — a1Z-2 — a2Z-3 = Z-1,5 [a1 (Z0,5 — Z-0,5) + a2 (Z1,5 — Z-1,5)].

Отсюда.

H (jw) = ej1,5wT j (2a1 sin 0,5 wT + 2a2sin 1,5wT).

Формулы АЧХ і ФЧХ.

H (w) = 2a1 sin 0,5 wT + 2a2 sin 1,5wT, j (w) = -1,5wT.

Характер АЧХ і поясняющие графіки — на рис. 3.6, б.

.

Общие властивості фільтрів з лінійної фазой

Анализ розглянутих варіантів фільтрів з лінійної фазою дозволяє робити висновків загального характера.

1. Симетричні фильтры.

H (0) № 0, j (w) = -wT (3.3).

а. Якщо N — парне, то АЧХ — парна функція.

H (w) = а0 + 2 аm co mwT (3.4).

Применяется при умови H (0,5wд) № 0.

б. Якщо N — парне, то АЧХ — непарний функция.

H (w) = 2 аm co [(m — 0,5) wT] (3.5).

Применяется при умови H (0,5wд) = 0.

2. Антисимметричные фільтри.

H (0) = 0, j (w) = -wT (3.6).

а. Якщо N — парне, то АЧХ — непарна функція.

H (w) = 2 аm sin m wT (3.7).

Применяется при умови H (0,5wд) = 0.

б. Якщо N — парне, то АЧХ — парна функция.

H (w) = 2 аm sin [(m — 0,5) wT] (3.8).

Применяется при умови H (0,5wд) № 0.

На рис. 3.7, а, б наведено графіки, поясняющие зазначені вище свойства.

.

Если необхідна передатна функція має у ролі множника мниму одиницю, то застосовуються виключно антисимметричные фільтри. Наприклад, передатна функція дифференциатора чи интегратора.

H (jw) = jw, H (jw) = 1 / jw.

В цьому випадку умови.

Н (0) = 0, чи H (0,5wд) = 0, чи H (0,5wд) № 0.

при необхідності слід відтворити искусственно.

Расчет ЦФ з лінійної фазою. Метод взвешивания.

Расчет фільтрів з лінійної фазою починається з вибору типу фільтра (симетричний, антисимметричный) і парності N відповідно до загальними властивостями фільтрів з лінійної фазою і необхідної АЧХ.

а. Якщо Н (0) № 0, то фільтр симетричний. Отсюда:

N — парне, якщо H (0,5wд) № 0.

N — парне, якщо H (0,5wд) = 0.

б. Якщо Н (0) = 0, то фільтр антисимметричный. Отсюда:

N — парне, якщо H (0,5wд) = 0.

N — парне, якщо H (0,5wд) № 0.

После вибору типу фільтра і парності N необхідно продовжити необхідну АЧХ на діапазон [0,5wд; wд] у відповідність із графіками на Рис. 3.7, а, б. Вибір розрахункової формули для ФЧХ, тобто. (3.3) чи (3.6), визначається типом фильтра.

После виконаних процедур розрахунок фільтра здійснюється за загальними правилами розрахунку не рекурсивних ЦФ.

Пример. Розрахувати ФНЧ з лінійної фазою за такими вихідним данным:

ПП ® [0; 200] гц, перехідна область ® [200; 300] Гц.

Решение Выбираем fд = 800 гц. Звідси після нормування частот W = .

ПП ® [0; 0,25], ПН ® [0,375; 0,5].

Здесь Н (0) № 0, тому фільтр симметричный.

H (0,5wд) = 0, тому N — четное.

Следовательно, необхідну АЧХ необхідно продовжити на діапазон [0,5wд; wд] непарною чином (Рис. 3.8, а).

.

Расчет починається з вибору величини N.

Пусть N = 8. Звідси інтервал між вибірками W1 = = 0,125.

Формула для ФЧХ (3.3): j (w) = -wT. Отсюда.

j (W) = -7pW, чи для частот вибірки j (kW1) = -7pW1,.

Отсчеты АЧХ — по необхідної АЧХ на графіці Рис. 3.8, а.

Следовательно, комплексні частотні отсчеты:

Н (jkW1) = {1e j0; 1ej0,875p; 1ej1,75p; 0; 0; 0; -1ej5,25p; -1ej6,125p }.

Отсюда розрахунок імпульсної характеристики за такою формулою обр. ДПФ.

h (nT) = H (jkW1) e j (2p/N) kn =.

={0,065; -0,165; 0,025; 0,53; 0,53; 0,025; -0,165; 0,065}.

что відповідає схемі фільтра на Рис. 3.8, б Расчетная формула АЧХ подібного типу фільтра — (3.5).

Поэтому Н (W) = 1,06 co pW + 0,05 co 3pW — 0,33 co 5pW + 0,13 co 7pW.

Результаты розрахунку реалізованої АЧХ наведено на графіці Рис. 3.8, а (штриховая линия).

В околиці точок розриву необхідної АЧХ (у цьому прикладі це частоти 0,25 і 0,75) відхилення від норми реалізованих характеристик виходить значним внаслідок впливу ефекту Гіббса. Послабити вплив ефекту Гіббса вдається запровадженням ваговій функції (метод зважування) до імпульсної характеристиці.

Новая імпульсна характеристика формується по правилу:

h «(nT) = W (nt) * h (nT).

Где W (nT) — вагова функція чи «сглаживающее вікно » .

Находят застосування різні типи вікон, наприклад «вікно «Хэмминга:

W (nT) = 0,54 + 0,46 co [2p ], (3.9).

где n = 0, 1, 2, … (N — 1).

Для аналізованого примера.

W (nT) = {0,08; 0,244; 0,64; 0,96; 0,96; 0,64; 0,244; 0,08}.

h «(nT) = {0,005; -0,04; 0,016; 0,51; 0,51; 0,016; -0,04; 0,005}.

Отсюда нові коефіцієнти фільтра і нове передатна функция.

H «(Z) = 0,005 — 0,04Z-1 + 0,016Z-2 + 0,51Z-3 + 0,51Z-4 + 0,016Z-5 — 0,04Z-6 +.

+ 0,005Z-7.

График АЧХ з урахуванням сглаживающего вікна наведено на Рис. 3.9. Розрахункова функція отримана з формули для М «(Z) після підстановки.

Z = ejwT = ej2pW.

Сравнивая реалізовані АЧХ на Рис. 3.8, чи Рис. 3.9, можна переконатися у поліпшенні якості апроксимації необхідної АЧХ під час введення «вікна » .

С зростанням N позитивний ефект від участі застосування «сглаживающего вікна «возрастает.

.

В розглянутий прикладі норми на відхилення реалізованої АЧХ від необхідної не задано. Якщо такі норми вони не виконуються, то… (рядок ксерокопії не влезла).

Метод частотною выборки

Коэффициенты не рекурсивного ЦФ (Рис. 3.2, а) відповідають отсчетам імпульсної характеристики. Схему не рекурсивного ЦФ можна перетворити в такий спосіб, щоб коефіцієнти фільтра відповідали отсчетам інший системної характеристики — передавальної функції. Нова схема ЦФ є основою конструювання фільтрів методом частотною вибірки.

Схема фильтра.

Схема фільтра формується за результатами еквівалентних перетворень передавальної функції не рекурсивного ЦФ.

H (Z) = an Z-n.

где в відповідність до формулою зворотного ДПФ.

an = h (nT) = H (jkw1) ej (2p/N)kn.

следовательно Н (Z) = H (jkw1) ej (2p/N)kn Z-n = (ej (2p/N)kn Z-1)n.

Применяя тут формулу суми N перших членів геометричній прогрессии.

.

получаем.

H (Z) = = P (Z) (3.10).

где.

P (Z) = 1 — dZ-N, Fk (Z) = 1 / (1 — bkZ-1), d = ej2pk, bk = e j2pk/N (3.11).

.

Схема фільтра, відповідного (3.10), приведено на Рис. 3.10, а. Схеми ланок фільтра, відповідних (3.11), наведено на Рис. 3.10, б.

Схема фільтра на рис. 3.10 діє з урахуванням поправок, обумовлених особливостями розташування нулів і полюсів передавальної функции.

Нули і полюси H (Z) (3.10), тобто. коріння уравнений.

1- ej2pk Z-N = 0, 1 — e j2pk/N Z-1 = 0.

Расположены на одиничної окружності площині Z в точках.

Zk = e j2pk/N.

и взаємно компенсується. Але компенсація виходить неповної через кінцевої розрядності кодових слів, що зумовлює стрибків частотною характеристики фільтра і більше, не виключена можливість самозбудження ланцюга. Тому рекомендується зміщувати точки Zk всередину одиничного кола на малу величину, т. е.

Zk = eaT/N e j2pk/N, де aТ < 10−5.

что відповідає коефіцієнтам фільтра.

d = e-aT e j2pk, bk = e-aT e j2pk/N (3.12).

Небольшая поправка коефіцієнтів фільтра (3.12) мало позначиться на характеристиках фильтра.

Частотная характеристика фильтра

Частотная характеристика фільтра методом частотною вибірки виходить підстановкою.

Z = ejwT, .

в (3.10). Звідси, з урахуванням формули Эйлера,.

H (jw)= .

следовательно.

(3.13).

что відповідає низці Котельникова для спектрів дискретних сигналів. Таким чином, частотну характеристику не рекурсивного ЦФ можна подати як в формі низки Фур'є, і у формі низки Котельникова.

Каждая з отсчетных функцій в (3.13).

(3.14).

на частоті w = kw1 приймає значення частотною вибірки H (jkw1); інші отсчетные функції в цій частоті звертаються до нуль. На графіці Рис. 3.11 показано як приклад деяка АЧХ і його складові - равносмещенные отсчетные функції для випадку N=8, де отсчетные функції представлені головним пелюстком, крім модуля отсчетной функції при К=0, яка зображено повністю.

.

С урахуванням вищевикладеного стає зрозуміло, що регулювання частотних отсчетов фільтра методом частотною вибірки є взаимонезависимой подібно взаимонезависимой регулюванню отсчетов імпульсної характеристики не рекурсивного ЦФ за схемою на Рис. 3.2, а.

Расчет фільтра починається з орієнтовного вибору величини N. Коефіцієнти фільтра дорівнюють відповідним отсчетам необхідної частотною характеристики. Особливий випадок має місце у точках розриву характеристики: отсчеты, які працюють у околиці точок розриву, тобто. у перехідній області, необхідно вибирати з такою розрахунком, щоб отримати задовільний наближення реалізованої характеристики до необхідної буде в діапазоні частот, що прилягає до перехідною області. Найчастіше в перехідну область потрапляє 1 чи 2 отсчетных частоти. І тут задовільний результат апроксимації можна було одержати простим добором модуля отсчетов у перехідній області.

После перевірочного розрахунку частотних характеристик за такою формулою 3.10 чи 3.13 приймають рішення необхідність повторного розрахунку.

Схема фільтра з речовими отводами

Реализация фільтрів за схемою на Рис. 3.10, а пов’язані з деякими особливостями, обумовленими комплексним характером коефіцієнтів в відводах. Тому на згадуваній практиці поширився іще одна варіант схеми такого фільтра, що б речовинним характером коефіцієнтів.

Фильтр з речовими коефіцієнтами виходить з допомогою об'єднання кожної пари відводів з індексами До і (N-K), що є комплексно-сопряженной через комплексно-сопряженной симетрії частотних характеристик фільтра щодо частоти 0,5wд. У результате.

.

.

.

(3.15).

где a0k = co jk, a1k = -bk co (jk — qk), b1k = -2bk co qk, b2k = b2k.

Схема речовинного відводу, відповідного (3.15), приведено на Рис. 3.12.

.

Завершая обговорення фільтра з частотною вибіркою треба сказати ще одну важливу якість таких фільтрів: у схемі відсутні ланки, відповідні нульовим значенням необхідної АЧХ. Через війну, наприклад, схема частотно-селективного фільтра істотно спрощується, зберігаючи у своїй можливість отримання лінійної фази.

Расчет рекурсивних фільтрів. Метод билинейного преобразования.

Методы розрахунку рекурсивних ЦФ можна розділити на прямі й опосередковані. Прямі методи припускають розрахунок безпосередньо рекурсивного ЦФ, непрямі використав ролі проміжний етап розрахунок аналогового фільтра (АФ).

К числу непрямих методів належить метод билинейного перетворення, заснований на такому перетворення частот, у якому частотна вісь стискається до кінцевих розмірів. Формула частотного преобразования.

чи .

где w — реальна частота, тобто. частота проектованого ЦФ, — розрахункова частота, тобто. частота допоміжного АФ, , — відповідні комплексні частоты.

На рис. 3.13, а наведено графік залежності розрахункової частоти від реальної частоти, на Рис. 3.13, б — приклад відповідності кривих АЧХ фільтрів АФ і ЦФ.

.

Связь комплексних змінних допоміжного АФ і реального ЦФ, тобто. і Z визначається равенством.

(3.17).

Формула (3.17) виходить підстановкою в (3.16) Z = epT. У результате.

.

Перечислим послідовність етапів розрахунку ЦФ методом билинейного преобразования.

1. Перевести необхідні характеристики і норми ЦФ на відповідні вимоги до АФ, застосовуючи формулу.

.

2. Розрахувати передатну функцію АФ , при застосуванні методів розрахунку аналогових фильтров.

3. Визначити передатну функцію ЦФ H (Z) відомою .

4. Побудувати схему ЦФ по H (Z).

5. Виконати необхідні розрахунки з обліку ефектів кінцевої розрядності.

Пример. Розрахувати рекурсивний ЦФ нижніх частот методом билинейного перетворення по наступним вихідним данным:

ПП ® [0; 200] гц, перех. область ® [200; 300] гц, DА = 3 дБ, Аmin = 15 дБ.

Решение Выбираем fд = 800 Гц.

Контрольные частоти для перекладу норм ЦФ в норми АФ: 0; 200 гц; 300 Гц.

Расчетная формула для перетворення частот.

.

В результаті.

f = 0 ® ® Wн = 0.

f = 200 гц ® 1600 ® Wн = 1.

f = 300 гц ® 3840 ® Wн = 2,4.

где Wн =  — нормована частота ФНЧ,.

= 1600 — частота зрізу ФНЧ.

Основная формула розрахунку АФ.

.

В тому випадку досить обмежитися аппроксимирующим полиномом Баттерворта другого порядку. Тому, враховуючи що Е=1 для DА = 3 дБ, отримуємо.

.

следовательно .

Отсюда полюси Н (рн): рн 1,2 = -0,707 ± j 0,707,.

что відповідає унормованого передавальної функции.

.

Подставляя тут.

,.

получаем денормированную передатну функцію АФ.

.

После підстановки тут (3.17), отримуємо передатну функцію рекурсивного ЦФ.

.

Что відповідає схемою рекурсивного ЦФ, наведеної на Рис. 3.14, а.

.

Уместно нагадати, що схему ланцюга по дробової передавальної функції від Z зручно будувати в 2 етапу: спочатку будується не рекурсивна частина, відповідна чисельника Н (Z), потім каскадно із нею — рекурсивна частина, відповідна дробу, в чисельнику якої - одиниця.

График реалізованої АЧХ наведено на рис. 3.14, б.

Нелинейная залежність частотного перетворення (3.16) визначає як недоліки, і гідності методу билинейного перетворення. Недолік у цьому, що похилі ділянки частотною характеристики змінюють свій нахил то більше вписувалося, що стоїть частота. Тому, наприклад, лінійна фаза після перетворення (3.16) стає нелінійної. Гідність визначається відсутністю помилок накладення під час переходу АФ ® ЦФ, що дозволяє їм отримати рівні ослаблення в ПН при конструюванні частотно-селективных фільтрів.