Задача за власні значення для вырождающегося рівняння змішаного типу

Задача за власні значення для вырождающегося рівняння змішаного типа

Сабитов К.Б., Бибакова С.Л.

1. Постановка завдання. Розглянемо уравнение:

(1).

где l — комплексний параметр, в області D, обмежений при кривою з кінцями в точках B (1, 0) і K (0, ¼), що у першому квадраті, відрізком AK осі OY, де A=(0, 0), і характеристиками AC () і CB () рівняння (1) при .

Пусть .

Задача Tl. Знайти значення параметра відповідні їм функції , задовольняють условиям:

(2).

(3).

(4).

(5).

где при при .

Выбор значення k таким пояснюється лише тим, що з рівняння (1) при доведені теореми існування й одиничності виконання завдання Трикоми [1].

Спектральные завдання для оператора Лаврентьева-Бицадзе було розглянуто на роботах [2−4].

В роботах [5−8] вивчені спектральні завдання для рівняння (1) з умовами Дирихле. У [5] для рівняння (1) у сфері эллиптичности побудовано рішення першої крайової завдання й змішаної крайової завдання з допомогою биортогональных рядів. Діяльність [6] рівняння (1) розглядалося в D, де подобласть D+ обмежена відрізком NB осі y=0, N=(-1, 0), і дугою NB: а роботах [7−8] рівняння (1) вивчалося в D при .

В цій роботі знайдено вочевидь власні значення й відповідні власні функції, які від результатів [6].

2. Побудова приватних рішень у сфері эллиптичности. У сфері D+ час торкнутися новим змінним , У координатах рівняння (1) прийме вид:

.

где .

Разделяя перемінні получим:

(6).

(7).

(8).

(9).

Известно [1], що рішенням рівняння (6) є функція Бесселя.

(10).

Удовлетворяя (10) крайовим умовам (7) і (8), имеем:

(11).

Теперь побудуємо рішення для рівняння (8). І тому в (8) введемо нову зміну Тоді воно прийме вид:

(12).

Уравнение (12) є гипергеометрическим рівнянням [9, з. 69], і те що a перестав бути цілим числом, то спільне рішення рівняння (8) визначається по формуле.

(13).

Функция (13) задовольняє першому граничному умові з (9). Задовольнимо (13) другому крайовому умові з (9).

(14).

На підставі рівностей [10, з. 112].

.

имеем рівняння перебування невідомого :

(15).

В з відомих формул.

.

имеем:

.

.

.

де .

Тогда з огляду на те, що і рівність (15) прийме вид:

(16).

Таким чином, у сфері D+ знайдено приватні рішення рівняння (1), задовольняють крайовому умові (3):

(17).

3. Побудова приватних рішень у сфері гиперболичности. У рівняння (1) у сфері Dзробимо заміну змінних Тоді, у координатах рівняння (1) прийме вид:

.

Разделив перемінні получим:

(18).

(19).

(20).

(21).

Решением рівняння (18), задовольняючого умовам (19), є функция.

(22).

Уравнение (20) як і, як і рівняння (12), є гипергеометрическим рівнянням з аргументом . Переходячи до аргументу , побудуємо його загальне решение:

(23).

Если то функція (23) задовольняє граничним умовам (21). Тоді рішенням рівняння (20), задовольняючого умовам (21), будет:

.

Таким чином, у сфері Dзнайдено приватні рішення рівняння (1), задовольняють граничному умові (4):

(24).

4. Побудова власних функцій завдання Tl. Для перебування власних значень і власних функцій завдання Tl, побудовану систему функцій (17) і (24) задовольнимо умовам склеювання (2) і (5).

Из (17) і (24) вычислим:

.

.

.

.

Приравнивая функции.

.

получим систему.

.

из якої знаходимо коефіцієнти і :

(25).

Найденные значення , підставимо в рівність (16) і вирішимо його щодо g. Зажадаємо, щоб , . Тоді получим:

(27).

Поскольку , то рівняння (27) має місце, якщо .

Рассмотрим окремо випадки і .

При рівняння (27) має шляхів владнання чи , де . З урахуванням те, що і , рішенням (27) будет.

.

При , рішенням (27) є чи , де . З урахуванням ж умов получим:

.

По формулам (25) і (26) знаходимо і при знайдених :

.

где.

.

Из теорії бесселевых функцій відомо [10], що з функція має сенс тільки речові нулі. Тоді, позначаючи через —m-ый корінь рівняння (11), знаходимо власні значення завдання Tl:

.

Таким чином, побудовано систему власних функцій завдання Tl:

.

Список литературы

Смирнов М.М. Рівняння змішаного типу. М., 1985.

Пономарев С. М. Спектральна теорія основний крайової завдання для рівняння змішаного типу Лавретьева-Бицадзе. Автореферат дисертації … д-ра ф.-м. наук. М.: МДУ, 1981.

Моисеев Є.І. Рівняння змішаного типу зі спектральним параметром. М.: МДУ, 1998.

Сабитов К.Б., Тихомиров В. В. Про побудові власних значень та зняття функцій однієї газодинамічної завдання Франкеля // Математичного моделювання. 1990. Т. 2. № 10. З. 100−109.

Моисеев Є.І. про рішення вырождающихся рівнянь з допомогою биортогональных рядів // Дифференц. рівняння. 1991. Т. 27. № 1. З. 94−103.

Мамедов Я. Н. Про патентування деяких завданнях за власні значення для рівняння змішаного типу // Дифференц. рівняння. 1990. Т. 26. № 1. З. 163−168.

Сабитов К.Б., Вагапов В. З. Про побудові приватних рішень вырождающихся рівнянь змішаного типу // Комплексний аналіз, дифференц. рівняння і суміжні питання: Тр. Международ. наук. цук. Уфа, 1996. З. 99−106.

Вагапов В.З. побудова приватних рішень одного рівняння змішаного типу // Тр. Всеросс. наук. цук. «Фізика конденсованого стану». Стерлитамак, 1997. Т. 1. З. 26−30.

Бейтмен Р., Эрдейи А. Вищі трансцендентні функції. М.: Наука, 1973.

Ватсон Г. Н. Теорія бесселевых функцій. 1. М., 1949.

Для підготовки даної праці були використані матеріали із російського сайту internet.