Основні поняття та закони термодинаміки

1. ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ ТА ЗАКОНИ ТЕРМОДИНАМІКИ

термодинамічний ізобарний політропний процес Поступова зміна стану тіла, що відбувається в результаті його взаємодії з навколишнім середовищем, називається термодинамічним процесом.

Рівноважні стани () і рівноважний процес () можна зобразити у вигляді діаграм (рис. 1.1, а).

Круговим процесом або циклом називається процес, в результаті здійснення якого тіло повертається у початковий стан (рис. 1.1, б).

Рис. 1.1. Діаграми термодинамічних процесів.

Термічні параметри стану. Якщо тиск робочого тіла більший за атмосферний, тоді використовують манометр, який фіксує надлишковий тиск (рис. 1.2).

Рис. 1.2. Схема до розрахунку абсолютного тиску

(1.1)

Якщо тиск в посудині менший за барометричний, тоді застосовують прилад — вакуумметр, який фіксує розрідження, або вакуумметричний тиск, тобто показує, наскільки тиск в посудині менший за атмосферний

. (1.2)

(1.3)

Абсолютна температура вимірюється за шкалою Кельвіна:

. (1.4)

де — температура за шкалою Цельсія.

Питомий об'єм,, м³/кг — об'єм, що займає одиниця маси речовини:

(1.5),

де — маса речовини, кг; - об'єм, який вона займає, м³.

Термодинамічне рівняння стану. Для 1 кіломоля ідеального газу рівняння стану має вигляд рівняння Клапейрона-Менделеєва:

(1.6)

де — абсолютний тиск, Па; - об'єм 1 кіломоля газу,; - універсальна газова стала; - абсолютна температура, К.

Значення вираховується для нормальних умов:

. (1.6):

. (1.7)

Для 1 кг ідеального газу:

(1.8)

де — питомий об'єм газу; - питома газова стала,; - маса 1 кіломоля, .

Помноживши (1.8) на масу газу, одержимо рівняння стану для довільної кількості речовини:

. (1.9)

де — об'єм маси газу, .

Для проведення термодинамічних розрахунків систем з газовими сумішами чи розчинами необхідно знати їхній склад. Склад суміші може бути заданий:

масовими частками, де;; і - маси компонента і суміші;

мольними частками, де;; і - число кіломолів компонента і суміші;

об'ємними частками, де (закон Амага);; і - об'єми компонента (приведений об'єм) і суміші при однакових тиску і температурі;

Оскільки згідно закону Авагадро мольні об'єми всіх компонентів суміші газів рівні, то, а. Тоді .

Склад суміші ідеальних газів може бути також заданий парціальними тисками р_i. Парціальний тиск р_i — це тиск i-го компонента газової суміші за умови, що він займає весь об'єм, призначений для суміші, при температурі суміші.

Закон Дальтона. Сума парціальних тисків окремих газів, що входять у суміш, дорівнює повному тиску суміші тобто:

. (1.10)

Таким чином, кожен газ у посудині займає весь об'єм при температурі суміші, знаходячись під власним парціальним тиском.

Рівняння стану для i-го компонента газової суміші:

. (1.11)

Рівняння стану для суміші ідеальних газів має вигляд:

. (1.12)

— газова стала суміші; - маса 1 кіломоля суміші, .

. (1.13)

Термічні параметри стану. Внутрішня енергія, Дж, — це енергія, яка складається з кінетичної енергії хаотичного руху молекул і потенціальної енергії взаємодії молекул. Питома внутрішня енергія вимірюється в Дж/кг:

. (1.14)

Зміна внутрішньої енергії в будь-якому процесі:

(1.15)

Для замкненого (кругового) процесу зміна внутрішньої енергії:

. (1.16)

Енергія газу, що знаходиться у зовнішньому середовищі з тиском і займає об'єм, складається з внутрішньої енергії і потенціальної енергії тиску і називається ентальпією газу в даному стані:

. (1.17)

Розглянемо повну енергію газу під поршнем з вантажем G (рис. 1.3).

Рис. 1.3. Схема до визначення ентальпії.

Ентальпія газу в посудині під поршнем:

. (1.18)

Потенціальна енергія тиску:

. (1.19)

Зміна ентальпії не залежить від характеру процесу, а залежить лише від початкового і кінцевого станів:

. (1.20)

Ентропія — параметр стану, диференціал якого дорівнює відношенню нескінченно малої кількості тепла в елементарному оборотному процесі до абсолютної температури, яка на малій ділянці процесу є постійною величиною:

;. (1.21)

Зміна ентропії в будь-якому процесі:

. (1.22)

Всі ці параметри мають властивість адитивності.

Термодинамічний процес і його енергетичні характеристики. Енергетичними характеристиками термодинамічного процесу є робота () і теплота .

Елементарна питома робота проти зовнішніх сил:

. (1.23)

. (1.24)

Для кінцевого процесу (рис. 1.4):

Рис. 1.4. Схема до обчислення роботи в термодинамічному процесі.

Елементарна питома теплота:

. (1.25)

Для кінцевого процесу кількість тепла, віднесеного до 1 кг речовини (рис. 1.5):

. (1.26)

Рис. 1.5. діаграма термодинамічного процесу.

Теплоємність — відношення теплоти, яка підводиться або відводиться у процесі до відповідної зміни температури тіла:

.

Істинна теплоємність:. (1.27)

Розрізняють теплоємності: масову, кДж/(кгК), віднесену до 1 кг робочого тіла; об'ємну, кДж/(м³К), віднесену до 1 м³ при нормальних умовах;, кДж/(кмольК), віднесену до 1 кмоля речовини. Зв’язок між цими теплоємностями такий:

;. (1.28)

Для ідеальних газів зв’язок між ізобарною і ізохорною теплоємностями встановлює закон Майєра:

. (1.29)

Для мольних теплоємностей:

кДж/(кмольК). (1.30)

Відношення ізобарної і ізохорної теплоємностей називається показником адіабати:

. (1.31)

Теплоємність залежить від температури (рис. 1.6):

(1.32)

Рис. 1.6. Залежність теплоємності від температури.

Для практичних розрахунків приймають:

. (1.33)

Виходячи з поняття істинної теплоємності, кількість питомої теплоти в процесі:

. (1.34)

Ця ж кількість питомої теплоти, виражена через середню теплоємність:

. (1.35)

Тоді середня теплоємність

. (.1.36)

Здійснимо перетворення

. (1.37)

Проте:

;. (1.38)

Тоді остаточно:

. (1.39)

Кількість теплоти в процесі для маси m, кг, чи об'єму V, м³, речовини:

. (1.40)

Теплоємність газової суміші:

масова ;

об'ємна ;

мольна. (1.41)

Значення мольних теплоємностей у відповідності з класичною молекулярно-кінетичною теорією, у припущенні, що вони не залежать від температури, наведені в табл.1.1.

Таблиця 1.1

Значення ізобарної, їзохорної теплоємностей та показника адіабати

Перший закон термодинаміки. В термодинамічному процесі кількість теплоти Q, яка підведена до системи, витрачається на зміну внутрішньої енергії U і на виконання зовнішньої роботи L:

Q=U + L. (1.42)

Для 1 кг речовини:

. (1.43)

. (1.44)

Рівняння першого закону термодинаміки можна представити у вигляді схеми енергобалансу в термодинамічному процесі (рис. 1.7).

Рис. 1.7. Схема енергобалансу в термодинамічному процесі.

Для кругового процесу 1-й закон:

. (1.45)

Перша форма запису 1-го закону:

або. (1.46)

Проведемо перетворення:

; (1.47)

; (1.48)

. (1.49)

Підставивши значення в рівняння першої форми, отримаємо другу форму запису 1-го закону:

або. (1.50)

Якщо об'єднати першу, другу форми запису і рівняння, знайдемо основне рівняння термодинаміки або термодинамічна тотожність:

. (1.51)

Для необоротних процесів:

або. (1.52)

Другий закон термодинаміки. Перетворення теплоти в роботу без компенсації (наприклад, розширення робочого тіла в розімкненому процесі або переходу тепла від менш нагрітого до більш нагрітого) неможливе.

Для отримання роботи з теплоти потрібне періодичне повторення процесу розширення 1 m 2 (рис. 1.8,а), тобто повернення робочого тіла в початковий стан в процесі стикання 2 n 1 з витратою деякої роботи. Якщо робота розширення більше роботи стискання, то в результаті обох процесів отримується корисна робота. Процес розширення робочого тіла з підведенням теплоти буде супроводжуватися збільшенням ентропії, а процес повернення в початковий стан за годинниковою стрілкою — зменшенням ентропії, тобто відведенням теплоти. Лише частина теплоти витрачається корисно і використовується для отримання роботи .

Рис. 1.8. Діаграма кругового процесу теплового двигуна

Відношення теплоти, перетвореної в роботу, до теплоти, підведеної до робочого тіла, називається термічним коефіцієнтом корисної дії:

. (1.53)

Для необоротних процесів частина роботи перетворюється на теплоту тертя і зміна ентропії дорівнює:

(принцип зростання ентропії). (1.54)

Отже, для будь-якого процесу:

або. (1.55)

В адіабатній ізольованій системі:

. (1.56)

Якщо в системі є два тіла з різними температурами, то елемнетарна зміна ентропії першого тіла складе, другого, а системи двох тіл:

. (1.57)

2. ТЕРМОДИНАМІЧНІ ПОЛІТРОПНІ ПРОЦЕСИ З ІДЕАЛЬНИМИ ГАЗАМИ

Задачі аналізу і загальні аналітичні залежності. Задачами аналізу є встановлення закономірностей зміни параметрів стану робочого тіла і виявлення особливостей перетворення енергії.

Врвховуючи, що в ізохорному процесі і робота, вираз першого закону термодинаміки набуває вигляду:

. (2.1)

Кількість теплоти можна виразити через середню теплоємність:

. (2.2)

З (2.1) і (2.2) випливає:

або в диференціальній формі. (2.3)

З виразу першого закону термодинаміки для ізобарного процесу випливає:

або. (2.4)

Кількість теплоти, виражена через середню теплоємність:

або в диференціальній формі. (2.5)

Тоді:

або. (2.6)

В диференціальній формі:

. (2.7)

Для розрахунку зміни питомої ентропії в політропному процесі використовуємо об'єднаний вираз 1-го і 2-го законів термодинаміки для оборотних процесів:

або. (2.8)

або. (2.9)

Замінивши в цих виразах і, і враховуючи, що; , отримаємо:

; (2.10)

. (2.11)

Після інтегрування для кінцевого процесу 1−2 маємо:

. (2.12)

. (2.13)

Ізохорний процес (). Процес може протікати з підвищенням () або зниженням () тиску (рис. 2.1).

Рис. 2.1. Графіки ізохорного процесу.

З рівняння стану ідеального газу випливає закон Шарля:

;;. (2.14)

Оскільки, то з рівняння 1-го закону термодинаміки випливає, що:

. (2.15)

Зміна ентропії, згідно з (2.12) при :

. або, згідно з (2.14),. (2.16)

Оскільки, то доля теплоти, яка йде на зміну внутрішньої енергії:

. (2.17)

Оскільки, то робота в цьому процесі дорівнює нулю: .

Таким чином, підведена до газу в ізохорному процесі теплота цілком йде на збільшення його внутрішньої енергії.

Ізобарний процес (). З рівняння стану ідеального газу при (рис. 2.2) випливає закон Гей-Люссака:

;;. (2.18)

Рис. 2.2. Графіки ізобарного процесу.

Робота в процесі:

. (2.19)

Оскільки для ідеального газу, то:

. (2.20)

Отже, питома газова стала R — це робота, яка виконується 1 кг газу в процесі p=const при його нагріванні на один градус. Розмірність R: Дж/кгК.

Кількість теплоти в цьому випадку, при, згідно другої форми запису рівняння першого закону :

. (2.21)

Таким чином, уся теплота, підведена до газу в ізобарному процесі, витрачається на збільшення його ентальпії.

Ця теплота для ідеальго газу дорівнює:

. (2.22)

Зміна ентропії, згідно з (2.13) при :

або, згідно з (2.18). (2.23)

Оскільки, то ізобара в координатах більш полога логарифмічна крива, ніж ізохора.

Коефіцієнт розподілу теплоти в процесі дорівнює:

. (2.24)

Ізотермний процес (). З рівняння стану ідеального газу при (рис. 2.3) витікає закон Бойля-Маріотта:

;;; (2.25)

Рис. 2.3. Графіки ізотермного процесу.

Зміна внутрішньої енергії і ентальпії і, оскільки. Отже, вся теплота, яка підводиться, витрачається на роботу:

. (2.26)

Теплота, необхідна для здійснення процесу:

. (2.27)

З виразів (2.26), (2.27) і (2.25) отримаємо:

. (2.28)

Доля теплоти, яка витрачається на зміну внутрішньої енергії:

. (2.29)

Адіабатний процес (;) — це процес, що протікає без зовнішнього теплообміну (рис. 2.4).

Рис. 2.4. Графіки адібатного процесу.

Якщо записати для цього випадку рівняння 1-го закону термодинаміки у вигляді:

чи, (2.30)

чи, (2.31)

то після ділення (2.30) на (2.31) одержимо:

— показник адіабати. (2.32)

Тоді після інтегрування виразу для кінцевого процесу 1−2 будемо мати:

чи. (2.33)

Співвідношення між параметрами стану для двох точок в цьому процесі:

і. (2.34)

З рівняння 1-го закону термодинаміки випливає, що, тобто:

або. (2.35)

З урахуанням виразу :

. (2.36)

Згідно з законом Майєра і співвідношення, (2.36) можна представити у вигляді:

. (2.37)

Підставляючи із рівнянь стану значення і, отрмаємо:

. (2.38)

З урахуванням, вираз (2.38) можна представити у вигляді:

. (2.39)

Таким чином, робота розширення в адіабатному процесі виконується за рахунок зменшення внутрішньої енергії газу, а його температура зменшується .

Коефіцієнт розподілу теплоти в процесі q=0:

. (2.40)

Теплоємність адіабатного процесу

. (2.41)

Показник адіабати для одноатомних газів дорівнює k=1,66, для двохатомних k=1,4 і для трьохатомних k=1,3.

Зміна кількості теплоти, тому що Т, а то і. Таким чином, адіабатний процес з ідеальним газом є ізоентропійний процес.

Політропний процес і його узагальнююче значення. Політропні процеси — це рівноважні, оборотні процеси, що протікають при постійній теплоємності c=const.

Кожен політропний термодинамічний процес (ТП) має цілком визначений, властивий йому характер розподілу енергетичних складових, що входять у рівняння першого закону термодинаміки:, Дж/кг.

Політропний процес — це процес зміни стану робочого тіла, у якому у внутрішню енергію протягом усього процесу перетворюється та сама частка кількості зовнішньої теплоти:

Дж/кг, де. (2.42)

При цьому на здійснення зовнішньої механічної роботи приходиться частка теплоти, рівна:

Дж/кг, (2.43)

де — коефіцієнт розподілу теплоти в політропному процесі.

Теплота, підведена до газу в нескінченно малому політропному процесі, дорівнює:

Дж/кг (2.44)

чи для кінцевого процесу 1−2:. Таким чином, одержимо теплоємність політропного процесу:, Дж/кгК.

Знаючи значення коефіцієнта в політропному процесі, можна визначити теплоємність c, теплоту q, зміну внутрішньої енергії і роботу розширення (стиску) l. Для виводу рівняння політропного процесу в p-v координатах використовуємо рівняння першого закону термодинаміки, виражені через энтальпию і внутрішню енергію:

(2.45)

(2.46)

чи, (2.47)

. (2.48)

Звідси маємо:

(2.49)

. (2.50)

Розділивши почленно рівняння (2.49) на рівняння (2.50), маємо:

(2.51)

де — показник політропного процесу, що не змінюється протягом усього даного ТП. З рівняння маємо:

або. (2.52)

Тоді після інтегрування для кінцевої ділянки процесу 1−2 одержимо:

(2.53)

чи після потенціювання:, чи. (2.54)

Це рівняння політропного процесу в координатах p-v. Показник політропного процесу може мати будь-яке значення в інтервалі .

В ізохорному процесі теплоємність показник політропи

.

В ізобарному процесі теплоємність і показник політропи

.

В ізотермному процесі, або, теплоємність і показник політропи, тобто .

В адіабатному процесі теплоємність і показник політропи .

З виразу можна одержати формулу для розрахунку теплоємності політропного процесу, чи. Звідси маємо, чи, де — показник адіабатного процесу. Остаточно маємо:

. (2.55)

Таким чином, теплоємність політропного процесу залежить від показника політропи. Використовуючи термічне рівняння стану для ідеального газу і рівняння, можна одержати співвідношення між параметрами для кінцевого процесу 1−2:

. (2.56)

З огляду на те, що, маємо:

. (2.57)

Робота в політропному процесі 1−2 дорівнює:

. (2.58)

Після інтегрування, з огляду на те, що, маємо різні вирази для розрахунку роботи розширення:

. (2.59)

Кількість теплоти згідно першого закону термодинаміки:

. (2.60)

З отримаємо:

або. (2.61)

Зміна ентропії:

. (2.62)

Оскільки, то коефіцієнт розподілу теплоти дорівнює:

. (2.63)

Тоді зміна внутрішньої енергії, теплота, зміна ентальпії в процесі 1−2 можуть бути розраховані по формулах:

(2.64)

(2.65)

. (2.66)

Дослідження політропних процесів. Для того, щоб прослідкувати за розташуванням політропних процесів при різних значеннях, в і координатах, зображують графіки ізохорного, ізобарного, ізотермного і адіабатного поцесів, за якими можна визначити відносне розташування інших політроп при інших значеннях, а також визначити знак і в цих процесах (рис. 2.5).

Наприклад, графік політропного процесу з проходить між графіками процесів і, причому при розширенні в цьому процесі теплота підводиться, оскільки, температура, а отже, внутрішня енергія зменшуються. Робота вцьому випадку здійснюється за рахунок теплоти і зменшення внутрішньої енергії.

Оскільки знаки теплоти і зміни температури в політропному процесі з показником політропи різні, то теплоємність в цьому випадку буде від'ємною .

В табл. 2.1 наведені особливості трьох груп політропних процесів розширення (процесів, які проходять справа від ізохори).

І група процесів характеризується тим, що зміна внутрішньої енергії становить частину теплоти, що підводиться в процесі, друга частина якої витрачається на виконання роботи.

ІІ група процесів характеризується тим, що робота здійснюється за зарахунок не тільки теплоти, що підводиться, але й зменшення внутрішньої енергії .

ІІІ група процесів характеризується тим, що теплота, яка відводиться, і робота виконується за рахунок зменшення внутрішньої енергії .

Теплоємність в процесах ІІІ групи додатня, оскільки знаки теплоти і зміни температури однакові.

Аналогічно можна розбити на три групи усі політропні процеси стискання.

Література:

1. Вихман Э. Берклеевский курс физики. Квантовая физика. М.: Наука, 2007.

2. Волькенштейн В. С. Сборник задач по общему курсу физики. М.: Наука, 2009.

3. Гершензон Е. М. и др. Курс общей физики. т.т. 1−2. Механика. М.: Академия, 2008.

4. Детлаф А. А., Яворский Б. М. Курс общей физики. М. Высшая школа, 2009

5. Иродов И. Е. Задачи по общей физике. М.: Бином, 2008.

6. Иродов И. Е. Механика. Основные законы. М.: Лаборатория базовых знаний, 2009.

7. Иродов И. Е. Электромагнетизм. Основные законы. М.: Лаборатория базовых знаний, 2009.

8. Калашников С. Г. Электричество. М.: Наука, 2007.