Геометрія Лобачевського

Геометрия Лобачевского

Выполнили Ісаєв Андрій, Гур'єв Дмитрий.

«Начала» — найбільший пам’ятник діяльності Евкліда, в якій він зібрав воєдино усе те, що його попередники у сфері геометрії і «словесної алгебри». Та не у його заслуга. Він також вніс багато свого, нового, оригінального. Аж по XX в. геометрію до шкіл викладали за підручниками, у яких було включено евклидовы «Почала», переведённые і літературно обработанные.

Однако не все написане Евклидом задовольняло жили після нього математиків. Чудової була його спроба дати аксіоматичне виклад геометрії, тобто. сформулювати небагато аксіом, з яких логічно виводяться все теореми геометрії. Список аксіом відразу ж потрапляє піддався критиці, окремі виявилися не потрібними, наприклад, що «все прямі кути рівні між собою».

Так званий п’ятий постулат Евкліда викликав особливі нарікання математиків. Саме ця аксіома, засвідчує історичне розвиток науки, містила у собі зародок інший, неевклідової геометрии.

Вот що ж в п’ятому постулаті: Якщо дві прямі a і b утворюють після перетину з третього прямий внутрішні односторонні кути? і ?, сума величин яких менше двох прямих кутів (тобто. менше 180?; рис. 1), то ці дві прямі обов’язково перетинаються, причому саме стій боку від третьої прямий, по яку розташовані кути? і? (складові разом щонайменше 180?).

Данное твердження значно складніше інших аксіом. Саме тому п’ятий постулат часто вимірюють на рівносильну аксіому паралельності: до цієї прямий через цю поза нею точку можна навести трохи більше однієї паралельної прямий.

Вообразим. Що ми взяли дві точки Проте й У з відривом 1 м друг від одного й провели них дві прямі a і b, причому отже a утворює з прямою АВ дорівнює 89?59'59″ (рис. 2). .

Иначе кажучи, сума двох внутрішніх односторонніх кутів? і? всього однією кутову секунду менше 180?. Продовжимо прямі? і ?, поки вони перетнуться у точці З. Через війну вийде прямокутний трикутник АВС, яка має кут, А прямий, кут при вершині З дорівнює? і як 1 кутову секунду. Катет АС цього трикутника має довжину с/tg ?, де з = 1 м. З допомогою калькулятора неважко підрахувати, що 1/tg? ? 2,06 • 105. Отже, довжина катета АС складаємо приблизно 2,06 • 105 = 206 км.

Угол один кутову секунду досить відчутний (наприклад при астрономічних расчётах). Але перевірити чи дві вищезазначені прямі? і? перетинаються на расстоянии206 кілометрів від прямий АВ, вельми непросто. Адже виготовити плаский аркуш паперу й лінійку довжиною більш 200 км не й неможливо. Використовувати оптичні прилади? Але тоді треба буде додати ще одне постулат: світло поширюється по прямий (але це вже фізика). Якщо ж сума кутів? і? відрізняється менш як на 1 кутову секунду? Як бачить, п’ятий постулат Евкліда непогані простий і убедителен.

Складність формулювання п’ятого постулату та її непереконливість призвели до того, що дуже багато математики, жили після Евкліда, намагалися виключити цей постулат зі списку аксіом, тобто. довести його як теорему з допомогою інших аксіом Евкліда. У «боях» з п’ятим постулатом особливо далеко просунулися Ламберт, Саккери і Лежандр.

Итальянец Саккери розглядав чотирикутник із трьома прямими кутами (рис. 3). Четверте кут (позначимо його ?) міг стати прямим, тупим чи гострим. Саккери встановив, що гіпотеза прямого кута, тобто. твердження у тому, що четвертий кут? завжди дорівнює 90º, дозволяє довести п’ятий постулат. Інакше висловлюючись, гіпотеза прямого кута є нову аксіому, п’ятому постулату.

Гипотезу тупого кута, допускає існування четырёхугольника, яка має четвертий кут? тупий, Саккери відкинув при допомоги суворого міркування. Проте довести, що гіпотеза гострого кута неправильна не зміг ні Саккери, і його послідовники. Неприступна «фортеця» п’ятого постулату і залишилася неприступною.

Напрочуд цікаві дослідження французького математика Адриена Марі Лежандра. Але жодна їх не призвела до успіху.

Вот стисле опис одній з спроб Лежандра. Нехай a і b — дві прямі, перпендикулярні однієї й тієї ж третьої прямий і які перетинають їх у точках Проте й У. Ці дві прямі a і b не перетинаються. Припустимо, що п’ятий постулат Евкліда хибний і крізь, А можна навести ще одну пряму a, як і не що перетинає b (рис 4.) Симетрична їй (щодо АВ) пряма а" теж перетинає пряму b. Розглядаючи два які утворюються гострих кута ?' і ?" (симетричних одна одній), Лежандр суворо доводить, що пряма a як із продовженні її вправо, і при продовженні її вліво дедалі більше видаляються від прямий b. Але прямі a і b що неспроможні поводитися таким чином: якщо де вони перетинаються, маємо перебуває в обмеженому відстані один від друга на своєму протязі. Не так переконливо? Проте за насправді це інша аксіома: вона випливає з п’ятого постулату, й у своє чергу, з неї випливає справедливість п’ятого постулату.

В початку в XIX ст. в «бій» вступив російський математик професор Казанського університету Миколо Івановичу Лобачевський. Він був просто талановитий наполегливий. Спочатку Лобачевський йшов тим самим шляхом що його попередники, тобто. намагався розмірковувати від протилежного. Допустивши, що п’ятий постулат хибний, інші ж аксіоми справедливі, ми рано чи пізно то дійдемо протиріччю. Цим протиріччям і буде доказан.

Итак, скажімо, що п’ятий постулат хибний: через точку А, не приналежну прямий b (рис. 5, а), можна навести більш як одну пряму, яка перетинається з b. Нехай прямі a' і a" не перетинаються з b. При їхню прихильність, як у малюнку, будемо повертати пряму a' по годинниковий стрілці. Тоді знайдеться пряма з, яка «востаннє» не перетинається з b. Отже, прямі, утворені з з' при повороті по годинниковий стрілці (на як завгодно малий угол), будут перетинати пряму b, а прямі, отримувані з з при малому повороті у протилежному напрямі, ні перетинати b. Інакше висловлюючись, серед усіх прямих, що пропливали точку А, пряма з' відокремлює які перетинають b прямі від не котрі перетинають її. Сама пряма з' не перетинає b. Така сама картина простежується для прямий з", симетричній з' щодо перпендикуляра АР, опущеного на b. Вона відокремлює які перетинають b від не котрі перетинають. .

Лобачевский називає прямі з' і з" паралельними прямий b, причому з' паралельна b вправо, і з" паралельна b вліво. Інші прямі, які відбуваються через точку Проте й не яка перетинає пряму b (такі, як a' і a"), іменуються що розходяться з прямою b.

Далее, позначимо довжину відрізка АР через x, а гострий кут, утворюваний прямий з' чи з" з прямий АР, — через П (х) (рис. 5, б). Лобачевський вводить ці ухвали і позначення, прагнучи, із властивою йому наполегливістю, дізнатися, що може свідчити вийти з її припущення про невірності п’ятого постулату, і швидше знайти бажане протиріччя.

На наших кресленнях лінії вигнуті. Отже ви мусимо усвідомити, що Лобачевський розмірковує саме про прямих лініях. Якщо відрізок АР малий, то гострий кут П (х) близький до 90?. Коли відрізок зовсім малий, ми побачимо, що прямі з' і з" практично зливаються, оскільки кут П (х) дуже близький до 90?(рис. 6). А загалом, з припущення невірності п’ятого постулату, доводиться зображати лінії вигнутими. І якщо подальшому з’являтимуться дедалі більше і більше дивні речі, це лише з добре — ми скоріш наткнемося на довгождане противоречие.

Лобачевский доводить (все тому самому пропозиції про невірності п’ятого постулату), дві паралельні прямі необмежено зближуються друг з одним убік паралельності, але у напрямку вони необмежено видаляються друг від друга (рис. 7,а). А дві які суперечать прямі мають єдиний загальний перпендикуляр, з обох боків від якої вони необмежено видаляються друг від друга (рис. 7, б). Це дуже схожі те що, що ж писав Лежандр, але вже знаємо, що поки ще немає ніякої противоречия.

Потім Лобачевський розглядає дві паралельні прямі b і з і на прямий b рухливу точку М, удаляющуюся убік зворотний паралельності (рис. 8). У кожне положення точки М він восставляет перпендикуляр p до прямий b до його перетину з прямою з. довжина перпендикуляра безупинно зростає під час руху точки М, і, коли він потрапляє у становище Q, довжина перпендикуляра стає безкінечною. Точніше кажучи, перпендикуляр р, восставленный до прямий b у точці Q, параллелен прямий з (рис. 9, а). Побудувавши пряму з' симметричную щодо перпендикуляра р, одержимо три прямі - b, з і з, які попарно рівнобіжні одна одній (рис. 9, б). Виникає своєрідний «нескінченний трикутник»: в нього кожні дві сторони рівнобіжні одна одній, а вершин час від (вони стоять ніби перебувають у нескінченності; рис. 10). Це уже не цілком узгоджується з звичними уявлення про розташуванні прямих ліній! Але суперечності і немає.

Тоді Лобачевський робить спробу використовувати могутність формул. Застосовуючи виведену їм функцію П (х), то здобуває залежності, дозволяють в протилежні боки трикутника обраховувати його кути. І виявляється що у будь-якій трикутнику сума кутів менше 180?. Отже в четырёхугольнике Саккери (якщо його розбити діагоналлю на два трикутника; рис. 11) сума кутів менше 360?. Це означає, що ми знаходимось у умовах гіпотези гострого кута — як у четырёхугольнике Саккери четвертий кут ?