История тригонометрії в формулах і аксиомах

Тригонометрические функции.

Тригонометрія — слово грецьке й у буквальному перекладі означає вимір трикутників (((((((((- трикутник, а ((((((- измеряю).

У разі вимір трикутників слід розуміти, як рішення трикутників, тобто. визначення сторін, кутів та інших елементів трикутника, якщо дано окремі. Багато практичних завдань, і навіть завдань планіметрії, стереометрії, астрономії та інших наводяться до завданню рішення треугольников.

Виникнення тригонометрії пов’язані з землемерением, астрономією і будівельним делом.

Вперше шляхи вирішення трикутників, засновані на изависимостях між сторонами і кутами трикутника, знайшли давньогрецькими астрономами Гиппархом (2 в. до зв .е.) і Клавдієм Птолемей (2 в. зв. е.). Пожднее залежності між відносинами сторін трикутника та її кутами почали називати тригонометричними функциями.

Значний внесок у розвиток тригонометрії внесли арабські вчені альБатани (850−929) і Абу-ль-Вефа Мухамед-бен Мухамед (940−998), який становив таблиці синусів і тангенсов через 10' з точністю до 1/604. Теорему синусів вже знали індійський учений Бхаскара (р. 1114, рік смерті невідомий) і азербайджанський астроном і математик Насиреддин Туси Мухамед (1201−1274). З іншого боку, Насиреддин Туси у роботі «Трактат про повну четырехстороннике» виклав пласку і сферичну тригонометрію як самостійну дисциплину.

Теорему тангенсов довів Региомонтан (латинізоване ім'я німецького астронома і математика Йоганна Мюллера (1436−1476)). Региомонтан становив також плдробные тригонометрические таблиці; завдяки одній його трудам пласка і сферична тригонометрія стала самостійної дисципліною й у Европе.

Подальший розвиток тригонометрія отримало працях видатних астрономів Миколи Коперника (1473−1543) — творця геліоцентричної системи світу, Тихо Бразі (1546−1601) і Иогана Кеплера (1571−1630), соціальній та роботах математика Франсуа Виета (1540−1603), що цілком вирішив завдання про визначеннях всіх елементів плоского чи сферичного трикутника за трьома данным.

Тривалий час тригонометрія носила суто геометричний характер. Такою вона була у середні віки, хоча іноді у ній використовувалися і аналітичні методи, особливо — по появи логарифмів. Поступово тригонометрія органічно увійшла у математичний аналіз, механіку, фізику і технічні дисциплины.

Починаючи з XVII в., тригонометрические функції почали застосовувати до рішенню рівнянь, завдань механіки, оптики, електрики, радіотехніки, для описи коливальних процесів, поширення хвиль, рухи різноманітних механізмів, вивчення змінного електричного струму тощо. буд. Тому тригонометрические функції усебічно і глибоко досліджувалися засіках і придбали важливого значення для всієї математики.

Аналітична теорія тригонометрических функцій переважно була створена видатним математиком XVIII в. Леонардом Эйлером (1707−1783) членом Петербурзької Академії наук.

Отже, тригонометрія, виникла як наука про рішення трикутників, згодом розвинулася й у науку про тригонометрических функциях.

Пізніше частина тригонометрії, що вивчає властивості тригонометрических функцій і залежності з-поміж них, почали називати гониометрией (у перекладі - наука про вимірі кутів, від грецьк. (((((- кут, ((((((- вимірюю). Термін гониометрия останнім часом мало употребляется.

Вивчення властивостей тригонометрических функцій і залежностей з-поміж них віднесено до шкільного курсу алгебри, а рішення трикутників — до курсу геометрии.

Тригонометрические функції гострого угла.

У прямокутному трикутнику, що має даний кут (, взаємини сторін не залежить від розмірів трикутника. Розглянемо два прямокутних трикутника АВС і А1В1С1 (мал.1), мають рівні кути (А=(А1 =(. З подоби цих трикутників имеем:

Якщо величину кута (виміряти, то написані рівності залишаються справедливими, а измениться.

лише числове значення відносин також т.д. Тому отношения.

можна як функції кута (.

Рис. 1.

Синусом гострого кута називається ставлення протилежного цьому углукатета до гіпотенузі. Позначають це так:

sin (=.

Значення тригонометрических функцій (відносин відрізків) є відверненими числами.

Наближені значення тригонометрических функцій гострого кута можна знайти безпосередньо відповідно до їхнього визначень. Побудувавши прямокутний трикутник з гострим кутом (і вимірявши її боку, відповідно до визначень ми можемвычислить значення, наприклад, sin (.

Користуючись тим, що значення тригонометрических функцій не залежить від розмірів трикутника, для обчислення значень sin кутів (=30(; 45(; 60(розглянемо прямокутний трикутник з кутом (=30(; і катетом ВС=a=1, тоді гіпотенуза цього трикутника с=2, а другий катет b=(3; розглянемо також трикутник з кутом (=45(і катетом a=1, для цього трикутника c=(2 і b=1.

Отримані результати запишемо в таблицю. | |30(|45(|60(| |sin (| | | | | | | | |.

Рис. 2.

Наближені значення тригонометрических функцій для кутів від 0(до 90(можна було одержати побудувавши чверть кола, радіус которогопримем за 1, і його дугу разделимна 45 рівних частин. Тоді градусная міра кожній частині дорівнюватиме 2(.

90(N.

0,79.

а.

А b З 0,62 0(M Рис. 3.

Радіуси ГАМ і АN розділимо однакові частин. Побудуємо прямокутний трикутник з вершиною у центрі кола і катетом співпадаючим з радіусом ГАМ і гипотенузой АВ=1. Якщо кут ВАС=(, то визначенню тригонометрических функцій ми имеем:

sin (=а.

Для кута 52(на шкалою радіуса АN знаходимо, що а=0,79, але в шкалою радіуса ГАМ знаходимо, що b=0,62., тобто sin52(=0,79.

Побудувавши прямокутні трикутники для кутів (=2(, 4(, 6(, 8(,…, 88(, відповідно до рис. 3., знайдемо значення (при акуратних вимірах і обчисленнях) з точністю до 0,01. Для кутів 0(і 90(прямокутних трикутників не існує. Проте, якщо гіпотенуза АВ прагнутиме за станом до радіусу ГАМ, то кут ((0, а катеты а (0 і b (1. У разі для повноти значень тригонометрических функцій приймають, що sin0(=а=0; cos0(=b=1.

Що ж до значень tg (і ctg (, то, при ((0 ставлення (0, т. е.

а ставлення при ((0 необмежено зростає. Цей результат записують як ((, де символ (вказує, що обсяг необмежено зростає й може бути виражена ніяким числом, оскільки знак (не є якимось числом. Отже, приймають, що tg0(=0, а ctg0(немає, що частіше записують як ctg0(=(.

Міркуючи аналогічно при ((90(дійшли доцільності прийняти що sin90(=1; cos90(=0, tg90(немає (tg90((() і ctg90(=0.

Наведемо таблицю значень синусів для кутів від 0(до 90(з кроком 2(, яку можна одержати зазначеним вище способом. градуси |0 |2 |4 |6 |8 |10 |12 |14 |16 |18 |20 |22 | |sin |0,00 |0,03 |0,07 |0,10 |0,14 |0,17 |0,21 |0,24 |0,28 |0,31 |0,34 |0,37 | |градуси |24 |26 |28 |30 |32 |34 |36 |38 |40 |42 |44 |46 | |sin |0,41 |0,44 |0,47 |0,50 |0,53 |0,56 |0,59 |0,62 |0,64 |0,67 |0,69 |0,72 | |градуси |48 |50 |52 |54 |56 |68 |60 |62 |64 |66 |68 |70 | |sin |0,74 |0,77 |0,79 |0,81 |0,83 |0,93 |0,87 |0,88 |0,90 |0,91 |0,93 |0,94 | |градуси |72 |74 |76 |78 |80 |82 |84 |86 |88 |90 | | | |sin |0,95 |0,96 |0,97 |0,98 |0,98 |0,99 |0,99 |1,00 |1,00 |1,00 | | | |Користуючись значеннями тригонометричної функції y=sinx з таблиці, побудуємо графік. y.

0 30(60(90(x.

Рис. 4.

Основні співвідношень між тригонометричними функціями гострого угла.

Для прямокутного трикутника відповідно до теоремою Піфагора a2+b2=c2 или.

За визначенням тогда.

(1).

Легко також знайти такі зависимости.

(2).

(3).

(4).

(5).

З співвідношень (1)-(5), котрі називають основними, можна вивести і інші допоміжні співвідношення, например:

(6).

(7).

(8).

Співвідношення (1)-(8) пов’язують все тригонометрические функції отже за значенням, а такою для даного гострого кута можна знайти значення всіх інших функцій при цьому ж угла.

Тригонометрические функції довільного угла.

нехай у прямокутної системі координат x0y заданий радиус-вектор утворює з позитивним напрямом осі 0x кут (. Вважатимемо, що вісь 0x — початкова сторона, а вектор — кінцева сторона кута (. Проекція вектора на координатні осі відповідно позначимо ax і ay.

Можна показати, що ваші стосунки де, а — довжина вектора, залежать лише от величины кута (і залежить від довжини вектора. Ці відносини можна як функції довільного кута (.

Синусом кута (, освіченого віссю 0x і довільним радиусом-вектором.

називається ставлення проекції цього вектора на вісь 0y для її длине:

y.

A.

x.

Рис. 6.

Не зазначено скільки оборотів зробив вектор навколо точки 0, то становище вектора визначає кут з точністю до цілого обороту, тобто розі з початковій стороною 0x і кінцевої стороною відповідає незліченну безліч кутів, що виявляються формулой.

360((n+(, де n=0; (1; (2; (3; (4; … і sin ((+360((n)=sin (.

Довжина радиуса-вектора завжди число позитивне. Проекція його за координатні осі величини алгебраїчні і залежно від координатних чвертей мають такі знаки:

У I чверті ax>0; ay>0;

У II чверті ax0;

У III чверті ax.