Диференціальні рівняння вищих порядків, що інтегруються в квадратурах (реферат)

Реферат на тему:

Диференціальні рівняння вищих порядків, що інтегруються в квадратурах

Розглянемо деякі типи диференціальних рівнянь, що інтегруються в квадратурах.

1) Рівняння вигляду.

$$y^{(n)}=f(x)$$ .

Проінтегрувавши його $$n$$ -раз одержимо загальний розв’язок у вигляді.

$$y=\underset{n}{\underset{}{\text{.}\text{.}\text{.}f(x)}}\underset{n}{\underset{}{\text{dx}\text{.}\text{.}\text{.}\text{dx}}}+C_1{x}^{n-1}+C_2{x}^{n-2}+\text{.}\text{.}\text{.}+C_{n-1}x+C_n$$ .

Якщо задані умови Коші.

$$y(x_0)=y_0,y\text{'}(x_0)=y_0^{\text{'}},\text{.}\text{.}\text{.},y^{(n-1)}(x_0)=y_0^{(n-1)}$$ ,.

то розв’язок має вигляд.

$$\begin{array}{c}y={}_{x_0}^x\text{.}\text{.}\text{.}{}_{x_0}^{x}f(x)\text{dx}\text{.}\text{.}\text{.}\text{dx}+\frac{y_0}{(n-1)!}(x-x_0{)}^{(n-1)}+\\ +\frac{y{\text{'}}_0}{(n-2)!}(x-x_0{)}^{(n-2)}+\text{.}\text{.}\text{.}+y^{(n-2)}(x-x_0)+y_0^{(n-1)}\text{.}\end{array}$$.

2) Рівняння вигляду.

$$F(x,y^{(n)})=0$$ .

Нехай це рівняння вдалося записати в параметричному вигляді.

$$\begin{array}{c}x=(t)\\ y^{(n)}=(t)\text{.}\\ \\ \begin{array}{c}\{\end{array}\hfill \\ \end{array}$$.

Використовуючи основне співвідношення $${\text{dy}}^{(n-1)}=y^{(n)}\text{dx}$$, одержимо.

$${\text{dy}}^{(n-1)}=(t)\text{'}(t)\text{dt}$$ .

Проінтегрувавши його, маємо.

$$y^{(n-1)}=(t)\text{'}(t)\text{dt}+C_1={}_1(t,C_1)$$ .

І одержимо параметричний запис рівняння $$(n-1)$$ -порядку.

$$\begin{array}{c}x=(t)\\ y^{(n-1)}={}_1(t,C_1)\text{.}\\ \\ \begin{array}{c}\{\end{array}\hfill \\ \end{array}$$.

Проробивши зазначений процес ще $$(n-1)$$ -раз, одержимо загальний розв’язок рівняння в параметричному вигляді.

$$\begin{array}{c}x=(t)\\ y={}_n(t,C_1,\text{.}\text{.}\text{.},C_n)\\ \\ \begin{array}{c}\{\end{array}\hfill \\ \end{array}$$.

3) Рівняння вигляду.

$$F(y^{(n-1)},y^{(n)})=0$$ .

Нехай це рівняння вдалося записати в параметричному вигляді.

$$\begin{array}{c}{y}^{(n-1)}=(t)\\ y^{(n)}=(t)\text{.}\\ \\ \begin{array}{c}\{\end{array}\hfill \\ \end{array}$$.

Використовуючи основне співвідношення $${\text{dy}}^{(n-1)}=y^{(n)}\text{dx}$$, одержуємо.

$$\text{dx}=\frac{{\text{dy}}^{(n-1)}}{{\text{dy}}^{(n)}}=\frac{\text{'}(t)}{(t)}\text{dt}$$. Проінтегрувавши, маємо.

$$x=\frac{\text{'}(t)}{(t)}\text{dt}+C_1={}_1(t,C_1)$$ .

І одержали параметричний запис рівняння $$(n-1)$$ -порядку.

$$\begin{array}{c}x={}_1(t,C_1)\\ y^{(n-1)}=(t)\text{.}\\ \\ \begin{array}{c}\{\end{array}\hfill \\ \end{array}$$.

Використовуючи попередній пункт, понизивши порядок на одиницю, запишемо.

$$\begin{array}{c}x={}_1(t,C_1)\\ y^{(n-2)}={}_2(t,C_2)\text{.}\\ \\ \begin{array}{c}\{\end{array}\hfill \\ \end{array}$$.

Проробивши останню процедуру $$(n-2)$$ -раз, запишемо загальний розв’язок у параметричному вигляді.

$$\begin{array}{c}x={}_1(t,C_1)\\ y={}_n(t,C_2,\text{.}\text{.}\text{.},C_n)\text{.}\\ \\ \begin{array}{c}\{\end{array}\hfill \\ \end{array}$$.

4) Нехай рівняння вигляду.

$$F(y^{(n-2)},y^{(n)})=0$$.

можна розв’язати відносно старшої похідної.

$$y^{(n)}=f(y^{(n-2)})$$ .

Домножимо його на $$2y^{(n-1)}\text{dx}$$ й одержимо.

$$2y^{(n-1)}{y}^{(n)}\text{dx}=2f(y^{(n-2)})y^{(n-1)}\text{dx}$$ .

Перепишемо його у вигляді.

$$d(y^{(n-1)}{)}^2=2f(y^{(n-2)})d(y^{(n-2)})$$ .

Проінтегрувавши, маємо.

$$(y^{(n-1)}{)}^2=2f(y^{(n-2)})d(y^{(n-2)})+C_1$$ ,.

тобто $$y^{(n-1)}=\pm \sqrt{2f(y^{(n-2)})d(y^{(n-2)})+C_1}$$ ,.

або.

$$y^{(n-1)}=\pm {}_1(y^{(n-2)},C_1)$$ .

Таким чином одержали параметричний запис рівняння $$(n-1)$$ -порядку.

$$\begin{array}{c}{y}^{(n-2)}=t\\ y^{(n-1)}=\pm {}_1(t,C_1)\\ \\ \begin{array}{c}\{\end{array}\hfill \\ \end{array}$$.

і повернулися до третього випадку.