Прикладне вживання методів дискретної математики

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ УКРАЇНИ

Бердичівський політехнічний коледж Контрольна робота Прикладне вживання методів дискретної математики

м. Бердичів 2007 р.

Зміст

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Задача 4

Список використаної літератури

1. Задача 1

1. Задана універсальна множина U={a, b, c, d, e, f, g, h, i} і дві множини S={b, c, e, i}, T={c, e, f, i}. Знайти:

a) об'єднання, перетин, різницю і симетричну різницю множин S i T;

b) доповнення множини S і доповнення множини T;

c) прямий добуток множин S i T;

d) задати функцію із S в T: ін'єктивну, сюр'єктивну і бієктивну.

2. Дані відображення h¹ і h², що представляють множину сумісних кортежів. Знайти:

a) h³=(h¹h²);

b) h⁴=(h¹h²);

c) h⁵=(h¹h²);

d) h⁶=(h¹h²).

3. Хай дані відношення r¹ і r². Знайти:

a) r³=(r¹r²);

b) r⁴=(r¹r²);

c) r⁵=(r¹r²).

d) r⁶=(r¹r²).

Відповідь:

1.

а) А = ST = {b, c, e, f, i};

А = ST = {c, e, i};

A = ST = {b}; B = TS = {f}:

A = ST = {b, f}.

b) A = S = {a, d, f, g, h};

B = T = {a, b, d, g, h}.

c) ST = {{b, c}, {b, e}, {b, f}, {b, i}, {c, c}, {c, e}, {c, f}, {c, i}, {e, c}, {e, e}, {e, f}, {e, i}, {i, c}, {i, e}, {i, f}, {i, i}}.

2.

a) h³ =

b) h⁴ =

c) h⁵ =

d) h⁶ =

3.

a)

b)

c)

d)

2. Задача 2

У колоді 52 карти. У скількох випадках при виборі з колоди 10 карт серед них виявляться: а) рівно один туз; б) хоча б один туз; в) не менше двох тузів; г) рівно два тузи?

Відповідь:

а) Всього у колоді 4 тузи. Отже за правилом добутку перемножимо ймовірність вибору з чотирьох тузів одного туза та ймовірність вибору інших карт, тобто 9 з 48:

.

б) Хоча б один туз — це означає може бути і 4, і 3, і 2, і 1. Отже для розв’язку необхідно від ймовірності вибору 10 карт з 52 відняти ймовірність вибору 10 карт з 48:

.

в) Не менше двох тузів — означає, що з 10 карт буде 4, 3 або 2 тузи. Рішенням буде попередня відповідь від якої відняти ймовірність вибору 1 туза (першої відповіді):

.

г) Аналогічно розв’язку першого завдання отримаєм:

3. Задача 3

Граф заданий матрицею вагів. Побудувати для нього остов мінімальної ваги використовуючи алгоритми Пріма та Краскала, за алгоритмом Флойда обчислити найкоротші шляхи графа.

Відповідь:

Будова графа:

Побудова остову мінімальної ваги по алгоритму Краскала:

Встановлюємо частковий порядок по вазі ребер графа:

Будуємо остов мінімальної ваги:

Обчислення найкоротших шляхів за алгоритмом Флойда:

Будуємо матрицю вагів та матрицю переходів:

А₀ = Р₀ =

Елементи матриці вагів будемо знаходити за формулою:

A_k [i; j] = min (A_k-1 [i; j], A_k-1 [i; k] + A_k-1 [k; j])

Перша ітерація: k=1

А₁ = Р₁ =

Друга ітерація: k=2

А₂ = Р₂ =

Третя ітерація: k=3

А₃ = Р₃ =

Четверта ітерація: k=4

А₄ = Р₄ =

П’ята ітерація: k=5

А₅ = Р₅ =

4. Задача 4

Знайти мінімальну ДНФ логічної функції F = F (х_г, х₂, х₃, х₄), яка дорівнює одиниці на наборах 2, 3, 4, 11, 14, 15 і нулю на решті наборів.

Відповідь:

Спочатку необхідно подати функцію у ДДНФ.

ДДНФ =x₁x₂x₃x₄ x₁x₂x₃x₄ x₁x₂x₃x₄ x₁x₂x₃x₄ x₁x₂x₃x₄ x₁x₂x₃x₄

Виконуємо склеювання:

1−2 x₁x₂x₃

1−4 x₂x₃x₄

2−4 x₂x₃x₄

4−6 x₁x₃x₄

5−6 x₁x₂x₃

ДДНФ = x₁x₂x₃ x₂x₃x₄ x₂x₃x₄ x₁x₃x₄ x₁x₂x₃ x₁x₂x₃x₄

1−2 x₂x₃

1−3 x₂x₃

2−3 x₂x₃

3−4 x₃x₄

4−5 x₁x₃

ДДНФ = x₂x₃ x₃x₄ x₁x₃ x₁x₂x₃x₄

Отже,

min ДНФ = x₁x₃ x₂x₃ x₁x₂x₃x₄

Список використаної літератури

1. «Дискретна математика» С. Лук'яненко. К-2000

2. «Комбінаторика» Д.Сафонов. М-1992

3. «Комбінаторика для програмістів» В.Липський. М-1988

4. Конспект лекцій

5. Комп’ютерна мережа Інтернет