Частина i. Елементи функціонального аналізу

Розділ 1. Метричні простори

Поняття метричного простору

В математичному аналізі ми часто зустрічаємося з поняттям границі. Причому в деяких випадках для послідовності одних і тих же об'єктів, в зв’язку з різними задачами, вводяться різні поняття границі. Всі ці поняття збіжності мають те спільне, що збіжність послідовності елементів {х_п} до елемента х₀ означає необмежене «наближення» х_п до х₀, необмежене зменшення «відстані» між цими елементами, коли номер п необмежено зростає. В залежності від того, як ми розуміємо відстань між елементами х_п і х₀, ми отримаємо різні означення границі. Тоді є зручним для деяких множин елементів дати загальне поняття відстані між елементами, а потім ввести за допомогою цієї відстані поняття границі. Такі множини називаються метричними просторами.

Означення 1.1. Множина Ч називається метричним простором, якщо для будь-яких x, y із множини Ч ставиться у відповідність дійсне число с (x, y) і при цьому виконуються наступні умови:

• 1)с (x, y)?0, при чому с (x, y)=0 тоді і тільки тоді, коли x=y (аксіома тотожності);
• 2)с (x, y)=с (y, x) (аксіома симетрії);
• 3)x, y, z є Ч виконується умова с (x, z)?с (x, y)+с (y, z) (аксіома трикутника).

Прикладами метричних просторів є: відрізок, 3-вимірний простір. Елементи простору називаються точками простору, с (x, y) називається відстанню між елементами x, y. Якщо введена відстань, то говорять, що введена метрика.

Якщо візьмемо будь-яку множину, то можна ввести метрику, поклавши с (x, y)=1, якщо xy і с (x, y)=0, якщо x=y.