Морфізми алгебраїчних структур

Дипломна робота

На тему

Морфізми алгебраїчних структур

Зміст

Вступ Розділ 1. Гомоморфізм та ізоморфізм груп

1.1. Основні відомості про групу

1.2. Гомоморфізм та ізоморфізм груп

1.3. Ізоморфізм циклічних груп

1.4. Основна теорема про епіморфізм груп

1.5. Вправи на гомоморфізм та ізоморфізм груп Розділ 2. Гомоморфізм та ізоморфізм кілець і полів

2.1 Поняття кільця, поля, їх властивості

2.2. Означення і властивості гомоморфного та ізоморфного відображення кілець, полів

2.3. Поняття фактор-кільця. Основна теорема про гомоморфізм кілець

2.4. Вправи на гомоморфізм та ізоморфізм кілець і полів Висновки Список використаної літератури

Вступ

Гомоморфізм та ізоморфізм (від грец, homoios — подібний, isosоднаковий, morphe — форма) — поняття, які характеризують відповідність між структурами об'єктів. Дві системи, що розглядаються відокремлено від природи елементів, що їx складають, є ізоморфними одна одній, якщо кожному елементу першої системи відповідає лише один елемент другої i кожному зв’язку між елементами у одній системі відповідає зв’язок між їх образами в іншій, i навпаки. Така взаємно однозначна відповідність називається ізоморфізмом. Повний ізоморфізм може бути лише між абстрактними, ідеалізованими об'єктами, наприклад, відповідність між геометричною фігурою і її аналітичним виразом у вигляді формули. Ізоморфізм пов’язаний не з всіма, а лише з деякими фіксованими в пізнавальному акті властивостями і відношеннями порівнюваних об'єктів, які в інших своїх відношеннях та властивостях можуть відрізнятися. Гомоморфізм відрізняється від ізоморфізму тим, що відповідність об'єктів чи систем є однозначною лише в один бік. Тому гомоморфний образ є неповним, наближеним відображенням структури оригіналу. Таким є, наприклад, відношення між картою та місцевістю, між грамзаписом та його оригіналом (звуковими коливаннями повітряного середовища). Поняття ізоморфізму та гомоморфізму широко застосовуються у математичній логіці та кібернетиці, фізиці, xiмії та інших галузях науки.

Гомоморфізм — поняття математики i логіки, що виникло спочатку в алгeбpi, але виявилося, що досить важливе для розуміння побудови i області можливого застосування інших розділів математики. Поняття гомоморфізму відноситься до системи об'єктів із заданими в них операціями (або відношеннями). В алгебрі розглядають так звані n-арні алгебраїчні операції (унарні, бінарні, тернарні і т. д.) на деякій множині М, які є відображеннями декартового добутку в або на множину М .

Якщо на множині М задана одна або кілька алгебраїчних операцій, то цю множину тоді називають алгебраїчною структурою. Основними алгебраїчними структурами є групи, кільця, поля. Саме ці структури ми розглядаємо в даному дипломному дослідженні.

При розгляді морфізмів алгебраїчних структур виділяють епіморфізми та ендоморфізми, тобто, гомоморфні відображення однієї структури на або в іншу відповідно.

Гомоморфізм, або гомоморфне відображення, групи G на групу Н є відображення, при якому кожному елементу поставлений у відповідність певний елемент (образ елемента g), такий, що кожний елемент з Н є образом деякого елемента з G i композиції двох елементів з G відповідає композиція їх образів в Н. Наприклад, якщо кожному цілому числу поставити у відповідність його остачу від ділення на дане натуральне число, то вийде гомоморфне відображення групи цілих чисел на групу лишків за модулем т. Остання група складається з т елементів, представлених лишками . Сума двох елементів визначається при цьому або як сума двох лишків, або як та ж сума, зменшена на т, якщо ця сума була більшою за m чи рівною m. Розглянемо ще приклад відображення, яке кожному цілому числу n ставить у відповідність число 2n. Тоді непарні числа не мають прообразів. В такому випадку мова йтиме про відображення множини Z цілих чисел в себе, тобто, про ендоморфізм.

Термін «гомоморфізм» вперше ввів у вживання ще в кінці XIX століття професор Берлінського університету Георг (Фердинанд) Фробеніус.

Узагальненням поняття гомоморфізму є поняття морфізму в теорії категорій. В деяких розділах математики термін «гомоморфізм» використовується замість терміну «морфізм» i навпаки.

Отже, поняття морфізму є дуже важливим у сучасній математиці і її застосуваннях. Цим пояснюється вибір теми дипломного дослідження «Морфізми алгебраїчних структур» і обґрунтовується її актуальність.

Об'єктом дослідження є морфізми абстрактних алгебраїчних структур.

Предмет дослідження — гомоморфні та ізоморфні відображення груп, кілець, полів.

Мета дипломної роботи: описати властивості ізоморфізму та гомоморфізму груп, кілець та полів та розв’язати вправи по цій темі. Для досягнення мети були поставлені наступні завдання:

ь дати означення і довести властивості групи, кільця, поля, фактор-групи, фактор-кільця;

ь вивчити властивості гомоморфізму та ізоморфізму відображень груп, кілець та полів;

ь навести ряд прикладів на встановлення ядер гомоморфізму, завдання всіх гомоморфізмів з однієї групи в іншу та визначення типу відображень однієї структури в іншу.

Методи дослідження:

ь опрацювання наукової літератури;

ь практичний.

Структура дипломної роботи:

Дипломна робота складається з вступу, двох розділів, висновків, списку використаної літератури.

У першому розділі: «Гомоморфізм та ізоморфізм груп», який складається з п’яти параграфів, де ми подаємо означення групи, доводимо її властивості, вивчаємо поняття підгрупи, нормальної підгрупи, фактор-групи за її нормальним дільником. Тут також доводимо основні теореми про гомоморфізм та ізоморфізм групи і розв’язуємо ряд прикладів на гомоморфізм та ізоморфізм груп.

У другому розділі: «Гомоморфізм та ізоморфізм кілець та полів», який складається із чотирьох параграфів, ми подаємо означення кільця і поля, доводимо їх властивості, вивчаємо поняття ідеалу кільця, фактор-кільця. Доводимо також основні теореми про гомоморфізм та ізоморфізм кілець і полів. Розв’язуємо ряд прикладів на гомоморфізм та ізоморфізм кілець, полів.

Об'єм дипломної роботи

Зміст дипломної ро6оти викладено на 72 сторінках друкованого тексту.

Розділ 1. Гомоморфізм та ізоморфізм груп

1.1 Основні відомості про групу

Нехай маємо непорожню множину S. Бінарною алгебраїчною операцією на множині S називається відображення декартового добутку в S.

Нехай G — деяка непорожня множина, на якій задано бінарну алгебраїчну операцію. Позначимо цю операцію символом «*».

Означення 1. Непорожня множина G, на якій визначено бінарну алгебраїчну операцію *, називається групою, якщо виконуються такі умови:

операція * асоціативна, тобто, що для довільних елементів

а, в, с ;

в G існує нейтральний елемент е відносно бінарної алгебраїчної операції *, тобто, такий елемент е, що для довільного елемента а виконується рівність

;

для кожного елемента в множині G існує симетричний елемент відносно бінарної алгебраїчної операції *, тобто, такий елемент , для якого виконується рівність

.

Умови 1 — 3 називаються аксіомами, що визначають групу, або аксіомами групи.

Зауважимо, що визначена в гpyпi G бінарна алгебраїчна операція * не обов’язково повинна бути комутативною. Якщо ж вона комутативна, то група G називається комутативною, або абельовою, за ім'ям норвезького математика Н. Абеля, який вивчав рівняння, теорія яких тісно пов’язана з тeopiєю комутативних груп.

Група G називається скінченною, якщо множина її елементів скінченна, і нескінченною, якщо множина її елементів нескінченна.

Число елементів скінченної групи G називають її порядком і позначають. Якщо G — нескінченна множина, то групу G називають групою нескінченного порядку.

В алгебрі бінарну операцію, визначену в множині, часто називають додаванням або множенням.

Якщо задану в гpyпi G бінарну операцію * називають множенням i користуються символікою, яка відповідає oперації множення, то говорять, що в групі G прийнято мультиплікативну форму запису, або коротше, мультиплікативний запис. Саму групу G називають мультиплікативною. Якщо ж операцію, задану в гpyпі G, називають додаванням i вживають символіку, що відповідає операції додавання, то говорять, що в гpyпі G прийнято адитивну форму запису, або адитивний запис, а саму групу називають адитивною.

Зауважимо, що множина непарних чисел не є групою відносно додавання, бо в ній не визначена операція додавання: додавання непарних чисел виводить за межі цієї множини. Не є групою відносно додавання i множина вcix додатних цілих чисел, оскільки в ній не існує нейтрального елемента відносно додавання.

Множина вcix цілих чисел не є групою відносно множення, оскільки в ній не для кожного елемента існує симетричний йому елемент відносно множення. Не є групою відносно множення i множина вcix раціональних чисел, оскільки в ній число нуль не має симетричного елемента.

Множина всіх цілих чисел є абельова група відносно додавання. Справді, в цій множині визначена операція додавання. Ця операція асоціативна і комутативна. Різниця двох цілих чисел є ціле число. Отже, в множині цілих чисел здійсненна обернена операція — віднімання. Цю групу називають адитивною групою цілих чисел.

Множина всіх раціональних чисел і множина всіх дійсних чисел — абельові групи відносно додавання.

У вcix наведених прикладах елементами групи є числа. Безумовно, є групи, елементами яких є об'єкти іншої природи. Pізні приклади таких груп буде подано в наступних параграфах.

Для групи виконуються такі властивості:

1. У кожній гpyпi G можна виконувати лівосторонні та правосторонні скорочення, тобто з рівностей а* в= а * с, або * = * випливають рівності:

Доведення.

Доведемо, наприклад, першу рівність, що Відомо, що у групі існує симетричний до елемента а елемент, тому запишемо наступну рівність: За асоціативним законом матимемо: отже, із цієї рівності, що і потрібно було довести. Рівність доводиться аналогічно.

2. Нейтральний елемент в групі єдиний.

Доведення.

Припустимо, що — нейтральні елементи відносно бінарної алгебраїчної операції *. Тоді матимемо:

(дивимося на, як на нейтральний елемент),

(дивимося на, як на нейтральний елемент).

Але бінарна алгебраїчна операція включає вимогу однозначності результату, тобто — це єдиний елемент. Тому з системи слідує, що

3. У кожній групі для будь-якого її елемента a icнyє єдиний симетричний йому елемент а'.

Доведення.

Нехай до а існують симетричні елементи та, тоді виконується така рівність, де — нейтральний елемент. Будемо мати:. Одержимо, що. (1)

4. В групі G має розв’язок кожне рівняння виду та .

В неабелевій групі ці розв’язки взагалі кажучи різні.

Доведення.

Розглянемо рівняння. В групі існує симетричний елемент. Тоді. Звідси одержимо,. Але, тому одержимо. існує, бо операція * здійсненна для будь-яких елементів множини, в тому числі і для і. Також — єдиний, бо результат виконання за означенням бінарної алгебраїчної операції теж єдиний. Аналогічно показуємо, що має розв’язок рівняння, і він також єдиний.

Зауважимо, що з цієї властивості випливає, що у групі завжди здійсненна операція, яка є оберненою до групової операції *: адже за допомогою цієї оберненої операції шукають розв’язок рівнянь та.

Нехай G — довільна група i H — деяка непорожня підмножина цієї групи.

Означення. Непорожню підмножину Н групи G називають. підгрупою цієї групи (записують ), якщо Н є групою відносно бінарної операції, визначеної в гpyni G.

Теорема 1(критерій підгрупи). Для того щоб непорожня підмножина Н групи G була підгрупою цієї групи, необхідно і достатньо, щоб підмножина Н: 1) разом з будь-якими своїми елементами a i в містила й їx композицію а * ; 2) разом з будь-яким своїм елементом, а містила i симетричний до нього елемент — а'.

Доведення.

Необхідністъ очевидна. Адже якщо Н — група відносно бінарної операції, визначеної на G, то разом з будь-якими своїми елементами a i в вона містить також композицію елементів а та а'.

Достатність. За першою умовою теореми, підмножина Н замкнена відносно операції *. Отже, на Н — визначена бінарна алгебраїчна операція *. Ця операція асоціативна, оскільки асоціативна групова операція на G, а

За умовою підмножина Н — непорожня, тобто вона містить, принаймні, один елемент а. Тому, за умовами 2 і 1 теореми, Н містить також елементи і - нейтральний елемент. Отже, підмножина Н є групою відносно операції, визначеної на G, тобто є підгрупою групи G. Теорема доведена. епіморфізм група гомоморфізм кільце

Групи можуть мати підгрупи, лівосторонні і правосторонні розклади за якими істотно відрізняються, а також і підгрупи, за якими ці розклади збігаються. Ці розклади відіграють важливу роль у теорії груп.

Нехай — група,. Введемо поняття композиції підмножини А та В так: .

Наприклад, якщо розглянути векторний простір V над полем Р, а в ролі А та В взяти підпростори простору V, то оскільки — абелева група, А+В — це відоме нам поняття суми підпросторів векторного простору. В мультиплікативній термінології будемо говорити про добуток А та В. Одна з цих підмножин може складатися лише з одного елемента. Наприклад, якщо, то у мультиплікативній групі G добуток, а добуток .

Розглянемо тепер для означеності - мультиплікативну групу, Н — підгрупа групи G. Нехай — довільний елемент з G, зафіксуємо його. Розглянемо добуток gH та Hg і назвемо ці добутки відповідно лівим і правим суміжним класом елемента g за підгрупою Н. Якщо група G — скінченна, то множина gH та Hg складається з різних елементів і їх буде стільки само, як у підгрупі Н. Ліві і праві суміжні класи елемента можуть співпадати, або не співпадати (наприклад, в абелевих групах завжди співпадають, а в неабелевих групах можуть і не співпадати).

Розглянемо властивості суміжних класів:

1. для випливає, що хН=Нх=Н;

2. для цей елемент належить до деякого лівого та правого суміжного класу, а саме ;

3. якщо елемент, то звідси випливає, що На=Нв.

4. для можливі лише два випадки: Ш або На=Нв (для лівих суміжних класів так само).

Ці властивості говорять про те, що всі праві (ліві) суміжні класи, що є різними, попарно не перетинаються.

Розглянемо тепер добуток підгрупи Н на всі елементи групи, при цьому утворюються праві (ліві) суміжні класи. І вони мають такі властивості:

1. їх об'єднання дає всю групу G;

2. вони попарно не перетинаються.

Це означає що множина всіх різних правих суміжних класів за підгрупою Н утворює розбиття групи G. Аналогічне твердження справедливе і для лівих суміжних класів.

Означення. Запис групи G у вигляді об'єднання правих (лівих) суміжних класів називається правостороннім (лівостороннім) розкладом групи G за підгрупою Н.

Означення. Підгрупа Н групи G називається нормальною підгрупою, або нормальним дільником цієї групи, якщо для будь-якого елемента виконується

(2)

Ця умова означає, що для будь-якого і елемента h із Н можна знайти в Н такі елементи і, що

і. (3)

Зрозуміло, що умова рівносильна умові. Якщо підгрупа Н групи G нормальна в G, то записують .

Елементи а і в групи G називаються спряженими у групі G, якщо в G існує, принаймні, один такий елемент, що

Теорема 2. Підгрупа Н групи G є нормальною в G тоді і тільки тоді, коли вона разом з кожним своїм елементом h містить і всі елементи, спряжені з ним у групі G.

Доведення.

Необхідність. Нехай Н — нормальна підгрупа групи G. Тоді, за умовою і. Але для кожного і будь-якого існує в Н такий елемент, що. Звідси. Отже, кожний елемент, спряжений у G з елементом, міститься в Н.

Достатність. Припустимо, що якщо то і, де — будь-який елемент з G. Тоді для кожного елемента і будь-якого: і, тобто і, і, отже, підгрупа Н нормальна в G.

Теорема 3. Перетин будь-якої множини нормальних підгруп групи G є нормальною підгрупою цієї групи.

Нехай Н — довільна нормальна підгрупа групи G. Оскільки кожний лівий суміжний клас gH групи G за нормальною підгрупою Н є одночасно і правим суміжним класом Hg, і навпаки, то далі говоритимемо просто про суміжні класи групи G за підгрупою Н. Суміжний клас gH, що визначається елементом g, позначатимемо. Виходячи з поняття добутку підмножин групи, означимо в множині суміжних класів групи G за нормальною підгрупою Н операцію множення.

Нехай і - два довільні суміжні класи групи G за нормальним дільником Н. Розглянемо добуток цих суміжних класів як підмножин групи G. Оскільки множення підмножин асоціативне і, то

Тобто (4)

Отже, добуток двох суміжних класів групи G за нормальною підгрупою Н, як підмножин групи G, — це суміжний клас за Н. Цим у множині суміжних класів групи G за нормальною підгрупою Н визначено операцію множення.

Рівність (4) показує, що для відшукання добутку двох даних суміжних класів групи G за нормальною підгрупою Н слід у кожному з цих класів вибирати по одному представнику і потім взяти той суміжний клас, до якого належить добуток вибраних представників.

Теорема 4. Множина суміжних класів групи G за нормальною підгрупою Н з визначеною в ній операцією множення є групою. Вона називається фактор-групою групи G за нормальною підгрупою Н і позначається символом G/Н.

Доведення. Справді, операція множення суміжних класів асоціативна. Це випливає з асоціативності множення підмножин групи. Суміжний клас відіграє роль одиничного елемента: для будь-якого суміжного класу справджується рівності

і

. Тобто .

Для кожного елемента існує обернений елемент. Так само. Теорема доведена.

Наведемо деякі найпростіші властивості фактор-групи.

Теорема 5. Кожна фактор-група абелевої групи G також абелева.

Доведення. Справді, оскільки для будь-яких елементів а і в групи G справджується рівність ав=ва, то для будь-яких елементів і фактор-групи G/Н маємо, тобто. Теорема доведена.

Відомо, що перестановкою п-го степеня називається будь-який запис множини перших п натуральних чисел:. Перестановки записані у круглих дужках (через кому записують елементи). Наприклад, для. Всього їх існує п! Кількість інверсій у перестановці визначає парність або непарність цієї перестановки.

Наприклад, для перестановки (3,5,1,4,2);… кількість інверсій дорівнює 2+3+0+1+0=6. Отже, ця перестановка парна.

Підстановкою п-го степеня називається будь-яке відображення множини на себе. Підстановки записують у вигляді двох рядочків перестановок так, щоб у другому рядочку стояли записані елементи, що відповідають елементам у першому рядку, саме, під ними.

Наприклад, означає, що. Цю ж підстановку можна записати і по-іншому, але треба дотримуватися, щоб відповідний елемент стояв під своїм прообразом. Наприклад: ==…

Існує ще також циклічний запис підстановок, цикли записують у круглих дужках і означають відображення елементів у сусідній елемент, при цьому останній відобразиться в перший елемент. Наприклад: (143)(25)=.

Парність підстановки визначається сумарною кількістю інверсій у верхній і нижній перестановці. Якщо така сума парна, то і підстановка парна.

Від різного порядку запису підстановки парність її зберігається, тому що сумарна кількість транспозицій при цьому буде парною, що не міняє парності підстановки (якщо у верхньому рядку буде виконано, наприклад k транспозицій, то вони тягнуть за собою рівно k транспозицій і в нижньому рядку, сумарно буде рівно 2k транспозицій).

Підстановки n-го степеня відіграють важливу роль при вивченні скінченних груп, адже елементи скінченної групи можна перенумерувати і отже, таким чином їм можна поставити у відповідність підстановку n-го степеня, а при виконанні різних операцій над елементами групи ці елементи стануть записані в іншому порядку, тобто, цьому порядку вже відповідатиме інша підстановка індексів цих елементів. Значить, досліджуючи властивості підстановок n-го степеня, ми зможемо дослідити абстрактні скінченні групи.

Випишемо, наприклад, множину всіх підстановок 2-го степеня:

. Це вже і всі підстановки.

В цьому випадку будемо розуміти як результат послідовного виконання цих відображень і це дорівнюватиме: .

Бачимо, що в цілому множина, яка позначається, всіх підстановок n-го степеня, утворює групу відносно операції множення підстановок, яку розмістимо як результат послідовного виконання цих підстановок.

Легко перевіряється, що для будь-яких двох підстановок n-го степеня існує їх добуток і він є теж підстановка n-го степеня. Отже, операція множення підстановок на множині є алгебраїчною. Асоціативність цієї операції очевидна. Нейтральним елементом виступає тотожна підстановка, яка задається рівністю:. Симетричний елемент до буде така підстановка:, бо. Отже, цим ми довели, що є мультиплікативною групою. Порядок цієї групи дорівнює п! (бо один із рядків можна впорядкувати, наприклад, в порядку зростання — 1, 2, …, п і тоді кількість всіх можливих підстановок залежить від того, скількома способами можна переставити елементи у другому рядочку, а таких способів, як ми вже відзначили, існує п!). Цим ми довели, що — група (її називають симетричною групою n-го степеня).

1.2 Гомоморфізм та ізоморфізм груп

Нехай <G,* > i <G,° > - дві групи з груповими операціями відповідно «*» і «°».

Означення. Відображення : групи G в групу G називається гомоморфним відображенням, або гомоморфізмом, якщо виконуються такі умови:

1. для будь-яких а, в, є G правильна рівність:

(1)

Означення. Відображення : групи G на групу G називається гомоморфним відображенням, або гоморфізмом G на G, якщо виконуються такі умови:

1. для будь-якої а, в, є G правильна рівність: .

2. відображення — сур'єктивне, тобто,

Розглянемо властивості гомоморфних відображень групи в (на) групу. При будь-якому відображенні, групи G в (на) групу G кожен елемент групи G відображується в цілком визначений елемент групи G, який називають образом елемента g при відображенні .

Сукупність образів усіх елементів групи G при відображенні називають образом групи G і позначають символом. Таким чином, — це підмножина групи G, на яку відображається група G.

Якщо, то називається епіморфізмом.

Доведемо кілька теорем, що характеризують гомоморфні відображення груп.

Теорема 1. При всякому гомоморфному відображенні групи G в групу G:

1. нейтральний елемент групи G відображується в нейтральний елемент групи G;

2. будь-яка пара взаємносиметричних елементів g i gґ групи G відображується в пару взаємносиметричних елементів і групи G, тобто; ;

3. образ групи G є підгрупою групи G.

Доведення. Нехай — деякий гомоморфізм групи G в або на групу G. З рівності випливає, що. Але для нейтрального елемента Тому. Оскільки в будь-якій групі можна виконувати скорочення, то з останньої рівності випливає, що .

Припустимо, що g i gґ — довільно вибрана пара взаємно симетричних елементів групи G і що. Тоді з рівності випливає, що, тобто; з рівності випливає, що, тобто .

Оскільки і, а — нейтральний в групі G, то елемент симетричний елементу

Доведемо, нарешті, що — підгрупа групи G.

Нехай і - два довільно вибрані елементи з множини Тоді і; тому і. А це є дві вимоги критерію підгрупи. Отже, множина є підгрупа групи G. Теорема доведена.

Нехай є гомоморфним відображенням групи G в групу Gґ. Сукупність К усіх елементів групи G, які при гомоморфізмі відображаються в нейтральний елемент групи Gґ, називають ядром гомоморфізму і записують .

Теорема 2. Ядро гомоморфізму є нормальною підгрупою групи G.

Доведення. Доведемо спочатку за критерієм підгрупи, що є підгрупою групи G. Скористаємось (для означеності) мультиплікативною термінологією. Нехай. Тоді, а, отже, , — нейтральний елемент в групі Gґ. Тому. Оскільки, то. Отже, є підгрупою групи G.

Доведемо тепер, що підгрупа — нормальна в G. Позначимо = Н. Перевіримо, чи виконується вимога для кожного і для довільного маємо:, тоді

.

Отже, для всіх .

Отже, — нормальна підгрупа у групі G. Теорема доведена.

Лема 1. Нехай — гомоморфізм групи G на групу Gґ, — його ядро. Тоді для довільних елементів, а і в, що належать одному класу суміжності групи G за підгрупою , .

Доведення. Позначимо =Н. Нехай, то існує такий елемент, що. Тоді .

Лема доведена.

Лема 2. Нехай — гомоморфізм групи G на групу Gґ, — його ядро. Тоді для довільних елементів, а і в, що не належать одному класу суміжності групи G за підгрупою , .

Доведення. Позначимо =Н. Нехай а і в належать різним класам суміжності групи G за підгрупою Н. Припустимо, що. Оскільки, то. Тоді. Отже, а і в належать одному класу суміжності На групи G за підгрупою Н, а це суперечить умові. Тому .

Лема доведена.

З цих лем випливає важливий висновок: якщо — гомоморфізм групи G на групу Gґ, то між множиною G/ усіх класів суміжності групи G за нормальною підгрупою і множиною Gґ можна встановити взаємно однозначну відповідність за правилом .

Нехай <G,* > i <G,° > - дві групи з груповими операціями відповідно «*» і «°».

Означення. Відображення : групи G в групу G називається ізоморфним відображенням, або ізоморфізмом G в G , якщо виконуються такі умови:

1. для будь-яких а, в, G правильна рівність: .

2. відображення — ін'єктивне, тобто для будь-яких а, в, є G із випливає, що

Означення. Ін'єктивне гомоморфне відображення : групи G на групу G називається ізоморфним відображенням, або ізоморфізмом G на G. Отже, для ізоморфного відображення групи G на групу G мають виконуватися умови:

1. для будь-яких а, в, G правильна рівність: .

2. якщо, то .

3.

Якщо існує ізоморфне відображення групи G на групу G, то групи G і G називаються ізоморфними і записують. Щоб показати, щоізоморфне відображення групи G на групу G, записують: .

Теорема 2. Відношення ізоморфності є відношенням еквівалентності на множині усіх груп.

Доведення. Треба показати, що відношення ізоморфізму є рефлексивним, симетричним і транзитивним.

а) рефлексивність:. Дійсно, якщо для довільного поставити у відповідність сам цей елемент:, то маємо що ця відповідність буде взаємно однозначним відображенням групи G на себе, при чому, якщо бінарна алгебраїчна операція на G є ««, то для довільного, , що й треба було довести.

б) симетричність: якщо, то слідує, що. Дійсно, при ізоморфному відображенні групи на групу існує обернене відображення до цього ізоморфізму, і саме воно буде також ізоморфним, тобто зберігає операцію. Цим показано буде, що, якщо .

в) транзитивність: якщо і, то слідує, що. Дійсно, якщо — ізоморфізм групи на , — ізоморфізм групи на, то поставимо у відповідність кожному елементу той елемент, для якого виконується рівність:, де, а саме,. Таким чином, буде легко показати, що нове відображення, яке задовільняється рівністю і буде ізоморфним відображенням.

Один клас еквівалентності при цьому складають усі ізоморфні між собою групи. З точки зору алгебри ізоморфні групи однаково влаштовані, їх бінарні операції мають однакові властивості, а тому у теорії груп вивчають групи із точністю до ізоморфності.

Теорема 3. (Келі). Кожна скінченна група порядку n ізоморфна деякій підгрупі симетричної групи степеня n.

Доведення. Нехай G — будь-яка група порядку n, a — її елементи. Помножимо зліва кожен елемент групи G на довільний зафіксований її елемент. Дістанемо n добутків кожен з яких є деяким елементом групи G. Нехай, де — є одне з чисел 1,2,…n.

Всі елементи попарно різні між собою. Справді, при, бо якщо, то, і, отже, k=s. Оскільки n різними елементами вичерпується вся група G, то — це ті самі елементи, але, можливо, записані в іншому порядку. Звідси випливає, що коли індексу поставимо у відповідність індекс, то дістанемо взаємно однозначне відображення множини 1,2,…, n самої на себе, тобто дістанемо підстановку .

Елементу групи G поставимо у відповідність підстановку. Тоді кожному елементу групи G відповідатиме цілком визначена підстановка n-го степеня. Причому двом різним елементам і відповідатимуть різні підстановки: якщо елементу відповідатиме підстановка, а елементу — підстановка, то, оскільки рівність може мати місце тільки тоді, коли. Отже, маємо взаємно однозначне відображення групи G на підмножину групи .

Доведемо, що відображення — ізоморфне. Для цього покажемо, що .

Справді, нехай

;

.

Тоді .

Оскільки, то, тобто .

Таким чином, група G ізоморфно відображується на підмножину симетричної групи. Але ізоморфний образ групи сам є групою. Тому підмножина є підгрупою групи. Теорему доведено.

Оскільки ізоморфні групи нерозрізнені за властивостями, які випливають з означення групи, то з щойно доведеної теореми випливає, що підгрупами скінченних симетричних груп по суті вичерпується множина всіх скінченних груп. Саме цим і зумовлюється важливість підстановок у теорії груп.

Приклад 1. Адитивна група Z цілих чисел ізоморфна адитивній групі G парних чисел. Справді, якщо кожному цілому числу k поставимо у відповідність парне число 2k, то цим задано ізоморфне відображення першої групи на другу.

Приклад 2. Група додатних дійсних чисел за множенням ізоморфна адитивній групі R всіх дійсних чисел.

Справді, поставивши у відповідність кожному додатному дійсному числу а дійсне число, тобто, дістанемо взаємно однозначне відображення першої групи на другу, яке буде ізоморфне, оскільки:

а) ;

б) якщо, то, тобто ;

в) кожне дійсне число b є образом деякого додатного дійсного числа, при цьому відображенні, бо, тобто,. А це означає, що .

Приклад 3. Нехай позначає нейтральний елемент групи. Легко бачити, що, таке, що для кожного, є гомоморфним, але не ізоморфним відображенням групи G на групу. Цей гомоморфізм називається тривіальним гомоморфізмом групи G в групу. Хоч, але

1.3 Ізоморфізм циклічних груп

Кожна мультиплікативна група G, очевидно, має такі тривіальні підгрупи: саму групу G і так звану одиничну підгрупу, яка складається лише з одиничного елемента 1. Але, звичайно, в групі можуть бути й інші підгрупи. Так, група за множенням, що складається з 1 і -1, і мультиплікативна група додатних раціональних чисел є підгрупами мультиплікативної групи всіх відмінних від нуля дійсних чисел. Знакозмінна група п-го степеня є підгрупою симетричної групи п-го степеня.

Множина всіх матриць п-го порядку над числовим полем Р, детермінант кожної з яких дорівнює 1, як легко довести, є мультиплікативна група: її називають унімодулярною групою матриць. Унімодулярна група матриць є підгрупою мультиплікативної групи всіх невироджених матриць п-го порядку над полем Р. Важливим прикладом підгруп є так звані циклічні підгрупи. Нехай G — деяка група (для означеності - мультиплікативна) і а — довільний елемент цієї групи. Означимо поняття степеня з цілим показником для цього елемента а з групи G.

Тоді можна довести, що будуть виконуватись такі властивості степенів:

1) ;

2) ;

3) .

Якщо у групі буде адитивна термінологія, тобто групова операція називається додаванням, то це поняття степеня з цілим показником тут заміниться на поняття кратного даного елемента, а саме:

Тоді властивості кратних в адитивній групі (аналогічно до мультиплікативної групи) запишуться так:

1) ,

2) ,

3) .

Позначимо словом підмножину групи G, що складається з усіх степенів елемента а. Покажемо, що підмножина є підгрупою групи G. Справді, користуючись мультиплікативною термінологією, добуток будь-яких двох елементів і з міститься в, оскільки. В міститься також елемент — нейтральний. Разом з усяким своїм елементом підмножина містить і обернений йому елемент .

Означення. Підгрупа, що складається з усіх цілих степенів елемента а, називається циклічною підгрупою групи G, породженою елементом а.

Зауважимо, що можуть бути такі два випадки:

1) усі степені елемента а є різні елементи групи G; в цьому разі а називають елементом нескінченного порядку;

2) серед степенів елемента а є рівні між собою, наприклад, де .

Це завжди так буде, якщо група G скінченна, але може трапитися й у нескінченній групі. Розглянемо другий випадок докладніше. Отже, припустимо, що де .

Тоді, тобто існують додатні степені елемента а, які дорівнюють l. Нехай серед них п є найменший натуральний елемент, тобто

1)

2) якщо то .

В цьому разі елемент а називають елементом скінченного порядку, а саме порядку п.

Теорема1. Якщо а є елемент п-го порядку, то породжена ним циклічна підгрупа складається з таких елементів:, тобто

. (1)

(це в мультиплікативній термінології, а в адитивній:

)

Доведення. Всі ці елементи різні, бо якби, то і, отже, а було б елементом порядку, або ще меншого. З другого боку, будь-який інший степінь елемента а, додатний чи від'ємний, дорівнює одному з елементів у множині (1). Справді, якщо k — деяке ціле число, то

і тому. (2)

Звідси випливає, що коли, то з рівності (2) r=0, тобто k ділиться на n, бо в противному разі а було б елементом порядку меншого за n. Множина (2) складається з n елементів; отже, порядок циклічної підгрупи дорівнює порядку елемента а, що породжує цю підгрупу.

Зауважимо, що в кожній циклічній групі G є єдиний елемент першого порядку це — e. Циклічна підгрупа співпадає з одиничною підгрупою .

Означення. Група G називається циклічною, якщо вона складається з степенів одного з своїх елементів а, тобто збігається з однією з своїх циклічних підгруп

Приклад 1. Розглянемо мультиплікативну групу і такі її циклічні підгрупи:

.

Вже цей приклад показує, що в одній і тій же циклічній підгрупі може бути не один твірний елемент.

Приклад 2. Розглянемо адитивну групу і такі її циклічні підгрупи:

.

Приклад 3. — класи лишків за mod m.

а) т=6, знайдемо циклічну підгрупу :

;

б) m=6, знайдемо циклічну підгрупу :

.

Теорема 2. Кожна нескінченна циклічна група ізоморфна адитивній групі цілих чисел Z.

Доведення. Нехай G= — довільна нескінченна циклічна група з твірним елементом а. Розглянемо відображення, де кожному елементу групи G поставимо у відповідність елемент k групи, легко переконатися, що це буде взаємно однозначне відображення групи G на групу Z. Це відображення зберігає операцію, оскільки з і випливає, що. Отже, — взаємно однозначне гомоморфному відображення, тобто ізоморфне. Теорема доведена.

Приклад 4. Нехай дано правильний n-кутник, точка О — його центр.

Розглянемо всі можливі повороти площини навколо точки О проти годинникової стрілки, при яких цей n-кутник суміщається сам з собою. Поворот на кут вважаємо таким, що збігається з поворотом на нульовий кут, і взагалі ідентифікуємо будь-які два повороти, які відрізняються один від одного на кут, кратний. Легко зрозуміти, що в такому разі різних таких поворотів є n, а саме:

— поворот на кут, що дорівнює 0 (тотожне перетворення);

— поворот на кут ;

— поворот на кут ;

— поворот на кут .

Під добутком двох поворотів розумітимемо поворот, що є результатом послідовного виконання двох даних поворотів. Операція множення поворотів асоціативна і комутативна. Поворот є одиничним елементом відносно операції множення поворотів. З геометричних міркувань видно, що .

Таким чином, множина поворотів, ,, …, — група. Називають цю групу групою обертань правильного n-кутника і позначають символом .

З геометричних міркувань видно також, що. Отже, є циклічною групою порядку n.

Теорема 2. Кожна циклічна група порядку n ізоморфна групі обертань правильного n-кутника.

Доведення. Нехай — довільна циклічна група з твірним елементом а порядку n. Нехай (для означеності) ця група мультиплікативна. Вона складається з таких елементів:

.

Група обертань правльного n-кутника складається з елементів:

Кожному елементу групи G поставимо у відповідність елемент групи. Цим буде задано ізоморфне відображення f циклічної групи G на групу, оскільки з того, що випливає, що. Теорему доведено.

Теорема 3. Кожна нескінченна циклічна група ізоморфна адитивній групі цілих чисел . Кожна циклічна група порядку n ізоморфна адитивній групі лишків за модулем числа n.

Доведення. Доведемо теорему для циклічної групи порядку n. Розглянемо відображення, побудоване за правилом Бієктивність очевидна.

для довільних натуральних .

Отже, — ізоморфізм групи G на групу .

Аналогічно для нескінченної циклічної групи доводимо, що відображення, де, також ізоморфізм. Теорему доведено.

Теорема 4. Всі нескінченні циклічні групи ізоморфні між собою. Всі скінченні циклічні групи однакового порядку ізоморфні між собою.

Доведення. Нехай — нескінченна циклічна група, наприклад, мультиплікативна. Розглянемо адитивну групу, яка, як ми вже зазначили є циклічною. Нехай G має твірний елемент а, тобто. Задамо відображення такою рівністю. Оскільки G нескінченна циклічна група, то при матимемо, що. Отже,. Доведемо, що це відображення є ізоморфним (те, що воно взаємно однозначне відображення множини G на Z, ми вже обґрунтували). Дійсно, для будь-яких елементів та маємо:

тобто

(в нашому випадку операція «*» — множення, а операція «» — додавання), що й треба було довести. Отже, для нескінченних груп, теорема доведена, якщо врахувати, що кожна така циклічна група ізоморфна одній і тій же циклічній групі - адитивній групі цілих чисел. Це означає, що за властивістю симетричності і транзитивності відношення ізоморфізму груп ізоморфне між собою, тобто: і і .

Доведемо другу частину теореми. Нехай — циклічна група n-го порядку, тобто, для означеності, наприклад, мультиплікативна. Розглянемо тепер групу коренів n-го степеня з одиниці: — мультиплікативна, її порядок, також n. Доведемо, що ці дві групи ізоморфні між собою.

де .

Нехай твірний елемент групи G буде елемент g, тобто. Поставимо у відповідність кожному елементу групи G елемент, тобто ми задамо таке відображення:, де. Легко бачити, що взаємно однозначна відповідність. Доведемо, що це відображення зберігає операцію, тобто, що є ізоморфним відображенням. Беремо довільні елементи, тоді

що й потрібно було довести. Отже, знову ми довели, що кожна циклічна група n-го порядку ізоморфна мультиплікативній групі коренів n-го степеня з одиниці. Звідси буде випливати, що всі циклічні групи n-го порядку ізоморфні між собою. Теорема доведена.

Теорема 5. Кожна фактор-група G/Н циклічної групи також циклічна.

Доведення. Нехай G — циклічна група, породжена елементом g, тобто, Н — деяка нормальна підгрупа групи G і аН — довільно вибраний елемент фактор-групи G/Н. Тоді існує таке ціле число т, що, і тому. Отже, G/Н=. Теорема доведена.

1.4 Основна теорема про епіморфізм груп

Нехай G — деяка (для означеності - мультиплікативна) група і Н — будь-яка її нормальна підгрупа. Нехай — відображення, яке кожному елементу ставить у відповідність той суміжний клас gH групи G за нормальною підгрупою Н, в якому міститься цей елемент. Очевидно, є відображенням групи G на фактор-групу G/Н. З означення операції множення в фактор-групі G/Н маємо, випливає, що

.

Отже, — гомоморфне відображення групи G на G/Н.

Гомоморфізм називається природним, або канонічним гомоморфізмом групи G на фактор-групу G/Н. Відображення, задане правилом .

Теорема 1. (основна теорема про епіморфізм груп). Нехай — гомоморфізм групи G на групу Gґ, — його ядро. Тоді існує ізоморфізм , такий, що для природного гомоморфізму виконується рівність . Іншими словами, гомоморфний образ групи ізоморфний її фактор-групі за ядром гомоморфізму.

Доведення. Позначимо через Н. Із лем 1 і 2 випливає, що між множинами G/Н та Gґ можна вставити взаємно однозначну відповідність за правилом. Із леми 1 випливає, що відображення задано вірно. Переконаємось, що це ізоморфізм. Нехай. Тоді. Отже, — ізоморфізм фактор-групи на групу Gґ. Залишилось довести рівність. Нехай. Тоді. Отже,. Теорему доведено.

Якщо гомоморфне відображення є відображенням групи G на групу Gґ, то його називають гомоморфізмом групи G на групу Gґ, або епіморфізмом. Щоб зазначити, що є гомоморфізмом групи G на групу Gґ, записують .

Нехай G — довільна група і Н — деяка її підгрупа. Множину всіх підгруп групи G, що містить підгрупу Н, позначимо символом, а множину всіх підгруп групи G — символом. Справедлива така теорема про відповідність підгруп при гомоморфізмі.

Теорема 1. Нехай G — група, Н — деяка її нормальна підгрупа і F — довільна підгрупа групи G, що містить Н. Тоді є підгрупою групи і є бієктивним відображенням множини всіх підгруп групи G, що містить Н, на множину всіх підгруп групи. Якщо одна з підгруп F і є нормальним дільником, то й інша є нормальним дільником причому

Доведення. Нехай F— будь-яка підгрупа групи G, що містить Н. Оскільки Н є нормальною підгрупою групою G, то Н є нормальною підгрупою групи F. З означення фактор-групи випливає, що є підгрупою групи. Доведемо, що відображення ін'єктивне. Розглянемо дві підгрупи. Припустимо, що, тобто. Тоді і тому. Оскільки, то, і, отже,. Аналогічно перевіряється, що. Отже,. Таким чином, якщо, то й, тобто відображенняін'єктивне. Покажемо, що відображення — сюр'єктивне. Нехай — довільна підгрупа групи. Позначимо символом F — множину всіх тих елементів групи G, з яких складаються суміжні класи за підгрупою Н, що утворюють підгрупу .

Очевидно, що. Доведемо, що F — підгрупа групи G. Справді, нехай а і b — довільні елементи із F. Тоді аН і bH містяться в, а тому і. Звідси випливає, що і. Тому за теоремою 1.1, F є підгрупою групи G. Очевидно, що. Таким чином, відображення — сюр'єктивне, а отже і бієктивне.

Якщо F — нормальна підгрупа групи G, то для будь-якого елемента і будь-якого. Тому для будь-якого і будь-якого, і отже, є нормальною підгрупою групи. Навпаки, якщо — нормальна підгрупа групи, то для будь-якого і будь-якого. Тому, оскільки, і отже, F є нормальною підгрупою групи G.

Таким чином, якщо одна з підгруп F і є нормальним дільником, то й інша є нормальним дільником. Нехай, нарешті, F — довільна нормальна підгрупа групи G, що містить Н. І за щойно доведеним є нормальною підгрупою групи. Розглянемо природні епіморфізми

і .

Композиція цих епіморфізмів є епіморфізмом G на: .

З’ясуємо, що являє собою ядро епіморфізму. Оскільки, а, то. Тому, тобто. Отже, за основною теоремою про гомоморфізм груп, відображення є ізоморфізмом:. Теорему доведено.

Основна теорема про гомоморфізм показує, що всі групи, на які може гомоморфно відображатися група G, вичерпуються з точністю до ізоморфізму її фактор-групами, а всі гомоморфізми групи G вичерпуються природними гомоморфізмами групи G на її фактор-групи.

Приклад 1. Знайти всі гомоморфізми циклічної групи 12-го порядку в циклічну групу 15-го порядку.

Розв’язання. Будемо використовувати всю теорію про циклічні групи. При розв’язанні будемо користуватися мультиплікативною термінологією.

Нехай, ,

.

В основній теоремі про гомоморфізм груп йде мова про епіморфізм групи на групу, тому будемо розглядати епіморфізми групи на,. Відомо, що — це теж група, тобто, це підгрупа групи. Якщо — один із шуканих гомоморфізмів з ядром, то підстановка ізоморфна фактор-групі. Оскільки ці групи скінченні, то це означає, що. А порядок фактор-групи по залежить від порядку: за теоремою Лагранжа було доведено, що .

— це підгрупа групи. — дільник порядку групи, тобто,. А за основною теоремою про гомоморфізм груп. Але це групи скінченні, і - дільник числа. Але порядок ізоморфних груп однаковий. Маємо, що і. Отже, мусить бути спільним дільником чисел 12 і 15. Таких спільних дільників є два: 1 і 3.

1) Розглянемо випадок, коли. З цього випливає, що і для довільного елемента. Отже,. Такий гомоморфізм тривіальний.

2) Розглянемо випадок, коли. Знайдемо порядок ядра. Скористаємось рівностями і, з яких випливає, що. Отже .

Але — нормальна підгрупа групи, а — циклічна, тому теж циклічна. І якщо вона містить 4 елементи, то це означає, що вона породжується певним елементом з групи у якого порядок 4. Отже, знайдемо всі елементи у групі, які мають порядок 4. Для цього шукаємо порядки всіх елементів групи .

е — порядок 1,

— порядок 12,

— порядок 6,

— порядок 4,

— порядок 3,

— порядок 12,

— порядок 2,

— порядок 12,

— порядок 3,

— порядок 4,

— порядок 6,

— порядок 12.

Нам підходять елементи і. Знайдемо циклічну підгрупу, породжену елементами, .

тобто .

Отже, існує єдина підгрупа 4-го порядку. Це означає, що .

Знайдемо, чому дорівнює в цілому. Ми знаємо, що і

— це підгрупа групи і вона теж циклічна, бо — циклічна. Тому потрібно знайти елементи групи, порядок яких дорівнює 3.