Послідовності випадкових величин. 
Граничні теореми (реферат)

Реферат на тему:

Послідовності випадкових величин. Граничні теореми

Послідовність незалежних випробовувань з двома наслідками.Будемо вважати, що проведено nнезалежних випробовувань, в кожному із яких можна спостерігати: успіх з ймовірністю p та невдачу з ймовірністю q (p+q=1) .Нехай $${}_n$$ — число успіхів при n випробуваннях. Тоді.

$$B_p(n,m)=P\{{}_n=m\}=C_n^m{p}^m{q}^{n-m}-$$ (1).

m=0,1,…, n;

M $${}_n=\text{np}$$ — D $${}_n=\text{npq}\text{.}$$.

При великих значеннях n та m обчислення ймовірністі Bp= (n, m) по формулі (1) викликає затруднення. Виникає необхідність в асимтотичних формулах, які дозволяють з достатньою точністю визначити ці ймовірності.

Теорема 1. Локальна гранична теорема. Позначемо $$a$$ $${}_n$$ = np, $$b_n$$ = npq, $$x_{n,m}=\left(m-a_n\right)b_n^{-\frac{1}{2}}\text{.}$$ Тоді, якщо при $$n->\mathrm{}$$ $$b_n$$ $$->\mathrm{}$$, $$a|x_{n,m}|<=c,$$ де сдеяка стала, то.

$$\underset{n->\mathrm{}}{\text{lim}}\frac{B_p(n,m)}{\frac{1}{\sqrt{2{\mathit{}}_n}}\text{exp}\{-\frac{1}{2}{x}_{n,m}^2\}}=1$$.

Теорема2. Якщо $$a$$ $${}_n$$ = np $$c$$, де сдовільна стала, то для всіх m.

$$B_p(n,m)\frac{a_n^m}{m!}{e}^{-a_n}$$. (2).

Формула (2) називається формулою Пуассона.

3.1 Закон великих чисел.

Визначення. Говорять, що послідовність випадкових величин $${}_n$$, по ймовірності збігається до випадкової величини $$$$, якщо для довільного $$0$$.

$$\underset{n->\mathrm{}}{\text{lim}}$$ Р { $$|{}_n-|$$ }=0. Збіжність по ймовірності послідовності $${}_n$$ до $$$$ позначають так: $$$$ =plim $${}_n$$, або $${}_n$$ $$\stackrel{p}{->}$$ $$$$ .

Нехай $${}_n$$ послідовність випадкових величин, для яких існують М $${}_n$$. Законом великих чисел називають теореми, які стверджують, що різниця.

$$\frac{1}{n}\underset{k=1}{\overset{n}{}}{}_k-\frac{1}{n}\underset{k=1}{\overset{n}{}}{\mathit{M}}_k$$.

збігається до нуля по ймовірності.

Задача. Довести, коли існує M $$$$ 2 i М $$$$ =а, то $$P\{|-a|\}<=\frac{\mathit{D}}{{}^2}$$ (нерівність Чебишова).

Теорема Чебишова. Нехай { $${}_n$$ }- послідовність незалежних випадкових величин, існують D $${}_n$$ i D $${}_n$$ $$c$$ при всіх n. Тоді.

$$\frac{1}{n}\underset{k=1}{\overset{n}{}}{}_k-\frac{1}{n}\underset{k=1}{\overset{n}{}}{\mathit{M}}_k$$ $$\stackrel{p}{->0}$$. (*).

Наслідок. Нехай $$$$ 1, $$$$ 2 ,…, $$$$ n,…- послідовність незалежних випадкових величин така, що М $${}_n$$ =а, D $${}_n$$ $$c$$, n=1,2,…

Тоді для кожного $$0$$.

$$\underset{n->\mathrm{}}{\text{lim}}P\{|\frac{{}_1++\text{.}\text{.}\text{.}+{}_n}{n}-a|\}=0$$ .

Цей частковий випадок теореми Чебишова дає обгрунтуваня правилу середнього арифметичного в теорії обробки результатів вимірювання. Припустимо, що необхідно виміряти деяку фізичну величину а. Повторюючи вимірювання n раз в одинакових умовах, спостерігач одержує результати вимірювань $$$$ 1, $$$$ 2 ,…, $$$$ n [1]. Якщо спостереження не мають систематичної помилки, тобто М $${}_n$$ =а, то згідно сформульованому вище наслідку,.

$$\frac{{}_1+{}_2+\text{.}\text{.}\text{.}+{}_n}{n}-a\stackrel{p}{->0}\text{.}$$.

Теорема Хінчина. Нехай { $${}_n$$ }- послідовність незалежних одинаково розподілених величин, які мають скінчене математичне сподівання М $${}_n$$ =а. Тоді для кожного $$0$$.

$$\underset{n->\mathrm{}}{\text{lim}}P\{|\frac{{}_1++\text{.}\text{.}\text{.}+{}_n}{n}-a|\}=0$$ .

Теорема Маркова. Нехай випадкові величини $$$$ 1, $$$$ 2 ,…, $$$$ n як завгодно залежні. Для виконання (*) достатньо, щоб.

$$\frac{1}{n^2}D\underset{k=1}{\overset{n}{}}{}_k->\mathrm{0,}$$ при $$n->\mathrm{}$$ .

Теорема Бернуллі. Нехай маємо послідовність випробовувань, в кожному з яких можуть бути два наслідкиуспіх У (з ймовірністю р) або невдача Н (з ймовірністю q=1-p) незалежно від наслідків інших випробувань. Утворимо послідовність випадкових величин наступним чином. Нехай $$$$ к =1, якщо в к-тому випробовуванні був успіх $$$$ к =0, якщо в к-тому випробовуванні наступила невдача. Тоді { $${}_k$$ }- є послідовність незалежних одинаково розподілених випадкових величин M $$$$ к=p, D $$$$ к=pq. Випадкова величина $${}_n=\frac{1}{n}\underset{k=1}{\overset{n}{}}{}_k$$ представляє собою частоту появи успіху в перших n випрбуваннях. Оскільки для послідовності { $${}_k$$ }-виконані умови теореми Чебишова, то із теореми Чебишова одержуємо наступне твердження.

Теорема Бернуллі. Для довільного $$0$$ Р{ $$\begin{array}{c}|{}_n-p|\\ ->0\end{array}$$ при n $$->\mathrm{}$$ .

Зміст цього твердження полягає в тому, що ведене нами визначення ймовірності відповідає інтуїтивному розумінню ймовірності як границі частоти.

3.2 Посилений закон великих чисел.

Послідовність випадкових величин { $${}_n$$, n $$1$$ }- збігається з ймовірністю 1 до величини $$$$, якщо ймовірність всіх тих точок $$\mathrm{}$$, для яких $$\underset{n->\mathrm{}}{\text{lim}{}_n}()$$ не існує,.

або $$\underset{n->\mathrm{}}{\text{lim}{}_n}()/=()$$, дорівнює нулю, тобто якщо Р{{ $$\begin{array}{c}\mathrm{:}\underset{n->\mathrm{}}{\text{lim}}{}_n()=()\\ =1\end{array}$$ .

Розглянемо послідовність випадкових величин $$$$ k з скінченими математичними сподіваннями. Теореми, які стверджують, що різниця $$\frac{1}{n}\underset{k=1}{\overset{n}{}}{}_k-\frac{1}{n}\underset{k=1}{\overset{n}{}}{\mathit{M}}_k$$ збігається з ймовірністю 1 до нуля, називається посиленим законом великих чисел. Нижче приводиться дві теореми про посилений закон великих чисел, обидві вони доведені.

А. М. Колмагоровим.

Теорема 1. Нехай $$$$ n — послідовність незалежних випадкових величин, для яких М $${}_n$$, D $${}_n$$ визначені. Якщо.

$$\underset{k=1}{\overset{\mathrm{}}{}}\frac{1}{k^2}{\mathit{D}}_k\mathrm{}$$, то Р { $$\underset{n->\mathrm{}}{\text{lim}}$$ $$\frac{1}{n}$$ $$\underset{k=1}{\overset{n}{}}({}_k$$ — $${\mathit{M}}_k$$)=0}=1.

Наслідок (теорема Бореля). Припустимо, що розглядається послідовність незалежних випробувань, в кожному з яких з’являеться успіх У з ймовірністю р або невдача Н з ймовірністью q=1-p. Нехай $${}_n$$ — число успіхів при n випробуваннях. Тоді Р{ $$\frac{{}_n}{n}->p$$ }=1.

Це випливає з того, що $$\frac{{}_n}{n}$$ = $$\frac{1}{n}\underset{k=1}{\overset{n}{}}{}_k$$, де $$$$ kпослідовність незалежних випадкових величин введених при доведенні теореми Бернуллі.

Теорема 2. Нехай $${}_n$$ — послідовність незалежних одинаково розподілених величин з скінченим математичним сподіванням М $${}_n$$ =а. Тоді.

Р { $$\underset{n->\mathrm{}}{\text{lim}}$$ $$\frac{1}{n}$$ $$\underset{k=1}{\overset{n}{}}{}_k$$ =а}=1.

3.3 Центральна гранична теорема.

Теорема. Нехай $$$$ 1, $$$$ 2 ,…, $$$$ n,…- послідовність незалежних випадкових величин з скінченною дисперсією ($${\mathit{D}}_k={}^{2}0)$$ і.

$$s_n=\underset{k=1}{\overset{n}{}}{}_k$$ .

Тоді при n $$->\mathrm{}$$ для довільного x.

$$\begin{array}{c}\frac{s_n-{\text{Ms}}_n}{\sqrt{{\text{Ds}}_n}}\\ \\ P\\ \end{array}$$ $$\begin{array}{c}x\\ ->(x)=\frac{1}{\sqrt{2}}\underset{-\mathrm{}}{\overset{x}{}}{e}^{-\frac{y^2}{2}}\text{dy},\end{array}$$.

($$\begin{array}{c}({}_k-a)x\\ \frac{1}{\sqrt{n}}\underset{k=1}{\overset{n}{}}=\frac{}{\sqrt{2}}\\ \\ \underset{-\mathrm{}}{\overset{x}{}}{e}^{-\frac{z^2}{2}}\text{dz},\\ \underset{n->\mathrm{}}{\text{lim}}P\\ \end{array}$$ де $$a$$ = $${\mathit{M}}_{k,}k=\mathrm{1,2,}\text{.}\text{.}\text{.}$$).

Це один з самих видатних результатів теорії ймовірностей: при широких припущеннях відносно суми великої кількості незалежних малих випадкових доданків має місце розподіл, який близький до нормального (гаусівського).

Наслідок. Інтегральна гранична теорема МуавраЛапласа.

Проводяться незалежні випробовування. При кожному випробовуванні з’являється успіх з ймовірністю р (0 $$p1)$$ або невдача з ймовірністю q. Нехай $${}_n-$$ число успіхів при nвипробуваннях. Тоді при, а $$b$$.

$$\begin{array}{c}a\\ \text{lim}P\{n->\mathrm{}\frac{{}_n-\text{np}}{\sqrt{\text{npq}}}b\}=\frac{1}{\sqrt{2}}\underset{a}{\overset{b}{}}{e}^{{-\frac{1}{2}y}^2}\text{dy}\text{.}\\ \end{array}$$.

Для доведення достатньо ввести випадкові величини.

$$\begin{array}{c}\mathrm{1,}\\ \\ {}_k=\\ \end{array}$$ якщо в к-тому випробовуванні був успіх;

o, якщо в к-тому випрбовуванні була невдача.

Тоді $${}_n=\underset{k=1}{\overset{n}{}}{}_k$$ — M $${}_n=\text{np}$$ — D $${}_n=\text{npq}$$ і залишається застосувати попередню теорему.

Задача 1. Ймовірність влучення мішені при одному пострілі дорівнює 0,8. Знайти ймовірність того, що при 100 пострілах в мішень буде влучено рівно 75 разів. (Скористатися локальною теоремою Лапласа при m=75, $$b_n=\text{npq}=\text{100}\mathrm{0,8}\mathrm{0,2}=\text{16}$$, $$a_n=\text{100}\mathrm{0,8}=\text{80}$$).

Задача 2. Ймовірність появи події А в кожному випробовуванні дорівнює $$\frac{1}{2}$$

. Скориставшись нерівністю Чебишова, оцінити ймовірність того, що число $$$$ появ події А змінюється в межах від 40 до 60, якщо буде проведено 100 незалежних випробовувань.

.

Розв’язок. Знайдемо математичне сподівання та дисперсію дискретної випадкової величини $$$$ — числа появ події А в100 незалежних випробовуваннях.

$$\mathit{M}=\text{np}=\text{100}\frac{1}{2}=\text{50}$$ — $$\mathit{D}=\text{npq}=\text{100}\frac{1}{2}\frac{1}{2}$$ =25. Знайдемо максимальну різницю між.

заданим числом появ події та математичним сподіванням М $$$$ =50: $$$$ =60−50=10.

Скористаємося нерівністю Чебишова в формі.

$$P\{|-\mathit{M}|\}>=1-\frac{\mathit{D}}{{}^2}$$ .

Підставляючи М $$$$ =50, D $$$$ =25, $$$$ =10, одержимо.

$$P\{|-\text{50}|\text{10}\}>=1-\frac{\text{25}}{{\text{10}}^2}=\mathrm{0,}\text{75}\text{.}$$.

Задача 3. Ймовірність деякої події А в кожному випробовуванні із серії n незалежних випробувань дорівнює р= $$\frac{1}{3}$$. Використовуючи нерівність Чебишева, оцінити ймовірність того, що частота цієї події відхилиться від її ймовірності по абсолютній.

величині не більше чим на 0, 01, якщо буде проведено n=9000 випробувань (Відповідь 0, 75).

Задача 4. Послідовність незалежних випадкових величин $$$$ 1, $$$$ 2 ,…, $$$$ n,… задана законом розподілу.

$$$$ n — $$\mathit{n}$$ 0 $$\mathit{n}$$.

p $$\frac{1}{2n^2}$$ $$1-\frac{1}{n^2}$$ $$\frac{1}{2n^2}$$ .

Чи можна застосувати до заданної послідовності теорему Чебишева?

Розв’язок. Для того, щоб до заданої послідовності випадкових величин була застосована теорема Чебишова, достатньо, щоб ці величини були попарно незалежні, мали скінчене математичне сподівання та рівномірно обмежені дисперсії.

Оскільки випадкові величини незалежні, то вони і подавно незалежні, тобто перша вимога теореми Чебишова виконується.

Перевіримо чи виконується вимога скінченості математичних сподівань:

$${\mathit{M}}_n=-\mathit{n}\frac{1}{2n^2}+0(1-\frac{1}{n^2})+\mathit{n}\frac{1}{2n^2}=0$$.

Таким чином, кожна випадкова величина має скінчене (рівне нулю) математичне сподівання, тобто друга умова теореми виконана.

Перевіримо, чи виконується вимога рівномірної обмеженості дисперсії. Запишемо закон розподілу $${}_n^2$$ :

$${}_n^2$$ $$n^2$$ 0 $$n^2$$.

p $$\frac{1}{2n^2}$$ $$1-\frac{1}{n^2}$$ $$\frac{1}{2n^2}$$.

$${\mathit{M}}_{n^2}=n^2{}^2\frac{1}{n^2}={}^2-$$ $${\mathit{D}}_n={\mathit{M}}_{n^2}-[{\mathit{M}}_n{]}^2={}^2\text{.}$$.

Звідси випливає, що дисперсії заданих випадкових величин рівномірно обмежені числом $${}^2$$. Таким чином, до заданної послідовності випадкових величини можна застосувати теорему Чебишева.

Задача 5. Випадкові величини $$$$ 1, $$$$ 2 ,…, $$$$ n,… — незалежні і рівномірно розподілені на відрізку [a, b]. Чи можна застосувати до цієї послідовності закон великих чисел ?

Задача 6. Нехай { $$\begin{array}{c}{}_n\\ \end{array}$$ — послідовність взаємно незалежних випадкових величин, кожна з яких приймає тільки 4 значення: $$\pm 1$$ з ймовірністю $$\frac{1}{2}$$ (1- $$\frac{1}{2^n}$$) і $$\pm$$ $$2^n$$ з ймовірностями.

$$\frac{1}{2^{n+1}}$$

. Довести, що ця послідовність підчиняється як звичайному так і посиленому закону великих чисел (теорема Колмагорова).

.

Задача 7. Якщо { $$\begin{array}{c}{}_n\\ \end{array}$$ -послідовність незалежних випадкових величин, для яких $$\frac{{\mathit{D}}_n}{n}->0$$, то до цієї послідовності можна застосувати закон великих чисел.

(теорем Хінчина).

Задача 8. Я кщо сумісний розподіл ($$$$ 1, $$$$ 2 ,…, $$$$ n) визначений для всіх n, причому.

дисперсії всіх компонент обмежені в сукупності, а коефіцієнти кореляції всі від'ємні, то послідовність { $$\begin{array}{c}{}_n\\ \end{array}$$ задовільняє закону великих чисел.

Розв’язування. $$\begin{array}{c}D\underset{k=1}{\overset{n}{}}{}_k=\underset{k=1}{\overset{n}{}}{\mathit{D}}_k+\underset{k/=i}{\overset{n}{}}\text{cov}({}_i,{}_k)\underset{k=1}{\overset{n}{}}{\mathit{D}}_k\text{cn},\\ \begin{array}{c}\end{array}\hfill \end{array}$$ тобто має місце закон великих чисел.

Задача 9. Дисперсія кожної з 4500 незалежних, одинаково розподілених випадкових величин дорівнює 5. Знайти ймовірність того, що середнє арифметичне цих випадкових величин відхилеться від свого математичного сподівання не більше чим на 0, 04.

Розв’язування. Так як n=4500 -велике і випадкові величини незалежні, одинаково розподілені та мають скінчену дисперсію, то можна застосувати центральну граничну теорему.

Таким чином,.

$$P\{\frac{1}{\text{4500}}|\underset{k=1}{\overset{\text{4500}}{}}({}_k-{\mathit{M}}_k)|<=\mathrm{0,}\text{04}\}=$$ Р{ $$\frac{1}{\text{150}}|\underset{k=1}{\overset{\text{4500}}{}}({}_k-{\mathit{M}}_k)|<=\mathrm{0,}\text{04}\sqrt{\frac{\text{4500}}{5}}\text{'}$$ }=.

= $$(\mathrm{1,2})-(-\mathrm{1,2})=\mathrm{0,}\text{7699}$$, де $$(x)=\frac{1}{\sqrt{2}}\underset{-\mathrm{}}{\overset{x}{}}{e}^{-\frac{y^2}{2}}\text{dy}\text{.}$$.

Задача 10. Нехай { $$$$ к}- послідовність незалежних одинаково розподілених випадкових величин, які мають розподіл Пуассона з параметром 1 (М $$$$ к=1). Тоді випадкова величина $$s_n=\underset{k=1}{\overset{n}{}}{}_k$$ має розподіл Пуассона з параметром n. Показати, що Р { sn $$n$$ } $$->\frac{1}{2}$$ .

Розв’язування Так як Р { sn $$n$$ }= $$e^{-n}\underset{k=0}{\overset{n}{}}\frac{n^k}{k!}$$. В силу центральної граничної теореми при $$n->\mathrm{}$$.

$$P\{\frac{s_n-{\text{Ms}}_n}{\sqrt{{\text{Ds}}_n}}<=0\}->\frac{1}{2}$$, тобто Р { sn $$n$$ } $$->\frac{1}{2}$$ .

Список літератури.

1. 1.И. И. Гихман, А. В. Скороход, М. И. Ядренко. Теория вероятностей и математическая статистика.- Киев: «Выща школа», 1988. 438c.

2. 2.А. Н. Ширяев. Вероятность.- М.: «Наука», 1980.-574.

3. 3. А. А. Боровков. Теория вероятностей.- М.: «Наука», 1976.-352c.

4. 4.Е. С. Вентцель. Теория вероятностей.- М.: «Наука», 1964. 576с.

5. 5.Теорія ймовірностей. Збірник задач. Під редакцією А. В. Скорохода.- Київ: «Вища школа», 1976.-383с.

6. 6.Г. В. Емельянов, В. П. Скитович. Задачник по теории вероятностей и математической.

статистике.- Издательство Ленинградского университета, 1967.-329с.

7. О.І. Черняк, О. М. Обушна, А. В. Ставицький. Теорія ймовірностей та математична статистика. Збірник задач.- Київ: «Знання», 2001.-199с.