Проблема ірраціональних чисел

Проблема ірраціональних чисел

А.И. Сомсиков Проблема ірраціональності вперше виявлено в геометрії при добуванні кореня. Вона ще за доби «античності», связываемую безпосередньо з ім'ям Пифагора.

Выявленное логічне протиріччя ось у чому. З одного боку є доказ те, що всі крапки над прямий є цілими чи дробовими, тобто. «раціональними» числами.

Это доказ таково.

Берется відрізок прямий з координатами його кінців 0 і 1. Обидві ці координати є цілими числами.

Отрезок ділиться навпіл і розглядаються кожен із знову отриманих отрезков.

Концы цих відрізків мають координати 0 і 0,5 чи 0,5 і 1, є цілими чи дробовими, тобто. «раціональними» числами.

Продолжается повторне розбивка навпіл, сближающее краю наступних відрізків за її збереженні щоразу явно раціональними числами.

В межі, при нескінченному розбивці, краю відрізків зливаються в точку, залишаючись у своїй раціональними числами.

Логический висновок говорить, що вихідний відрізок виявляється заповненим лише раціональними числами, інакше кажучи ні на який «ірраціональності «місця не остается.

Другое доказ навпаки призводить до того, деякі крапки над прямий неможливо знайти задано ні цілими, ні дробовими числами, тобто. є рациональными.

Это доказ таке: береться рівнобедрений прямокутний трикутник із довжиною кожного катета рівної 1. Відповідно до теоремі Піфагора довжина гіпотенузи у своїй становить . Не може бути ні цілим числом, ні несократимой дробом , що у цьому разі a2 = 2b2. Отже, a є парне число представимое як a = 2k. Але тоді a2=(2k)2=4k2=2b2. Отже, і b2 = 2k2, тобто. b — теж парне число. Отримуємо логічне протиріччя: з одного боку дріб мусить бути несократима (інакше яку можна скоротити спільний множник), а з іншого боку обидві її частки a і b — парні числа, тобто. мають загальний множник 2, отже, дріб є сократимой.

Итак, першому логічно не суперечливого доведенню протистоїть друге — логічно суперечливе доказательство.

Поскольку перше доказ зовсім позбавлений логічного протиріччя, вона може виникати жодних сумнівів та має вважатися безумовно верным.

Второе ж доказ навпаки містить всередині себе логічне протиріччя. Отже, по-перше, воно в жодному разі може бути спростуванням першого — логічно несуперечливого докази. І, по-друге, саме він, як що містить всередині себе логічне протиріччя, має вважатися вкрай сумнівним і потребує додаткового рассмотрения.

Предлагаемое розгляд таково.

Прежде всього, що означає це прирівнювання довжини катетів числу 1? І що: це що означає, що обидві катета обмірювані з допомогою деякого еталона, І що результат цього виміру дорівнює одиниці. Природне запитання нічого для будь-якого виміру: з яким точністю? Відповідь такий: виміру атмосферного явища будь-яким еталоном абсолютна похибка виміру дорівнює самому еталона, а точність виміру, визначається ставленням абсолютної похибки (величини еталона) до самої вимірюваною величині - відносної погрешностью.

Величина еталона щодо себе дорівнює одиниці з безкінечною ступенем точності, може бути виражено як десяткової дробу: е =1,(0). І це величини обох катетів чи b, вимірюваних таким еталоном повинні виглядати так: а =1= 1, b =1= 1, де е — величина эталона.

В тому випадку одержимо: абсолютна похибка , , a = 11, b =11. А відносна похибка, визначальна точність кожного виміру, дорівнює соответственно.

a (%) = і .

И навіть якщо взяти еталоном одне із катетів, наприклад, що означає a (%) = 0,(0), тобто. нескінченну точність його вимірів і рівності нулю його відносної похибки, однак відносна похибку вимірювання другого катета залишиться 100%.

Вот що означає практиці цю недбале занедбана умова рівності одиниці довжин обох катетов.

И що ми матимемо виміру атмосферного явища гіпотенузи таким еталоном э?

Вариантов відповіді два: з = 1 чи з =.

В першому випадку похибку вимірювання гіпотенузи дорівнює 100%, як у разі катета, тоді як у другий випадок — 50%. Зрозуміло, що другий відповідь більш точний, хоча також дуже хорош.

Что ми тепер маємо по теоремі Піфагора? Катеты рівні 11, тобто. їх можна вважати рівними 1 чи 2, а гіпотенуза і може бути рівної 1 чи 2, і навіть 3. Причому кожен із цих відповідей по-своєму вірний з певним ступенем точности.

Но до того ж час 12+1212 чи 22 і вже тим паче 32.

И другий можливий варіант теж дає: 22+2212 чи 22 чи 32.

И навіть прийняття у ролі еталона однієї з катетів теж дає: 12+2212 чи 22, чи 32. Інакше кажучи необхідну рівність не досягається ні за якому варіанті таких измерений.

Точность підвищується при зменшенні величини еталона е, наприклад, удесятеро раз.

В цьому випадку, а = 10 1, b = 10 1, з = 14 1, a = 10%, b = 10%, з = =7%.

Или в 100 раз, коли, а = 1001, b = 1001, з = 1411, a = 1%, b = 1%, з = =0,7%, і т.д.

При цьому проте ще залишається: а2+b2c2, тобто. теорема Піфагора як і не выполняется.

Это досягається лише за безкінечною точності вимірів, коли величина еталона е = 0,(0), а = 10 000…=, b = 10 000…=, з = 14 142 135 623 730 949 736 876 075 691 016 192…=,.

Или при вираженні через вихідний еталон е: а = 1,(0), і b = 1,(0), з = 1,4 142 135 623 730 950 281 123 765 820 588 032…

В цьому і лише цього разі теорема Піфагора справедлива, приймаючи проте вид: А2 + b2 = c2 .

В звичному розумінні це може бути досить складно, проте не містить понад ніякого логічного противоречия.

И що ж усі це значит?

А ось що: теорема Піфагора, як і взагалі усе теореми геометрії це без будь-якого винятку справедливі за умови виконання із ще однією теоремы.

Ввиду її загальності й винятковою важливості, вони можуть вважатися Великої Геометричній Теоремою (ВГТ).

Ее зміст таке: все геометричні теореми вірні за одного обов’язковій умові - безкінечною точності измерений.

А отже, в аналізованому нами приватному разі, жодних таких цілих чисел 1 обох катетів немає і «бути неспроможна, і може бути лише нескінченна десяткова дріб виду: а = 1,(0), і b =1,(0).

При цьому всі розмірковування про сократимости чи несократимости нескінченних дробів і парності чи непарності із необхідністю відразу ж відпадають, т.к. це можливо лише в одному разі: коли розглянута нами дріб є кінцевою. Це легко досягається простим обривом нескінченності, тобто. порушенням безкінечною точності. Але саме тут разі теорема Піфагора відразу ж ж порушується, тобто. перестає выполняться.

А отже, і вся розглянута проблема одразу й безповоротно снимается!

Из від цього слід, що, по-перше, будь-яка точка на геометричній прямий поставив у вигляді безкінечною дробу, і немає жодної різниці чи особливості ні в катета, ні в гипотенузы.

И що, по-друге, все числа без винятку, що задають становище будь-яких геометричних точок, повинні вважатися «ірраціональними» через простий нескінченності їх дробів, або ж треба прийняти, що жодних ірраціональних чисел зовсім не від существует.

Именно оскільки виконане розгляд призводить до повного зняттю логічного протиріччя, вынудившее колись їх измыслить.

Список литературы

Для підготовки даної праці були використані матеріали із російського сайту internet.