Поняття функції від багатьох змінних. 
Лінії рівня (реферат)

Реферат на тему:

Поняття функції від багатьох змінних. Лінії рівня На практиці досить часто функція y залежить не від однієї змінної x, а від багатьох аргументів x1,…, xn.

Означення. Множина значень {x1,…, xn}, за яких вираз f (x1,…, xn) має зміст, називається областю визначення функції від n змінних y = f (x1,…, xn).

Приклади.

1. Функція від двох змінних z=3x+5xy+y2. Область визначення цієї функції - всі пари дійсних чисел (x-y).

2. Функція від чотирьох змінних y=2×1+3×2-x3+7×4.

3. Функція від трьох змінних V=V (a, b, c)=aОб'єм паралелепіпеда є функцією від довжин його сторін.

4. Функція від двох змінних Q=F (K, L). Обсяг випущеної продукції Q є функцією від кількості затраченого капіталу K та кількості затраченої праці L. Областю визначення цієї функції є множина {KL.

5. Область визначення функції $$z=\sqrt{\text{100}-x^2-y^2}$$ визначається з нерівності 100-x2-y2 тобто x2+y2. Це круг з центром у початку координат і радіусом r = 10.

Функція від двох змінних (аргументів) f (x, y) представляє собою деяку поверхню в трьохвимірному просторі. Зокрема, графіком функції $$z=\sqrt{\text{100}-x^2-y^2}$$ є верхня половина сфери (рис. 6.1).

z.

6 8 10 y.

x.

Рис. 6.1.

Функції від двох змінних геометрично зображають також за допомогою ліній рівня (ліній однакового рівня, ізоліній).

Означення. Лінією рівня функції від двох змінних z=f (x, y) називається множина точок площин OXY таких, що f (x, y)=const=C.

Прикладом ізоліній є паралелі та меридіани.

Приклади.

1. Побудуємо лінії однакового рівня функції $$z=\sqrt{\text{100}-x^2-y^2}$$. При C=0 маємо $$0=\sqrt{\text{100}-x^2-y^2},$$ тобто x2+y2=102 (коло з радіусом r=10, рис. 6.2).

При C=6 отримуємо $$6=\sqrt{\text{100}-x^2-y^2}$$ тобто x2+y2=82. Отже лінією рівня, яка відповідає константі C=6, є коло з радіусом r = 8.

При C=8 отримуємо ізолінію (неявну функцію y від x) x2+y2=62.

y.

6 8 10 x.

Рис. 6.2.

2. Для випуску продукції Q використовують ресурси x1 та x2. Виробнича функція має вигляд Q=10×1+20×2 (ресурси повністю взаємозамінні, наприклад, цвяхи та шурупи).

Зобразити ізолінії для Q=Q (x1,x2) (лінії однакової кількості (quantity) продукції, ізокванти).

Очевидно, що при C=60 ізолінія (ізокванта) — це відрізок прямої 10×1+20×2=60, а при C=40 — відрізок прямої 10×1+20×2=40 (рис. 6.3).

(Ресурс x1).

4 Q=60.

3.

2 Q=40.

1.

1 2 3 4 5 6 (Ресурс x2).

Рис. 6.3.

3. Виробнича функція має вигляд Q=min{10×1,20×2} (ресурси повністю взаємодоповнюючі, наприклад, калійні та азотні добрива).

Тоді в точках (x1=2, x2=1), (x1=4, x2=1), (x1=2, x2=3) значення Q=40. У точках (x1=4- x2=2) та (x1=4- x2=4) випуск набуває значення Q=80. На рис. 6.4 зображені лінії однакового рівня (ізокванти) для кількості продукції Q.

(Ресурс x1).

5.

2 Q=80.

1 Q=40.

1 2 3 4 5 (Ресурс x2).

Рис. 6.4.

Зазначимо, що в другому та третьому прикладах зобразити функцію Q=Q (x1,x2) геометрично в тривимірному просторі дуже складно.

4. Випуск продукції Q, як функцію від вкладеного капіталу K та кількості затраченої праці L, задається формулою Q=K0.64 (часткова взаємозамінність і часткова взаємодоповнюваність ресурсів).

На рис. 6.5 зображено лінії однакового значення Q (тобто, графіки неявних функцій K0.64=10 та K0.64=20):

K.

Q=20.

Q=10.

L.

Рис. 6.5.

У тривимірному просторі функція Q=K0.64 є поверхнею, що зображена на рис. 6.6.

Q.

K.

L.

Рис. 6.6.

5. Розглянемо виробничу функцію Кобба-Дугласа вигляду Q=KL1-<-1) і побудуємо лінії однакового рівня для різних значень параметрів та C.

При 5 та C=2 маємо 2 = K0.55, звідки K= 2L-1.

При 3 та C=1 отримуємо 1 = K0.37, звідки K= 2L-7/3.

На рис. 6.7 зображені лінії однакового рівня за даних значень, а C.

K.

5 — C=2.

3 — C=1.

L.

Рис. 6.7.

6. Нехай виробнича функція Кобба-Дугласа має вигляд Q=KL<-1). На рис. 6.8,а та 6.8,б показані тривимірні зображення цієї функції (та лінії однакового рівня) для випадків -1 та -1, відповідно.

— 1 -1.

Q Q.

K K.

L L.

а б.

Рис. 6.8.