Чисельні методи розв'язання задач обчислювальної математики

Розрахункова графічна робота з курсу обчислювальної математики Чисельні методи розв’язання задач обчислювальної математики Виконав:

Студент групи ДС 71

Грабовий Олександр Варіант № 3

Теоретичні відомості

обчислювальна математика поліном лагранжа Обчислювальна математика — розділ математики, що включає коло питань, зв’язаних з виконанням наближених обчислень. У більш вузькому розумінні, обчислювальна математика — теорія чисельних методів розв’язування типових математичних задач. Сучасна обчислювальна математика включає в коло своїх проблем вивчення особливостей обчислень із використанням комп’ютерів.

Обчислювальна математика має широке коло прикладних використань для проведення наукових та інженерних розрахунків. На її основі в останні десятиліття розвинулися нові області облислювальних наук, наприклад, обчислювальна хімія, обчислювальна біологія тощо.

Задачі обчислювальної математики До задач обчислювальної математики відносять:

· розв’язування систем лінійних рівнянь

· знаходження власних значень і векторів матриці

· знаходження сингулярних значень і векторів матриці

· розв’язування нелінійних алгебраїчних рівнянь

· розв’язування систем нелінійних алгебраїчних рівнянь

· розв’язування диференціальних рівнянь (як звичайних диференціальних рівнянь, так і рівнянь з частинними похідними)

· розв’язування систем диференціальних рівнянь

· розв’язування інтегральних рівнянь

· задачі апроксимації

· задачі інтерполяції

· задачі екстраполяції

· задачі оптимізації

· обернені задачі.

Алгоритми розв’язування багатьох стандартних задач обчислювальної математики реалізовані на багатьох мовах програмування. Найчастіше для цих цілей використовуються мови ФОРТРАН і C. Ці алгоритми скомпановані в бібліотеки, які можна знайти, наприклад, в репозиторії Netlib. Популярні комерційні бібліотеки — IMSL та NAG, вільна альтернатива GNU Scientific Library. MATLAB, Mathematica, Maple, S-PLUS, LabVIEW та IDL, а також їх вільні альтернативи FreeMat, Scilab, GNU Octave (схожа на Matlab), IT++ (бібліотека C++), R (подібнадо S-PLUS) мають у своєму розпорядженні різноманітні чисельні методи, а також засоби для візуалізації та відображення результатів.

В даній роботі в якості програмного забезпечення використовувалося програмне забезпечення MATLAB.

Розрахункова частина

1. Інтерполяційний поліном Лагранжа L_n(x) для таблично заданої функції f (x).

Загальна формула:

де

Таблиця значень:

n=5

Формула у загальному вигляді:

Формула з підставленими значеннями:

Формула після скорочень:

Графік полінома Лагранжа:

Значення полінома в точці 0,526

Ln (0.812) = 1.723

2. Перша та друга похідна таблично заданої функції f (x) у заданих точках х, за допомогою формули числового диференціювання Ньютона.

h=0.2

N=3

Загальний вигляд формули для обчислення першої похідної на основі першої формули Ньютона Загальний вигляд формули для обчислення другої похідної на основі першої формули Ньютона де

1) x=2.4*0.05*N=2.4*0.05*3=2.55

q=0.75

Перша похідна:

Друга похідна:

2) x=2+0.03*N=2+0.03*3 =2.09

q= -1.55

Перша похідна:

Друга похідна:

Загальний вигляд формули для обчислення першої похідної на основі другої формули Ньютона Загальний вигляд формули для обчислення другої похідної на основі другої формули Ньютона

3) x=4.04−0.04*N=4.04−0.04*3=3.92

q= -0.4

Перша похідна:

Друга похідна:

4) x=4.5−0.06*N=4.5−0.06*3=4.32

q=-0.4

Перша похідна:

Друга похідна:

3. Обчислення значення інтегралу за допомогою формули трапеції. Кількість вузлів рівна 10

Складемо відповідну таблицю для значень функції

Загальний вид формули трапецеїдального числового інтегрування:

Формула з підставленими числовими коефіцієнтами:

Література

1. http://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%9E%D0%B1%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D1%8E%D0%B2%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0

2. http://masters.donntu.edu.ua/2003/ggeo/burik/library/lab1.htm

3. Мэтьюз Дж.Г. Численные методы. Использование MATLAB. Вильямс 2001 г, 720 с.