Підграфи. 
Ізоморфізм графів. 
Алгебра графів (реферат)

Реферат на тему:

Підграфи. Ізоморфізм графів. Алгебра графів

Граф G1=(V1,E1) називається підграфом графа G =(V, E), якщо V1 E1 /p>

Важливі класи підграфів складають підграфи, які отримуються в результаті застосування до заданого графа операції вилучення вершини і/або операції вилучення ребра.

Операція вилучення вершини v з графа G =(V, E) полягає у вилученні з множини V елемента v, а з множини E сіх ребер, інцидентних v.

Операція вилучення ребра e з графа G =(V, E) е вилучення елемента e з множини E. При цьому всі вершини зберігаються.

Графи G1=(V1,E1) і G2=(V2,E2) називаються ізоморфними, якщо існує таке взаємно однозначне відображення ножини вершин V1 на множину вершин V2, що ребро (v, w) тоді і тільки тоді, коли ребро (),)) Відображення азивається ізоморфним відображенням або ізоморфізмом графа G1 на граф G2.

Таким чином, ізоморфні графи відрізняються фактично лише ідентифікаторами (іменами) своїх вершин. З точки зору теорії графів ця відмінність не є суттєвою, тому звичайно ізоморфні графи ототожнюють і, зображаючи графи у вигляді діаграм, або зовсім не ідентифікують їхні вершини, або нумерують вершини натуральними числами.

Ізоморфне відображення графа G на себе називається автоморфізмом графа G. Автоморфізм рафа G =(V, E), при якому для кожної вершини v виконується)=v, називається тривіальним автоморфізмом.

Приклад 3.6. Пропонуємо переконатись, що всі графи, зображені на рис. 3.2, ізоморфні між собою, а графи на рис. 3.3 е є ізоморфними.

G1 G2 G3.

Рис. 3.2.

H1 H2.

Рис. 3.3.

Відношення ізоморфізму є відношенням еквівалентності на сукупності графів.

Теорема 3.1. Графи G1 та G2 ізоморфні тоді і тільки тоді, коли матрицю суміжності (матрицю інцидентності) одного з цих графів можна одержати з матриці суміжності (матриці інцидентності) іншого графа за допомогою відповідних перестановок рядків та стовпчиків.

Доведення. Справді, як було зазначено вище, ізоморфні графи G1 і G2 відрізняються між собою лише порядком нумерації вершин, тобто існує бієктивне відображення ножини номерів вершин першого графа на множину номерів вершин другого. Отже, кожен елемент aij (1) матриці суміжності A1 графа G1 збігається з елементом a (2) (тобто елементом, який знаходиться в рядку з номером) і стовпчику з номером)) матриці суміжності A2 графа G2. Таким чином, шляхом послідовного одночасного обміну місцями (перестановок) рядків і стовпчиків з номерами i та) для всіх i=1,2,…, n матрицю суміжності A1 можна перетворити у матрицю суміжності A2 і навпаки.

Якщо відображення ідоме, то таке перетворення виконати неважко. У разі ж, коли потрібно перевірити за допомогою матриць суміжності, чи є ізоморфними два задані графи з n вершинами кожний, необхідно здійснити різноманітні одночасні перестановки рядків і стовпчиків однієї з них. Якщо після чергової з таких перестановок дістанемо матрицю, яка повністю збігається з іншою, то ці графи ізоморфні. Однак, щоб в такий спосіб з’ясувати, що задані графи не є ізоморфними, потрібно виконати всі n! перестановок рядків і стовпчиків. Вже для порівняно невеликих значень n здійснити цей перебір практично неможливо навіть за допомогою обчислювальної машини. У прикладній теорії алгоритмів розробляються різноманітні алгоритми перевірки ізоморфізму графів, які для більшості графів (або окремих типів графів) дозволяють суттєво скоротити обсяг необхідних перевірок [2,7,8].

Для матриць інцидентності графів G1 і G2 з n вершинами і m ребрами кожний справедливі аналогічні міркування. Відмінність у тому, що коли G1 і G2 ізоморфні, тоді для їхніх множин вершин існує бієкція, а для множин ребер нша бієкція Загальна ж кількість необхідних кроків для перевірки ізоморфізму графів G1 і G2 у цьому випадку не перевищує n! m!

Граф G =(V, E) називається повним, якщо будь-які дві його вершини суміжні (тобто E=V (2)). Повний граф з n вершинами позначається Kn.

Очевидно, що будь-яка підстановка множини вершин повного графа Kn є автоморфізмом цього графа. Тому кількість усіх можливих автоморфізмів графа Kn дорівнює n!

Для графів можна означити операції об'єднання, перетину і доповнення.

Об'єднанням графів G1=(V1,E1) і G2=(V2,E2) називається граф G =(V1E1- позначається G =G1 Об'єднання G =G1називається прямою сумою графів G1 i G2, якщо V1p>

Перетином і різницею графів G1=(V, E1) i G2=(V, E2) з однаковими множинами вершин називаються графи ­­G, E1 i G =(V, E1E2) відповіднопозначаються ­­G і ­­G = G1G2.

Доповненням графа G =(V, E) називається граф $$\stackrel{}{G}$$ =(V, V (2)E). Отже, граф $$\stackrel{}{G}$$ має ту саму множину вершин V, що і граф G, а вершини графа $$\stackrel{}{G}$$ уміжні тоді і лише тоді, коли вони несуміжні в G. Для графа G з n вершинами виконується $$\stackrel{}{G}$$ =KnG.

Таким чином можна означити алгебру графів A=<Г,{}> (типу (2,2,1)), носієм якої є множина Г всіх графів. Iснують й інші операції для графів, отже, сигнатуру алгебри A можна розширювати.

Неважко переконатись у справедливості такого твердження.

Теорема 3.2. Графи G1 i G2 ізоморфні тоді і тільки тоді, коли ізоморфні їхні доповнення $$\stackrel{}{G}$$ 1 i $$\stackrel{}{G}$$ 2.

Приклад 3.7. Об'єднання і перетин графів H1 і H2 з попереднього прикладу зображені на рис. 3.4. Доповнення графів G2 i H2 зображені на рис. 3.5.

H1 H1.

Рис. 3.4.

$$\stackrel{}{G}$$ 2 $$\stackrel{}{H}$$ 2.

Рис. 3.5.

Список літератури.

1. Харари Т. Теория графов.- М., 1973.

2. Лекции по теории графов / Емеличев В. А., Мельников О. И., Сарванов В. И., Тышкевич Р.И.- М., 1990.

3. Зыков А. А. Основы теории графов.- М., 1987.

4. Оре О. Теория графов.- М., 1980.

5. Свами М., Тхуласираман К. Графы, сети, алгоритмы.- М., 1984.

6. Уилсон Р.

Введение

в теорию графов.- М., 1977.

7. Кристофидес Н. Теория графов. Алгоритмический подход.- М., 1978.

8. Рейнгольд Э., Нивергельт Ю., Део Н. Комбинаторные алгоритмы.-М., 1980.