Математическая теорія захватывания

Запровадження і стисле резюме.

Справжня робота присвячена дослідженню рухів автоколебаний системи з одного ступенем свободи під впливом зовнішньої періодичної сили. Такі руху вельми цікавлять радиотелеграфии (наприклад, до дослідження таких рухів зводиться теорія регенеративного приймача). Особливо чудово тут явища з так званого «захватывания ». Це у тому, що, коли період зовнішньої сили досить близький до періоду автоколебаний системи, биття пропадають; зовнішня сила хіба що «захоплює «автоколебания. Коливання системи розпочинаються з періодом зовнішнього сигналу, хоча раніше їх амплітуда дуже залежить від амплітуди «зниклих «автоколебаний. Інтервал захватывания залежить від інтенсивності сигналу і зажадав від автоколебательной системы.

Теоретично це питання розбирався, проте методами математично недостатньо суворими; ще, бралася характеристика дуже приватного виду — кубічна парабола. Тому ми розглядати випадок довільній характеристики при коливаннях близьких до синусоидальных.

У роботі ми розглянемо періодичні рішення з періодом, рівним періоду зовнішньої сили, та його стійкість при малих відхиленнях. Ми залишимо в боці інші стаціонарні руху, можливі в досліджуваної системи, наприклад періодичні рішення з періодом, кратним періоду зовнішньої силі, чи квазипериодические рішення. Ми залишимо осторонь важливе запитання про стійкості на великих отклонениях.

Для відшукання періодичних рішень скористаємося методом Пуанкаре, що дозволяють швидко вирішити завдання для випадку коливань, досить близьких до синусоидальным. Для цього він введемо до нашого рівняння параметр (в такий спосіб, щоб за (= 0 рівняння перетворюватися на лінійне і коливання робилися синусоидальными. Цей параметр (, який ми припускати досить малим, може мати різний зміст залежно від вибору системы.

Аби вирішити питання про сталість знайденого рішення за малих відхиленнях скористаємося методами Ляпунова, вимагаючи, щоб шукані рішення мали «сталістю по Ляпунову » .

У даний роботі не будемо вираховуватимуть радіуси збіжності тих рядів, із якими доведеться мати справу; груба оцінка то, можливо зроблено по Пуанкаре.

У § 1 і 2 розглядається сферу досить сильної расстройки; § 3 і 4 присвячені розгляду області резонансу; в § 5 показується, як загальні формули для амплітуд й у стійкості, отримані в § 1- 4, може бути застосовано у конкретних випадках, причому у як приклад розглядається випадок Ван дер Поля. Результати застосування загальних формул збігаються з тими, які нестрогим шляхом Ван дер Поль.

§ 1 Відшукування періодичного рішення на випадку досить сильної расстройки. Рівняння, яке нас интересовать:

[pic].

При (= 0 це рівняння має єдине періодичне рішення [pic].

Рассмотрим випадок, коли (нескінченно мало. Відповідно до Пуанкаре ми шукати рішення (1) наступного вигляді: [pic] Початкові умови виберемо так: [pic] F2 — статечної ряд по (1 (2, (який з членів другого порядку. Підставимо (3) в (1):

Порівнюючи коефіцієнти при (1 (2, (одержимо рівняння для А, У, З. Початкові умови можна було одержати їм, підставивши (4) в (3).

[pic].

Решая завдання Коші, получим:

[pic].

Для здобуття права (3) представляли періодичні рішення потрібно і досить, щоб [pic].

Введем позначення [pic]; інших функцій аналогічно. Тоді (6) запишеться в виде:

[pic].

Если у цій системі можна (1 (2 у вигляді функції (те щоб (1 (2, (зникли із системи (7), то (3) — періодичне рішення рівняння (1). Інакше Хне періодично. Достатнім умовою існування періодичного рішення за малих (служить нерівність 0 Якобиана.

В нашому випадку: [pic] Тобто. ми завжди маємо періодичні рішення за малих (і будь-яких f. Дані періодичне рішення то, можливо знайдено як. [pic].

§ 2 Дослідження стійкості періодичного решения Составим рівняння першого наближення, що породжується рішенням (8). Зробимо заміну: x = Ф (t) + (; в рівнянні (1) у своїй відкинемо члени, містять квадрати, і вищі ступеня (і («.

Воспользуемся тим, що Ф (t) — рішення рівняння. Одержимо рівняння першого приближения:

Это лінійне диференціальний рівняння з періодичними коефіцієнтами. Її рішення ми шукати як [pic] [pic] функції времени[pic] Задовольняють до того ж рівнянню, як і (, тобто (10). Початкові умови їм визначено так. [pic]; аналогічно можна показати, що [pic] (11). Уявімо праву частина рівняння як статечного низки по (.

[pic].

[pic]будем шукати як: [pic] (12). Підставимо (12) в (10) і порівнюючи коефіцієнти при відповідних ступенях (, получим:

[pic] Початкові умови для Ат, У, … Слід вибрати те щоб виконувалися умови (11). Справді підставляючи (11) в (12) і порівнюючи коефіцієнти при відповідних ступенях (, получим.

[pic] Для У «про і У аналогічно. Для інших з рівнянь умови будуть нульові. Итак:

[pic](14).

Решение (13) можна знайти з допомогою квадратур:

[pic](15).

Если згадати загальну теорію лінійних диффуров з періодичними коефіцієнтами, те спільне рішення (10) має вид:

[pic].

S1, S2 — періодичні функції з тим самим періодом, як і Ф (t). (1, (2 — характеристичні показники. Якщо всі [pic], тобто. коливання загасають, то цьому випадку виконується теорема, доведена Ляпуновым, про те, що періодичне рішення рівняння першого наближення цілком стійко. Відповідно до Пуанкаре характеристичні показники можна висунути зі наступного уравнения:

[pic]=0 (16) Гадаємо [pic];

[pic].

Тогда визначник будет:

[pic].

Вопрос про сталість, як зазначено вище, вирішується знаком Re ((), або що однаково (((. Якщо (((< 1 має місце стійкість (((= 1 цей випадок нашій завдання технічно нескладне інтересу. (((> 1 має місце нестійкість. Зблизька (18) мають місце 2 випадку q > р2; q < р2; У першому випадку (-комплексні; ((2 (=q; (20) якщо q1 — нестійкість. Випадок другий — (- справжні: [pic]; (21) стійкість відповідає [pic] p і q неважко отримати у вигляді рядів за рівнем (з формул (19) (12).

[pic](22) Якщо прийняти це до уваги (15).

[pic](22a).

[pic](23).

Мы бачимо, що з досить малому (і ((n; n (Z питання стійкості вирішується величиною q і отже знаком b, якщо b < 0- має місце стійкість, b > 0 — нестійкість. У нашому випадку b має вигляд: [pic] (23a).

§ 3 Відшукування періодичного рішення на області резонансу. Тоді ((((про; (2 = 1+ aо (, (24) (aо, (- расстройка, реальний фізичний резонанс настає при aо (0). Тоді досліджуване рівняння має вигляд :

[pic] (25).

При (= 0 періодичне рішення матиме вид: [pic](26) Дотримуючись Пуанкаре, ми можемо припустити періодичне рішення, у виде:

[pic] (27);

Начальные умови візьмемо як і раньше:

[pic].

Аналогично тому, як ми це робили у роки параграфах. Підставляємо (27) в (25) і, порівнюючи коефіцієнти при (1 (2, (та інших цікавлять нас величинах, одержимо рівняння, яким задовольняє A, B, З, D, E, F. Початкові умови тих рівнянь визначимо, якщо підставимо (28) в (27).

[pic] (29).

Запишем умови періодичності для (27):

[pic] Ділимо на (:

[pic] (30a).

Необходимым умовою існування періодичного рішення є: [pic] Ці рівняння визначають P і Q рішення (26), в близькості якого встановлюється періодичне рішення. Вони можуть бути записані в розкритій формі :

[pic] (31).

Для існування шуканого періодичного рішення досить нерівність 0 детермінанта: (див. § 1).

[pic].

D, Є. і їх похідні знайдуться з (29) з допомогою формул аналогічних (15). Зауважимо, що (30) ми можемо визначити (1, (2, як рядів по ступенів (. Отже, ми можемо (27) як й у § 1 у вигляді ряда.

[pic](33).

P, Q-определяются формулами (31) (32).

§ 4 Дослідження стійкості періодичних рішень у сфері резонанса Аналогично тому, як ми це робили в § 2, складемо рівняння першого наближення, породжене рішенням (33).

[pic].

Решение знову шукатимемо як [pic]. Однак необхідності проробляти все викладки наново. Скористаємося результатами § 2, приняв:

[pic] З формул (22) [pic] [pic] (34), тоді [pic] (- хоча б Якобиан, як і (32). Розпишемо его:

[pic].

[pic] (36).

[pic]; Тоді, знаючи функцію f, ми можемо обчислити (як функції P, Q і aо. Зауважимо, що рівність (23 а нашому випадку має вид:

[pic]; (37).

Опираясь на результати дослідження, отримані § 2, треба розглянути для дослідження стійкості два випадку: (за досить малих ().

1) p2 — q < 0 [pic] 2) p2 — q > 0 [pic] У першому випадку стійкість характеризується умовою q < 1 чи, що таке саме b < 0. У другий випадок [pic] (*) воно може виконати лише, якщо b < 0, а (> 0. Неважко бачити, що необхідним достатня умова в обох випадках є b < 0, (> 0. (Це можна з нерівності (*)).

§ 5 Застосування загальних формул, отримані попередніх параграфах, до теорії захватывания в регенеративном приймальнику для випадку, коли характеристика — кубічна парабола. Ми розглянемо простий регенеративный приймач з колебательным контуром в ланцюга сітки, який діє зовнішня сила Ро sin (1 t. Диференціальний рівняння коливань даного контуру таке: [pic] (39) Вважаючи, що анодный струм залежить від сеточного напруги, і навіть, що характеристикою є кубічна парабола: [pic](40) S-крутизна характеристики, До — напруга насичення [pic]. Далі, вводячи позначення: [pic] [pic] Одержимо диференціальний рівняння для x: [pic] (41).

А: (випадок далека від резонансу). Він застосовуємо результати § 1, полагая[pic]. Вихідний рішення, у не посередньої близькості, якого встановлюється дані рішення таке: [pic] Якщо (> 1, тобто. (про > (1, то різницю фаз дорівнює 0, якщо (< 1, то різницю фаз дорівнює (. У цьому плані усе відбувається у першому наближенні також, як і за звичайному лінійному резонансі. Стійкість визначається знаком b (b < 0).

[pic](42). Тобто. рішення, котрим виконується ця умова, устойчивы.

В: (область резонансу, § 3, 4). Як вихідного періодичного рішення, в безпосередній наближеності до якому встановлюється дані, буде рішення наступного виду: x = P sin t + Q co t (P, Q — const). Запишемо рівняння, що б ці P і Q, тобто. співвідношення (31) до нашого случая.

[pic].

Или перетворивши, одержимо следующее:

[pic].

Полагая Р = R sin (; Q = R co (. Далі знайдемо для амплітуди R і фази (для того вихідного періодичного рішення, в близькості якого встановлюється аналізованих періодичне рішення, співвідношення що пов’язують :

[pic] Перша формула дає «резонансну поверхню «для амплітуди. Друга — для фази. По (38) умови стійкості мають вигляд b < 0, (> 0. Вважаємо b і (через формули (35−37). [pic].

(46).

[pic].

Т.е. рішення є усталеним, якщо задовольняється умова (**). У висновок випишемо формули для обчислення aо, відповідного ширині захватывания для аналізованого случая.

1) [pic] a0 — є спільною коренем рівнянь [pic].

2) [pic].

Сама ширина ((, отсчитанная від однієї кордону захватывания до інший виражається так: ((= aо (2о (MS — з r). Можна дати прості формули для обчислення ширини захватывания у таких випадках: а) (2о.