Знакозмінні та знакопостійні ряди. 
Абсолютна та умовна збіжність (реферат)

Знакозмінні та знакопостійні ряди.

Абсолютна та умовна збіжність.

План.

1. 1.Означення закономірного ряду.

2. 2.Теорема Коші.

3. 3.Абсолютна та умовна збіжність.

Л-ра: Методичні вказівки до вивчення теми «Ряди». Укладачі: В. О. Борисенко, В. В. Левчук, В. С. Мартиненко, В.Д.Подільчук. КДТЕУ. К, 1992 р. ст. 16−19.

Теорема. Якщо в ряді з додатними членами загальний член, починаючи з певного значення п, задовольняє нерівність $$\sqrt[n]{U_n}<q,$$ де q — стале число, менше за одиницю, то ряд збігається.

Коли ж навпаки, починаючи з певного значення п, маємо $$\sqrt[n]{U_n}>=\mathrm{1,}$$

то ряд розбігається.

.

Доведення. У першому випадку маємо, починаючи з певного значення п, $$U_n<q^n(0<q<1)\text{.}$$.

Отже, збіжність ряду й тут безпосередньо встановлюється порівнянням із спадною геометричною прогресією, знаменник якої q. Варто зауважити, що нерівність.

$$U_{n+1}+U_{n+2}+\text{.}\text{.}\text{.}+U_{n+p}<q^{n+1}+q^{n+2}+\text{.}\text{.}\text{.}+q^{n+p}$$.

характеризує при цьому «швидкість» збіжностей даного ряду порівняно з геометричною прогресією.

В другому випадку матимемо з певного моменту $$U_n>=1$$, отже, ряд напевне, розбігається, бо навіть основна необхідна умова збіжності не виконується.

Наслідок. Якщо існує $$\underset{n->\mathrm{}}{\text{lim}}\sqrt[n]{U_n=r}$$, то при r < 1 ряд напевне збігається. Випадок r = 1 і тут взагалі є сумнівний.

Доведення.

Взявши u тут якесь число q, проміжне між r та 1 ($$r<=q<=1$$), ми з певного моменту матимемо — в першому випадку:

$$\sqrt[n]{U_n}<q<\mathrm{1,}$$.

Отже, ряж збігаєтьсяа в другому: $$\sqrt[n]{U_n}>q>\mathrm{1,}$$ отже, ряд розбігається.

Часто питання про збіжність ряду, що має члени як додатні, так і від'ємні, можна звести до питання про збіжність знакододатного ряду. Розглянемо таку теорему.

Теорема. Ряди $$U_1+U_2+U_3+\text{.}\text{.}\text{.}+U_n+\text{.}\text{.}\text{.}$$ напевне збігається, якщо збігається ряд $$|U_1|+|U_2|+|U_3|+\text{.}\text{.}\text{.}+|U_n|+\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}$$.

Доведення. Для кожного $$E>0$$ можна знайти таке $$N_E$$, при якому для $$n>=N_E$$ і при $$p>0$$ буде:

$$|U_n+1|+|U_n+2|+\text{.}\text{.}\text{.}+|U_n+p|<E\text{.}$$.

Але тоді й поготів.

$$|U_{n+1}+U_{n+2}+\text{.}\text{.}\text{.}+U_{n+p}|<E\text{.}$$.

Але це й доводить теорему.

Означення. Збіжний ряд $$U_1+U_2+\text{.}\text{.}\text{.}+U_n+\text{.}\text{.}\text{.}$$ називається абсолютно збіжним. Якщо збігається також і ряд $$|U_1|+|U_2|+|U_3|+\text{.}\text{.}\text{.}+|U_n|+\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}$$.

Розглянемо, наприклад, ряд.

$$\frac{\text{sin}}{1\sqrt{1}}+\frac{\text{sin}2}{2\sqrt{2}}+\text{.}\text{.}\text{.}+\frac{\text{sin}\mathit{n}}{n\sqrt{n}}+\text{.}\text{.}\text{.}\text{при}={\text{40}}^0$$.

Він ні знакододатний, ні знакозмінний. Ряд.

$$|\frac{\text{sin}}{1\sqrt{1}}|+|\frac{\text{sin}2}{2\sqrt{2}}|+\text{.}\text{.}\text{.}+|\frac{\text{sin}\mathit{n}}{n\sqrt{n}}|+\text{.}\text{.}\text{.}$$.

є знакододатний. Порівнюючи його з рядом.

$$\frac{1}{1\sqrt{1}}+\frac{1}{2\sqrt{2}}+\text{.}\text{.}\text{.}+\frac{1}{n\sqrt{n}}+\text{.}\text{.}\text{.},$$.

маємо.

$$|\frac{\text{sin}\mathit{n}}{n\sqrt{n}}|<=\frac{1}{n\sqrt{n}}\text{.}$$.

Ряд (3) збіжний, як ряд Діріхле-Рімана при $$P=\frac{3}{2}>1$$, отже, збіжним є ряд (2). Тоді за доведеною теоремою і за означенням ряд (1) є абсолютно збіжним.

Оскільки ряд, члени якого — абсолютні значення членів будь-якого ряду є знако-додатний, то, очевидно, щоб дослідити, чи будь-який ряд $$U_1+U_2+\text{.}\text{.}\text{.}+U_n+\text{.}\text{.}\text{.}$$ є абсолютно збіжним, ми можемо використовувати ознаки збіжності, виведені для знакододатних рядів, замінивши у відповідних виразах члени даного ряду їх абсолютними значеннями. Так, ознака Даламбера збіжності ряду запишеться тоді у вигляді $$\frac{|U_{n+1}|}{|U_n|}<q<\mathrm{1,}$$ ознака Коші - у вигляді: $$\sqrt[n]{|U_n|}<q<1$$ і т.п.

Означення. Якщо ряд $$U_1+U_2+\text{.}\text{.}\text{.}+U_n+\text{.}\text{.}\text{.}$$ (*) збіжний, а ряд $$|U_1|+|U_2|+|U_3|+\text{.}\text{.}\text{.}+|U_n|+\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}$$ розбіжний, то даний ряд (*) називається умовно збіжним.

Отже, ряд $$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\text{.}\text{.}\text{.}(-1{)}^{n+1}\frac{1}{n}+\text{.}\text{.}\text{.}$$.

умовно збіжний,.

Так само ряд $$1-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{4}}+\text{.}\text{.}\text{.}$$.

умовно збіжний, бо ряд.

$$1-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{4}}+\text{.}\text{.}\text{.}$$ є ряд Діріхле-Рімана, в якому $$p=\frac{1}{2}<1\text{.}$$.

Знакочергуючі ряди. Ознака Лейбніца.

План.

1. 1.Означення знакочергуючого ряду.

2. 2.Ознака Лейбніца.

3. 3.Оцінка залишку знакочергуючого ряду, збіжного за ознакою Лейбніца.

Л-ра: Методичні вказівки до вивчення теми «Ряди». Укладачі: В. О. Борисенко, В. В. Левчук, В. С. Мартиненко, В.Д.Подільчук. КДТЕУ. К, 1992 р. ст. 16−19.

Означення. Знакозмінними рядами називаються ряди виду:

$${а}_1-{а}_2+{а}_3-{а}_4+{а}_5-{а}_6+\text{.}\text{.}\text{.}+{а}_n(-1{)}^{n-1}+\text{.}\text{.}\text{.},$$.

де $$a_1,a_2,a_3,\text{.}\text{.}\text{.}$$

— додатні числа.

.

Теорема Лейбніца. Якщо в знакозмінному ряді абсолютне значення загального члена монотонно прямує до нуля (тобто $$0<a_1>a_2>a_3\text{.}\text{.}\text{.},$$

до того ж.

$$\text{lim}{a}_n=\text{0 при}n->\mathrm{}$$

), тоді знакозмінний ряд збігається, причому сума його має числове значення, проміжне між нулем та першим членом.

$$(0<S<a_1)\text{.}$$.

Доведення. Розглянемо спочатку частинну суму парного порядку $$S_{2K}$$

причому запишемо її в двох різних виглядах:

.

1 $$S_{2K}=(a_1-a_2)+(a_3-a_4)+(a_5-a_6)+\text{.}\text{.}\text{.}+(a_{2K-1}-a_{2K})$$

.

.

Помічаємо, що чим більше К, тим більше пар, але кожна пара додатна, отже, $$S_{2K}$$

монотонно зростає при збільшенні К.

.

1. 2З другого боку.

$$S_{2K}=a_1-(a_2+a_3)-(a_4+a_5)-\text{.}\text{.}\text{.}-(a_{2K-2}-a_{2K-1})-{а}_{2К}>0\text{.}$$.

Бачимо, що $$S_{2K}$$

<

$$а$$

для всіх значень k > 1. Отже,.

$$S_{2K}$$

обмежена зверху.

.

Зіставляючи обидва факти, приходимо до висновку, що величина $$S_{2K}$$

монотонна і разом з тим обмежена змінна, том вона, прямує до певної скінченої границі.

$$$$

при чому ця границя, очевидно, більша за а1 — а2 і не перевищує а1:

.

а1 — а2 < $$$$.

Отже, напевне 0 < $$$$

< а1.

.

Розглядаючи вже тепер частинну суму непарного порядку $$S_{2K}$$

+1, маємо:

.

$$S_{2K}$$

=.

$$S_{2K}$$

+ а2к+1.

.

Отже,.

$$\underset{}{}$$ $$\underset{k->\mathrm{}}{\text{lim}}{S}_{2k+1}=$$ $$\underset{k->\mathrm{}}{\text{lim}}{S}_{2k+1}+\underset{k->\mathrm{}}{\text{lim}}{a}_{2k+1}=+0$$ $$\underset{}{}$$.

Остаточно приходимо до висновку, що існує єдина границя:

$$S=\underset{k->\mathrm{}}{\text{lim}}{S}_n=$$ (0 < S < a1),.

коли індекс n — будь-яке натуральне число як парне, так і непарне, що доводить теорему.

Наслідок. За умовою теореми Лейбніца остаточна S — Sn = rn менша за абсолютним значенням, ніж абсолютне значення першого з відкинутих членів:

$$r_n/a_{n+1}$$

і має знак цього члена.

.

Доведення. Маємо:

$$S_n=a_1-a_2+a_3-\text{.}\text{.}\text{.}+(-1{)}^{n-1}{a}_n$$

.

.

$$r_n=(-1{)}^n(a_{n+1}-a_{n+2}+a_{n+3}-\text{.}\text{.}\text{.})$$.

Ряд в останніх дужках сам по собі є знакозмінний і задовольняє теорему Лейбніца, тому.

$$0<a_{n+1}-a_{n+2}+a_{n+3}-\text{.}\text{.}\text{.}<a_{n+1}$$

.

.

причому $$0<S-S_{2k}<a_{2k+1}$$.

$$0<S_{2k+1}-S<a_{2k+2}$$.

Отже, якщо перший з відкинутих членів непарний, то $$S_{2K}$$

представляє S з недостачею. Похибка має знак плюс. Якщо ж перший відкинутий член — парний, то.

$$S_{2K}$$

представляє S з надлишком. Похибка має знак мінус. В обох випадках, як бачимо, похибка має знак першого відкинутого члена і менша за абсолютним значенням, ніж абсолютне значення першого з відкинутих членів.

.

Диференціювання та інтегрування степеневих рядів.

План.

1. Знаходження сум степеневих рядів використовуючи почленне диференціювання та інтегрування.

Л-ра: Методичні вказівки до вивчення теми «Ряди.» Укладачі: В. О. Борисенко, В. В. Левчук, В. С. Мартиненко, В.Д. Подільчук. КДТЕУ.К., 1992 р. ст. 22−23.

Диференціювання степеневих рядів.

Теорема. Якщо степеневий ряд.

$$f(x)=c_0+c_{1}x+c_2{x}^2+\text{.}\text{.}\text{.}+c_n{x}^n+\text{.}\text{.}\text{.}$$.

має інтеграл збіжності (-р, р), то ряд.

$$c_1+2c_{2}x+3c_3{x}^2+\text{.}\text{.}\text{.}+{\text{nc}}_n{x}^{n-1}+\text{.}\text{.}\text{.}$$

(2).

.

утворений по членним диференціюванням ряду (1), має той самий інтервал збіжності (-р, р) і його сумою в цьому інтервалі є функція $$(х)=f\text{'}(x)$$

.

.

Доведення. Покажемо раніш, що коли ряд (1) збігається при певному значенні $$x=/=0$$

то на кожному сегменті.

$$[-k,k]$$

де.

$$\begin{array}{c}k</\\ \end{array}$$

ряд (2) збігається абсолютно й рівномірно.

.

Для цього, досить виявити збіжність ряду.

$$c_1/+2/c_2/k+3/c_3/k^2+\text{.}\text{.}\text{.}+n/c_n/k^{n-1}+\text{.}\text{.}\text{.}$$.

що відіграватиме роль мажоруючого ряду.

Позначаючи $$\begin{array}{c}\frac{k}{/}=g\\ \end{array}$$

де.

$$g<1$$

і беручи до уваги, що.

$$c_n{}_n/M$$

маємо.

.

$$\begin{array}{c}n/c_n/k^{n-1}=n/c_n\text{//}{}_n//\frac{1}{}/\frac{k^{n-1}}{{/}^{n-1}}=\\ \\ \begin{array}{c}n/c_n{}_n/\frac{1}{/}{g}^{n-1}<n\frac{M}{/}{g}^{n-1}=\text{nM}\text{'}{g}^{n-1}\end{array}\\ \hfill \end{array}$$

.

.

де $$\begin{array}{c}M\text{'}=\frac{M}{/}\\ \end{array}$$

. Застосуємо до ряду.

.

$$M\text{'}+2M\text{'}g+3M\text{'}{g}^2+\text{.}\text{.}\text{.}+\text{nM}\text{'}{g}^{n-1}+\text{.}\text{.}\text{.}$$.

ознаку Даламбера:

$$\frac{(n+1)M\text{'}{g}^n}{\text{nM}\text{'}{g}^{n-1}}=\frac{n+1}{n}g=(1+\frac{1}{n})g->g<1\text{при}n->\mathrm{}$$

.

.

Отже, ряд (4) збіжний, а тому збіжним є ряд (3). Звідси, випливає, що ряд (2) збігається абсолютно при кожному значені х інтервалу (-р, р), тобто інтервалу збіжності ряду (1). Якщо позначити, радіус збіжності ряду (2) через р', то ми довели, що р $$$$

р'.

.

Доведемо тепер, що р' не може бути ц більшим за р.

Справді, в усякій точці х, в якій абсолютно збігається ряд (2), збігається також і ряд.

$${с}_1\text{//}х/+2/{с}_2\text{//}х{/}^2+3/{с}_3\text{//}х{/}^3+\text{.}\text{.}\text{.}+n/c_n\text{//}x{/}^n+\text{.}\text{.}\text{.}$$

.

.

а оскільки $$\begin{array}{c}{c}_n\text{//}x{/}^{n}n/c_n\text{//}x{/}^n\\ \end{array}$$

то даний степеневий ряд (1) збігається абсолютно в точці х. Отже,.

.

$$p>=p\text{'}$$.

З нерівностей $$p<=p\text{'}$$

і.

$$p>=p\text{'}$$

випливає що.

$$p=p\text{'}$$

. Беручи до уваги теорему про диференціювання функціональних рядів, приходимо до висновку, що сума ряду (1) в усіх точках в середині спільного інтервалу збіжності рядів (1) і (2), тобто.

$$(х)=f\text{'}(x)$$

.

.

Теорему доведено.

Оскільки ми можемо застосувати доведену теорему і до про диференційованого ряду, а далі знову її застосувати і т.д., то можна зробити висновок про те, що сума степеневого ряду f (x) в інтервалі збіжності має похідні будь-якого порядку. Похідна f (k)(x) дорівнює сумі ряду, утвореного k-кратним поленим диференціюванням даного степеневого ряду.

Інтегрування степеневих рядів.

Теорема. Степеневий ряд.

$$f(x)=c_0+c_{1}x+c_{2}x+\text{.}\text{.}\text{.}+c_n{x}^n+\text{.}\text{.}\text{.}$$.

з радіусом збіжності р можна почленно інтегрувати на будь-якому сегменті [-k, k], що міститься в інтервалі збіжності (-р, р) ряду (5), зокрема в інтервалі (-р, р):

$$\stackrel{x}{S}f(x)\text{dx}=c_{0}x+c_1\frac{x^2}{2}+\text{.}\text{.}\text{.}+c_n\frac{x^{n-1}}{n+1}+\text{.}\text{.}\text{.}$$.

і радіус збіжності ряду (6) дорівнює р.

Доведення. На будь-якому сегменті [-k, k], що міститься в інтервалі (-р, р), ряд (5) збігається рівномірно, звідси й випливає можливість його почленного інтегрування. Доведено далі, що радіус збіжності ряду (6) дорівнює р. Згідно з загальною теоремою про інтегрування рядів функцій ряд (6) збігається рівномірно й абсолютно для всякого /х/ < р. Отже, радіус збіжності утвореного ряду не менший р. але він не може бути й більшим за р. це видно з того, що почленно про диференціювавши його, ми приходимо до даного степеневого ряду, а за теоремою про диференціювання степеневих рядів радіуси їх збіжності повинні бути однакові. Теорему доведено.