Сборник НА ЛЕКЦІЯХ Лекцій по матану

Глава 2. Диференціальний і інтегральне літочислення функції однієї переменной.

§ 1. Основні понятия.

Нехай D — деяке безліч чисел. Якщо заданий закон, яким кожному числу x з багатьох D ставлять у відповідність єдине певна кількість y, то говоритимемо, що у безлічі D задана функція, яку назвемо f. Кількість y — це значення функції f у точці x, що позначається формулою y = f (x).

Кількість x називається аргументом функції, безліч D — областю визначення функції, проте значення y утворюють безліч E, яке називається безліччю значень чи областю зміни функции.

Функція f називається зростаючій (убутній) на безлічі G, для будь-яких чисел х1 і х2 з багатьох G, таких що x1 < x2, виконується умова f (x1) < f (x2) (f (x1) > f (x2)).

Оскільки між безліччю дійсних чисел і безліччю точок числової осі можна встановити взаимно-однозначное відповідність, в подальшому викладі поняттям «число x» і «точка x числової осі» в окремих випадках буде придаваться і той ж сенс. Наприклад, замість «значення функції за значення аргументу, рівному х1» буде говоритися «значення функції у точці х1». У нижченаведеним визначенні можна скрізь замінити вираз «точка x» висловити «число х».

Нехай (— деяке позитивне число. (-околицею точки x0 називається безліч всіх точок x, що належать проміжку (x0 — (, x0 + (), крім самої точки x0. Належність точки x (-околиці точки [pic] можна сформулювати з допомогою подвійного неравенства.

0 < (x — x0(< (.

Число (називається радіусом окрестности.

§ 2. Межа і безперервність функции.

Розглянемо функцію y = x2 у точці x0 = 2. Значення функції у цій точці одно 4.

Зазначимо одній особливості поведінки функції у цій точці. Можна [pic] вибрати якесь позитивне число (і можуть побудувати (-околиця точки y0 = 4. Вочевидь, що знайдеться така околиця точки x0 = 2 (малюнку 1 ця околиця має радіус (), що й x лежатиме у цій околиці, то відповідне значення y, однакову x2, потрапить у (- околиця точки y0 = 4. Це висновок справедливо нічого для будь-якого, як завгодно малої кількості (. Тут точка x0 = 2 обрано довільно. Можна було для даної функції вибрати будь-яку іншу і зробити це заключение.

Розглянемо функцію [pic]. Ця функція не визначена у точці x0 = 2. При x0 (2 їх можна преобразовать:

[pic].

[pic] Графік функції представлений малюнку 2. Хоча вихідна функція не визначена у точці x0 = 2 і, природно не дорівнює 3 у цій точці, точка y0 = 3 має характерну особливість. Вибравши позитивне число (, можна стверджувати, що й розглядати значення x, розташовані досить близько до точки x0 = 2 (чи які у деякою околиці точки x0 = 2, причому радіус цієї околиці залежить від (), це були відповідні значення y потраплять в (-околиця точки y0 = 3. Все сказане залишається справедливим незалежно від цього, наскільки малим вибрано позитивне число (.

Введемо поняття краю функції. Кількість A називається межею функції y = f (x) у точці x0 (іноді говорять, при x, яка прагне до x0), для будь-якого позитивного числа (можна знайти таке позитивне число (, що всім x з (-околиці точки x0 відповідні значення y потрапляють у (-околиця точки y = A.

Можна сформулювати визначення краю функції інакше. Кількість A називається межею функції y = f (x) у точці x0, для будь-якого позитивного числа (можна знайти таке позитивне число (, що з всіх x, які відповідають условию.

0 < (x — x0(< (, виконується условие.

(y — A (< (.

Факт, що A є межа функції y = f (x) у точці x = x0, записується формулою [pic].

[pic].

Як очевидно з другого з розглянутих вище прикладів, у тому, щоб функція мали межу у точці x = x0, непотрібен, щоб у неї визначена у цієї точці. Розглянемо функцію [pic]. Вочевидь, що й x > 0, то y = 2x; якщо x < 0, то y = -2x; при x = 0 функція не определена.

Графік функції зображений малюнку 3. Легко переконатися, що, відповідно до наведеній вище визначенню краю, цю функцію у точці x = 0 краю не имеет.

Функція y = f (x) називається безупинної у точці x = x0, якщо вона визначена у цієї точці, й його значення f (x0) одно межі функції у цій точці: [pic].

Функція y = x2 безупинна у точці x = 2, як і всіх точках числової осі. Функція [pic] перестав бути безупинної у точці x = 2. Функція [pic] не є неперервним у точці x = 0.

[pic]Функция, безперервна у кожному точці відкритого проміжку, називається безупинної у цьому промежутке.

Наведемо властивості краю функции.

1. Функція неспроможна мати у одній точці дві різні предела.

2. [pic], якщо З — стала функция.

3. Якщо существует[pic] і З — стала функція, то.

[pic].

4. Якщо существуют[pic] і [pic], що існує [pic], рівний [pic], а теж є [pic], рівний [pic]. Якщо за цьому [pic], то существует[pic], рівний [pic].

Введемо визначення званих «односторонніх пределов».

Кількість B називається межею функції f (x) у точці a справа (це записується як формули [pic]), для будь-якого позитивного числа (знайдеться позитивне число (, таке що з з умови 0 < x — a < (буде слідувати (B -f (x) (< (.

Відповідно до наведеному визначенню [pic]. Зазначимо, що звичайного краю функція [pic] у точці x = 0 не имеет.

Кількість З називається межею функції f (x) у точці b зліва (це записується як формули [pic]), для будь-якого позитивного числа (знайдеться позитивне число (таке, що з умови 0 < b — x < (буде слідувати (З — f (x)(< (.

Вочевидь, що функція [pic] (її графік, зображений малюнку 3) має два односторонніх краю у точці x = 0:

[pic]; [pic].

Функція f (x) називається безупинної у точці a справа (безупинної в точці b зліва), если.

[pic] ([pic]).

Функція [pic] безупинна справа у точці x=0.

Функція називається безупинної на замкнутому проміжку [a, b], якщо вона безупинна на відкритому проміжку (a, b), безупинна справа у точці a і безупинна зліва у точці b.

Досить просто можна довести теорему, яка б пов’язала поняття краю функції у точці і односторонніх меж. Ми обмежимося лише формулюванням теоремы.

А, щоб виконувалося рівність [pic], необхідне й досить, щоб одночасно виконувалися два равенства:

[pic]; [pic].

Надалі нам знадобляться поняття краю функції в нескінченно удалённых точках. Розглянемо спочатку функцію f (x), певну на полубесконечном проміжку (х0; (). Кількість, А називається межею функції f (x) при x, яка прагне до бесконечности:

[pic],.

если нічого для будь-якого позитивного числа (можна знайти таке позитивне число M (залежить від (), що з всіх чисел x, переважаючих М, виконується условие:

(f (x) — A (< (.

Нехай тепер функція f (x) визначено на полубесконечном промежутке.

(-(; х0). Кількість, А називається межею функції f (x) при x, яка прагне до мінус бесконечности:

[pic],.

если нічого для будь-якого позитивного числа (можна знайти таке позитивне число M (залежить від (), що з всіх чисел x, менших, ніж — М, виконується условие:

(f (x) — A (< (.

Зазначимо два, про, «чудових краю » .

1. [pic]. Геометричний зміст цієї формули у тому, що пряма [pic] є дотичній до графіка функції [pic] у точці [pic].

2. [pic]. Тут e — ірраціональне число, приблизно однакова 2,72.

Наведемо приклад застосування поняття краю функції в економічних розрахунках. Розглянемо звичайну фінансову угоду: надання борг суми S0 з вимогою, що за період T її повернуть сума ST. Визначимо величину r відносного зростання формулой.

[pic]. (1).

Относительный зростання можна сформулювати у відсотках, помноживши отримане значення r на 100.

З формули (1) легко визначити величину ST:

ST = S0(1 + r) При розрахунку за довгостроковими кредитах, що охоплюють кілька повних років, використовують схему складних відсотків. Вона у цьому, що протягом 1-ї рік сума S0 зростає у (1 + r) раз, то «за другий рік у (1 + r) раз зростає сума S1 = S0(1 + r), тобто S2 = S0(1 + r)2. Аналогічно виходить S3 = S0(1 + r)3. З прикладів можна вивести загальну формулу для обчислення зростання суми за n років при розрахунку за схемою складних процентов:

Sn = S0(1 + r) n.

У фінансових розрахунках застосовуються схеми, де нарахування складних відсотків виробляється кілька разів на року. У цьому обумовлюються річна ставка r і кількість нарахувань протягом року k. Зазвичай, нарахування виробляються через рівні інтервали часу, тобто довжина кожного проміжку Tk становить [pic] частину року. Тоді для терміну в T років (тут T необов’язково є цілим числом) сума ST розраховується за формуле.

[pic] (2).

Тут [pic] — ціла частина числа [pic], яка збігаються з самим числом, якщо, наприклад, T — ціле число.

Нехай річна ставка дорівнює r і виробляється n нарахувань на рік через рівні інтервали часу. Тоді протягом року сума S0 нарощується до величини, обумовленою формулой.

[pic] (3).

У теоретичному аналізі та на практиці фінансової складової діяльності часто зустрічається поняття «безупинно начисляемый відсоток». Для переходу до безупинно начисляемому відсотку, у формулах (2) і (3) необмежено збільшувати відповідно, числа k і n (тобто спрямувати k і n до нескінченності) і обчислити, якого межі прагнутимуть функції ST і S1. Застосуємо її до формули (3):

[pic].

Заметим, що межа в фігурних дужках збігається з другим чудовим межею. Звідси випливає, що з річний ставці r при безупинно начисляемом відсоток сума S0 протягом року нарощується до величини S1*, що визначається з формулы.

S1* = S0er. (4).

Нехай тепер сума S0 надається позичає з нарахуванням відсотка n на рік через рівні інтервали часу. Означимо re річну ставку, при якої відбулася наприкінці року сума S0 нарощується до величини S1* з формули (4). І тут говоритимемо, що re — то річна ставка при нарахуванні відсотка n на рік, еквівалентна річному відсотку r при безупинному нарахуванні. З формули (3) получаем.

[pic]. Прирівнюючи праві частини її формули і формули (4), вважаючи в останньої T = 1, можна вивести співвідношень між величинами r і re:

[pic], [pic].

Эти формули широко використовують у фінансових расчётах.