Важливі точки трикутника в координатній формі

ВАЖЛИВІ ТОЧКИ ТРИКУТНИКА В КООРДИНАТНІЙ ФОРМІ

АНОТАЦІЯ Тема дипломного проекту: «Важливі точки трикутника в координатній формі».

У дипломному проекті обґрунтований вибір теми дослідження, доведена її актуальність.

Дана характеристика галузі дослідження, вказані інформаційні сукупності, використані при освітленні заданої теми.

Розглянуті всі питання, винесені в тему роботу та супутні їй. Наведені і прокоментовані результати, отримані при розв’язанні задач.

РЕФЕРАТ ДИПЛОМНОЇ РОБОТИ

Ключові слова: системи координат, афінні координати, полярні координати, декартові координати, геометричне місце точок (ГМТ), трикутник, центроїд, ортоцентр, методика викладання планіметрії.

Мета роботи: здійснити огляд та аналіз досягнень по темі дипломного проекту, зробити висновки.

Метод дослідження: Робота з інформаційними джерелами, аналіз вирішення проблем методики викладання, пов’язаних з темою.

ВСТУП

В роботі дається огляд деяких понять, пов’язаних з методом координат на площині і застосування цього методу в планіметрії на прикладі властивостей трикутника. Ця класична теорія продовжує розвиватись, особливо в частині методики її викладання, і це питання залишається актуальним і сьогодні.

У першому розділі введено поняття системи координат на площині, розглянуті деякі з таких систем та їх основні властивості. Зроблений коротка історична довідка про джерела виникнення поняття системи координат. Розглянуте поняття геометричного місця точок (ГМТ) та основні задачі, пов’язані з ним.

У другому розділі зроблений огляд різних способів задання трикутника в декартовій прямокутній системі координат на площині. Наводяться означення та приклади такого задання.

У третьому розділі розглядаються основні елементи трикутника та деякі важливі його точки та прямі в зв’язку з координатною формою їх задання.

У четвертому розділі розглядається методика викладання зазначених питань у середній школі. Розглянуті загальні методичні підходи, проведений аналіз змісту основних підручників та огляд діючих програм. Як приклад розглянуті геометричні задачі на побудову та прийоми вибору адекватного методу їх розв’язання. Дані розробки навчальних занять, пов’язані з темами, розглянутими в роботі.

Актуальність теми дослідження Становлення наукового світогляду людини неможливе без ознайомлення із специфікою математичних методів пізнання, формування уявлень про математичне моделювання, розуміння зв’язку геометрії з дійсністю, використання у навчанні фактів історії науки.

Геометрія для учнів основної загальноосвітньої школи є обов’язковою дисципліною, і ті можливості, які вона надає для формування наукового стилю мислення та розвитку творчих здібностей учнів, повинні повною мірою використовуватися в навчально-виховному процесі. Вивчення геометрії сприяє розвитку в учнів раціонального стилю мислення з характерними для нього рисами обґрунтованості, критичності, раціональності, алгоритмічності. Разом з тим, геометрична освіта має велике значення для розвитку уявлення, уяви, інтуїції, які є основою творчої діяльності особистості. Як свідчить практичний досвід роботи в школі, випускні екзамени, вступні випробування у вузах, курс геометрії базової школи закладає основу для вивчення стереометрії у 10−11 класах та геометрії і окремих технічних дисциплін у вузах.

Що стосується вибору змісту геометричного матеріалу, то трикутники, по-перше, пронизують весь курс планіметрії і властивості цих фігур використовуються у подальшому вивченні курсу стереометрії; по-друге, властивості трикутника, зокрема ознаки рівності і подібності, виступають одним із базових аргументів при доведенні теорем і розв’язуванні задач курсу геометрії. Тому сформульована тема дослідження має чітку змістову орієнтацію та практичну спрямованість.

Методологічною основою дослідження слугували сучасні теорії розвиваючого, особистісно орієнтованого навчання та основні дидактичні і психологічні закономірності навчання, які знайшли відображення у вітчизняних монографіях, методичних посібниках, підручниках, періодичній пресі. Дослідження враховує нормативні вимоги основних положень Закону України «Про освіту», Національну доктрину розвитку освіти та Концепції профільного навчання в старшій школі.

Був проведений аналіз педагогічної і навчально-методичної літератури з проблеми дослідження, аналіз результатів педагогічних експериментів.

1. МЕТОД КООРДИНАТ НА ПЛОЩИНІ

Історична довідка. Виникнення поняття системи координат

Ідея координат зародилася в давнину. Первинне їх застосування пов’язане з астрономією і географією, з потребою визначати положення світил на небі і певних пунктів на поверхні Землі при складанні календаря, зоряних і географічних карт. Знаменитий старогрецький астроном Клавдій Птолемей (II ст.) вже користувався довготою і широтою в якості географічний координат. Сліди застосування ідеї прямокутних координат у вигляді квадратної сітки (палетки) виявлені на стіні одній з похоронних камер Давнього Єгипту. Прямокутною сіткою користувалися і художники Відродження.

Загальноматематичне значення методу координат відкрили і вперше виявили французькі математики XVII в. П. Ферма і Р. Декарт. Виклад методу координат був вперше опублікований в «Міркування про метод» Декарта в 1637 році. Звідси і назви: «Декартова система координат», «Декартові координати.» Терміни «абсциса» (лат. abscissus — що відсікається) і «ордината» (лат. ordinates — впорядкований) сходять до латинського перекладу (XVI в.) творів великого старогрецького математика Аполлонія і були введені у вживання в 70−80-х рр. XVII в. Г. В. Лейбніцем. Ним же абсциса разом з ординатою були названі координатами.

Координатний метод опису геометричних об'єктів поклав початок аналітичній геометрії. Внесок в розвиток координатного методу вніс також Пьер Ферма, проте його роботи були вперше опубліковані вже після його смерті. Перша ж робота, що містить деякі описи системи координат і використання цього методу при рішенні завдань, була написана Пьером Ферма приблизно в середині 30-і роки XVII в. і названа ним «Введення у вчення про плоскі і тілесні місця». До своїх нових ідей Ферма прийшов, грунтовно виваючи, як і всі великі математики того часу, класичні роботи старогрецьких учених, зокрема Аполлонія. Ідея вимірювання абсцис на деякій фіксованій прямій і визначення точок будь-якою прямої за допомогою їх відстаней від деякої фіксованої точки нам здається тепер тривиальною, проте ніхто раніше Ферма і Декарта до такої «простої речі» не додумався. Декарт і Ферма застосовували координатний метод тільки на площині.

Треба сказати, що в працях самого Декарта немає декартових координат в сучасному сенсі. «Геометрія» Декарта, видана в 1637 р., була додатком до філософського трактату «Міркування про метод» і повинна була служити математичною ілюстрацією його методологічних принципів. Насправді «Геометрія» відкрила нову сторінку в математиці і мала фундаментальне значення незалежно від філософії. Декарт показав, що якщо вибрана одиниця довжини, то всі величини незалежно від їх розмірності можуть бути представлені однаковим чином, а саме за допомогою відповідного відрізка. Тепер множення і решта всіх арифметичних дій давали величину, однорідну з результатними. Фактично «Геометрія» Декарта є алгебраїчною роботою, і мало в ній можна знайти з того, що ми сьогодні називаємо «аналітичною геометрією», проте основна ідея останньоїалгебраїчний спосіб дослідження питань геометрії за допомогою методу координат — в ній чітко викладена. Із-за нелегкого стилю і нечіткого способу викладу «Геометрія» Декарта виявилася дуже важкою для читання. Проте математики-продовжувачі його справи знайшлись. Так, Дж. Валліс вперше ввів і негативні абсциси, які він застосував разом з негативними ординатами. Метод координат насилу пробивав собі дорогу. Деякі з тих, що продовжукали справу Декарта хоч і малювали другу вісь координат, але не застосовували її. Істотним поштовхом для подальшого розвитку «координатної» геометрії на площині була праця Ньютона «Перерахування кривих третього порядку» (1706) і книга його співвітчизника Дж. Стірлінга «Ньютонови криві третього порядку» (1717), в яких малювалися обидві осі (хоча вісь Y ще не вважалась рывноправною з віссю X) і квадранти. Лише Г. Крамер в своєму «Введенні в аналіз кривих» (1750) вперше по сучасному ввів вісь Y, вважаючи її рівноправною з віссю X, і чітко користувався поняттям двох координат точки на площині.

Координатний метод розв’язку задач на сьогоднішній день є дуже розповсюдженим і при правильному підході дозволяє вирішити багато задач з різних галузей людської діяльності: математичних, фізичних, астрономічних і технічних.

1.1 Системи координат і їх задачі

Системою координат на площині називають сукупність умов для визначення положення точки і ототожнення її з набором (парою) дійсних чисел.

Суть завдання системи координат на площині полягає в тому, щоб кожній точці площини поставити у відповідність пари дійсних чисел, що визначають положення цієї точки на площині.

1.1.1 Афінна система координат

Афінний репер та афінна система координат на площині

Означення. Репером (афінним репером) на площині називається сукупність точки О і впорядкованої пари лінійно незалежних, тобто неколінеарних векторів, прикладених до неї. Це позначатимемо або коротко R.

Очевидно, що впорядкована трійка точок O, А, B загального положення (тобто таких, що не лежать на одній прямій) однозначно визначає афінний репер R =, де,. І навпаки, репер визначає впорядковану трійку точок (0, Е1, Е2), де,. Тому афінним репером на площині називають також кожну впорядковану трійку точок загального положення.

Заданий афінний репер =(О, Е1, Е2) визначає на площині афінну систему координат. Справді, якщо М — довільна точка площини, то їй однозначно відповідає радіус-вектор .

В базисі () вектор має свої координати (х, у), тобто .

Саме ці числа х та у називаються координатами точки М в даній афінній системі координат (або в репері), що записується М (х, у). При цьому, х називається першою координатою або абсцисою, у — другою координатою або ординатою точки М, пряма ОЕ1 називається віссю абсцис (позначається Ох), а пряма ОЕ2 — віссю ординат (позначається Оу).

У вибраній системі координат координати кожної точки визначаються однозначно (це випливає з теореми про розклад вектора за двома неколінеарними векторами). Якщо О — початок системи координат, то координати цієї точки (0;0). Точки, осі Ох мають ординату, рівну 0, а точки осі Оу — абсцису рівну 0.

Координатами вектора, а в афінній системі координат (в репері) називаються координати цього вектора в базисі ().

Основні (базові) задачі афінної системи координат

Основними задачами конкретної системи координат називаються важливі для застосувань задачі, які в координатній формі в даній системі мають простий розв’язок.

Основними задачами афінної системи координат є:

1. Визначення положення точки (її координатами):

2. Визначення координат вектора:

3. Визначення координат точки М, яка здійснює поділ напрямленого відрізка у відношенні л (тобто):

4. З’ясування факту колінеарності двох векторів

5. З’ясування факту колінеарності точок .

6. М1, М2, М3 —колінеарні

7. Визначення координат точки G перетину медіан трикутника АВС (центра мас трикутника):

Перетворення афінних координат

Нехай і - дві фіксовані афінні системи координат (репери) на площині. Першу називатимемо «старою», а другу — «новою». І нехай в старій системі координат О'(х0,у0), = (с11,с21), = (с121,с22); М — довільна точка площини, яка в репері R має координати (х, у), а в репері R' - (x', y'). Встановлено взаємозв'язок між старими і новими координатами точки М:

x = c11x' + c12y' + x0 (1.1)

y = c21x' + c22y' + y0

Ці формули встановлюють взаємозв'язок між координатами однієї і тієї ж точки в двох різних афінних системах координат. Вони містять шість параметрів, які виражають взаємозв'язок між самими системами координат.

Якщо в старої і нової систем координат однакові базисні вектори, але різні початки, то ці формули мають вигляд:

x = x' + x0 (1.2)

y = y' + y0

Якщо в старої і нової систем координат співпадають початки, але різні базисні вектори, то маємо такі формули перетворення:

x = c11x' + c12y' (1.3)

y = c21x' + c22y'

Загальне перетворення афінних координат, яке виражають формули (1.1), є композицією (послідовним виконанням) двох частинних перетворень, які виражаються формулами (1.2) і (1.3).

Афінний простір На прямій, площини і взагалі в дійсному афінному просторі A системи координат складаються з точки (початок O) і репера {ei}, перехід визначається вектором перенесення початку і заміною репера. Цей перехід позитивний, якщо позитивний визначник матриці заміни (наприклад, при парній перестановці векторів репера). Дві системи координат визначають одну і ту ж орієнтацію, якщо одну з них можна перевести в іншу безперервно, тобто існує безперервно залежне від параметра t сімейство координатних систем O (t), {ei (t)}, що зв’язує дані системи O,{ei} і O',{ei'}.

Афінною геометрією називають науку, яка вивчає інваріанти групи афінних перетворень.

Із властивостей афінного перетворення маємо:

1) Довжина відрізка та величина кута не є інваріантами афінного перетворення. Тому в афінній геометрії всі трикутники рівні, бо будь-який трикутник можна відобразити на будь-який інший.

2) Паралельність прямих є інваріантою афінного перетворення, тому паралелограм переходить у паралелограм, трапеція — у трапецію.

3) Просте відношення трьох точок є інваріантою афінного перетворення, тому середина даного відрізка переходить у середину відповідного відрізка. Отже, медіана відображається на медіану відповідного трикутника.

Образ кола є еліпс, центр кола — переходить у центр еліпса, взаємно перпендикулярні діаметри кола переходять у взаємно спряжені діаметри еліпса, дотичні до кола переходять на відповідні дотичні до еліпса.

1.1.2 Прямокутна декартова система координат на площині

Прямокутна декартова система координат на площині є частковим випадком афінної (вона задається ортонормованим репером), а тому успадковує всі основні задачі останньої.

y

j

i x

Рис. 1.1

Крім того, прямокутна декартова система координат на площині має свої специфічні задачі:

1. Визначення відстані між точками (довжини вектора):

2. Визначення скалярного добутку векторів :

3. Друга задача дозволяє просто розв’язувати ряд інших задач, зокрема:

2.1. Встановлювати факт перпендикулярності векторів

2.2. Знаходити кут між векторами :

.

2.3. Знаходити алгебраїчну проекцію вектора на вектор:

4. Знаходження площі трикутника:

1.1.3 Полярна система координат

Історична довідка. Виникнення поняття полярної системи координат

Полярні координати в неявному вигляді застосовував ще Діострат (в 4 ст. до н.е.) при дослідженні квадратриси. Майже в сучасному вигляді вони зустрічаються у Я. Бернуллі (1691). І.Ньютон використовував полярні координати у «Методі флюксій» (опубліковано в 1736 р.), де він наводить і формули, які пов’язують полярні і декартові координати.

Зустрічаються полярні координати і в роботах Л.Ейлера. Термін «полярні координати» з’явився лише в 19 столітті. Спочатку математики мало приділяли уваги полярній системі координат. Це пов’язано з незручністю її використання при проведенні розрахунків і побудов, а також складністю сприйняття об'єктів в полярній системі координат. Хоча при вивченні об'єктів, що знаходяться на величезних відстанях і недоступних об'єктів дуже зручно використовувати саме полярну систему координат. Вся теорія руху небесних тіл побудована на основі полярної системи координат. Були розроблені формули переходу від декартової системи координат в полярну і навпаки.

Для визначення координат в декартовій системі координат використовуються координатні осі. Проте у ряді випадків зручно у якості координат використовувати не метричні величини, а величини інших размірностей, наприклад, кути. Полярна система координат ставить у відповідність кожній точці на площині пару чисел (с, ц). Основними поняттями цієї системи є точка відліку — полюс — і промінь, що починається в цій точці, — полярна вісь. Координата с — відстань від точки до полюса, координата ц — кут між полярною віссю і відрізком, що сполучає полюс і дану точку, який береться із знаком +, якщо кут від осі до відрізка обчислюється проти годинникової стрілки і із знаком — в протилежному випадку. Важливо розуміти, що число ц у полярній системі координат визначено не однозначно: парам чисел (с; ц+ 2рn) відповідає одна і та ж точка при будь-яких натуральних n. Для полюса с=0, а кут ц не визначений.

Полярною системою координат на площині називається сукупність

умов для визначення положення точки і ототожнення точки з парою дійсних

чисел. Вона включає такі умови:

наявність на площині променя (полярної осі Ос), початок (точка О) якого називається полюсом;

наявність лінійної масштабної одиниці (еталона довжини);

3) наявність кутової масштабної одиниці (еталона кутової величини).

Ця сукупність умов і дозволяє довільній точці М площини поставити у відповідність пару дійсних чисел (с, ц).

Основними задачами полярної системи координат є задачі на визначення:

Положення точки через її полярні координати (с, ц).

Відстані між точками:

Площі трикутника ОАВ, одна з вершин якого співпадає з полюсом

Координатними лініями називають лінії, вздовж яких змінюється лише одна координата. Координатними лініями полярної системи координат є концентричні кола з центром в полюсі (для них змінюється друга координата, r=соnst) і промені з початком в полюсі (для них змінюється лише перша координата, (ц=соnst).

Приведемо формули переходу:

· від полярної системи координат до декартової:

· від декартової системи координат до полярної:

Полярні рівняння Рівняння лінії або кривої, виражене в полярних координатах, називається полярним рівнянням і зазвичай виражається с як функція с = с (ц). Полярна крива симетрична:

* щодо полярної осі (лінії 0°/180°), якщо заміна ц на — ц у рівнянні приводить до еквівалентного рівняння;

* щодо лінії 90°/270°, якщо заміна ц на р? ц приводить до еквівалентного рівняння;

* щодо полюса, якщо заміна с на — с приводить до еквівалентного рівняння.

Будь-яка полярна лінія може бути повернена на б° проти годинникової стрілки за допомогою заміни ц на ц? б у полярному рівнянні.

Приклади деяких кривих в полярних координатах.

Якщо полярні координати центра кола M = (r, б), то коло описується рівнянням:

якщо M є початком координат, то рівняння буде мати вигляд:

с = r.

Равлик Паскаля Ї плоска алгебраїчна крива 4-го порядку. Рівняння в прямокутних координатах:

в полярних координатах:

Архімедова спіраль — плоска крива, траєкторія точки M, яка рівномірно рухається вздовж променя OV с початком в O, в той час як сам промінь OV рівномірно обертається навколо O. Іншими словами, відстань с = OM пропорційна куту повороту ц променя OV. Повороту променя OV на один і той же кут відповідає один і той ж приріст с.

Рівняння Архімедової спіралі в полярній системі координат записується так:

Проте зовсім не обов’язково визначати координати точки за допомогою кутів. Можна вибрати на площині ще один полюс на деякій відстані від першого і координатами кожної точки вважати відстані до цих полюсів. Така система координат отримала назву біполярної (від лат. Bi — «два»).

1.2 Суть методу координат на площині та його основні задачі стосовно геометричних місць точок

Суть методу координат полягає в тому, що з введенням системи

координат, точки площини ототожнюються з наборами дійсних чисел, що

дозволяє задавати і вивчати геометричні об'єкти за допомогою

співвідношень між числами і використовувати при цьому засоби алгебри та

аналізу.

Метод координат полягає в тому, що завдяки координатам точок геометричні об'єкти задають аналітично за допомогою чисел, рівнянь, нерівностей та їх систем і тим самим при доведенні теорем або розв’язанні геометричних завдань використовують аналітичні методи. Це суттєво спрощує розмірковування та часто дозволяє доводити теореми або розв’язувати задачі, користуючись певним алгоритмом (виконуючи ті чи інші обчислення), в той час, як синтетичний метод в геометрії в більшості випадків вимагає штучних прийомів. Але для того, щоб користуватися методом координат, необхідно вміти за допомогою чисел, рівнянь, нерівностей та їх систем завдавати геометричні фігури.

Основними задачами методу координат стосовно геометричних місць

точок є задачі:

. знайти аналітичні умови задання геометричного місця точок;

. за аналітичними умовами геометричного місця точок вивчити його

властивості.

Важливою задачею методу координат є задача визначення спільних

точок двох геометричних місць точок. Для розв’язання цієї задачі досить

розв’язати систему з аналітичних умов, що задають дані ГМТ.

Метод координат — спосіб визначати положення точки або тіла за допомогою чисел або інших символів (наприклад, положення шахових фігур на дошці визначається за допомогою чисел і букв). Числа (символи), що визначають положення точки на прямій або площині називаються її координатами. Залежно від цілей і характеру дослідження вибирають різні системи координат. Найбільш використовувана система координат — прямокутна система координат (також відома як декартова система координат). Координати у геометрії — величини, що визначають положення точки на площині і в просторі. На площині положення точки найчастіше визначається відстанями (перпендикулярами) від двох прямих, пересічних в одній точці під прямим кутом (початок координат); одна з координат називається ординатою, а інша — абсцисою.

трикутник точка система геометричний

1.2.1 Геометричні місця точок та аналітичні умови, що їх задають

Під геометричним місцем точок розуміють сукупність всіх точок, що володіють певною властивістю. Ця властивість часто в деякій системі координат відносно просто виражається в координатній формі.

Аналітичними умовами, що задають геометричне місце точок в певній системі координат, називають рівняння, нерівність або їх систему, які задовольняються координатами довільної точки, що даному ГМТ належить, і не задовольняються координатами жодної точки, яка йому не належить.

Скласти аналітичні умови задання геометричного місця точок означає пов’язати координати його біжучої (довільної) точки з відомими параметрами.

1.2.2 Основні задачі стосовно ГМТ

Розв’язок задачі на пошук ГМТ повинен містити доказ того, що:

а) точки, що володіють необхідною властивістю, належать фігурі ?, що є відповіддю задачі;

б) всі точки фігури? мають необхідну властивість.

ГМТ, що володіють двома властивостями, є перетином (тобто загальною частиною) двох фігур: ГМТ, що володіють першою властивістю, і ГМТ, що володіють другою властивістю.

Приклади геометричних місць точок на площині.

Приклад 1. Серединний перпендикуляр будь-якого відрізка є геометричне місце точок (тобто множина всіх точок), рівновіддалених від кінців цього відрізка.

Тоді, відстані від будь-якої точки P, що лежить на серединному перпендикулярі PO, до кінців A і B відрізка AB однакові і рівні d. Таким чином, кожна точка серединного перпендикуляра відрізка володіє наступною властивістю: вона рівновіддалена від кінців відрізка.

Приклад 2. Бісектриса кута є геометричне місце точок, рівновіддалених від його сторін.

Приклад 3. Коло є геометричне місце точок (тобто множина всіх точок), рівновіддалених від її центру.

2. ТРИКУТНИК В ПРЯМОКУТНІЙ ДЕКАРТОВІЙ СИСТЕМІ КООРДИНАТ

Історична довідка. виникнення та розвиток поняття трикутника

Трикутник по праву вважається простішою з фігур: будь-яка плоска, тобто така, що тягнеться в двох вимірюваннях, фігура повинна містити хоч би три точки, не лежачі на одній прямій. Якщо з'єднати ці точки попарно прямолінійними відрізками, то побудована фігура і буде трикутником. Так само називають і укладену усередині контуру, що утворився, частину площини. Таким чином, будь-який площинний багатокутник може бути розбитий на трикутники.

Трикутник завжди мав широке застосування в практичному житті. Так, в будівельному мистецтві споконвіку використовується властивість жорсткості трикутника для зміцнення різних будов і їх деталей. Зображення трикутників і завдання на трикутники зустрічаються в папірусах, в старовинних індійських книгах і інших стародавніх документах. У стародавній Греції вчення про трикутник розвивалося в іонійській школі, заснованій в VII столітті до наший ери Фалесом, в школі Піфагора і інших; воно було потім повністю викладене в першій книзі «Почав» Евкліда. Серед «визначень», якими починається ця книга, є і наступні: «З трибічних фігур рівносторонній трикутник є фігура, що має три рівні сторони, рівнобедрений же — що має тільки дві рівні сторони, різносторонній — що має три нерівні сторони». Поняття про трикутник історично розвивалося, мабуть, так: спочатку розглядалися лише правильні, потім рівнобедрені і, нарешті, різносторонні трикутники. З розвитком науки про трикутники в побут учених (та й не тільки їх) увійшли характерні назви деяких точок і ліній трикутника, наприклад таке, як чевіана — відрізок, що з'єднує вершину трикутника з деякою точкою на протилежній стороні.

2.1 Рівняння прямої

Визначення. Будь-яка пряма на площині може бути задана рівнянням першого порядку

Ах + Ву + С = 0 (2.1)

причому постійні А і В не дорівнюють нулю одночасно, тобто А2 + В2 0. Це рівняння першого порядку називають загальним рівнянням прямої.

Рівняння прямої може бути представлене в різному виді залежно від заданих початкових умов.

Якщо загальне рівняння прямій Ах + Ву + С = 0 привести до вигляду:

і позначити (при цьому B0), то отримане рівняння називається рівнянням прямої з кутовим коефіцієнтом k.

Тут k=tg _ нахил цієї прямої до осі Oх (Рис 2.1.а) — кутовий коефіцієнт.

Часткові випадки розташування прямої (y=kx, x=a, y=b) показані, відповідно, на Рис. 2.1.

y y y y

b

b x 1350 x x x

a б в г Рис. 2.1

Якщо в загальному рівнянні прямій Ах + Ву + С = 0 С 0, то, розділивши його наС, одержимо:

або:, де Геометричний зміст коефіцієнтів цього рівняння у тім, що коефіцієнт, а є координатою точки перетину прямої з віссю Ох, а b — координатою точки перетину прямої з віссю Оу.

Наведемо ще деякі з рівнянь, які задають пряму на площині.

Пряма, яка проходить через дві задані точки M1(x1;y1) та M2(x2;y2):

або, що те саме,

.

Пряма, яка проходить через задану точку (x1;y1) паралельно до заданої прямої y=ax+b :

y-y1=a (x-x1)

Пряма, яка проходить через задану точку (x1;y1) перпендикулярно до заданої прямої y=ax+b :

Якщо обидві частини рівняння Ах + Ву + С = 0 розділити на число, що називається нормуючим множником, то одержимо:

xcos + ysin — p = 0 — нормальне рівняння прямої.

р — довжина перпендикуляра, опущеного з початку координат на пряму, а ц — кут, утворений цим перпендикуляром з позитивним напрямком осі Ох.

2.2 Трикутник, заданий координатами своїх вершин

Означення: Трикутником називається геометрична фігура, яка утворена трьома заданими точками, що не лежать на одній прямій, які з'єднані трьома прямолінійними відрізками.

Основні елементи трикутника:

Вершина трикутника — це спільна точка двох сторін трикутника. Трикутник має три вершини, які прийнято позначати будь-якими великими латинськими літерами. Як правило, використовують такі літери: А, В, С.

Сторона трикутника — це відрізок, який сполучає дві вершини трикутника.

Важливі відрізки трикутника:

ma — медіана;

lb — бісектриса;

ha — висота;

Трикутник однозначно задається координатами своїх трьох вершин.

Види трикутників по довжинах сторін:

Різносторонній, якщо в трикутнику довжини сторін різні.

Рівнобедрений, якщо в трикутнику хоча б одна пара сторін має рівні довжини.

Рівносторонній, якщо всі три сторони рівні (окремий випадок рівнобедреного).

a, b — бічні сторони с — основа Нерівність трикутника (необхідна умова існування трикутника):

CB

BA

AC

2.3 Трикутник, заданий рівняннями своїх сторін

Перетин прямих. Нехай a1x + b1y + c1 = 0 та a2x + b2y + c2 = 0 — рівняння двох прямих. Застосуємо правило Крамера для розв’язку системи лінійних рівнянь. Позначимо:

d =, dx =, dy =

Якщо d = 0, то прямі паралельні. Якщо d = dx = 0, то прямі співпадають. Якщо d = 0 та dx? 0, то прямі не співпадають.

При d? 0 розв’язком системи будуть x = dx / d, y = dy / d.

Тоді, використовуючи це правило, можна, знаючи рівняння сторін трикутника у вигляді, наприклад, рівнянь ax + by + c = 0, знайти точки їх перетину, які є вершинами трикутника і тим самим перейти до пепереднього способу задання.

2.4 Трикутник, заданий системою нерівностей

Нехай задана система нерівностей:

a1x + b1y + c1 > 0

a2x + b2y + c2 > 0

a3x + b3y + c3 > 0

Як відомо, лінійна нерівність Aх+By +C? 0 описує точки напівплощини, які лежать по одну сторону від прямої Aх+By +C = 0.

Сукупність заданих напівплощин у своєму перетині задає множину точок, які можуть належати трикутнику.

Будуємо прямі, рівняння яких отримуються внаслідок заміни в обмеженнях знаків нерівностей на знаки точних рівностей.

Знаходимо напівплощини, що визначаються заданими нерівностями.

У відповідну нерівність достатньо підставити координати будь-якої точки, наприклад початку координат, і перевірити виконання цієї нерівності. Якщо нерівність виконується, то шукана півплощина містить цю точку, в іншому випадку півплощина знаходиться по інший бік граничної прямої.

Отримуємо в результаті перетину півплощин трикутник.

Знаходимо вершини трикутника як перетин відповідних прямих.

Приклад.

Система нерівностей:

y? 0

5x + y? 3

— 2x + y? 0,5

задає трикутник АВС (Рис. 2.1).

(Рис. 2.1)

3. ДЕЯКІ ВАЖЛИВІ ТОЧКИ ТРИКУТНИКА

З історії досліджень чудових точок трикутника

В четвертій книзі «Початків» Евклід вирішує задачу: «Вписати круг в даний трикутник». З рішення витікає, що три бісектриси внутрішніх кутів трикутника перетинаються в одній точці - центрі вписаного круга. З рішення іншої задачі Евкліда витікає, що перпендикуляри, відновлені до сторін трикутника в їх серединах, теж перетинаються в одній точці - центрі описаного круга. У «Початках» не мовиться про те, що і три висоти трикутника перетинаються в одній точці, що називається ортоцентром (грецьке слово «ортос» означає «прямий», «правильний»). Цей факт був, проте, відомий Архімеду, Паппу, Проклові. Четвертою особливою точкою трикутника є точка перетину медіан. Архімед довів, що вона є центром тяжіння (баріцентром) трикутника. Він прийшов до поняття центроїда, розглядаючи центр ваги однорідної трикутної пластинки

На вищеназвані чотири точки була обернена особлива увага, і починаючи з XVIII століття вони були названі «чудовими» або «особливими» точками трикутника. Дослідження властивостей трикутника, пов’язаних з цими і іншими точками, послужило початком для створення нової гілки елементарної математики — «геометрія трикутника» або «нової геометрії трикутника», одним з родоначальників якої став Леонард Ейлер. У 1765 році Ейлер довів, що в будь-якому трикутнику ортоцентр, баріцентр і центр описаного кола лежать на одній прямій, названій пізніше «прямою Ейлера». У двадцятих роках XIX століття французькі математики Ж. Понселе, Ш. Брианшон та інші встановили незалежно один від одного наступну теорему: основи медіан, основи висот і середини відрізків висот, які сполучають ортоцентр з вершинами трикутника, лежать на одному і тому ж колі. Це коло називається «Колом дев’яти точок», або «колом Фейєрбаха», або «колом Ейлера». К. Фейербах встановив, що центр цього кола лежить на прямій Ейлера.

Великий внесок в розвиток геометрії трикутника внесли математики XIX — XX століть Лемуан, Брокар, Тебо та інші.

3.1 Центроїд

Означення: пряма, що з'єднує вершину трикутника із серединою протилежної сторони, називається медіаною.

Рис. 3.1

Нехай дві із трьох медіан трикутника, наприклад BB і CC перетинаються в точці G, а L й M — середини відрізків GB й GC, те в силу теореми

Евкліда:

* якщо пряма лінія проведена паралельно одній стороні трикутника, то вона розсіче інші сторони пропорційно.

C?B? і LM паралельні BC і по довжині рівні її половині. Тому BCLM-паралелограм. Оскільки діагоналі паралелограма в точці перетину діляться навпіл, те

BG = GL=LB,

CG = GM=MC.

Таким чином, медіани BB' і CC' відтинають в G третину одна від іншої (тобто точка G, що лежить на одній з медіан на відстані двох третин від вершини, лежить також на другій медіані на такій же відстані від вершини, а отже й на третині медіані).

Ми довели теорему: три медіани трикутника перетинаються в одній точці.

Означення: центроїд — це точка перетину медіан в трикутнику. Центроїд традиційно позначається латинською буквою М.

Той факт, що три медіани перетинаються в одній точці, був доведений ще Архімедом. Його властивості:

* Центроїд ділить кожну медіану у відношенні 2:1, вважаючи від вершини.

* Центроїд лежить на відрізку, який сполучає ортоцентр і центр описаного кола і також ділить його відносно 2:1 (див. пряма Ейлера).

* Якщо у вершини трикутника помістити рівні маси, то центр мас (баріцентр) отриманої системи співпадатиме з центроїдом. Більш того, центр мас трикутника з рівномірно розподіленою масою також знаходиться в центроїді.

Якби трикутник був вирізаний з однорідного матеріалу, то він залишився би у рівновазі, будучи підвішеним у центроїді.

Рис. 3.2

Розглянувши Рис. 3.2, ми виявляємо що SGBA= SGAC, тому що ці трикутники мають однакові основи й ту саму висоту Тому позначимо ці площі однієї й тією же буквою x .

Аналогічно маємо: SGCB =SGBA й SGAC =SGCB (позначимо ці площі через y й z). Також маємо: SCCA=SCCB, тобто 2y+z = z+2y, отже y = x.

Аналогічно: SABA = SAAC, отже y = x. Ми показали, що x = y = z, а це є

Теорема: трикутник ділиться своїми медіанами на 6 менших трикутників рівної площі.

3.2 Ортоцентр

Означення: ортоцентр (від грецьк. псипо — прямий) — це точка перетину висот трикутника. Традиційно позначається латинською буквою H. Залежно від виду трикутника ортоцентр може знаходиться усередині трикутника (у гострокутних), поза ним (у тупокутних) або співпадати з вершиною (у прямокутних — співпадає з вершиною при прямому куті). Не дивлячись на те, що перетин трьох висот трикутника в одній точці здавався очевидним, строгий доказ цього факту дав Карл Фрідріх Гаусс тільки в XVIII столітті.

Рис. 3.3

Чевіани AD, BE, CF, (Рис. 3.3), перпендикулярні прямим BC, CA, AB, відповідно, називаються висотами трикутника ABC. Їхня загальна точка H — ортоцентр.

Самі точки D, E, F називаються основами висот. З'єднуючи їх попарно, ми одержимо трикутник DEF — ортотрикутник трикутника ABC.

Можна багато чого довідатися, досліджуючи Рис. 3.4, на якому зображені гострокутний трикутник ABC, вписаний в коло, центр O, ортоцентр H й ортотрикутник DEF. Кілька кутів на Рис. 3.4 позначимо символом б, що має значення 900 —. Так як трикутник OAC подібний до трикутника IBC, зображеному на Рис. 3.5

Рис. 3.5

т0 AOC =А. Таким чином, величина кожного з кутів при підставі рівнобедреного трикутника OBC дорівнює 900 — A. Із прямокутних трикутників ABE й ACF ми одержуємо ті ж значення для кутів EBA й ACF.

Рівність останніх двох кутів можна було б побачити з того факту, що чотирикутник BCEF є вписаним, тому що кути BEC й BFC — прямі. Аналогічно використовуючи чотирикутники BDHF й CEHD, ми знаходимо, що HDF=HBF=EBF=ECF=ECH=EDH. Таким чином, відрізок HD є бісектрисою кута EDF.

З тих же міркувань одержуємо, що відрізок HE ділить навпіл кут FED, а відрізок HF — кут DFE. Тому можна сформулювати цікавий результат: висоти в трикутнику є бісектрисами його ортотрикутника. Результат можна записати в наступному виді:

Теорема: ортоцентр гострокутного трикутника є центром кола вписаного в його ортотрикутник.

Ми вже відзначили на малюнку Рис. 3.4, що HDF=DBO. А тому що відрізок HD перпендикулярний відрізку DB, то й відрізок FD повинен бути перпендикулярним відрізку OB.

Аналогічно показується перпендикулярність відрізків DE й OC, а також EF й OA.

Властивості ортоцентру:

* Ортоцентр лежить на одній прямій з центроїдом, центром описаного кола і центром кола дев’яти точок (див. пряма Ейлера).

* Точки, симетричні ортоцентру щодо його сторін, лежать на описаному колі.

* Точки, симетричні ортоцентру щодо середин сторін, також лежать на описаному колі і співпадають з точками, діаметрально протилежними відповідним вершинам.

3.3 Серединний трикутник

Означення: трикутник, отриманий з'єднанням середин сторін даного трикутника, назвемо серединним трикутником (ABC).

Його площа в чотири рази менше площі даного трикутника.

Розглянемо дві медіани AA і BB, що перетинаються в точці G, дві висоти трикутника ABC, що перетинаються в точці H, і дві висоти трикутника ABC що перетинаються в точці О.

Сторони трикутника ABC паралельні сторонам трикутника ABC, тому ці трикутники подібні. CB= BC, тому відношення довжин будь-яких двох відповідних відрізків (а не тільки відповідних сторін) буде дорівнює 1:2.

Відрізки BC, CA, AB розбивають трикутник ABC на 4 конгруентних трикутники.

Точка P — середина відрізка BC — також є й серединою відрізка AA.

Далі бачимо, що ACAB — паралелограм, отже AA ділить пополам відрізок BC. Тому медіани трикутника ABC лежать на медіанах трикутника ABC, а це значить, що обидва трикутники мають той самий центроїд G.

Висоти трикутника ABC є серединними перпендикулярами сторін AB й BC трикутника ABC. Отже точка O — ортоцентр трикутника ABCє в той же час і центром кола, описаного навколо трикутника ABC.

Так як точка H — ортоцентр трикутника ABC, то точка O — ортоцентр подібного йому трикутника ABC, то AH=2OA.

3.4 Пряма Ейлера

У геометрії трикутника пряма Ейлера може бути визначена як пряма, що проходить через центр описаного кола і ортоцентр трикутника. Пряма Ейлера також проходить через центроїд і центр кола дев’яти точок.

Теорема: ортоцентр, центроїд і центр описаного кола довільного трикутника лежать на одній прямій. Центроїд ділить відстань від ортоцентра до центра описаного кола у відношенні 2:1.

Означення: пряма на якій лежать ці три точки, називається прямою Ейлера цього трикутника.

Визначимо точку N (Рис. 3.6), де пряма Ейлера HO перетинає пряму, що проходить через точку P перпендикулярно відрізку BC. Всі три прямі AH, PN, AO, перпендикулярні до відрізка BC, паралельні. Тому що AP=PA, те пряма PN рівновіддалена від прямих AH й AO. Отже, точка N — середина відрізка HO.

Якщо ми проведемо ті ж міркування, але стосовно до якої-небудь іншої сторони цього трикутника, то відрізок HO залишиться тим же, і він буде ділитися навпіл серединним перпендикуляром до нової сторони. Тому що у відрізка HO тільки одна середина, то можна стверджувати, що серединні перпендикуляри всіх трьох сторін трикутника ABC будуть проходити через точку N. Інакше кажучи, точка N повинна бути центром кола, описаного навколо трикутника ABC.

Висновок: центр кола, описаного навколо серединного трикутника, лежить у середині відрізка HO прямої Ейлера вихідного трикутника. Так як ABC~ABC, то і радіус кола, описаного навколо серединного трикутника, дорівнює половині радіуса кола, описаного навколо початкового трикутника.

3.5 Бісектриса. Вписане коло. Описане коло

Ще одне важливе сімейство чевіан утворюють бісектриси внутрішніх кутів. На малюнку Рис. 3.7 показана одна така бісектриса AL. Якщо застосувати теорему синусів для трикутника ABC з радіусом описаного кола R, то мають місце співвідношення

=2R

І для двох трикутників ABL й ALC (кути яких у точці L, будучи додатними, мають рівні синуси), ми одержимо

Тому що ми можемо одержати аналогічні результати для бісектрис внутрішніх кутів B й C, то ми у такий спосіб довели таку:

Теорему: кожна бісектриса внутрішнього кута в трикутнику ділить протилежну сторону на відрізки, довжини яких пропорційні довжинам прилягаючих сторін.

Будь-яка точка на прямій AL (Рис. 3.7) рівновіддалена від прямих CA й AB. Аналогічно, будь-яка точка на бісектрисі внутрішнього кута B рівновіддалена від прямих AB й BC. Отже, точка I, у якій ці дві бісектриси перетинаються, перебуває на рівних відстанях r від всіх трьох сторін.

Теорема: бісектриси трьох внутрішніх кутів трикутника конкурентні.

Коло із центром у точці I і радіуса r (Рис. 3.8) дотикається всіх трьох сторін і тому є вписаною окружністю.

Точка перетину внутрішніх бісектрис у трикутнику називається центром вписаного кола. Перпендикуляри, відновлені до середин трьох сторін трикутника, проходять через точку O, що є центром описаного кола. Це єдине коло, що проходить через вершини A, B, C (Рис. 3.9).

На малюнку Рис. 3.10 зображене вписане коло, що дотикається сторін BC, CA, AB у точках X, Y, Z. Тому що дві дотичні до кола, проведені із зовнішньої точки, рівні, то ми одержуємо, що AY=AZ, BZ=BX, CX=CY.

На малюнку Рис. 3.10 довжини цих відрізків позначені буквами x, y, z, так, що y+z=a, z+x=b, x+y=c. Складаючи ці рівності використовуючи введене Ейлером позначення S для напівпериметра, одержимо 2x+2y+2z=a+b+c=2S, отже x+y+z=S, тобто справедлива

Теорема: x=S-a, y=S-b, z=S-c.

Так як трикутник IBC має основу a і висоту r, то його площа дорівнює SIBC= ar.

Додавши до нього аналогічні вирази для SICA й SIAB, ми одержимо: (a+b+c)r=Sr.

Отже, доведена

Теорема: SABC=Sr.

На малюнку Рис. 3.11 зображений трикутник lalblc, сторони якого є бісектрисами зовнішніх кутів трикутника ABC. Будь-яка точка на бісектрисі lcla кута B рівновіддалена від прямих AB й BC. Аналогічно, будь-яка точка на прямій lalb рівновіддалена від прямих BC й CA. Отже, точка la, у якій ці бісектриси перетинаються, перебувають на однаковій відстані ra від всіх трьох сторін. Так як la рівновіддалена від сторін AB й AC, т0 вона повинна належати множині точок, рівновіддаленних від цих прямих, тобто вона повинна лежати на прямій Al — внутрішній бісектрисі кута A

Теорема: зовнішні бісектриси будь-яких двох кутів трикутника конкурентні із внутрішньою бісектрисою третього кута.

Коло із центром у точці la радіуса ra дотичне до всіх трьох сторін трикутника, є одним із трьох зовнівписаних кіл. Кожне з позавписаних кіл дотикається однієї зі сторін трикутника усередині, а дві інші сторони (продовжених) — зовні.

Позначивши точку дотику, ми можемо помітити, що, так як дві дотичні з однієї точки до кола мають однакові довжини, то BXb=BZb.

BXb+ BZb=BC+CXb+Zb+AB=BC+CYb+YBa+

AB=a+b+c=2s.

Отже дотична із точки B (будь-якої іншої вершини) до зовнівписанного кола, розташованого за протилежною стороною, має довжину S. Дійсно:

AYa=AZa=BZb=BXb=CXc=CYc= s.

Тому що

CXb = BXbBC=s-a

і т.д., то також й

BXc=BZc= CXb= CYb=s-a.

CYa=CXa=AYc=AZc=s-b.

AZb=AYb=BZa=BXa=s-c.

3.6 Інші важливі точки та прямі у трикутнику

Прямі, симетричні висотам щодо відповідних бісектрис, проходять через центр описаного кола, тобто містять її радіуси. Подібні дві точки називаються ізогональнимі. Таким чином, ортоцентр трикутника ізогональний центру описаного кола.

Середини сторін трикутника, основи його висот і середини відрізків від вершин до ортоцентра лежать на одному колі. Її радіус рівний половині радіусу описаного кола, а центр лежить посередині відрізка NS, де N — центр описаного кола, а точка S — ортоцентр трикутника. Таке коло називається колом дев’яти крапок, або колом Ейлера, або колом Фейєрбаха — по імені Карла Фейєрбаха, провінційного вчителя математики з Німеччини, рідного брата філософа Людовіга Фейєрбаха. Якщо на сторонах трикутника АВС зовнішнім чином побудувати подібні до нього трикутники СА1 В, САВ1 і С1АВ (кути при перших вершинах всіх чотирьох трикутників рівні і т.д.), то прямі АА1, ВВ1 і СС1 перетнуться в точці Р, яку називають точкою Брокара. Одна з особливостей цієї точки полягає в тому, що РАС = РСВ = РВА. Три відрізки, що сполучають вершини трикутника з точками, в яких вписане в нього коло торкається відповідно протилежних вершинам сторін, перетинаються в одній точці J. Вона називається точкою Жергонна.

4. МЕТОДИКА ВИКЛАДАННЯ МЕТОДУ КООРДИНАТ НА ПЛОЩИНІ ТА ПОНЯТЬ ПРО ЕЛЕМЕНТИ ТРИКУТНИКА

«…Головне завдання викладення курсу геометрії в школі - навчити учнів логічно мислити, аргументувати свої твердження, доводити…»

…Навряд знайдеться хоч один учень (закінчивший школу), якому не знадобиться розмірковувати, аналізувати, доводити" (Погорелов А. В. Элементарная геометрия. М., 1977, с. 8.).

4.1 Вимоги до ставлення цілей викладання геометрії

в загальноосвітній школі

1. Вимога наступності - навчання геометрії повинно узагальнити історичний шлях розвитку геометрії, передати підростаючому поколінню знання, накопичені людством на протязі століть.

2. Вимога наукової і практичної значущі геометрії, яка визначає, що цілі її навчання повинні відповідати тій ролі, яку грає геометрія в житті суспільства, в пізнанні оточуючого нас світу.

3. Цілі навчання повинні відповідати суспільним потребам, тим задачам, які суспільство ставить перед школою.

4. Цілі навчання повинні задовольняти потреби самих учнів, враховувати їх індивідуальні і вікові особливості.

5. Цілі навчання повинні бути конкретними. Із них повинні виходити практичні рекомендації по відбору змісту, вибору форм і методів навчання. Вони повинні бути діагностичними.

6. Цілі навчання повинні задовольняти психолого-педагогічним вимогам до процесу навчання.

Критерії відбору змісту навчального матеріалу для профільних класів середньої школи:

§ ритерій наукової і практичної значущі;

§ критерій відповідності змісту виховним і розвиваючим цілям навчання;

§ критерій відповідності змісту профілю навчання;

§ критерій відповідності змісту віковим особливостям учнів старших класів;

§ критерій відповідності змісту індивідуальним особливостям розвитку старшокласників;

§ критерій відповідності змісту навчально-методичного забезпечення;

§ критерій відповідності наявності часу.

В змісті навчання геометрії виділяють три основні складові:

1. Гуманітарна складова, яка включає, зокрема, історичний матеріал, а також матеріал філософського, світоглядного характеру.

2. Прикладна складова, яка включає елементи прикладної математики, а також матеріал міжпредметного характеру.

3. Природна складова, яка включає поглиблене вивчення математики, елементи сучасної математики.

В кожному профілі навчання, повинні бути всі три складові, але в різному відсотковому відношенні (тобто пріоритет має профіль навчання).

4.2 Структура шкільної програми з геометрії

Зазначені цілі вивчення властивостей трикутників та визначних точок і пріоритети математичної освіти реалізуються у її змісті, що втілюється у таких навчальних курсах: математика (5−6 кл.), геометрія (7−9 кл.); математика (10−12 кл.), де в доцільній послідовності поєднуються теми з алгебри, геометрії.

Вивчення математики у 5−6 класах здійснюється з переважанням індуктивних міркувань в основному на наочно-інтуїтивному рівні із залученням практичного досвіду учнів і прикладів з довкілля.

Вивчення геометричних фігур передбачає використання наочних ілюстрацій, прикладів із довкілля, життєвого досвіду учнів, виконання побудов і сприяти виробленню вмінь виділяти форму і розміри як основні властивості геометричних фігур. Закріплення понять супроводжується їх класифікацією (кутів, трикутників, взаємного розміщення прямих на площині). Властивості геометричних фігур спочатку обґрунтовуються дослідно-індуктивно, потім застосовуються у конкретних ситуаціях, що сприяє виробленню в учнів дедуктивних міркувань.

У 7−9-х класах вивчається два математичні курси: алгебра і геометрія.

Одна з основних змістових ліній курсу геометрії - геометричні фігури та їх властивості. Об'єкти вивчення: на площині - трикутник, чотирикутник, коло. Учень повинен формулювати означення геометричних фігур та їх елементів і зображати їх на малюнку.

Властивості геометричних фігур на площині пов’язані з їх формою, розмірами, рівністю, взаємним розміщенням, інцидентністю прямих, точок і площин. Послідовність вивчення властивості традиційна: спочатку вводяться на наочній основі шляхом узагальнення очевидних і відомих геометричних фактів аксіоми, потім доводяться теореми. Учень має усвідомити, що під час доведення теорем дозволяється користуватися аксіомами і раніше доведеними теоремами. Основний апарат доведення — ознаки рівності трикутників, використовуються також геометричні перетворення і засоби алгебри (вектори і координати).

Графічні вміння учнів включають: зображення геометричних фігур та їх елементів, виконання допоміжних побудов за даними умов задач і простіші побудови фігур циркулем та лінійкою, спираючись на операції, що виконуються цими інструментами.

4.3 Логічна будова шкільного курсу геометрії

Характеристика загальноосвітнього курсу геометрії.