Интеграл та її свойства

Теоретические вопросы.

1. Поняття первообразной функції. Теорему про первообразных.

Основне завдання диференціального обчислення є перебування похідною f'(x) чи диференціала df=f'(x)dx функції f (x). У інтегральному обчисленні вирішується зворотна завдання. По заданої функції f (x) потрібно знайти таку функцію F (x), що F'(х)=f (x) чи dF (x)=F'(x)dx=f (x)dx.

Отже, основним завданням інтегрального обчислення є відновлення функції F (x) відомою производной.

(диференціалу) цієї функції. Інтегральне літочислення має численні докладання в геометрії, механіці, фізики й техніці. Він дає загальний метод перебування площ, обсягів, центрів тяжкості тощо. д.

Визначення. Функція F (x), [pic], називається первообразной для функції f (x) на безлічі Х, якщо вона дифференцируема для любого.

[pic]и F'(x)=f (x) чи dF (x)=f (x)dx.

Теорему. Будь-яка безперервна на відрізку [a; b] функція f (x) має цьому відрізку первообразную F (x).

Теорему. Якщо F1(x) і F2(x) — дві різні первообразные одному й тому ж функції f (x) на безлічі x, всі вони відрізняються одна від друга постійним доданком, т. е. F2(x)=F1x)+C, де З — постоянная.

2. Невизначений інтеграл, його свойства.

Визначення. Сукупність F (x)+C всіх первообразных функції f (x) на безлічі Х називається невизначеним інтегралом і обозначается:

[pic] - (1).

У формулі (1) f (x)dx називається подынтегральным вираженням, f (x).

— подынтегральной функцією, x — перемінної інтегрування, а З — постійної интегрирования.

Розглянемо властивості невизначеного інтеграла, які з його определения.

1. Похідна з невизначеного інтеграла дорівнює подынтегральной функції, диференціал невизначеного інтеграла дорівнює подынтегральному выражению:

[pic] і [pic].

2. Невизначений інтеграл від диференціала деякою функції дорівнює сумі цієї функції та довільної постоянной:

[pic].

3. Постійний множник, а (а?0) можна виносити за знак невизначеного интеграла:

[pic][pic].

4. Невизначений інтеграл від алгебраїчній суми кінцевого числа функцій дорівнює алгебраїчній сумі з дитинства інтегралів з посади цих функций:

[pic].

5. Якщо F (x) — первообразная функції f (x), то:

[pic].

6 (инвариантность формул інтегрування). Будь-яка формула інтегрування зберігає свій вигляд, якщо зміну інтегрування замінити будь-який дифференцируемой функцією цієї переменной:

[pic] де u — дифференцируемая функция.

3. Таблиця невизначених интегралов.

Наведемо основні правила інтегрування функций.

I. [pic].

II. [pic].

III. [pic].

IV. [pic].

V. [pic].

VI. [pic].

Наведемо таблицю основних невизначених з дитинства інтегралів. (Зазначимо, що саме, як й у диференціальному обчисленні, літера u може позначати як незалежну зміну (u=x), і функцію від незалежної перемінної (u=u (x)).).

1. [pic] (n?-1).

2. [pic] (a >0, a?1).

3. [pic].

4. [pic].

5. [pic].

6. [pic].

7. [pic].

8. [pic].

9. [pic].

10. [pic].

11. [pic][pic] 12. [pic] 13. [pic] 14. [pic] (a?0). 15. pic] (a?0). 16. [pic] (|u| > |a|). 17. [pic] (|u| < |a|).

18. [pic] 19. [pic].

Інтеграли 1 — 17 називають табличными.

Деякі з наведених вище формул таблиці з дитинства інтегралів, які мають аналога в таблиці похідних, перевіряються дифференцированием їх правих частей.

4. Заміна перемінної й інтеграцію частинами в невизначеному интеграле.

Інтегрування підстановкою (заміна перемінної). Нехай потрібно обчислити інтеграл [pic], який є табличным. Суть методу підстановки у тому, що у интеграле [pic]переменную x заміняють перемінної t за такою формулою x=?(t), звідки dx=?'(t)dt.

Теорему. Нехай функція x=?(t) визначена і дифференцируема на деякому безлічі Т і нехай Х — безліч значень цієї функції, у якому визначено функція f (x). Тоді якби безлічі Х функція f (x) має первообразную, то, на безлічі Т справедлива формула:

[pic] - (2).

Формула (1) називається формулою заміни перемінної в невизначеному интеграле.

Інтегрування частинами. Метод інтегрування частинами випливає з формули диференціала твори двох функцій. Нехай u (x) і v (x).

— дві дифференцируемые функції перемінної x. Тоді: d (uv)=udv+vdu. — (3).

Інтегруючи обидві частини рівності (3), получаем:

[pic].

Та оскільки [pic], то:

[pic] - (4).

Співвідношення (4) називається формулою інтегрування частинами. З допомогою цієї формули пошук інтеграла [pic]. Застосовувати її доцільно, коли інтеграл у правій частині формули (4) більш простий для обчислення, ніж исходный.

У формулі (4) відсутня довільна стала З, позаяк у правій частині цієї формули стоїть невизначений інтеграл, у якому довільну постоянную.

Наведемо окремі часто які типи з дитинства інтегралів, вычисляемых методом інтегрування по частям.

I. Інтеграли виду [pic], [pic], [pic] (Pn (x) — багаточлен ступеня n, k — певна кількість). Щоб знайти ці інтеграли, досить покласти u=Pn (x) і застосувати формулу (4) n раз. II. Інтеграли виду [pic], [pic], [pic], [pic], [pic] (Pn (x) — багаточлен ступеня n щодо x). Їх можна знайти по частим, приймаючи за u функцію, що є множником при Pn (x). III. Інтеграли виду [pic], [pic] (a, b — числа). Вони обчислюються дворазовим інтегруванням по частям.

5. Розпад дробової раціональної функції на найпростіші дроби.

Раціональної дробом R (x) називається дріб, числителем і знаменником якої є багаточлени, т. Є. всяка дріб вида:

[pic].

Якщо рівень багаточлена в чисельнику більше або дорівнює ступеня багаточлена в знаменнику (n?m), то дріб називається неправильної. Якщо рівень багаточлена в чисельнику менше ступеня багаточлена в знаменателе.

(n?m), то дріб називається правильной.

Будь-яку неправильне раціональну дріб можна як суми багаточлена (цілої частини) і правильною раціональної дробу (цей спектакль досягається шляхом розподілу чисельника на знаменник за правилом розподілу многочленов):

[pic] де R (x) — многочлен-частное (ціла частина) дробу [pic]; Pn (x) — залишок (багаточлен ступеня n < m).

6. Інтегрування найпростіших дробів. Інтегрування раціональних дробей.

Інтегрування найпростіших дробів. Найпростішої дробом називається правильна раціональна дріб однієї з наступних чотирьох типов:

1) [pic].

2) [pic] (n?2);

3) [pic].

4) [pic] (n?2).

Тут А, a, p, q, M, N — справжні числа, а тричлен немає дійсних коренів, т. е. p2/4-q < 0.

Найпростіші дробу першого і другого типів інтегруються безпосередньо з допомогою основних правил інтегрального исчисления:

[pic].

[pic].

Інтеграл від найпростішої дробу третього типу наводиться до табличным интегралам шляхом виділення в чисельнику диференціала знаменника і приведення знаменника від суми квадратов:

[pic].

[pic].

[pic].

Інтегрування раціональних дробей.

Розпад раціональної дробу на найпростіші дробу. Будь-яку правильну раціональну дріб [pic] можна як суми кінцевого числа найпростіших раціональних дробів першого — четвертого типів. Для розкладання [pic] на найпростіші дробу необхідно розкласти знаменник Qm (x) на лінійні і квадратні множники, навіщо необхідно вирішити уравнение:

[pic] - (5).

Теорему. Правильну раціональну дріб [pic], де [pic], можна єдиним чином розкласти у сумі найпростіших дробей:

[pic].

[pic] - (6).

(A1, A2, …, Ak, B1, B2, …, B1, M1, N1, M2, M2, …, Ms, Ns — деякі справжні числа).

Метод невизначених коефіцієнтів. Суть методу невизначених коефіцієнтів ось у чому. Нехай дано розкладання правильної раціональної дробу [pic] за такою формулою (6) на найпростіші дробу з невизначеними коефіцієнтами. Наведемо найпростіші дробу до спільного знаменника Qm (x) і прирівняємо багаточлен, що вийшов в чисельнику, многочлену Pn (x).

Метод приватних значень. При перебування невизначених коефіцієнтів натомість, щоб порівнювати коефіцієнти при однакових ступенях x, можна надати перемінної x кілька приватних значень (за кількістю невизначених коефіцієнтів) й одержати в такий спосіб систему рівнянь щодо невизначених коэффициентов.

Особливо вигідно застосовувати його у разі, коріння знаменника раціональної дробу [pic] прості та дійсні. Тоді виявляється зручним послідовно думати рівним кожному з коріння знаменателя.

Правило інтегрування раціональних дробів. Щоб проинтегрировать раціональну дріб, необхідні такі действия:

1) якщо розглянута раціональна дріб [pic] - неправильна (k?m), уявити його вигляді суми багаточлена і правильною раціональної дроби:

[pic] де n < m; R (x) — многочлен;

2) якщо розглянута раціональна дріб [pic] - правильна (n < m), уявити його вигляді суми найпростіших раціональних дробів по формуле.

(6);

3) інтеграл від раціональної дробу у вигляді суми з дитинства інтегралів від цілої частини й від відповідних найпростіших дробів і обчислити ці интегралы.

7. Інтегрування висловів, містять тригонометрические функции.

Інтеграли виду [pic] Універсальна підстановка. Будемо розглядати інтеграли вида:

[pic] - (7) за умови, що вони є табличными. Обчислити їх можна різними методами, викладеними раніше. Іноді буває достатньо перетворити подынтегральное вираз, використавши тригонометрические формули, застосувати методи «підбиття» множника під знак диференціала, заміни перемінної чи інтегрування по частям.

Для обчислення інтеграла виду (7) існує загальна універсальна схема обчислення, джерело якої в універсальної тригонометричної підстановці [pic].

Інтеграли виду [pic][pic] (m, n є Z, m? 0, n? 0). Коли б одна з чисел m і n — парне, то, відділяючи від нечетной ступеня один множене і висловлюючи з допомогою формули sin2x+cos2x=1 що залишилася четную ступінь через конфункцию, дійшли табличному интегралу.

Інтеграли виду [pic], [pic], (n є N, n > 1). Ці інтеграли обчислюються підстановками tgx= t і ctgx=t соответсвенно.

Якщо t=tgx, то x=arctgt, [pic]. Тогда:

[pic].

Останній інтеграл при n? 2 є інтегралом від неправильної раціональної дробу, яка обчислюється за правилом інтегрування раціональних дробей.

Аналогічно якщо t=ctgx, то x=arcctgt, [pic], откуда:

[pic].

Інтеграли виду [pic] [pic] [pic] (m, n є R). Вони обчислюються шляхом розкладання подынтегральной функції на складові по формулам:

[pic].

[pic].

[pic].

8. Інтегрування ірраціональних выражений.

Інтеграли виду [pic] (m1, n1, m2, n2, … — цілі числа). У цих інтеграли подынтегральная функція раціональніша щодо перемінної інтегрування і радикалів від x. Вони обчислюються підстановкою x=ts, де p. s — загальний знаменник дробів [pic], [pic], … Під час такої заміні перемінної все відносини [pic]= r1, [pic]= r2, … є цілими числами, т. е. інтеграл наводиться до раціональної функції від перемінної t:

[pic][pic].

Інтеграли виду [pic] (m1, n1, m2, n2, … — цілі числа). Ці інтеграли подстановкой:

[pic] де p. s — загальний знаменник дробів [pic], [pic], …, зводяться до раціональної функції від перемінної t.

Інтеграли виду [pic] [pic] [pic] Для обчислення інтеграла I1 виділяється повний квадрат під знаком радикала:

[pic] використовується подстановка:

[pic], dx=du.

Через війну цей інтеграл зводиться до табличному: [pic].

У чисельнику інтеграла I2 виділяється диференціал висловлювання, стоїть під знаком радикала, і це інтеграл представляється як суми двох интегралов:

[pic].

[pic].

[pic][pic].

[pic] де I1 — розрахована вище интеграл.

Обчислення інтеграла I3 зводиться до вирахування інтеграла I1 подстановкой:

[pic] [pic].

Інтеграл виду [pic] Приватні випадки обчислення з дитинства інтегралів цього виду розглянуті у минулому пункті. Є кілька різних прийомів їх обчислення. Розглянемо одне із таких прийомів, заснований на застосуванні тригонометрических подстановок.

Один квадратний тричлен ax2+bx+c шляхом виділення повного квадрата заміна перемінної то, можливо подано у вигляді [pic] Отже, досить обмежитися розглядом трьох видів интегралов:

[pic] [pic] [pic].

Інтеграл [pic]подстановкой u=ksint (чи u=kcost) зводиться до інтегралу від раціональної функції щодо sint і cost.

Інтеграли виду [pic] (m, n, p є Q, a, b є R). Аналізовані інтеграли, звані інтегралами від диференціального бинома [pic], виражаються через елементарні функції лише у наступних трьох случаях:

1) якщо p є Z, то застосовується підстановка: x=ts, де p. s — загальний знаменник дробів m і n;

2) якщо [pic] Z, то використовується підстановка: a+bxn=ts, де p. s — знаменник дробу [pic].

3) якщо [pic] Z, то застосовується підстановка: ax-n+b=ts, де p. s — знаменник дробу [pic].

9. Поняття певного інтеграла, його геометричний смысл.

Визначення. Якщо існує кінцевий переділ інтегральної суммы.

(8).

[pic] - (8) при ?>0, котрий залежить від способу розбивки? n відрізка [a; b] на часткові відтинки і вибору проміжних точок? k, цей межа називають певним інтегралом (чи інтегралом Рімана) від функції f (x) на відрізку [a; b] і обозначают:

[pic].

Якщо зазначений межа існує, то функція f (x) називається интегрируемой на відрізку [a; b] (чи интегрируемой по Риману). У цьому f (x)dx називається подынтегральным вираженням, f (x) — подынтегральной функцією, x — перемінної інтегрування, a і b — відповідно нижнім і верхнім межами интегрирования.

Певний інтеграл є число, однакову межі, якого прагне інтегральна сума, у разі, коли діаметр розбивки? прагне нулю.

Геометричний сенс певного інтеграла. Нехай функція y=f (x) безупинна на відрізку [a; b] і f (x)? 0. Постать, обмежена графіком АВ функції y=f (x), прямими x=a, x=b і віссю Ой (рис. 1), називається криволінійної трапецией.

Інтегральна сума і його складові мають простий геометричний сенс: твір [pic] одно площі прямокутника з основанием.

[pic] і заввишки [pic], а сума [pic] є площа заштрихованої східчастої постаті (зображеною на рис. 1). Вочевидь, що ця площа залежить від розбивки? n відрізка [a; b] на часткові відтинки і вибору точок? k.

Чим менший [pic], k=1, n, тим площа східчастої постаті ближчі один до площі криволінійної трапеції. Отже, за точну площа P. S криволінійної трапеції приймається межа інтегральної суми при ?>0:

[pic].

Отже, з геометричній погляду певний інтеграл від неотрицательной функції чисельно дорівнює площі відповідної криволінійної трапеции.

10. Основні властивості певного интеграла.

Розглянемо властивості певного интеграла.

1. Якщо нижній і верхній межі інтегрування рівні (a=b), то інтеграл дорівнює нулю:

[pic].

Це властивість випливає з визначення интеграла.

2. Якщо f (x)=1, то.

[pic].

Справді, оскільки f (x)=1, то.

[pic].

3. При перестановці меж інтегрування певний інтеграл змінює знак на противоположный:

[pic].

4. Постійний множник можна виносити за знак певного интеграла:

[pic] [pic]R.

5. Певний інтеграл від алгебраїчній суми кінцевого числа интегрируемых на [a; b] функцій f1(x), f2(x), …, fn (x) дорівнює алгебраїчній сумі певних з дитинства інтегралів від слагаемых:

[pic].

6 (аддитивность певного інтеграла). Якщо існує інтеграли [pic]и [pic] що існує також інтеграл [pic] й у будь-яких чисел a, b, c;

[pic].

7. Якщо f (x)? 0 [pic][a; b], то.

[pic] a < b.

8 (визначеність певного інтеграла). Якщо интегрируемые функції f (x) і ?(x) задовольняють нерівності f (x)? ?(x) [pic][a; b], то.

[pic] a >b.

9 (оцінки певного інтеграла). Якщо m і М — відповідно нименьшее і найбільше значення функції f (x), безупинної на отрезке.

[a; b], то.

[pic] a < b.

10 (теорема про середньому). Якщо функція f (x) безупинна на відрізку [a; b], що існує така точка [pic][a; b], что.

[pic] т. е. певний інтеграл від перемінної функції дорівнює твору значення подынтегральной функції у певній проміжної точці? відрізка інтегрування [a; b] і довжини b-a цього отрезка.

11. Теорему про среднем.

Якщо функція f (x) безупинна на відрізку [a; b], що існує така точка [pic][a; b], что.

[pic] т. е. певний інтеграл від перемінної функції дорівнює твору значення подынтегральной функції у певній проміжної точці? відрізка інтегрування [a; b] і довжини b-a цього отрезка.

12. Похідна певного інтеграла по верхньому межі. Формула.

Ньютона-Лейбница.

До цього часу ми розглядали певний інтеграл з постійними межами інтегрування a і b. Якщо залишити постійним нижню межу інтегрування a, а верхній x змінювати те щоб x є [a; b], то величина інтеграла змінюватиметься. Інтеграл вида:

[pic] x є [a; b], називається певним інтегралом зі змінним верхнім межею і є функцією верхньої межі x. Тут для зручності змінна інтегрування позначена буквою t, а верхня межа інтегрування — буквою х.

Теорему. Похідна певного інтеграла від безупинної функції f (x) з його перемінному верхньому межі є і дорівнює подынтегральной функції, у якій замість перемінної інтегрування подставлено значення верхнього предела:

[pic].

Формула Ньютона-Лейбница. Формула Ньютона-Лейбница дає правило обчислення певного інтеграла: значення певного інтеграла на відрізку [a; b] від безупинної функції f (x) одно різниці значень будь-який її первообразной, обчисленою при x=b і x=a.

[pic] - (9).

13. Заміна перемінної і інтегрування частинами у певному интеграле.

Заміна перемінної у певному интеграле. Цей метод, як у разі невизначеного інтеграла, дозволяє спростити обчислення, т. е. привести подынтегральное вираз до відповідної табличній формі. Застосування заміни перемінної у певному интеграле виходить з наступній теореме.

Теорему. Якщо функція f (x) безперервна на відрізку [a; b], а функція x=?(t) безупинно дифференцируема на відрізку [t1; t2], причем.

?([t1; t2])=[a; b] і ?(t1)=a, ?(t2)=b, то справедлива формула:

[pic]- (10).

Інтегрування частинами у певному интеграле. Нехай u (x) і v (x) — дифференцируемые на відрізку [a; b] функції перемінної x. Тоді d (uv)=udv+vdu. Проинтегрируем обидві частини останнього рівності на відрізку [a; b]:

[pic]- (11).

З іншого боку, за такою формулою Ньютона-Лейбница.

[pic].

Отже, формула (11) приймає вид:

[pic] - (12).

Формула (12) називається формулою інтегрування частинами у певному интеграле.

15. Обчислення площ пласких фигур.

Площа криволінійної трапеції, обмеженою кривою y=f (x) [f (x).

? 0], прямими x=a і x=b і відрізками [a; b] осі Ой, обчислюється по формуле:

[pic].

Площа постаті, обмеженою кривими y=f1(x) і y=f2(x)[f1(x)? f2(x)] і прямими x=a і x=b, перебувають розслідування щодо формуле:

[pic].

Якщо крива задана параметрическими рівняннями x=x (t), y=y (t), то площа криволінійної трапеції, обмеженою цієї кривою, прямими x=a, x=b і відрізком [a; b] осі Ой, виражається формулой:

[pic] де t1 і t2 визначаються з рівнянь a=x (t1), b=x (t2) [y (t)? 0 при t1? t? t2].

Площа криволинейного сектора, обмеженого кривою, заданої в полярних координатах рівнянням ?=?(?) і двома полярними радиусами.

?=?, ?=? (? < ?), виражається интегралом:

[pic].

16. Визначення й обчислення довжини кривою, диференціал кривой.

Якщо крива y=f (x) на відрізку [a; b] - гладка (т. е. похідна y'=f'(x) безупинна), то довжина відповідної дуги цієї кривою перебувають розслідування щодо формуле:

[pic].

При параметрическом завданні кривою x=x (t), y=y (t) [x (t) і y (t) — безупинно дифференцируемые функції] довжина дуги кривою, відповідна монотонному зміни параметра t від t1 до t2, обчислюється по формуле:

[pic].

Якщо гладка крива задана в полярних системах координатах рівнянням ?=?(?),? ?? ? ?, то довжина дуги равна:

[pic].

Диференціал довжини дуги. Довжина дуги кривою визначається формулой:

[pic] де y=f (x) [pic] [a; b]. Припустимо, що у цій формулі нижній переділ інтегрування постійний, а верхній изменяется.

Означимо верхня межа буквою x, а зміну інтегрування буквою t. Довжина дуги буде функцією верхнього предела:

[pic].

Практичні задания.

1. Знайти невизначений інтеграл, результат перевірити дифференцированием:

1) [pic].

Решение:

[pic][pic].

Проверка:

[pic].

[pic] - верно.

____________________________________________________________________.

_______.

2) [pic].

Решение:

[pic][pic].

Проверка:

[pic] - верно.

____________________________________________________________________.

______________.

3) [pic].

Решение:

[pic][pic].

[pic][pic].

Проверка:

[pic] - верно.

____________________________________________________________________.

_______.

4) [pic].

Решение:

[pic][pic].

[pic].

Проверка:

[pic].

[pic] - верно.

____________________________________________________________________.

_______.

5) [pic].

Решение:

[pic][pic].

[pic].

Проверка:

[pic].

[pic].

[pic].

[pic] - верно.

____________________________________________________________________.

_______.

6) [pic].

Решение:

[pic][pic].

Проверка:

[pic] - верно.

____________________________________________________________________.

_______.

7) [pic].

Решение:

[pic][pic].

Проверка:

[pic] - верно.

____________________________________________________________________.

_______.

8) [pic].

Решение:

[pic][pic].

[pic].

Проверка:

[pic] - верно.

____________________________________________________________________.

______________.

9) [pic].

Решение:

[pic][pic].

Проверка:

[pic] - верно.

____________________________________________________________________.

_______.

2. Знайти невизначені интегралы:

1) [pic].

Решение:

[pic][pic].

[pic].

[pic].

____________________________________________________________________.

_______.

2) [pic].

Решение:

[pic][pic].

[pic].

____________________________________________________________________.

_______.

3) [pic].

Решение:

[pic][pic].

[pic].

____________________________________________________________________.

_______.

4) [pic].

Решение:

[pic][pic].

[pic].

[pic].

____________________________________________________________________.

_______.

5) [pic].

Решение:

[pic][pic].

[pic].

[pic].

[pic].

____________________________________________________________________.

_______.

6) [pic].

Решение:

[pic][pic].

[pic].

____________________________________________________________________.

_______.

7) [pic].

Решение:

[pic][pic].

[pic].

[pic].

[pic].

____________________________________________________________________.

_______.

8) [pic].

Решение:

[pic][pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

____________________________________________________________________.

_______.

9) [pic].

Решение:

[pic][pic].

____________________________________________________________________.

_______.

10) [pic].

Решение:

[pic][pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

____________________________________________________________________.

______________.

11) [pic].

Решение:

[pic].

____________________________________________________________________.

_______.

12) [pic].

Решение:

[pic].

____________________________________________________________________.

_______.

13) [pic].

Решение:

[pic][pic].

[pic].

[pic].

____________________________________________________________________.

_______.

14) [pic].

Решение:

[pic][pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

____________________________________________________________________.

_______.

15) [pic].

Решение:

[pic][pic].

[pic][pic].

____________________________________________________________________.

_______.

3. Обчислити певний интеграл:

1) [pic].

Решение:

[pic][pic].

[pic].

____________________________________________________________________.

_______.

2) [pic].

Решение:

[pic][pic].

[pic].

[pic].

____________________________________________________________________.

_______.

3) [pic].

Решение:

[pic][pic].

[pic].

[pic].

[pic].

[pic].

___________________________________________________________________.

_________.

4. Знайти невласні інтеграли чи довести їх расходимость:

1) [pic].

Решение:

[pic] - інтеграл I рода.

[pic][pic].

[pic].

[pic] - сходящийся.

___________________________________________________________________.

_________.

2) [pic].

Решение:

[pic] - інтеграл II рода.

[pic][pic].

[pic].

[pic] - расходящийся.

___________________________________________________________________.

_________.

3) [pic].

Решение:

[pic].

___________________________________________________________________.

________________.

[pic].

———————————- [pic].