Геометричне означення імовірності (реферат)

РЕФЕРАТ на тему:

" Геометричне означення імовірності"

Недолік класичного означення — він не застосовним для експериментів з нескінченним числом закінчень.

Геометричне означення — імовірність влучення точки в область (відрізок, частину площини…).

Геометричне означення імовірності є узагальненням класичного означення на випадок, коли число рівноможливих елементарних закінчень нескінченне. Слід звернути увагу на те, що в одній і тій же ситуації можуть бути обрані різні уявлення про «міру» .

Відрізок складає частина відрізка L. На відрізок L на сліпу поставлена точка. Це означає виконання наступних припущень: поставлена точка може виявитися в будь-якій точці відрізка L. Імовірність улучення точки на відрізок l пропорційна довжині цього відрізка і не залежить від його розташування щодо відрізка L. У цих припущеннях ймовірність влучення точки на відрізок l визначається рівністю:

P=довжина l/довжина L.

Розглянемо яку-небудь область у (на прямій, на площині, у просторі). Припустимо, що «міра» (довжина, площа, обсяг, відповідно) кінцева. Нехай випадковий експеримент полягає в тому, що ми наудачу кидаємо в цю область точку. Термін «наудачу» означає, що імовірність улучення точки в будь-яку частину не залежить від форми або розташування у середині .

Означення 1.

Експеримент задовольняє умовам «геометричного означення імовірності», якщо його закінчення можна зобразити точками деякої області в так, що імовірність улучення точки в будь-яку частину не залежить від форми чи розташування усередині, а залежить лише від міри області і, отже, пропорційна цій мірі:

де позначає міру області (довжину, площу, обсяг і т.д.).

Якщо для точки, кинутої в область, виконані умови геометричного означення імовірності, то говорять, що точка рівномірно розподілена в області .

Приклад. Точка наудачу кидається на відрізок [0, 1]. Імовірність їй потрапити в точку 0,5 дорівнює нулю, тому що дорівнює нулю міра безлічі, що складає з однієї точки («довжина точки»). Але влучення в точку 0,5 не є невозможным событием — це один з елементарних закінчень експерименту. Загальне число елементарних закінчень тут нескінченно, але усі вони як і раніше «рівноможливі» — уже не в змісті класичного визначення ймовірності, застосувати яке тут не можна через нескінченність числа закінчень, а в змісті определения 1.

Задача про зустріч

Приклад 8. Два обличчя й умовилися зустрітися у визначеному місці між двома і трьома годинник дня. Той, хто прийшов першим чекає іншого протягом 10 хвилин, після чого іде. Чому дорівнює імовірність зустрічі цих облич, якщо кожний з них може прийти в будь-який час протягом зазначеної години незалежно від іншого?

Рішення. Будемо вважати інтервал з 14 до 15 годин відрізком [0, 1] довжиною в 1 годину. Нехай («кси») і («ця») — моменти приходу і - точки відрізка [0, 1]. Усі можливі результати експерименту — точки квадрата зі стороною 1:

Можна вважати, що експеримент зводиться до кидання точки наудачу в квадрат. При цьому сприятливими исходами є точки безлічі :

(10 хвилин = 1/6 години). Влучення в безліч наудачу кинутої в квадрат точки означає, що і зустрінуться. Тоді імовірність зустрічі дорівнює.

Задача Бюффона (1)

Приклад 9. На площині накреслені рівнобіжні прямі, що знаходяться друг від друга на відстані. На площину наудачу кинута голка довжини. Яка імовірність того, що голка перетне яку-небудь пряму?

Рішення. Зрозуміємо, що означає тут «наудачу кинута голка». Можливі положення голки (відрізка) на площині цілком визначаються положенням середини голки і кутом повороту голки щодо якого-небудь напрямку. Причому два ці перемінні (положення центра і кут повороту) міняються незалежно друг від друга. Позначимо через відстань від середини голки до найближчої прямої, а через — кут між якимсь напрямком прямих і голкою. Безліч можливих положень голки цілком визначається вибором наудачу точки з прямокутника .

Голка перетинає найближчу пряму, якщо координати обраної наудачу точки задовольняють нерівності:. Площа області, точки якої задовольняють такій нерівності, дорівнює.

Поділимо на й одержимо, що шукана імовірність дорівнює .

Розглянемо ще приклад.

Курсант школи міліції на заняттях по вогневій підготовці веде стрілянину по плоскій мішені, яка представляє коло радіусом 20 см.

Постріл визнається успішним, якщо курсант потрапить у «яблучко» — коло радіусом 5 см у центрі мішені. Яка імовірність того, що постріл буде успішним?

Нехай подія, А — «постріл успішний». Тому що в прикладі розглядаються тільки кола (мішень і «яблучко»), то яку міру області можна взяти за радіус кола (тобто довжину).

Відповіді вийдуть різні й у цьому немає нічого дивного — адже ми шукаємо імовірності в різних ймовірнісних просторах (тобто використовуємо різні математичні моделі).

Список використаної літератури.

1. 1.Дубовик В. П., Юрчик І. І. Вища математика. — К.: Вища школа., 1993.

2. 2.Запорожец Г. И. Руководство к решению задач по математическому анализу. — М.: Высшая школа. 1964.

3. 3.Кремер Н. Ш. Высшая математика для экономистов. — М.: ЮНИТИ, 1997.