Математическая кунсткамера щось із історії геометрии

Дозвольте запросити вас на прогулянку по математичної кунсткамері, де зібрані деякі експонати, які так ж від знайомих зі шкільних чи вузівських часів математичних образів, як іхтіозаври чи які нибудь трицератопсы від сучасних животных.

Джин виходить із пляшки. Незвичною вже є сама функція Дирихле, яку зазначалося вище. Адже найменшому відрізку осі абсцис нескінченно багато і раціональних і ірраціональних чисел. Але функція Дирихле для раціональних чисел дорівнює одиниці, а ірраціональних — нулю. Тому коли x пробіга вісь абсцис, ті значення функції постійно стрибає від 0 до 1 і навпаки. Побудувати графік цієї функції взагалі неможливо, тому що цю функцію переважають у всіх точках разрывна.

Однак і серед безперервних функцій є функції з несподіваними властивостями. Наприклад, чи може безперервна функція мати на кінцевому відрізку нескінченно багато максимумів і мінімумів? На погляд це аж ніяк неможливо. Адже функція повинна встигнути опуститися з точки максимуму в точку і т. буд. Які ж їй докласти всіх зусиль це кінцевому відрізку? Проте виявилося, такі дивні функції існують, причому побудувати їх зовсім нетрудно.

Побудуємо таку функцію на відрізку [0,1]. І тому розділимо відрізок навпіл і побудуємо на лівої половині рівносторонній трикутник. Тепер розділимо що залишилася праву половину знову на рівні частини і частини [½, ¾] побудуємо другий рівносторонній трикутник. Виконаємо описану операцію нескінченно багаторазово. В Україні вийде «гірська ланцюг», що складається з безлічі вершин, поступово опускающаяся до точки 1.

Рис. 12.

(рис. 12). Приймемо отриману ломанную за графік функції f (x). Тоді функція визначиться у кожному точці відрізка [0,1], крім крайньої правої точки 1. У цьому точці між іншим f (1)=0.

Бо за наближенні до точки 1 висоти вершин йдуть до нуля, отримана нами функція безупинна переважають у всіх точках відрізка [0,1]. Кількість максимумів і мінімумів у цьому відрізку нескінченно велико!

Математику XVIII в., щоб побудувати таку дивну функцію, довелося б довго комбінувати різні функції, перш ніж здогадався б, що функция.

{ x cos (?/x), якщо x?0 F (x)= { 0, якщо x=0 має нескінченно багато максимумів і мінімумів на відрізку [0,1].

Але функції із нескінченним числом максимумів і мінімумів були лише початком неприємностей, очікував математиків. Джин лише розпочав виходити з бутылки.

«Мокре точки». У функції, що її вибудували у попередньому пункті, є лише однієї точка, близько якої нескінченно багато максимумів і мінімумів, саме точка 1. Сьогодні ми побудуємо іншу функцію, що має таких точок буде набагато больше.

Припустимо, що у відрізок [0,1] осі абсцис падає згори дощ. Для захисту од дощівки вчинимо так. Розділимо відрізок [0,1] на три однакові частини і зведемо Кобзареву над середньої частиною намет у вигляді рівностороннього трикутника. Вона захистить од дощівки всі крапки середині (крім кінців цієї маленької частини, тобто точок 1/3 і 2/3). Тепер кожну з двох частин знову розділимо втричі однакові частини і захистимо середні частини наметами тієї ж форми (але втричі меншого размера).

Рис. 13 В Україні вийде лінія, зображена на рис. 13. На третьому кроці процесу ми побудуємо ще чотири намети, потім ще вісім тощо. д.

Постає питання: чи всі точки відрізка захищені получившейся пилкоподібної лінією чи залишилися точки, які дощ намочить? Деякі з таких «мокрих» точок вказати легко — ними є кінці захищуваних відрізків (тобто таких, ка 1/3, 2/3, 1/9, 2/9, 7/9, 8/9 тощо. буд.). Всі ці точки залишаються без захисту при спорудженні відповідної намети, а наступні намети їх також захищають. Легко бачити, що таких кінців буде нескінченне, але рахункове множество.

Колючий лінія. Упродовж багатьох століть математики мали справа лише з лініями, майже кожній точці яких можна було провести дотичну. Якщо й зустрічалися винятку, лише у кількох точках. У цих точках лінія хіба що ламалася, і тому їх називали точками зламу. У протягом довгого часу ніхто з математиків не вірив, що може свідчити існувати безперервна лінія, повністю що складається з зубців, зламів і колючок. Велике був подив, коли вдалося побудувати таку лінію, більш того, функцію, графік якої було такий колючої огорожею. Першим це зробив Больцано. Але його робота залишилася неопублікованої, і вперше такий приклад опублікував Вейерштрасс. Проте приклад Вейерштрасса дуже важко викласти — грунтується на теорії тригонометрических рядів. Приклад ж Больцано нагадує лінії, які ми будували раньше.

Цей приклад із невеликими змінами. Розділимо відрізок [0,1] на чотири однакові частини та контроль двома середніми частинами побудуємо рівнобедрений трикутник (рис. 16, а). Отримана лінія є графіком деякою функції, яку позначимо через y=f 1(x).

а б.

0 1 0.

в.

0 1.

Рис. 16.

Розділимо тепер кожну з чотирьох частин поки що не чотири однакові частини і відповідно до цим побудуємо ще чотири равнобедренных прямокутних трикутника (рис. 16, б). Ми одержимо графік другий функції y=f 2(x). Якщо скласти ці дві функції, то графік суми y=f 1(x) + y=f 2(x) матиме вид, зображений на рис. 16, в. Очевидно, що отримана лінія має вже більше зламів й інші злами гущі розташовані. На наступному кроці знову розділимо кожну частина поки що не чотири частини, побудуємо 16 равнобедренных прямокутних трикутників і додамо відповідну функцію y=f 3(x) до функції y=f 1(x) + y=f 2(x).

Продовжуючи той процес, ми отримувати дедалі більш зламані лінії. У межі вийде лінія, що має злам у кожному точці і лише у точці до неї не можна провести касательную.

Схожий приклад лінії, ніде де немає дотичній побудував голландський учений Ван-дерВарден. Він взяв рівносторонній трикутник, розділив кожну його втричі однакові частини і середніх частинах побудував нові равносторонние трикутники, дивлячись назовні. В нього вийшла зірка. Тепер кожну з дванадцяти сторін цієї зірки він розділив трьох частини й знову з кожної з середніх частин побудував правильний трикутник. Вийшла ще більше колючий лінія, у кожному точці якого є злам, колючка.

Рис. 17.

Рис. 18.

Математики побудували багато безперервних функцій, графіки яких немає мали дотичній в жодній точці, і почали вивчати їх властивості. Ці властивості не нагадували властивості «добропорядних» гладких функцій, із якими до того часу мали справа. Тому математики, виховані в класичних традиціях, із подивом дивилися налаштувалася на нові функції. Понад те, найвизначніший представник класичного математичного аналізу Шарль Эрмит так писав свого друга, голландському математику Стилтьесу. «Із жахом відвертаюся від цього гідної жалю виразки безперервних функцій, не мають похідною в жодній точці» (тобто, як ми їх називали, скрізь колючих линий).

У фізиці зустрічаються лінії, які дуже нагадують колючі лінії Ван-дерВардена та інших. Це — траєкторії частинок, які роблять під ударами молекул броунівський рух. Французький учений Ж. Перрен зробив замальовки руху таких частинок. Він наглядав їх становища через кожні півхвилини і з'єднував отримані точки прямолінійними відрізками. У результаті нього вийшли заплутані ламані, на кшталт зображених на рис. 18. Не треба думати, що насправді між окремими спостереженнями частка рухалася по прямий. Якби Перрен спостерігав її через півхвилини, а ще через полсекунды, то кожен прямолінійний відрізок довелося б замінити ламаної, так само складної, як і ламані на рис. 18. І чим менше було б проміжки між спостереженнями, то складніше і «колюче» ставала б ламана. Американський математик М. Вінер показав, що рух броуновской частки, настільки малої, що її інерцією можна знехтувати, відбувається по лінії, ніде де немає касательной.

Як роблять статуї. Про багатьох знаменитих скульпторів розповідають, що у питання, як робити настільки чудові статуї, дотримувався відповідь: «Я беру брилу мармуру і відсікаю від нього все зайве». У різних книжках це можна зробити прочитати про Мікеланджело, про Торвальдсене, про Родене.

Тим самим самим чином можна дістати будь-яку обмежену пласку геометричну постать: треба взяти який-небудь квадрат, у якому вона лежить, і потім відсікти все зайве. Проте відсікати не треба відразу, а поступово, щокроку відкидаючи шматочок, має форму кола. При цьому коло викидається, яке кордон — окружність — залишається в фигуре.

На перший погляд видається, що це можна отримати роботу лише постаті такого виду, ка на рис. 23. Але справа у цьому, що відкидають чимало і два кола, а нескінченне, точніше, рахункове безліч кіл. Таким шляхом можна було одержати будь-яку постать. Аби у тому досить прийняти у увагу, що багато кіл, які мають раціональні і радіус обидві координати центру, рахункове. Нині ж щоб дістати будь-яку постать, досить взяти у якому її квадрат (брилу мармуру) і обросить усіма колами вищезазначеного виду, які не містять жодної точки потрібної нам постаті. Якщо ж викидати кола не з квадрата, та якщо з всієї площині, то описаним прийомом можна одержати й необмежені фигуры.

Рис. 23.

Але смільчаків як таки їх можна виміряти. Над тим, що таке площу фігури, математики замислювалися ще до його відкриття неквадрируемых областей. Доти уже багато тисячоліть вчені користувалися понытиями довжини, площі, обсягу, не піддаючи їх суворому критичного аналізу. Розповідають, що коли і один французький генерал приніс Паризьку академію наук своє «рішення» проблеми квадратури кола, його запитали, а що він розуміє під площею кола. «Площі не розуміють, їх обчислюють!» — вигукнув бравий генерал. І така думка була поширена навіть серед математиків. Вони вважали, що загальна площа — це число, зіставлене геометричній фігурі що має очевидними властивостями (площа цілого дорівнює сумі площ частин, когруэнтные постаті мають рівні площі й т. буд.). На жодну хвилину де вони сумнівалися у цьому, будь-яка пласка геометрична постать має площа (можливо, рівну нулю чи бесконечности).

Але характерною рисою математики і те, що з створенням методів рішення практичних завдань вона вивчає і відгранює застосовуваний нею інструментарій, кожному за виникає поняття шукає найширшу і нормальну область його застосовності, кожної доведеною теореми — найбільш умови, за яких справедлива. І це порожні заняття математичних снобів, а необхідність. Тільки встановивши поняття і теореми, а найбільшою спільності, звільнивши їхнього капіталу від непотрібних обмежень, що з тієї конкретної завданням, з якому вони виникли, помітні зв’язок між далекими друг від друга областями науки, навчитися застосовувати створені методи у ситуаціях, які мають здавалося б нічого спільного з початковими джерелами цих методов.

Тому так очевидні, начебто, поняття, як довжина, площа, обсяг (пізніше всі ці поняття почали називати одне слово — міра), були піддані тщательнейшему аналізу. Один із перших робіт з уточненню поняття заходи належала Жордану. У перебігу багатьох десятиліть він читав в Парижі курс математичного аналізу, побудований на точних визначеннях, бездоганних доказах і найсуворішою логіці. І, звісно, не міг користуватися у тому курсі расплывчатым поняттям площі. Придуманий їм визначення площі можна сформулювати так: площу фігури — їх кількість, що лежить між безліччю площ многоугольников, наведені у цій фігурі, і безліччю площ многоугольников, наведені у цій фігурі, містять таку ж постать. Виявилося, що загальна площа по Жордану мають ті й ті плоскі постаті, кордон яких має нульову площа. На жаль, занадто багато постатей не піддавалося виміру по Жордану; зокрема, не міг виміряти згадані вище неквадрируемые области.

За рішення що виникли проблем взялися молоді вчені, натхненні лекціями Жордана. Одне з перших визначень, застосовних до дуже широкому класу постатей, запропонував наприкінці ХІХ в. Еміль Борель. Він зазначив, що це виникаючі у науці постаті на прямий, площини і у просторі були отримані з найпростіших постатей — відрізків, квадратів і кубів з допомогою двох основних операцій: освіти доповнення до безлічі об'єднання лічильної сукупності множин (зокрема, як ми бачили вище, у такий спосіб виходять все замкнуті безлічі). Чергуючи ці операції, і продовжуючи такий процес трансфинитным чином, можна одержувати щокроку дедалі більше складні безлічі, названі на честь Бореля борелевскими чи інакше Умножинами (відзначимо що застосовуючи ідею Зенона можна було одержати кожне таке безліч за кінцевий проміжок часу, подвоюючи щокроку швидкість застосовуваних операций).

Виявилося будь-якому борелевскому безлічі можна приписати міру виходячи з таких двох принципов:

А) якщо безліч, А представимо як об'єднання лічильної сукупності підмножин, мають міру, причому ніякі дві з них мають загальних точок, то міра всього безлічі дорівнює сумі низки, що складається з заходів подмножеств;

Б) міра доповнення до подмножеству, має міру, виходить шляхом вирахування заходи цього підмножини з заходи целого.

З принципів Бореля випливало, зокрема, що будь-який рахункове безліч має нульову міру — адже вона є об'єднанням лічильної сукупності точок, а міра кожної з цих точок дорівнює нулю.

На жаль, пізніше з’ясувалося, що запропонований Борелем процес виміру множин мав істотним недоліком. Річ у тім, що одне теж безліч то, можливо у різний спосіб складається з найпростіших, а тому мав довести, всі ці способи дадуть один і той ж значення для заходи даного безлічі. Такого докази Борель не зміг получить.

Інакше підійшов до проблеми виміру множин який розпочинав у роки свою наукову діяльність Анрі Лебег. Вже перші роботи Лебега розгнівали математиків класичного напрями. Саме назва, а такою «Про нелінійних развертывающихся поверхнях» здавалося їм так само протиприродним, як, наприклад назва «Про газоподібному льоду» для фізики чи «Про рыбообразных слонах» для біолога. Найбільш слабкий студент знав, будь-яка поверхню, що можна розгорнути на площину (циліндр, конус тощо. буд.), зіткана з прямих ліній, тобто може бути отримана рухом прямолінійною котра утворює. Але справа було того, що «молодий автор за іншим розумів развертывающиеся поверхні, ніж геометры-классики.

Він вважає такими як поверхні, одержувані акуратним згинанням листи паперу, а й поверхні, які вийдуть, коли цей аркуш паперу зім'яти (пояснюючи своєї роботи одного з друзів, Лебег сказав: «Уяви собі зім'ятий носовичок»). Він довів, що шматок площині ж личить отак «зім'яти», після цього на не було ні одного прямолінійного відрізка. Зрозуміло, отримана поверхню вся складалася з складок і зламів. Тому її й пропустили геометри, класифіковані развертывающиеся поверхні: він займався лише гладким случаем.

Від вивчення довільних развертывающихся поверхонь Лебег перейшов до спільного питання, як визначити площа поверхні, Якщо ця поверхню перестав бути гладкою, якщо до неї ніде не можна провести дотичну площину. Для пожужмленого развертывающейся поверхні завдання вирішується просто: треба розправити її й підрахувати площа получившегося шматка площині. Але це відповідь не міг отримати по формулам, які давала класична математика: вони годилися тільки до гладких поверхностей.

Не вдалася ще й спроба вимірювати площі поверхонь, вписуючи у яких багатогранники і переходячи до межі при зменшенні розмірів всіх граней. Німецький математик Р. Шварц показав, що таких шляхом знайти площа звичайнісінького циліндра — вписаний до нього багатогранник може бути настільки складчастим, що загальна площа поверхні значно більше площі циліндра. Лебегу вдалося придумати визначення площі поверхні, яке не вимагало проведення дотичних площин, але водночас обходила всі труднощі, пов’язані з «гармошкою Шварца». Вирішуючи цю приватну завдання, Лебег дійшов загальним ідеям у тому, що таке міра безлічі, як вимірювати довжини, площі, та обсяги найвигадливіших фигур.

Узявши від Бореля ідею підсумовування рядів, він видозмінив визначення, запропоноване Жорданом, дозволивши використовувати крім многоугольников і постаті, отримані з їх із допомогою об'єднання рахункових сукупностей. Саме, назвемо постать ?-покрываемой по Лебегу, якщо є лічильна система многоугольников, об'єднання яких покриває цю постать, причому сума низки, що складається з їх площ менше, ніж ?. Далі, назвемо безліч X вимірним по Лебегу, для будь-якого ?>0 може бути уявити як багатокутника А?, якого долучено одне ?-покрываемое безліч і від якої відкинуте інше ?-покрываемое безліч. Якщо міру багатокутника, А позначити через |А|, то ясно, що захід безлічі X повинна бути міститься між числами|А?| -? і |А?|+?. Виявилося, що з вимірюваних по Лебегу множин завжди існує одна і лише одна число, що має цією властивістю, хоч би яке ?>0 ми вибрали і який що наближує багатокутник А? взяли. Саме це число і називають мірою Лебега безлічі Х.

Після створення поняття заходи Лебега виявилося, що з неї немає жодних ускладнень, причому по Лебегу можна виміряти все які зустрілися раніше на науці безлічі. Пізніше було побудовано приклади невимірних множин, але вони використовують так звану аксіому вибору, яку йтиметься нижче. Побудовані з її допомогою приклади є конструктивными.

Тому можна сказати, що Лебег розв’язав проблеми виміру всіх множин, що потенційно можуть зіткнутися практичну роботу математиков.

З допомогою введеного їм поняття заходи Лебег знайти інтеграли всіх розривних функцій, які можна було побудувати відомих у той час методами (інтеграл Лебега).

Тріумф ідей Лебега привело до того, що й одне із вождів математиків — класиків Гастон Дарбу змінив свій думки і, виступаючи у 1908 г. на Математичному конгресі у Римі, характеризував запальному і допитливому дусі математики ХХ в., про науку, провідною свої дослідження на цілком нової області з незвіданими перспективами. Він підкреслив, що галузеву науку ХХ в. не боїться атакувати основи побудов, які так довго здавалися непоколебимыми.

Пізніше ідеї, що призвели до створення міри і інтеграла Лебега, дозволили А. М. Колмогорову побудувати аксіоматику теорії ймовірностей, а Норбертові Вінерові - визначити поняття міри і інтеграла для просторів, які з функций.

Роботу не треба рецензувати, а друкувати! Урысон довів багато найцікавіших теорем, що з запровадженим їм поняттям розмірності. Але одну найголовнішу теорему йому аж ніяк не вдавалося довести: не виходило доказ те, що найзвичайнісінький куб має розмірність 3. Після тривалих зусиль знайшла чудовий виходу зі становища, придумавши нове визначення розмірності. Ми не детально викладати визначення, а пояснимо його за найпростіших фигурах.

Якщо взяти відрізок чи окружність, їх може бути розбитий на як завгодно малі частини отже кожна точка належить лише двом шматочках (рис. 33). У цьому потрібно опановувати шматочки разом із їхніми межами (то є кінцевими точками). Квадрат була настільки розбити не можна. На погляд здається, що з розбивці квадрата на шматки завжди будуть точки, належать чотирьом частинам (рис. 34, а). Але якщо вкласти частини оскільки цеглини на будівництві, то вдається домогтися щоб кожна точка належала не більш як трьом різних частинах (рис. 34, б). Так само у куба є розбивка на маленькі паралелепіпеди у якому кожна точка належить лише чотирьом параллелепипедам.

Саме ця властивість і від Урысон за нове визначення розмірності. Постать називається має розмірність n, якщо розбити на як завгодно малі замкнуті частини те щоб жодна точка не належала n+2 різних частинах, але при.

Рис. 33 Рис. 34 будь-якому досить малому розбивці знайдуться точки, належать n+1 різним частям.

Використовуючи визначення розмірності, Урысон довів що розмірність квадрата дорівнює 2, куба — 3 тощо. буд. До того ж, а також, що визначення рівносильне спочатку данному.

Побудована Урысоном теорія розмірності справила глибоке вразити весь математичний світ. Про це яскраво свідчить такий епізод. Під час закордонної відрядження Урысон зробив доповідь про своє результатах в Геттинге. До приходу нацистів до української влади Геттингский університет був однією з основних математичних центрів. Після доповіді керівник геттингенской математичної школи знаменитий Давид Гільберт сказав, що це результати треба зробити публічне оголошення журналі «Mathematische Annalen» — одному з головних математичних журналів на той час. Через кілька місяців Урысон знову робив доповідь в Геттінгені і Гільберт запитав свого помічника за журналом, надрукована вже робота Урысона. Той відповів, робота рецензируется. «Але ж я ясно сказав, що її слід не рецензувати, а друкувати!» — вигукнув Гільберт. Після такого недвозначного заяви стаття якого була негайно напечатана.

Протягом трьох років тривала яка має рівних глибину та напруженості наукова діяльність Урысона (цей час він опублікував кілька десятків наукових робіт). Трагічний випадок обірвав його життя — він потонув 17 серпня 1924 г., купаючись під час шторму в Біскайському затоці. За день на смерть він закінчив чергову наукову работу.

Після смерті П. З. Урысона залишилися численні чернетки і начерки неопублікованих результатів. Його найближчого друга (і співавтор по багатьом роботам) Павло Сергійович Александров, відклавши на кілька днів свої дослідження, підготував ці роботи до друку, зробивши тим самим ці результати Урысона надбанням усіх математиків. Нині теорія розмірності стала важливою главою математики.