Завдання на екстремум (реферат)

Реферат на тему:

Задача на екстремум

Тема: Задача на екстремум

Мета: Навчитися розв’язувати основні типи задач на екстремум, закріпити навички щодо знаходження похідної.

Основні терміни:

З попередніх тем:

Похідною функції $$y=f(x)$$ в точці $$x_0$$ називається границя відношення приросту $$\mathit{}$$ функції до приросту $$\mathit{}$$ аргументу за умови, що приріст $$\mathit{}$$ аргументу прямував до нуля, а границя існує, тобто.

$$f^{\text{'}}(x_0)=\underset{\mathit{}->0}{\text{lim}}\frac{\mathit{}}{\mathit{}}=\underset{\mathit{}->0}{\text{lim}}\frac{f(x_0+\mathit{})-f(x_0)}{\mathit{}}$$ .

З даної теми:

Функція називається зростаючою в точці $$x_0$$, якщо існує інтервал $$(x_0--x_0+)$$, де $$>0$$, який знаходиться в проміжку $$a-b$$, і такий, що $$f(x)<f(x_0)$$ для всіх $$x$$ з інтервалу $$(x_0--x_0)$$ і $$f(x)>f(x_0)$$ для всіх $$x$$ з інтервалу $$(x_0-x_0+)$$ .

Функція називається спадною в точці $$x_0$$, якщо існує інтервал $$(x_0--x_0+)$$, де $$>0$$, який знаходиться в проміжку $$a-b$$, і такий, що $$f(x)>f(x_0)$$ для всіх $$x$$ з інтервалу $$(x_0--x_0)$$ і $$f(x)<f(x_0)$$ для всіх $$x$$ з інтервалу $$(x_0-x_0+)$$ .

Якщо існує інтервал $$(x_0--x_0+)$$, де $$>0$$, який міститься у проміжку $$a-b$$ і такий, що $$f(x)<f(x_0)$$ для всіх $$x$$ з інтервалу $$(x_0--x_0+)(x/=x_0)$$, то точку $$x_0$$ називають точкою максимуму функції $$y=f(x)$$, а саме число $$f(x_0)$$ — максимумом функції $$y=f(x)$$ .

Якщо існує інтервал $$(x_0--x_0+)$$, де $$>0$$, який міститься у проміжку $$a-b$$ і такий, що $$f(x)>f(x_0)$$ для всіх $$x$$ з інтервалу $$(x_0--x_0+)(x/=x_0)$$, то точку $$x_0$$ називають точкою мінімуму функції $$y=f(x)$$, а саме число $$f(x_0)$$ — мінімумом функції $$y=f(x)$$ .

Стаціонарними точками називають точки в яких похідна функції рівна нулю.

Точки максимуму і мінімуму функції називають екстремальними точками.

Екстремумом функції називають її максимум і мінімум.

Теорема1: Якщо функція $$y=f(x)$$ у внутрішній точці $$x_0$$ проміжку $$a-b$$ має похідну $$f^{\text{'}}(x_0)$$ і $$f\text{'}(x_0)>0(f\text{'}(x_0)<0),$$ то функція $$y=f(x)$$ в точці $$x_0$$ зростає (спадає).

Теорема2: Якщо функція $$y=f(x)$$ у внутрішній точці $$x_0$$ проміжку $$a-b$$ має екстремум, то в цій точці похідна $$f^{\text{'}}(x_0)$$, якщо вона існує, дорівнює нулю.

Теорема3: Нехай $$x_0$$ — стаціонарна точка функції $$y=f(x)$$, яка в цій точці є неперервною, і існує окіл точки $$(x_0--x_0+)$$, в якому $$y=f(x)$$ має похідну $$f^{\text{'}}(x)$$. Тоді:

1. 1)якщо в інтервалі $$(x_0--x_0)$$ $$f^{\text{'}}(x)>0$$, а в інтервалі $$(x_0-x_0+)$$ похідна $$f^{\text{'}}(x)<0$$, то $$x_0$$ є точкою максимуму функції $$y=f(x)$$ ;

2. 2)якщо в інтервалі $$(x_0--x_0)$$ $$f^{\text{'}}(x)<0$$, а в інтервалі $$(x_0-x_0+)$$ $$f^{\text{'}}(x)>0$$, то $$x_0$$ є точкою мінімуму функції $$y=f(x)$$ ж.

3. 3)якщо в обох інтервалах $$(x_0--x_0)$$ і $$(x_0-x_0+)$$ похідна $$f^{\text{'}}(x)$$ має той самий знак, то $$x_0$$ не є екстремальною точкою функції $$y=f(x)$$ .

Теорема4: Нехай точка $$x_0$$ є стаціонарною для функції $$f(x)$$ і нехай в цій точці існує похідна другого порядку $$f^{\text{'}\text{'}}(x_0)$$, яка не дорівнює нулю, $$f^{\text{'}\text{'}}(x_0)/=0\text{.}$$ Тоді, якщо $$f^{\text{'}\text{'}}(x_0)>0$$, то $$x_0$$ є точкою мінімуму, якщо $$f^{\text{'}\text{'}}(x_0)<0$$, то $$x_0$$ є точкою максимуму функції $$f(x)$$ .

Друге правило: Щоб дослідити функцію на екстремум, треба:

1. 1)знайти стаціонарні точки заданої функції;

2. 2)знайти похідну другого порядку в стаціонарній точці.

Якщо при цьому в стаціонарній точці $$x_0$$ $$f^{\text{'}\text{'}}(x_0)/=\mathrm{0,}$$ то $$x_0$$ є екстремальною точкою для функції $$f(x)$$, а саме: точкою мінімуму, якщо $$f^{\text{'}\text{'}}(x_0)>\mathrm{0,}$$ і точкою максимуму, якщо $$f^{\text{'}\text{'}}(x_0)<0\text{.}$$.

Час: 45 хв.

10 хв. — повторення попереднього матеріалу та перевірка домашнього завдання,.

15 хв. — пояснення нового матеріалу,.

15 хв. — розв'язування прикладів,.

5 хв. — задання домашнього завдання.

Конспект уроку:

Основні типи задач на екстремум:

• адачі на знаходження локального екстремуму;

• руге правило дослідження функції на екстремум;

Розглянемо приклади, що ілюструють ці типи.

При розв’язуванні задач на екстремум потрібно шукати похідну.

Задачі на знаходження локального екстремуму.

Приклад 1. Дослідити функцію $$f(x)=x^3$$ на екстремум.

Розв’язання.

Знайдемо похідну $$f^{\text{'}}(x)=3x^2$$. Розв’яжемо рівняння $$f^{\text{'}}(x)=0$$, $$3x^2=0$$ звідки дістанемо одну стаціонарну точку $$x=0$$. З’ясуємо чи є зміна знака похідної. Оскільки $$3x^2>0$$ для всіх $$x/=0$$, то $$f^{\text{'}}(x)$$ не змінює знак при переході через точку $$x=0$$. Отже, $$x_0=0$$ не є екстремальною точкою.

Відповідь: Функція $$f(x)=x^3$$ екстремуму не має.

Приклад 2. Дослідити функцію $$f(x)=x^2$$ на екстремум.

Розв’язання.

Знаходимо похідну $$f^{\text{'}}(x)=2x$$ і розв’язуємо рівняння $$2x=0$$, звідки дістанемо одну стаціонарну точку $$x=0$$ .

Перевіряємо достатні умови. Для цього візьмемо поблизу точки $$x=0$$ від'ємне значення $$x$$, наприклад $$x=-h$$ ($$h>0$$ — дійсне число), і обчислимо похідну $$f^{\text{'}}(-h)=-2h$$. Оскільки $$h>0$$, $$-2h<0$$. Отже, зліва від точки $$x=0$$ похідна $$f^{\text{'}}(x)$$ має додатний знак.

Обчислимо $$f^{\text{'}}(x)$$ в точці $$x=h$$. Маємо $$f^{\text{'}}(h)=2h>0$$. Отже, справа від точки $$x=0$$ похідна $$f^{\text{'}}(x)$$ має додатний знак.

Таким чином, похідна $$f^{\text{'}}(x)$$ при переході через точку $$x=0$$ змінює знак з «-» на «+». Звідси $$x=0$$ є точкою мінімуму, а сама функція в точці $$x=0$$ має мінімум. Щоб знайти цей мінімум, слід знайти значення функції в цій точці. Дістанемо $$f(0)=0$$ .

Відповідь: $$\text{min}f(x)=0$$ .

Зазначимо, що перевірку достатніх умов у випадку, коли функція має скінченну множину стаціонарних точок, можна дещо спростити. Справді, нехай, наприклад, $$x_1,x_2,\text{.}\text{.}\text{.},x_k$$ — стаціонарні точки функції $$y=f(x)$$, які занумеровано в порядку зростання $$x_1<x_2<\text{.}\text{.}\text{.}<x_{k-1}<x_k$$ .

Розглянемо інтервали $$(a-x_1),(x_1-x_2),\text{.}\text{.}\text{.},(x_{k-1}-x_k),(x_k-b)$$, де числа $$a$$ і $$b$$ належать області визначення функції. Тоді в кожному з інтервалів не має екстремальних точок. Отже, в цих інтервалах похідна $$f^{\text{'}}(x)$$ має сталий знак. Тому обчисливши похідну у будь-якій точці інтервалу, можна зробити висновок про знак похідної на всьому інтервалі.

Приклад 3.

Дослідити на екстремум функцію $$f(x)=(x+1{)}^2(x-2{)}^3$$ .

Розв’язання. Знайдемо

$$\begin{array}{c}f\text{'}(x)=2(x+1)(x-2{)}^3+3(x+1{)}^2(x-2{)}^2=\\ (x+1)(x-2{)}^2(2x-4+3x+3)=(x+1)(x-2{)}^2(5x-1)\text{.}\end{array}$$.

Розв’яжемо рівняння $$f^{\text{'}}(x)=0$$: $$(x+1)(x-2{)}^2(5x-1)=0$$. Звідси знаходимо стаціонарні точки $$x_1=-\mathrm{1,}{x}_2=\frac{1}{5},x_3=2$$. Розглянемо інтервали $$(-\mathrm{}--1),(-1-\frac{1}{5}),(\frac{1}{5}-2),(2-+\mathrm{})$$ .

Для визначення знака похідної обчислимо останню в довільних точках, які належать даним інтервалам. Візьмемо, наприклад, такі точки: -2- 0- 1- 3. Тоді.

$$\begin{array}{c}f\text{'}(-2)=-4^2(-\text{11})>0\\ f\text{'}(0)=-4<0\\ f\text{'}(1)=8>0\\ f\text{'}(3)=4\text{14}>0\end{array}$$ $$\begin{array}{c}(+)\\ (-)\\ (+)\\ (+)\end{array}$$.

Отже, при переході через точку $$x_1=-1$$ похідна змінила знак з «+» на «-». У цій точці функція має максимум, який дорівнює $$f(-1)=-\text{27}$$ .

При переході через точку $$x_2=\frac{1}{5}$$ похідна змінює знак з «-» на «+». У цій точці функція має мінімум $$f(\frac{1}{5})=-\frac{\text{324}}{\text{125}}$$ .

При переході через $$x_3=2$$ похідна не змінює знак. Ця точка не є екстремальною для заданої функції.

Відповідь: $$\text{max}f(x)=-\text{27}\text{, min}f(x)=-\frac{\text{324}}{\text{125}}\text{.}$$.

Друге правило дослідження функції на екстремум

Приклад 1. Користуючись другим правилом, дослідити функцію на екстремум $$f(x)=x^3-x^2$$.

Розв’язання.

Знаходимо похідну $$f^{\text{'}}(x)=3x^2-2x\text{.}$$

Прирівнюємо похідну $$f^{\text{'}}(x)$$ до нуля і розв’язуємо рівняння $$3x^2-2x=\mathrm{0,}x(3x-2),x_1=\mathrm{0,}{x}_2=\frac{2}{3}\text{.}$$ звідки дістанемо такі стаціонарні точки: $$x_1=\mathrm{0,}{x}_2=\frac{2}{3}$$ .

Знаходимо похідну другого порядку $$f^{\text{'}\text{'}}(x)=6x-2$$ .

Підставляємо у вираз для $$f^{\text{'}\text{'}}(x)$$ знайдені значення $$x_1$$ і $$x_2$$ :

$$f^{\text{'}\text{'}}(0)=-2<\mathrm{0,}{f}^{\text{'}\text{'}}(\frac{2}{3})=6\frac{2}{3}-2=2>0\text{.}$$.

отже $$x_1=0$$ є точкою максимуму, а $$x_2=\frac{2}{3}$$ — точкою мінімуму функції $$y=x^3-x^2$$, причому максимум і мінімум відповідно дорівнюють $$f(0)=\mathrm{0,}f(\frac{2}{3})=-\frac{4}{\text{27}}\text{.}$$.

Відповідь: $$\text{max}f(x)=0\text{, min}f(x)=-\frac{4}{\text{27}}\text{.}$$

Приклад 2. Користуючись другим правилом, дослідити функцію на екстремум $$f(x)=2x^3-\text{15}{x}^2-\text{84}x+8$$ .

Розв’язання.

Знаходимо похідну першого порядку $$f^{\text{'}}(x)=6x^2-\text{30}x-\text{84}$$ .

Прирівнюємо похідну до нуля і розв’язуємо утворене рівняння $$6x^2-\text{30}x-\text{84}=0$$ .

Звідси знаходимо стаціонарні точки $$x_1=\mathrm{7,}{x}_2=-2$$ .

Обчислимо похідну другого порядку $$f^{\text{'}\text{'}}(x_0)=\text{12}x-\text{30}$$ .

Тоді $$f^{\text{'}\text{'}}(7)=\text{54}>\mathrm{0,}{f}^{\text{'}\text{'}}(-2)=-\text{54}<0\text{.}$$.

Отже, в точці $$x_1=7$$ функція має мінімум $$f(7)=-\text{629}$$, а в точці $$x_2=-2$$ — максимум $$f(-2)=\text{100}$$ .

Відповідь: $$\text{max}f(x)=\text{100}\text{, min}f(x)=-\text{629}\text{.}$$

Домашнє завдання

І рівень

Знайти локальні екстремуми функцій:

1) $$y=4x-x^2-$$ 2) $$y=2x^3+6x^2-\text{12}x+\text{100}-$$ 3) $$y=\frac{4}{x}+x-$$.

4) $$y=\sqrt{x}-$$ 5) $$y=\text{sin}x-$$ 6) $$y=(a-x)(a-2x)\text{.}$$.

ІІ рівень

Знайти локальні екстремуми функцій:

1) $$f(x)=3x^4-4x^3-$$ 2) $$f(x)=\frac{x}{4}+\frac{4}{x}-$$ 3) $$f(x)=\frac{x^2-2x+2}{x-1}-$$.

4) $$f(x)=(x-2{)}^4-$$ 5) $$f(x)=\text{sin}x+\text{cos}x-$$ 6) $$f(x)=(x+1)\sqrt{x}\text{.}$$.

ІІІ рівень

Знайти локальні екстремуми функцій:

1) $$y=x^4(x-\text{12}{)}^2-$$ 2) $$y=\frac{x^2-3}{x^2-4x}-$$ 3) $$y=\frac{3x}{2+x^2}-$$ 4) $$y=x\sqrt[3]{x-2-}$$ 5) $$y=\sqrt{3}\text{sin}x-\text{cos}x-$$ 6) $$y=\frac{4}{\sqrt{x^2+8}}\text{.}$$.

Запитання і завдання для повторення

1. 1.Яка функція називається зростаючою (спадною) в точці?

2. 2.Яка функція називається зростаючою (спадною) на проміжку?

3. 3.Сформулювати ознаку зростання (спадання) функції в точці.

4. 4.Сформулювати ознаку зростання (спадання) функції на проміжку.

5. 5.Яка точка називається точкою максимуму (мінімуму) функції?

6. 6.Що називається максимумом (мінімумом) функції?

7. 7.Яка точка називається екстремальною для функції?

8. 8.Яка точка називається стаціонарною для функції?

9. 9.Чи буде стаціонарна точка екстремальною? Навести приклад.

10. 10. Сформулювати необхідну умову існування екстремуму функції.

11. 11. Сформулювати правила дослідження функції на екстремум.

Типові помилки при розв’язуванні задач на екстремум

Найпоширенішими помилками є помилки при обчислюванні, також у випадках коли маємо рівняння типу $$f(x)=(x\pm a{)}^n(x\pm b{)}^m$$ учні намагаються перемножити вираз, щоб спростити собі знаходження похідно, тим самим ускладнюють завдання. Інколи виникають проблеми з визначенням максимуму і мінімуму — плутають послідовність «+» і «-». У випадках з кореневими та дробовими виразами забувають про те, що потрібно перевірити чи стаціонарні точки знаходяться в ОДЗ.