Розклад вектора за базисом (реферат)

Розклад вектора за базисом.

Означення. Лінійно залежними називають вектори $$\stackrel{->}{{а}_1,}{\stackrel{->}{а}}_2,\text{.}\text{.}\text{.},\stackrel{->}{{а}_n}$$, якщо існує хоч би одне дійсне число $${}_{і}$$ (і = 1,2,…, n), що не дорівнює нулю і виконується рівність.

$${}_1{\stackrel{->}{а}}_1+{}_2{\stackrel{->}{а}}_2+\text{.}\text{.}\text{.}+{}_n{\stackrel{->}{a}}_n=0$$ (1).

Означення. Лінійно незалежними називають вектори $$\stackrel{->}{{а}_1,}{\stackrel{->}{а}}_2,\text{.}\text{.}\text{.},\stackrel{->}{{а}_n}$$, якщо рівність (7) виконується тільки тоді, коли усі $${}_{і}=0(і=\mathrm{1,2,}\text{.}\text{.}\text{.},n)$$ .

В системі векторів $$\stackrel{->}{{а}_1,}{\stackrel{->}{а}}_2,\text{.}\text{.}\text{.},\stackrel{->}{{а}_n}$$ число лінійно незалежних векторів дорівнює рангу матриці, яка складена з координат цих векторів.

Дійсно, якщо систему векторів $$\stackrel{->}{{а}_1,}{\stackrel{->}{а}}_2,\text{.}\text{.}\text{.},\stackrel{->}{{а}_n}$$ із простору Еm розглядати як матриці-стовпці з m заданими елементами, тоді рівняння (1) можна записати у вигляді однорідної системи m лінійних алгебраїчних рівнянь з n невідомими $$\stackrel{}{{}_1,}{\stackrel{}{}}_2,\text{.}\text{.}\text{.},\stackrel{}{{}_n}$$. Кількість базисних невідомих системи дорівнює рангу r основної матриці системи, тобто матриці, складеної із координат векторів $$\stackrel{->}{{а}_1,}{\stackrel{->}{а}}_2,\text{.}\text{.}\text{.},\stackrel{->}{{а}_n}$$ .

Таким чином, серед чисел $$\stackrel{}{{}_1,}{\stackrel{}{}}_2,\text{.}\text{.}\text{.},\stackrel{}{{}_n}$$ існує r не рівних нулю. Згідно з означенням звідси випливає, що вектори $$\stackrel{->}{{а}_1,}{\stackrel{->}{а}}_2,\text{.}\text{.}\text{.},\stackrel{->}{{а}_n}$$ лінійно залежні.

Для лінійно залежних векторів має місце рівність (1), з якої завжди можна один вектор виразити через лінійну комбінацію інших.

Якщо вектори $$\stackrel{->}{{а}_1,}{\stackrel{->}{а}}_2,\text{.}\text{.}\text{.},\stackrel{->}{{а}_n}$$ із простору Еn (кожен з них має n координат) лінійно незалежні, тоді $${}_1={}_2=\text{.}\text{.}\text{.}={}_n=0$$, тобто система n однорідних лінійних алгебраїчних рівнянь з n невідомими має тривіальний розв’язок. Але це можливо тоді, коли визначник матриці, складеної із координат векторів $$\stackrel{->}{{а}_1,}{\stackrel{->}{а}}_2,\text{.}\text{.}\text{.},\stackrel{->}{{а}_n}$$, не дорівнює нулю.

Приклад 1. Визначити лінійну залежність або незалежність системи векторів $$\stackrel{->}{{а}_1}$$ = (-1,-2,-3) — $${\stackrel{->}{а}}_2$$ = (7,8,9) — $$\stackrel{->}{{а}_3}$$ = (-4,-5,6) та системи векторів $$\stackrel{->}{b_1}$$ = (3,-2,4,1) — $$\stackrel{->}{b_2}$$ = (-1,2,-1,2) — $$\stackrel{->}{b_3}$$ = (1,2,2,5).

Розв’язування. Спочатку розглянемо систему векторів $$\stackrel{->}{{а}_1}$$, $${\stackrel{->}{а}}_2$$ та $$\stackrel{->}{{а}_3}$$. Знайдемо ранг матриці, складеної з координат цих векторів:

$$А=\left(\begin{array}{ccc}-1& -2& -3\\ 7& 8& 9\\ -4& -5& 6\end{array}\right)$$.

Визначник цієї матриці |А| = - 48 + 72 + 105 — 96 +84 — 45 = 72 не дорівнює нулю, тому r (A)=3 і вектори $$\stackrel{->}{{а}_1}$$, $${\stackrel{->}{а}}_2$$, $$\stackrel{->}{{а}_3}$$ лінійно незалежні.

Тепер розглянемо систему векторів $$\stackrel{->}{b_1}$$, $$\stackrel{->}{b_2}$$, $$\stackrel{->}{b_3}$$. Матриця В складена з координат цих векторів має вигляд:

$$В=\left(\begin{array}{cccc}3& -2& 4& 1\\ -1& 2& -1& 2\\ 1& 2& 2& 5\end{array}\right)$$.

Ця матриця розміру 3×4 має ранг r (B)=2.

Тому вектори $$\stackrel{->}{b_1}$$, $$\stackrel{->}{b_2}$$, $$\stackrel{->}{b_3}$$ лінійно залежні.

Означення. Базисом n вимірного простору Еn називають будь-яку сукупність n лінійно незалежних векторів n вимірного простору.

Довільний вектор $$\stackrel{->}{d}$$ n вимірного простору можна представити у вигляді лінійної комбінацій векторів базиса $$\stackrel{->}{{а}_1,}{\stackrel{->}{а}}_2,\text{.}\text{.}\text{.},\stackrel{->}{{а}_n}$$ так:

$$\stackrel{->}{d}=x_1{\stackrel{->}{a}}_1+x_2{\stackrel{->}{a}}_2+\text{.}\text{.}\text{.}+x_n{\stackrel{->}{a}}_n$$ (2).

Числа $$x_1,x_2,\text{.}\text{.}\text{.}{x}_n$$ називають координатами вектора $$\stackrel{->}{d}$$ у базисі векторів $$\stackrel{->}{{а}_1,}{\stackrel{->}{а}}_2,\text{.}\text{.}\text{.},\stackrel{->}{{а}_n}$$ .

Приклад. Довести, що вектори $$\stackrel{->}{{а}_1}$$ = (5,4,3) — $${\stackrel{->}{а}}_2$$ = (-3,-1,2) — та $$\stackrel{->}{{а}_3}$$ = (-3,1,3) утворюють базис в Е3, та розкласти вектор $$\stackrel{->}{d}$$ = (12,9,10) за цим базисом.

Розв’язування. Кожен із заданих векторів $$\stackrel{->}{{а}_1}$$, $${\stackrel{->}{а}}_2$$, $$\stackrel{->}{{а}_3}$$ має три координати, тому належить тривимірному простору Е3. Матриця складена з координат цих векторів.

$$А=\left(\begin{array}{ccc}5& 4& 3\\ -3& -1& 2\\ -3& 1& 3\end{array}\right)$$.

має визначник |А|= -15−24−9-9+36−10= -31 $$$$ 0, тому вектори $$\stackrel{->}{{а}_1}$$, $${\stackrel{->}{а}}_2$$, $$\stackrel{->}{{а}_3}$$ лінійно незалежні. Згідно з означенням базиса, ці вектори утворюють базис в Е3.

Вектор $$\stackrel{->}{d}$$ також має три координати, тобто належить Е3. Тому його можна представити у вигляді (2) або.

$$\left(\begin{array}{c}\text{12}\\ 9\\ \text{10}\end{array}\right)={х}_1\left(\begin{array}{c}5\\ 4\\ 3\end{array}\right)+{х}_2\left(\begin{array}{c}-3\\ -1\\ 2\end{array}\right)+{х}_3\left(\begin{array}{c}-3\\ 1\\ 3\end{array}\right)$$.

Вектори рівні, коли їх відповідні координати рівні. Тому з останньої рівності одержимо.

$$\{\begin{array}{c}5{х}_1\\ 4{х}_1\\ 3{х}_1\end{array}\begin{array}{ccc}-3{х}_2& -3{х}_3& \\ -{х}_2& +{х}_3& \\ +2{х}_2& +3{х}_3& \end{array}\begin{array}{c}\text{12}\\ 9\\ \text{10}\end{array}$$.

Матричним методом можна знайти розв’язок цієї системи.

$$\left(\begin{array}{c}{х}_1\\ {х}_2\\ {х}_3\end{array}\right)=\frac{-1}{\text{31}}\left(\begin{array}{ccc}-5& 3& -6\\ -9& \text{24}& -\text{17}\\ \text{11}& -\text{19}& 7\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\text{12}\\ 9\\ \text{10}\end{array}\right)=\frac{-1}{\text{31}}\left(\begin{array}{c}-\text{93}\\ -\text{62}\\ \text{31}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ -1\end{array}\right)$$.

Отже, маємо розклад $$\stackrel{->}{d}$$ за базисом.

$$\stackrel{->}{d}$$ = 3 $${\stackrel{->}{а}}_1+2{\stackrel{->}{а}}_2-{\stackrel{->}{а}}_3$$.

Координатами вектора $$\stackrel{->}{d}$$ у базисі $$\stackrel{->}{{а}_1}$$, $${\stackrel{->}{а}}_2$$, $$\stackrel{->}{{а}_3}$$ будуть (3,2,-1).

Зауваження. Два лінійно залежних вектори задовольняють рівність $$\stackrel{->}{b}=\stackrel{->}{a}$$, тому вони колінеарні. У колінеарних векторів координати пропорційні, тобто.

$$\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}=\text{.}\text{.}\text{.}=\frac{a_n}{b_n}$$.

Вправи з векторної алгебри.

1. 1.Взяти довільний вектор $$\stackrel{->}{a}$$ і побудувати вектори.

$$3\stackrel{->}{a},-2\stackrel{->}{a},\raisebox{1ex}{$\stackrel{->}{a}$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$3$}\right.,\raisebox{1ex}{$\stackrel{->}{a}$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$|\stackrel{->}{a}|$}\right.,-3{\stackrel{->}{a}}_0$$.

1. 2.Використовуючи два довільні вектора $$\stackrel{->}{a}$$ та $$\stackrel{->}{b}$$, побудувати.

$$\stackrel{->}{a}$$ + $$\stackrel{->}{b}$$, $$\stackrel{->}{a}$$ — $$\stackrel{->}{b}$$, $$\stackrel{->}{b}$$ — $$\stackrel{->}{a}$$, 2 $$\stackrel{->}{a}$$ — 3 $$\stackrel{->}{b}$$.

1. 3.Паралелограм АВСD побудований на векторах $$\stackrel{->}{a}$$ та $$\stackrel{->}{b}$$. Виразити через $$\stackrel{->}{a}$$ та $$\stackrel{->}{b}$$ вектори $$\stackrel{->}{\text{МА}}$$, $$\stackrel{->}{\text{МВ}}$$, $$\stackrel{->}{\text{МС}}$$ та $$\stackrel{->}{\text{МD}}$$, де М — точка перетину діагоналей.

2. 4.При якому розташуванні вектора $$\stackrel{->}{a}$$ відносно осі $$\stackrel{->}{l}$$ його проекція:

а) додатняb) від'ємнас) дорівнює нулю?

1. 5.Знайти координати векторів.

2 $$\stackrel{->}{а}$$ +5 $$\stackrel{->}{b}$$ та 2 $$\stackrel{->}{b}$$ — $$\stackrel{->}{а}$$, якщо $$\stackrel{->}{а}$$ = (2,-4,2), $$\stackrel{->}{b}$$ =(-3,2,-1).

1. 6.Побудувати ромб АВСD і записати вектори, що утворені сторонами ромба та:

а) мають рівні модуліb) колінеарніс) рівні між собою.

1. 7.Задані точки М1 (1,2,3) та М2 (3,-4,6). Треба:

а) знайти координати векторів $$\stackrel{->}{а}$$ = $$\stackrel{->}{{М}_1{М}_2}$$ $$\stackrel{->}{b}$$ = $$\stackrel{->}{{М}_2{М}_1}$$ ;

b) знайти довжину відрізка М1М2 та косінуси кутів $$,,,$$ що утворює вектор $$\stackrel{->}{а}$$ з осями координат;

с) знайти орт вектора $$\stackrel{->}{а}$$.

1. 8.Задана точка А (-2,3,-6). Обчислити:

а) координати радіус-вектора $$\stackrel{->}{r}$$ точки А;

b) модуль $$\stackrel{->}{r}$$ та косінуси кутів між $$\stackrel{->}{r}$$ та осями координат;

1. 9.Чому дорівнює скалярний добуток $$\stackrel{->}{а}$$ ath xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" >b->, якщо:

а) $$\stackrel{->}{а}$$ та $$\stackrel{->}{b}$$ колінеарні і однаково напрямлені;

b) $$\stackrel{->}{а}$$ та $$\stackrel{->}{b}$$ протилежні;

с) $$\stackrel{->}{а}$$ math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" >b-> - d) $$\stackrel{->}{а}$$ = $$\stackrel{->}{b}$$.

1. 10.Вектори $$\stackrel{->}{а}$$ та $$\stackrel{->}{b}$$ утворюють кут $$=\frac{2}{3},|\stackrel{->}{а}|=3-|\stackrel{->}{b}|=4\text{.}$$ Обчислити:

а) $$\stackrel{->}{а}$$.

1. 11.Задані вектори $$\stackrel{->}{а}$$

   =(1,-2,4),.

   $$\stackrel{->}{b}$$

   =(3,0,-1). Знайти модуль вектора.

   $$\stackrel{->}{с}$$

   =2.

   $$\stackrel{->}{а}$$

   — 3.

   $$\stackrel{->}{b}$$

   та його напрямні косінуси.

   =(1,-2,4), $$\stackrel{->}{b}$$

   =(3,0,-1). Знайти модуль вектора.

   $$\stackrel{->}{с}$$

   =2.

   $$\stackrel{->}{а}$$

   — 3.

   $$\stackrel{->}{b}$$

   та його напрямні косінуси.

   =(3,0,-1). Знайти модуль вектора $$\stackrel{->}{с}$$

   =2.

   $$\stackrel{->}{а}$$

   — 3.

   $$\stackrel{->}{b}$$

   та його напрямні косінуси.

   =2 $$\stackrel{->}{а}$$

   — 3.

   $$\stackrel{->}{b}$$

   та його напрямні косінуси.

   -3 $$\stackrel{->}{b}$$

   та його напрямні косінуси.

   та його напрямні косінуси.

2. 12.Задані точки А (-1,3,-7), В (2,-1,5), С (0,1,-5).

Знайти $$\stackrel{->}{\text{АВ}}\stackrel{->}{\text{ВС}}$$.

1. 13.Перевірити колінеарність векторів $$\stackrel{->}{а}$$ =(2,-1,3) та $$\stackrel{->}{b}$$ (-6,3,-9).

2. 14.Чи утворюють базис у тривимірному просторі вектори.

$$\stackrel{->}{а}$$ = (1,2,2) — $$\stackrel{->}{b}$$ = (1,2,3) — $$\stackrel{->}{с}$$

= (1,2,-2).

.

1. 15.Знайти:

а) усі можливі базиси системи векторів.

$$\stackrel{->}{{а}_1}$$ = (1,1,1) — $${\stackrel{->}{а}}_2$$ = (1,2,2) — $$\stackrel{->}{{а}_3}$$ =(1,1,3) — $$\stackrel{->}{{а}_4}$$ = (1,1,-2).

b) координати $$\stackrel{->}{{а}_4}$$ у базисі $$\stackrel{->}{{а}_1}$$, $${\stackrel{->}{а}}_2$$, $$\stackrel{->}{{а}_3}$$.

Завдання для індивідуальної роботи.

Задані чотири вектори $$\stackrel{->}{а}$$, $$\stackrel{->}{b}$$, $$\stackrel{->}{с}$$

$$\stackrel{->}{d}$$. Довести, що вектори $$\stackrel{->}{а}$$, $$\stackrel{->}{b}$$ ,.

$$\stackrel{->}{с}$$

утворюють базис та знайти координати вектора $$\stackrel{->}{d}$$, в цьому базисі та | $$\stackrel{->}{d}$$ |.

.

1. 16. а = (2,1,0) — b = (4,3,-3) — с = (-6,5,7) — d = (34,5,-26).

2. 17. а = (1,0,5) — b = (3,2,7) — с = (5,0,9) — d = (-4,2,-12).

3. 18. а = (4,5,2) — b = (3,0,1) — с = (-1,4,2) — d = (5,7,8).

4. 19. а = (3,-5−2) — b = (4,5,1) — с = (-3,0,-4) — d = (-4,5,-16).

5. 20. а = (-2,3,5) — b = (1,-3,4,) — с = (7−8,-1) — d = (1,20,1).

6. 21. а = (1,3,5) — b = (0,2,0) — с = (5,7,9) — d = (0,4,16).

7. 22. а = (2,4,-6) — b = (1,3,5) — с = (0,-3,7) — d = (3,2,52).

8. 23. а = (4,3,-1) — b = (5,0,4) — с = (2,1,2) — d = (0,12,-6).

9. 24. а = (3,4,-3) — b = (-5,5,0) — с = (2,1,-4) — d = (8,-16,17).

10. 25. а = (-2,1,7) — b = (3,-3,8) — с = (5,4,-1) — d = (18,25,1).