Психолого-педагогічні особливості засвоєння математичної термінології молодшими школярами

Зміст

Вступ Розділ І. Психолого-педагогічні основи вивчення понять

1.1 Психологічні основи поняття та його характеристика

1.2 Процес успішного засвоєння понять Розділ ІІ. Методика роботи по засвоєнню математичної термінології молодшими школярами

2.1 Пропедевтичні основи вивчення математичних понять

2.2 Методика роботи по засвоєнню арифметичної термінології при вивченні

а) нумерації натуральних чисел б) арифметичних дій над натуральними числами в) законів дій та властивостей г) дробів

2.3 Методика роботи по засвоєнню алгебраїчної термінології

а) при вивченні виразів б) при розв’язанні рівностей, нерівностей і рівнянь

2.4 Методика роботи по засвоєнню математичної термінології при вивченні геометричних фігур

2.5 Методика роботи по засвоєнню математичної термінології при вивченні величин

2.6 Експериментальні дослідження Висновки Література Додатки

Вступ

Проблема розвитку мислення і мовлення молодших школярів під час вивчення різних навчальних предметів є надзвичайно важливою і набуває особливої актуальності в практичній роботі школи. Зрозуміло, що озброїти учнів глибокими і міцними знаннями без розвитку їх мислення і мовлення неможливо, тому розв’язання цієї проблеми привертало увагу великої кількості дослідників психолого-педагогічних наук, таких як Г. С. Костюк, Г. В. Косма, Н. А. Менчинська, М. А. Бантова, Г. О.Люблінська, С.Д.Рубінштейн, М. В. Богданович, Н.А. Побірченко та багато інших. На сучасному етапі проблеми розвитку математичного мовлення і мислення молодших школярів приділяють увагу вчені-методисти: М. М. Левшин, Я.А. Пасічник.

Психічні процеси мислення та мовлення тісно взаємопов'язані і відіграють важливу роль в житті кожної людини. У словах формуються і об'єктивно виявляються поняття, які є узагальненими продуктами мислительної діяльності. У словесній формі відбуваються мислительні операції аналізу, синтезу, абстрагування, узагальнення, що є способами, за допомогою яких здійснюється мислительна діяльність.

Однак, на сьогоднішній день не існує чітких науково обґрунтованих рекомендацій щодо того, як правильно формувати математичне мислення і мовлення молодших школярів. Це аргументується тим, що в психологічній науці є велика кількість досліджень, які торкаються лише процесу мислення і мовлення взагалі і не стосуються питання навчання і розвитку математичного мислення та мовлення молодших школярів.

Початкова школа є фундаментом, основою для подальшого набуття знань, умінь та навичок у середніх та старших класах. Такий навчальний предмет як математика є одним із основних і обов’язкових предметів у початковій школі. Математичні знання набуті в початкових класах, потрібні не лише для вивчення інших дисциплін, але і в повсякденному житті кожної людини. Молодші школярі отримують початкові уявлення про ті принципи та закони, що лежать в основі математичних понять, які вивчаються не тільки в початкових, але й у середніх класах. Це, насамперед, стосується десяткової системи числення та властивостей арифметичних дій.

На уроках математики молодші школярі вивчають кількісні відношення та просторові форми предметів навколишнього світу. Усвідомлювати та описувати їх вони починають в міру оволодіння математичним мовленням. Завдання вчителя полягає в тому, щоб ознайомити малюків з новими математичними поняттями через спостереження, відчуття та їх життєвий досвід.

Успішне викладання математики в початкових класах неможливе без пошуку нових шляхів активізації діяльності учнів. Перед учнями постає завдання не лише засвоїти певну систему математичних знань, але навчитися спостерігати об'єкти, явища, порівнювати їх, виявляти зв’язки між математичними поняттями, робити висновки, користуючись математичною мовою.

Як свідчить життєвий досвід, для багатьох учнів такий навчальний предмет, як математика, є важким і незрозумілим. Діти заучують математичні правила, обчислення арифметичних дій механічно, не думаючи над ними і саме це призводить до гальмування подальшого розуміння навчального предмету математики.

Саме в результаті цього, вчитель повинен застосовувати такі методичні прийоми, які б збуджували у дітей бажання дізнатись про щось нове, щось їм невідоме, сприяли активній навчальній діяльності учнів, підводили їх до самостійних пошуків, висновків.

При вивченні початкового курсу математики вчитель повинен дбати не лише про засвоєння дітьми знань, вмінь та навичок, але й формувати культуру математичного мовлення та мислення у молодших школярів. Однак, сучасний вчитель початкових класів не дбає про культуру мислення і мовлення учнів у процесі навчання, і вона залишається поза увагою.

У зв’язку з цим, існує проблема вивчення мислительної та мовленнєвої діяльності учнів початкових класів у процесі навчання математики взагалі, і зокрема проблема розвитку мислення і мовлення під час формування і засвоєння математичної термінології молодшими школярами. Саме тому, ця проблема привернула мою увагу з самого початку вивчення методики математики. На сьогоднішній день у школах часто доводиться бачити формальність та механічність у засвоєнні математичної термінології, і майже повну відсутність міркувань. І взагалі можна сказати, що процес навчання зводиться до самостійного навчання учнів, до виконання ними самостійних завдань.

У зв’язку з цим, я обрала для дослідження питання: яким чином розвинути у дітей математичне мислення і мовлення, як їх навчити міркувати, обґрунтовувати свої дії під час засвоєння математичних понять.

Метою дослідження є виявлення психолого-педагогічних особливостей структури міркувань, розробка методики по засвоєнню математичної термінології, яка забезпечувала б належний рівень розвитку мислення та мовлення молодших школярів.

Об'єктом дослідження є процес навчання математики молодших школярів.

Предметом дослідження є мислительна та мовленнєва діяльність молодших школярів на уроках математики, а також формування культури мислення та мовлення учнів під час засвоєння математичної термінології.

Гіпотеза дослідження — застосування системи прийомів, які розкривають зміст математичних термінів, зокрема створення і відтворення ситуацій, в яких «виникає» термін, є запорукою свідомого засвоєння математичної термінології і успішного застосування її в процесі розв’язування вправ.

Методи дослідження:

— вивчення психолого-педагогічної літератури з досліджуваної проблеми;

— спостереження за навчальною діяльністю учнів на уроках математики;

— розробка методики проведення уроків по формуванню та засвоєнню математичної термінології.

Розділ І. Психолого-педагогічні основи вивчення понять

1.1 Психологічні основи поняття та його характеристика

В процесі мислення, що виявляється в судженнях і міркуваннях, у нас утворюються поняття про предмети і явища об'єктивної діяльності, які ми пізнаємо. Поняття — результат розуміння людиною певних об'єктів, який склався за допомогою слова і закріпився в людському мозку. Поняття — найвищий продукт мозку, найвищого продукту матерії. Це є форма мислення, яка відображає певний об'єкт або клас об'єктів у їх суттєвих ознаках і властивостях. Суттєвими властивостями є такі властивості об'єктів, які належать їм за будь-яких умов, виявляють їх природу, відрізняють їх від об'єктів інших родів і видів, тобто властивості, без яких об'єкти не можуть існувати. Так, суттєвими ознаками плодів, які відображаються в поняті «плід» є те, що вони утворюються з квітів і містять у собі насіння, яке служить для розмноження рослин.

Поняття виникають на основі чуттєвого пізнання предметів і явищ об'єктивної діяльності. Всі поняття, судження, міркування і найабстрактніші ідеї беруть свій початок від чуттєвих образів. Поняття тісно пов’язані з відчуттями, сприйняттями і уявленнями про їх об'єкти. Вони виникають як наслідок їх узагальнення. Багатство чуттєвого пізнання світу є необхідною передумовою змістовних понять про його предмети і явища. Тому хибними є всі спроби ідеалістів витлумачити поняття як продукт «чистого мислення», «вільний витвір» людського розуму, ніби не зв’язаний з чуттєвим пізнанням предметного світу.

Коли ми мислимо, наприклад, про рослину, плід, тварину, мільйон, вартість і так далі, то у нас при цьому виникають певні образи, уявлення, які допомагають нам усвідомити ті чи інші риси даних об'єктів. Але зміст понять про ці об'єкти не зводиться до тих образів, уявлень, які при цьому виникають. Уявлення відображають переважно їх зовнішні сторони, зв’язки й відношення, дані нам безпосередньо в їх чуттєвому пізнанні. Поняття ж утворюється опосередковано через цілий ряд суджень, які в своїй сукупності і становлять розумове, мислене відображення об'єктів.

На думку Г. С. Костюка «Сформувати собі поняття про певний об'єкт — це означає з’ясувати для себе суттєві властивості об'єкта, його зв’язки з іншими об'єктами. Так, сформувати собі поняття про плід — це означає відобразити його зв’язок з квітами рослин, його будову, наявність у ньому насіння, його біологічне значення в житті рослин. Поняття відображає свій об'єкт глибше і повніше, ніж уявлення про нього. Воно відображає і такі властивості об'єктів, яких ми не можемо уявити».

В уявленні відображаються й несуттєві ознаки об'єктів (наприклад, форма, колір, розмір і т.д.). Поняття ж відображає загальні суттєві їх ознаки, властиві всім предметам, які означаються певним словом. Воно виникає не як злиття чуттєвих образів об'єктів, а як синтез цілого ряду суджень про них. Зміст понять розкривається в судженнях про суттєві властивості предмета. Чим більше суджень ми можемо висловити про якийсь об'єкт, його властивості, зв’язки з іншими об'єктами тим змістовнішим є наше поняття про нього. Поняття, як сукупність суджень, являє собою ніби «агрегат асоціацій», основою якого є складна система тимчасових нервових зв’язків першосигнального і другосигнального характеру.

Співвідношення чуттєвих і словесних асоціацій буває різним на різних ступенях формування понять в різних їх видах. Наприклад, мислення дитини від початку і до кінця обертається в сфері, доступній чуттєвому пізнанню, а розум дорослої людини, йдучи по шляху абстракції, постійно виходить за її межі. Чим більше узагальнені поняття людини, тим більше вони звільняються від зв’язаності їх уявлень поодиноких об'єктів. Фактична роль чуттєвого в поняттях залежить і від об'єктів, яких вони стосуються (наприклад, поняття про рослини, числові поняття, психологічні поняття тощо).

Уявлення може існувати і без слова. Поняття ж виникає, закріплюється, існує і виявляється в слові. Через слово воно повідомляється іншим людям, завдяки чому зберігається і збагачується. Поняття виникли як результат мислення людини, пов’язаного за допомогою мови з мисленням інших людей. Над виробленням тих понять, якими ми зараз користуємось, працювала думка цілого ряду поколінь людей. Коли ми ними користуємось, думка всіх віків працює в нашому мозку. За допомогою мови утворюються системи понять, з яких складаються різні галузі науки. Науки розвиваються з допомогою слова, що одягає в певну форму всі їх висновки і узагальнення. Без слова немає і не може бути поняття. Це стосується до всіх понять, зокрема і до математичних, технічних, в яких звичайні словесні означення замінюються спеціальними символами.

Кожне поняття характеризується певним обсягом і змістом. Обсяг поняття — це відображення у ньому кола об'єктів, а зміст — відображена в ньому сукупність їх суттєвих ознак. Поняття з більшим обсягом називаються родовими поняттями (наприклад, «меблі», «рослини») по відношенню до понять з меншим обсягом (наприклад, «стіл», «дерево»), які є щодо них видовими поняттями. Цей поділ є відносним, тому що кожне родове поняття є в свою чергу видовим по відношенню до понять з ще більшим обсягом (наприклад, «речі домашнього вжитку», «живі істоти»), а кожне видове є родовим поняттям по відношенню до понять з меншим обсягом (наприклад, «письмовий стіл», «дуб»). Поняття, що мають найширший обсяг і відображають найзагальніші властивості, зв’язки і відношення речей, називаються категоріями (наприклад, «рух», «кількість», «простір»).

Наведені вище приклади понять, в яких відображаються суттєві властивості цілих класів предметів, є загальними поняттями. Ті ж поняття, що відображають суттєві властивості одиничних об'єктів, називаються одиничними.

Поняття поділяються ще також на конкретні і абстрактні. Конкретними поняттями називають такі поняття, в яких відображаються певні предмети, явища чи їх класи з їх суттєвими ознаками, зв’язками і відношеннями. Конкретними є, наприклад, поняття про меблі, рослини, людей. Абстрактними називають такі поняття, які відображають ті чи інші властивості об'єктів відокремлено від самих об'єктів (наприклад, «сила», «вага», «число», «вартість» тощо).

Г. С. Костюк стверджував: «Абстрактні поняття є завжди загальними поняттями. Чим загальніші і абстрактніші поняття, тим менш наочним є наявне в них відображення властивостей, відношень об'єктів. Однак це не говорить про те, що ці поняття є витвором „чистого мислення“. Як і всі поняття, вони кінець кінцем утворюються на основі чуттєвого досвіду людини».

Поняття існують не ізольовано одне від одного, а у взаємозв'язку. В цьому зв’язку понять відображаються зв’язки, відношення самих предметів і явищ об'єктивної дійсності. Утворення понять, їх поширення і збагачення характеризує процес пізнання людиною універсального взаємозв'язку явищ об'єктивної дійсності, її переходу від неповного до все повнішого знання.

Важливим способом розкриття змісту поняття є його означення. Останнє явище являє собою розумову, або логічну дію, в процесі якої розкривається зміст даного поняття, тобто вказуються відображені в ньому суттєві ознаки певних об'єктів, що зв’язують їх з іншими об'єктами і відрізняють від них. Звичайно означення здійснюється шляхом віднесення даного об'єкта (наприклад, «квадрат») до найближчого роду об'єктів («прямокутник») і встановлення його видових відмінностей («що має всі рівні сторони і всі прямі кути»). Означення також здійснюється часто вказівкою на походження предмета, що відображається поняттям, на спосіб, яким він утворюється. Наприклад, коло означають як криву, що утворюється рухом на площині точки, яка зберігає рівну відстань від центра.

Означення не ставить своїм завданням перелічити всі властивості певних об'єктів, а тільки вказати на найзагальніші і найсуттєвіші з них. Воно має важливе значення для уточнення понять, фіксації в короткій формі того, що досягнуто людьми в пізнанні певних об'єктів. Звідси випливає і важливість підведення учнів до доступних їм визначень та використання останніх у їх дальшій пізнавальній діяльності.

З розкриттям змісту понять часто пов’язаний поділ обсягу поняття на менші його частини, тобто виділення тих груп, видів об'єктів, які відображаються даним поняттям. У науковій і навчальній діяльності ця розумова дія застосовується дуже часто. Вона використовується при розподілі пізнавальних предметів явищ на класи, підкласи за їх найсуттєвішими ознаками, властивостями (неживих тіл, чисел, геометричних фігур тощо). Цю розумову дію називають класифікацією.

Поняття є підсумком пізнання людством певних об'єктів на тому чи іншому етапі його історичного розвитку. Від першого поняття, що зароджується у людини і відображає деякі малосуттєві риси об'єктів, до наукового поняття лежить довгий шлях. На цьому шляху вже пізнане виступає як знаряддя пізнання нового. Ступені формування понять про зовнішній світ — це є ступені пізнання людьми цього світу і практичного оволодіння ним.

1.2 Процес успішного засвоєння понять

У процесі свого індивідуального розвитку людина засвоює системи понять, які історично надбанні людством. Засвоєння їх являє собою складний і тривалий процес. Воно потребує безпосереднього і опосередкованого пізнання людиною тих об'єктів, які відображаються цими поняттями, вироблення необхідних для цього розумових дій. У суті своїй це є формування понять у людини в процесі її спілкування з іншими людьми, які вже володіють цими поняттями. Цілий ряд понять засвоюється людиною, читаючи з раннього віку, принагідним шляхом (так звані «життєві поняття»). У процесі шкільного навчання засвоюються наукові поняття. У процесі засвоєння наукових понять «життєві поняття» не тільки використовуються, а й перебудовуються, переосмислюються.

Г. С. Костюк говорив: «Процес оволодіння поняттям в ході навчання розпочинається з постановки питання (наприклад, „що таке плід“, „що таке квадрат“). Воно визначає напрям пізнавальної активності учнів, добір потрібних для неї фактів, прикладів, їх аналіз і дальше їх узагальнення».

Необхідною умовою успішного засвоєння понять як дорослими, так і школярами є наявність у них достатнього чуттєвого досвіду. При недостачі цього досвіду мовні описи, пояснення, означення не знаходять своєї належної опори в конкретних уявленнях про ті об'єкти, яких вони стосуються, внаслідок чого вони засвоюються формально. У зв’язку з цим важливого значення у засвоєнні понять набуває вміле використання наочності.

Функція наочності в процесі засвоєння понять може бути і буває різною. Наочний матеріал може бути джерелом яскравих чуттєвих образів, необхідних для усвідомлення відповідних їм об'єктів. Цей матеріал (наприклад, палички, каштани, зображені об'єкти) може служити зовнішньою стороною внутрішніх дій учнів, за допомогою яких вони усвідомлюють певні відношення речей (наприклад, їх число). Він може виступити і як ілюстрація, певне підтвердження зроблених догадок і висновків. Отже, дуже важливо при застосуванні наочності визначити ту конкретну роль, яку вона має відіграти в засвоєнні учнями певних понять.

У тих випадках, коли унаочнення не може бути використано з метою засвоєння поняття, чуттєвою його опорою стають уже відомі учням факти, які вони можуть згадати, уявити і піддати подальшому аналізу.

Вирішальна роль у засвоєнні кожного поняття належить мислительній активності учнів, керованій учителем. Поняття успішно засвоюються там, де учні думають спільно з учителем, зіставляють об'єкти, що підводяться під дане поняття, виділяють їх суттєві ознаки, формулюють їх у вигляді суджень, і це судження синтезують, об'єднують в єдине ціле. Якість засвоєння поняття дуже знижується, якщо вчитель просто повідомляє учням готові відомості про його ознаки, які їм треба тільки запам’ятати. Вона підвищується там, де учням дається більше нагод самостійно діяти з навчальним матеріалом, знаходити суттєві ознаки понять, робити доступні для них висновки, узагальнення.

Важливим фактором успішного засвоєння понять учнями є структурна, системна організація навчального матеріалу, оптимальне співвідношення в ньому фактів і узагальнень, ясна логіка розгортання змісту. Кожна система понять, що підлягає засвоєнню, зв’язана із системою відповідних операцій. Вадливу роль тут відіграють поступові переходи від конкретного до абстрактного і від абстрактного до конкретного, від вужчих до ширших узагальнень, використання останніх у подальшій пізнавальній діяльності учнів.

Експериментальні дані доводять, що процес опанування учнями понять (граматичних, арифметичних, геометричних та інших) значно прискорюється, якщо чітко визначаються їх дії з відповідним матеріалом, форми виконання, ознаки понять, на які орієнтуються дії, і різновидності самого матеріалу.

Показником успішного засвоєння понять є їх застосування в подальшій пізнавальній і практичній діяльності. Застосування понять вимагає включення їх у нові системи зв’язків, знаходження відомих відношень у нових конкретних ситуаціях. Чим більше воно включається в самий процес засвоєння понять, тим глибше, всебічніше учні оволодівають ними і міцніше їх закріплюють.

Нові програми приділяють велику увагу формуванню в учнів наукових понять. Наукові поняття формуються поетапно в процесі виконання розумових дій. Це положення розкрите в дослідженнях радянських психологів О.М. Леонтьєва, П.Я. Гальперіна, В. В. Давидова та інших.

Дбаючи про формування наукових понять, учитель показує, що предмет має суттєві ознаки, але їх не завжди легко виділити, бо є ще й несуттєві особливості, котрі характеризують якісні сторони предмета, іноді дуже помітні.

Отже, для успішного оволодіння тим чи іншим поняттям важливим є вміння диференціювати ознаки, виділяючи суттєві. Тоді і процес систематизації здійснюється свідомо, на достатньому рівні абстрагування.

Г. В. Косма стверджувала: «Формуючи в учнів поняття, треба перевірити, чи свідомо учні його засвоїли. Перевірка засвоєння поняття не вичерпується визначенням його змісту, тобто переліком основних його ознак. Учитель може механічно визначити поняття, не здійснивши аналізу, порівняння, абстрагування і узагальнення конкретного матеріалу. Надійним критерієм оволодіння поняттям є правильне оперування ним при розв’язуванні різних навчальних завдань».

Щодо процесу оволодіння історичними поняттями молодшими школярами, то він пов’язаний з чималими труднощами. На відміну від засвоєння природничих понять, при засвоєнні яких учні мають широкі можливості спиратися на безпосереднє сприймання предметів або їх зображень, виділяючи в основному наочні ознаки їх і зв’язки, історичні поняття учні засвоюють, спираючись в основному на свої уявлення.

Важливими для молодших школярів є також моральні поняття, зміст яких узагальнює певні моральні риси людей (чуйність, справедливість, мужність), що виявляється у взаємовідносинах людей, їх вчинках, мотивах поведінки.

Моральні поняття учні засвоюють на основі спостережень вчинків людей, які їх оточують, а також переживання власних вчинків і їх моральних оцінок іншими.

Оволодінню моральними поняттями сприяє також засвоєння і виконання учнями правил моральної поведінки, участь у житті колективних організацій.

Моральні поняття можна вважати засвоєними, якщо учень користується ними в своїй поведінці. Якщо вони залишаються лише надбанням пам’яті, які ніяк не використовуються учнем, то це будуть звичайні формальні знання, що нічим не збагачують особистості дитини.

Учні молодшого шкільного віку засвоюють деякі граматичні поняття (іменник, дієслово, прикметник, підмет, присудок). Ці поняття належать до важких абстрактних понять, засвоєння яких пов’язане з чималими труднощами.

Граматичне поняття має ту особливість, що в ньому, крім семантичної сторони, є й формально-граматична. Діти ще до школи в процесі спілкування засвоюють доступні для них значення слів. Тому перевагу для них має семантична сторона слова, його значення. Про форму слів вони спочатку судять за їх значенням.

Г. О. Люблінська зазначила: «Щоб засвоїти поняття, треба знати слово, термін, який є мовною формою всякого узагальненого значення. Раннє включення в повсякденну навчальну діяльність дітей спеціальних граматичних, природознавчих або математичних термінів, що позначають ті поняття, з якими учень працює в школі, забезпечує швидке опанування правильних узагальнень на основі абстрагування від несуттєвих деталей кожного окремого прикладу, задачі або речення».

Молодші школярі, засвоюючи термін «голосний звук», легко і впевнено виділяють у слові склади; немає безладних спроб, дій на дотик. Терміни «підмет», «присудок», «від'ємник», «різниця» забезпечують успішне засвоєння відповідного поняття, його правильне застосування і широке перенесення на розв’язання нових задач. У школярів розвивається дивна «зіркість» при сприйманні нового матеріалу, змісту — математичного виразу, граматичної конструкції. Знаючи термін і його значення, восьми-, дев’ятирічні діти бачать в окремому випадку вияв знайомих їм закономірностей, правил.

Підвищення рівня теоретичних знань і включення потрібних термінів у навчальну діяльність учнів, починаючи з першого класу, одна з основних умов, які забезпечують успішність розвитку логічного мислення дітей.

Розділ ІІ. Методика роботи по засвоєнню математичної термінології молодшими школярами

2.1 Пропедевтичні основи вивчення математичних понять

Засвоєнню учнями початкових класів математичної термінології передує певна підготовча робота. Зміст її полягає в тому, що вчитель, в перші дні навчання дітей-шестирічок в школі, повинен встановити запис математичних знань і умінь у дітей, які вони отримали до вступу у перший клас.

Програма з математики складена з урахуванням вікових особливостей дітей шестирічного віку, їх сприймання, усвідомлення, мислення, пам’яті. Вона містить матеріал, необхідний для формування початкових математичних уявлень, понять, що служать основою вивчення математики в наступних початкових та середніх класах.

Програма складається з п’яти основних розділів:

I. Властивості предметів. Геометричні фігури.

II. Числа першого десятка. Величина.

III. Додавання і віднімання в межах десяти.

IV. Числа 11−20. Величина.

V. Повторення.

Надзвичайно велика увага приділяється вивченню першого розділу, який називається дочисловим. Він має таку назву через те, що протягом 22 уроків проводиться робота по формуванню у дітей бінарних відношень між предметами (більший, менший, рівний), вміння виділяти суттєві та несуттєві ознаки, порівнювати предмети за розмірами та групи предметів за кількістю. В дочисловий період, крім цього, у дітей розкривається вміння орієнтуватися в просторі, на площині, правильно користуватися відповідною термінологією. Хоч період називається дочисловим, але саме в цей час проводиться значна робота з числами — уточнюються навички лічби в межах десяти, йде підготовка до сприймання понять «число» і «цифра», до усвідомлення відмінностей між ними та співвідношень між числами натурального ряду.

На вивчення теми «Взаємне розміщення предметів у просторі» відводиться п’ять уроків, під час яких учнів навчають орієнтуватися в просторі за основними напрямами, визначати положення предметів відносно інших, розташовувати предмети на площині стола чи аркуша паперу, розкривають значення слів: спереду, позаду, поруч, між, під, над, на; зверху, знизу, зверху вниз, знизу вверх, верхній, нижній, зліва, справа, лівий, правий, між, посередині.

На вивчення тем «Розрізнення предметів за кольором» і «Розрізнення предметів за матеріалом і призначенням» відводиться по одному уроку. Під час цих уроків учні повинні показати знання основних кольорів та вміння розрізняти матеріали, з яких виготовленні предмети — метал, деревина, тканина, папір тощо.

На вивчення теми «Поняття «кожний», «усі», «крім», «решта», «один» відводиться дві години, на яких у дітей формується розуміння кожного з цих понять.

Тема «Порівняння груп предметів за кількістю» вивчається протягом трьох уроків. Їм передує підготовчий урок, на якому розглядається тема «Взаємно однозначна відповідність». Це означає, що встановлення взаємно однозначної відповідності між двома групами предметів, тобто утворення пар, в яких перший компонент є елементом першої групи (множини), а другий — елементом з другої, служить основою порівняння предметів за кількістю. Порівняння груп предметів за кількістю слід виконувати не перелічуванням предметів кожної групи, а встановленням взаємно однозначної відповідності між предметами цих груп, утворенням таких пар, щоб кожному предмету з першої групи ставився у відповідність предмет з другої, причому різним предметам першої групи відповідають різні предмети другої. На цій основі у дітей формуються поняття «однакова кількість», «більше», «менше».

На вивчення теми «Розрізнення предметів за розміром, довжиною, висотою, товщиною» відводиться чотири уроки, під час яких у шестиліток формуються бінарні відношення між предметами: більший, менший; довший, коротший, однакові за довжиною; вищий, нижчий, однакові за висотою; ширший, вужчий, однакові за шириною; товщий, тонший, однакові за товщиною. На уроках діти ознайомлюються також з деякими геометричними фігурами — прямими і кривими лініями, трикутником, чотирикутником, п’ятикутником та їх елементами.

На наступних двох уроках вивчаються відношення, які стосуються розташування предметів у просторі відносно деякого предмета і визначаються поняття відстані - далі, ближче та відношення між предметами, які характеризуються масою — важчий, легший. На другому уроці також розглядається відношення, яке характеризує явище руху предметів і формується на основі спостережень за рухом — швидше, повільніше. На цих уроках уточнюється уявлення дітей про круг.

2.2 Методика роботи по засвоєнню арифметичної термінології при вивченні

а) нумерації натуральних чисел

У початковому курсі математики нумерація цілих невід'ємних чисел і дій над ними є центральними темами, оскільки вони вивчаються протягом чотирьох років. У тісному зв’язку з ними розглядають увесь інший матеріал: питання алгебри і геометрії, вимірювання величин, розв’язання задач.

Основна мета вивчення цього розділу програми — сформувати в учнів початкових класів вміння та навички правильно називати числа, моделювати їх, записувати, порівнювати та використовувати в практичній діяльності.

Матеріал з нумерації і арифметичних дій вивчається по концентрах. Всього виділено чотири концентри: десяток, сотня, тисяча, багатоцифрові числа.

Під час вивчення цього розділу молодшими школярами розглядається велика кількість математичної термінології, яка необхідна для засвоєння учнями наступних розділів програми.

До завдань навчання математики входить формування у дітей поняття натурального числа. При формуванні числа вчитель спирається на ті знання про число, якими дитина оволоділа ще в дошкільний період. Поняття числа виникає у дитини в результаті пізнання нею кількісних відношень речей. Дитина абстрагує число від цих речей, проте абстрагування є для неї активним процесом. Воно передбачає вироблення нових способів дій з об'єктами, спочатку практичних, а потім розумових. Ці дії полягають у виділенні об'єктів як одиниць з деяких сукупностей, об'єднанні в групи окремих одиниць, віднесенні їх до класів множин, розташуванні останніх у зростаючому порядку. Цим пояснюється те, що з самого початку в понятті числа наявна нерозривна єдність аналізу й синтезу.

В процесі формування поняття числа та натуральних чисел здійснюється три науково-теоретичні підходи:

— теоретико-множинний. Згідно даного підходу, натуральне число виражає чисельність (потужність) певної множини однорідних предметів.

— аксіоматичний підхід. При даному підході будується відрізок натурального ряду чисел

— трактування натурального числа як міри величини.

де натуральне Починаючи з першого класу учні повинні засвоїти такі поняття як кількісне та порядкове значення чисел. При кількісному значенні розглядається вся множина однорідних об'єктів, а при порядковому значенні розглядається тільки один з перелічуваних об'єктів.

Щодо концентрів, то концентр «Десяток» вивчається у першому класі послідовно після підготовчого періоду. На вивчення кожного числа та цифри відводиться три уроки, окрім числа і цифри 1. Оскільки усна нумерація — це спосіб називання чисел, то потрібно сказати дітям про те, що не існує спеціальних правил утворення назв чисел чи способів називання, бо назви чисел першого десятка слід запам’ятати як назви (імена) своїх друзів. Дітей потрібно ознайомити з відмінностями термінів «число» і «цифра». Цифра — це символ для позначення числа на письмі або це спосіб запису чисел. Для ознайомлення дітей з конфігурацією цифр, тобто з письмовою нумерацією чисел першого десятка слід використовувати ілюстративні таблиці або узагальнену таблицю із зразками написання цифр.

Окрім цього, під час вивчення концентру «Десяток» дітей ознайомлюють з такими поняттями як попереднє і наступне число. Наприклад, вчитель пропонує дітям покласти дві палички, а потім покласти ще одну паличку. З’ясовують, скільки тепер паличок і як дістали три палички, і доходять до висновку, що наступне число утворюється тоді, коли до певного числа додати одиницю. Потім вчитель запропоновує дітям наступне: покласти три палички і забрати одну паличку, і ставить перед дітьми завдання, скільки паличок залишилося. Діти дають відповідь і роблять узагальнення, що якщо від числа відняти одиницю, то отримаємо попереднє число.

При вивченні даного концентру діти ознайомлюються із знаками «>», «<�», «=». Послідовні числа натурального ряду спочатку порівнюють, виходячи з порівняння множин, а потім число предметів позначають цифрами, а відношення між числами — відповідними знаками.

Знаки «>», «<�», «=» можна ввести так: запропонувати дітям намалювати зліва один прапорець і справа один прапорець, потім зліва намалювати ще один прапорець. Діти скажуть, що зліва прапорців більше, ніж справа. Потім позначають число прапорців цифрами і встановлюють, що число 2 більше, ніж число 1. Учитель показує знак «>», пояснюючи, що він означає «більше». Роблять запис:. Діти навчаються читати його: «два більше, ніж один». Так само розглядають:. Потім учні виконують вправи на читання рівностей і нерівностей з підручника або з дошки, порівнюють числа і записують знайдені рівності і нерівності.

Згідно потребам програми дітей необхідно ознайомити з числом і цифрою «нуль». Це можна зробити таким чином. Учитель пропонує дітям рахувати в кошичках фігурки грибів — їх всього 8. Учитель виймає по одному грибочку і питає дітей, скільки тепер грибочків у кошику. «Не має жодного» — відповідають діти. «Число, яке позначає, що не залишилося жодного, називається нулем, його записують так: 0».

Нумерацію чисел другого десятка діти вивчають в кінці першого класу чотирирічної школи протягом кількох уроків. Слід вивчати спочатку усну нумерацію, а потім — письмову. В процесі вивчення нумерації діти повинні оволодіти термінами, що позначають нову лічильну (розрядну) одиницю та назви чисел другого десятка.

Усну нумерацію чисел другого десятка починають вивчати з формування в дітей понять про десяток як про нову лічильну одиницю, яка знаходиться у співвідношенні «один десяток дорівнює десять одиниць». Моделлю одиниці виступає кубик з арифметичного ящика. Десять розсипних кубиків замінюють однією моделлю — бруском, який називають десятком:

— 1; … = 10 =

Слід загострити увагу дітей на тому, що десяток виступає як лічильна одиниця, тобто, що брусками можна буде лічити так само як одиницями (кубиками).

Щодо назв чисел другого десятка, то вони позначаються одним терміном, що складається з трьох частин. Перша частина вказує на кількість одиниць у числі, тобто на кількість кубиків, друга частина — це слово «на», яке вказує на розташування кубиків на бруску, а третя частина — це змінена або деформована назва десяткадцять. Для засвоєння назв чисел другого десятка для дітей необхідно в класі вивісити таблицю назв чисел на тривалий час (додаток 1). Вчитель повинен проаналізувати кожну назву, супроводжуючи пояснення моделюванням, вказуючи термін, що позначає кожну модель.

два (кубики) — на — дцять (десятку — бруску)

Щодо письмової нумерації чисел другого десятка, то вони записуються за допомогою двох цифр. Перша цифра справа позначає одиниці, друга цифра справа позначає один десяток. Наприклад, у числі десять є один десяток, а у числі двадцять є два десятки, а окремих одиниць немає, а тому на місці одиниць стоїть нуль. А в числі п’ятнадцять міститься п’ять одиниць, які пишуть на першому місці справа, та один десяток, який пишуть на другому місці справа.

Концентр «Сотня» вивчається в другому класі. Нумерацію чисел цього концентру вивчають за таким самим планом, як і нумерацію чисел другого десятка: спочатку вивчають усну, потім — письмову нумерацію.

На етапі вивчення усної нумерації моделюють кожне число після 20 і до 30 з допомогою пучків паличок та окремих паличок або моделей з арифметичного ящика. Наголошується при цьому вчителем, що кожне з чисел 21−29 називають двома термінами, де перший термін — це число, що відповідає двом десяткам, а другий термін — це число, що позначає кількість одиниць.

Після цього вчитель пояснює наступне число — 30. Воно утворюється з двох десятків (брусків) і десяти одиниць (кубиків), які замінюють моделлю десятка. Його назва утворюється аналогічно до способу утворення числа 20:

тридцять.

Отже, назва числа, що вміщує два або три десятки, являє собою одне слово, що складається з двох частин: перша частина вказує на кількість десятків, а друга частина — це деформована назва десяткадцять.

На наступному уроці вчитель моделює числа від 31−40. Аналогічно, як у межах 21−29, називають числа 31−39, тобто за допомогою двох слів: перше слово — число, що позначає три десятки, а друге слово — це число одиниць.

Вчитель повинен звернути увагу дітей на назву числа, що позначає чотири десятки, оскільки ця назва не підлягає попередньому принципу утворення назв. Він має пояснити дітям, що термін «сорок» прийшов до нас з Аляски, де цим терміном позначають мішок з чотирма десятками соболиних шкірок. Щодо чисел від 41 до 89, то вони утворюються за принципом, що кожне число, яке складається з десятків і одиниць, називають двома словами, а кожне число, що складається тільки з десятків, називають одним словом. До дітей потрібно донести, що числа 50, 60, 70, 80 утворюються за таким принципом: назва числа, що позначає десятки, являє собою один термін (слово), яке складається з двох частин, перша з яких вказує на кількість десятків, а друга — скорочена назва слова десятківдесят. Для засвоєння назв цих чисел для дітей доцільно у класі вивісити таблицю (додаток 2).

При розгляданні чисел концентру «Сотня» дітям потрібно розтлумачити терміни «круглі числа» і «некруглі числа». Круглі числа — це числа, при записі яких на першому місці справа завжди стоїть нуль: 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90. Некруглими двоцифровими числами називаються числа, обидві цифри яких відмінні від нуля.

Наступний концентр, який розглядається в третьому класі чотирирічної школи — це концентр «Тисяча». Усну нумерацію в межах тисячі починають вивчати з формування у дітей поняття про сотню як про нову лічильну одиницю. Для цього лічать які-небудь предмети по одному, десятками, сотнями. Для цього можна використати наочний посібник «Квадрати і смужки», а також палички і пучки паличок. Одиниці позначають квадратами, десятки — смужками, по десять квадратів у кожній, а сотні - квадратами, по десять смужок у кожному. Під керівництвом вчителя діти встановлюють співвідношення: 10 одиниць становить 1 десяток, 10 десятків становлять 1 сотню. Назви чисел від 101 до 120 утворюються з допомогою двох слів: перше слово — сотня, тобто сто, друге слово вказує на кількість одиниць. Оскільки числа 11−19 називають одним словом, що складається з трьох частин (три — на — дцять), то числа від 111 до 119 називаються двома словами, наприклад, сто тринадцять. Число 120 складається також з двох слів, але перше число означає сотню — сто, а друге число позначає десятки. Назви чисел від 121 до 199 утворюються з назв чисел, що позначають сотні, десятки, одиниці, якщо відсутні одиниці, то число називається двома словами, а на місці одиниць в запису ставлять нуль. Після цього дітей ознайомлює вчитель з числом 200. Для цього моделюють число 199 та додають 1 і знаходять наступне число:

.

Методом аналогії вчитель навчає дітей лічити сотнями так само, як одиницями чи десятками. Це здійснюється методом прилічування по одному. Доцільно для дітей у класі вивісити таблицю назв круглих чисел в межах тисячі, за допомогою якої засвоюються знання усної нумерації (додаток 3).

Назви круглих сотень утворюються з назв чисел першого десятка та назви лічильної одиниці - сотня, причому, якщо кількість сотень дорівнює 2, 3 та 4, то назва числа позначається одним терміном, що складається з двох частин, де перша частина вказує на кількість сотень, а друга — деформована назва сотні - у виглядісті, -ста; якщо кількість сотень дорівнює 5, 6, 7, 8, 9, то принцип утворення назви числа такий: число називається одним терміном, який складається з двох частин, де перша частина вказує на кількість сотень, а друга — на скорочену назву сотнісот.

Після цього моделюються числа, які вміщують розрядні числа кожного з трьох розрядів. Вчитель дітям наголошує, що число 1 є одиницею першого розряду, число 10 є одиницею другого розряду, число 100 є одиницею третього розряду. Якщо модель числа вміщує одиниці кожного з трьох розрядів, то число записують трьома значущими цифрами: 236, де 6 є одиницею першого розряду, 30 є одиницею другого розряду і 200 є одиницею третього розряду. Так вводиться термін «розряд».

Щодо концентру «Багатоцифрові числа», який вивчається в четвертому класі, то його починають розглядати після усвідомлення дітьми поняття «тисячі». Діти повторюють утворення розрядних одиниць внаслідок групування попередніх, дрібніших одиниць: 10 одиниць дорівнює 1 десятку, 10 десятків дорівнює 1 сотні, 10 сотень дорівнює 1 тисячі.

Після цього вчитель наголошує, що достатньо вміти добре читати трицифрові числа і перед назвою цього числа поставити слово тисяча.

При вивченні даного концентру «Багатоцифрові числа» вчитель формує у дітей поняття «клас» і пояснює, що тисячі можна лічити як прості одиниці та групувати їх у десятки і сотні.

Використовуючи рахівницю, лічать одиниці тисяч (відкладаючи їх на четвертій дротині знизу, оскільки на третій дротині - сотні, на другій — десятки, на першій — одиниці) до 10 тисяч, які замінюють одним десятком тисяч (відкладають на п’ятій дротині знизу), потім лічать десятки тисяч і, діставши 10 десятків тисяч, замінюють їх 1 сотнею тисяч (відкладають на шостій дротині знизу); нарешті, лічать сотні тисяч до 10 і замінюють 10 сотень тисяч 1 мільйоном (відкладаючи на сьомій дротині знизу). Після цього працюють з нумераційною таблицею, в якій позначено назви всіх розрядних одиниць від одиниць до сотень тисяч. Учитель дає пояснення про те, що одиниці, десятки і сотні утворюють числа І класу, або клас одиниць, а одиниці тисяч, десятки тисяч, сотні тисяч утворюються числа ІІ класу, або клас тисяч. Потім корисно порівняти І та ІІ класи і встановити схожість та відмінність їх: у кожному класі по три розряди; одиниця кожного розряду в 10 разів більша за попередню, але в І класі лічать і групують одиниці, а в ІІ класі - тисячі.

На наступному етапі роботи учні ознайомлюються з нумерацією 7−9-цифрових чисел. Вивчення нумерації цих чисел будують за таким самим планом, як і над 4−6-цифровими числами.

б) арифметичних дій над натуральними числами

Над натуральними числами виконують такі арифметичні дії, як додавання, віднімання, множення та ділення.

Уміння правильно знаходити результати додавання і віднімання в межах десяти є необхідною умовою успішного вивчення усних і письмових прийомів виконання цих дій у наступних концентрах. Треба прагнути, щоб учні засвоїли таблиці додавання та віднімання. Це є основною вимогою вивчення арифметичних дій у першому класі.

Навчання учнів першого класу чотирирічної початкової школи додаванню і відніманню проводиться не одночасно. Дія додавання вводиться перед вивченням чисел другої п’ятірки та служить для запису і утворення чисел 6−10 з попереднього і одиниці та складу числа з двох менших. З дією віднімання учнів ознайомлюють після вивчення числа 10. Деякий розрив у часі розгляду дій додавання і віднімання полегшує засвоєння відповідних термінів і знаків.

Виконуючи неодноразово дії з множинами, учні усвідомлюють, що операції об'єднання відповідає дія додавання. Вчитель повідомляє, що в математиці для позначення дії додавання використовується знак «+», викладає за допомогою розрізних цифр і знаків «+» і «=» приклад на утворення наступного числа за попереднім і одиницею та подає його зразок читання, наприклад, «до числа 3 додати 1, дорівнює 4».

Засобами для вивчення дії додавання є набірне полотно та лічильний матеріал (додаток 4).

Під кінець вивчення нумерації чисел першого десятка відводиться урок на узагальнення дії додавання, ознайомлення з термінами «доданки», «сума», «плюс».

Однією з вправ на цьому уроці може бути така вправа. У кожного учня є конверт з трьома білими кружечками, а на парті лежать два червоні кружечки. За вказівкою вчителя учні вкладають у конверт два червоні кружечки. Вчитель повідомляє, що білі і червоні кружечки об'єднали. Кружечків у конверті стало більше. Як позначити виконання дії на письмі? (Учитель записує на дошці потрібний приклад). Прочитайте приклад. Яку дію ми виконали практично? (Об'єднали кружечки). Яка дія виражена в прикладі? (Додавання). Після цього вчитель повідомляє дітям, що числа 3 і 2 — це доданки, а число 5 — сума. Знак дії додавання, — продовжує вчитель пояснювати, — можна називати по-іншому: плюс. За допомогою набірного полотна вчитель демонструє дітям вище сказане (додаток 5).

На основі практичних дій з предметами і розгляду різних малюнків розкривається конкретний зміст дії віднімання.

Виконуючи неодноразово дії з множинами, учні усвідомлюють, що операції вилучення з деякої множини предметів певної підмножини предметів відповідає дія віднімання. Вчитель пояснює дітям, що в математиці для позначення дії віднімання використовується знак «-» і викладає за допомогою лічильного матеріалу, розрізних цифр і знаків «+» і «=», а також набірного полотна приклад на віднімання (додаток 6).

В концентрі «Другий десяток» передбачено ознайомити дітей із назвами компонентів дії віднімання «зменшуване» та «від'ємник» і результатом дії віднімання «різниця».

Бесіда з учнями щодо усвідомлення цих термінів може бути такого вигляду. У кожного учня на парті є 10 паличок: 7 червоних і 3 білих. Скільки червоних паличок? (7 червоних паличок). Скільки білих паличок? (3 білих паличок). Заберіть білі палички. Які палички залишилися? (Червоні). Скільки паличок залишилося? (7 паличок). Більше чи менше паличок залишилося? (Більше). Після цього, вчитель повідомляє дітям, що число 10 — це зменшуване, число 3 — це від'ємник, в число 7 — це різниця чисел 10 і 3.

За допомогою набірного полотна вчитель демонструє вище сказане (додаток 7).

Щодо дії множення, то другокласників ознайомлюють з цією дією спираючись на дію додавання однакових доданків. Пропонуються завдання на визначення чисельності об'єднання кількох рівнопотужних множин однорідних предметів. А саме: знайти загальну кількість вишень на п’яти гілках, якщо на кожній з них по дві вишні.

2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10

Після цього вчителем вводиться означення дії множення. Множенням називається додавання однакових доданків. Суму однакових доданків можна скорочено записати так:. Крапку, що стоїть між двома числами, називають знаком множення, але при читанні не називають її спеціальним терміном, як при додаванні чи відніманні. Після цього вчитель розкриває зміст компонентів дії множення. Він пояснює, що число, яке стоїть на першому місці, показує значення доданка, а число, яке стоїть на другому місці, вказує на кількість однакових доданків.

На наступному уроці учнів ознайомлюють із назвами компонентів дії множення. Вчитель говорить дітям, що число, яке береться доданком, називається першим множником, а число, яке показує кількість доданків, називається другим множником; а сума однакових доданків називається добутком. А також, добутком називається і вираз, що вміщує дію множення.

Доцільно, на тривалий час у класі вивісити таблицю з назвами компонентів дії множення та результату дії множення (додаток 8).

З дією ділення учнів знайомлять після засвоєння дії множення шляхом розгляду текстових простих задач.

Вчитель зачитує таку задачу:

Було 6 груш, їх розклали на 3 тарілки порівну. Скільки груш на кожній тарілці?

За допомогою наочного матеріалу вчитель відлічує по 1 груші і кладе їх на три тарілки по черзі. Повідомляє дітям, що таке ділення називається діленням на рівні частини і записує це так:

(гр.)

Пояснюючи дітям після цього, що знак «:» — це знак ділення, який не має окремої назви і при читанні дії ділення його не називають.

На наступних уроках розкривається інший зміст дії ділення — ділення на вміщення. Цей зміст дії ділення розкривається методом порівняльного аналізу та розглядом двох задач з однаковими числовими даними, які розв’язуються однаковою дією.

Вчитель записує скорочений запис двох задач.

12 з. — 3 уч.12 з. —? ? — 1 уч. 3 з. — 1 уч.

Аналізуючи скорочені записи цих двох задач, вчитель звертає увагу на те, що дано і що треба знайти, а також, де стоїть знак запитання.

Маніпулюючи з предметними множинами, зокрема зошитами, вчитель здійснює процес ділення так:

1 2 3 4

12: 3 = 4 12: 3 = 4

зош. уч. зош. зош. зош. уч.

Після цього вчитель повідомляє дітям, що дію ділення, яку читають «12 поділити на» називають дією ділення на рівні частини, а дію ділення, яку читають «12 поділити по» називають дією на вміщення. Окрім цього, вчитель повідомляє дітям, що дію ділення на рівні частини виконують методом відлічування по одному, а дію ділення на вміщення виконують методом відлічування однаковими групами. А також вчитель наголошує, що в задачі, де дія ділення на рівні частини, підраховують кількість елементів в одній множині, а в задачах, де дія ділення на вміщення, підраховують кількість утворених множин.

В обох випадках компоненти дії називаються однаково. Вчитель повідомляє дітям, що число 12 — це ділене, число 3 — дільник, а число 4 — частка. Доцільно виготовити і вивісити на тривалий час таблицю з назвами компонентів та результату дії ділення (додаток 9).

в) законів дій та властивостей

Під час вивчення дітьми молодших класів арифметичних дій розглядаються різні закони та властивості додавання, віднімання, множення та ділення натуральних чисел. Вчитель ознайомлює дітей з такими невідомими для них поняттями, як переставний і сполучний закони додавання натуральних чисел.

Бесіда з дітьми може бути такого виду. Позначимо в натуральному ряді спочатку число 5, а потім відлічимо сім чисел:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

В результаті отримаємо число 12. Отже, можна сказати, що. Вчитель уточнює, що так можна сказати для будь-яких натуральних чисел, а і b, і виконується рівність

.

Вона виражає переставний закон додавання. Вчитель повідомляє дітям, що цей закон читається так: від перестановки доданків сума не змінюється.

Щодо ознайомлення дітей з поняттям сполучний закон додавання, то бесіда може бути такого виду. Додамо три числа 4, 3 і 6. Спочатку до суми чисел 4 і 3, яка дорівнює 7, додамо 6. Для цього, пояснює вчитель далі, від суми чисел 4 і 3, тобто від числа 7, відлічимо вправо 6 чисел. Дістанемо 13.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 …

Але ці три числа можна додати іншим способом. А саме, до числа 4 додати суму чисел 3 і 6. Сума чисел 3 і 6 дорівнює 9. Отже, пояснює вчитель, треба від числа 4 відлічити вправо 9 чисел. Дістанемо число 13.