Метод Монте-Карло і застосування

Метод Монте-Карло і застосування

Курсовая робота Зубанова М. А., студента 3 курсу очного відділення фізико-математичного факультета Арзамасский державний педагогічний інститут імені А. П. Гайдара.

Кафедра математичного аналізу.

Арзамас-2002 р.

Введение

.

Метод Монте-Карло можна з’ясувати, як метод моделювання випадкових величин з єдиною метою обчислення характеристик їх распределений.

Возникновение ідеї використання випадкових явищ в області приближённых обчислень відносять до 1878 року, коли робота Голла про визначення числа p з допомогою випадкових бросаний голки на разграфлённую паралельними лініями папір. Суть полягає у цьому, щоб експериментально відтворити подія, ймовірність якого виражається через число p, і приближённо оцінити цю ймовірність. Вітчизняні роботи з методу Монте-Карло з’явилися торік у 1955;1956 роках. З на той час нагромадилася велика бібліографія методом Монте-Карло. Навіть побіжний перегляд назв робіт дозволяє зробити висновок про застосовності методу Монте-Карло на вирішення прикладних завдань із великої числа областей науку й техники.

Первоначально метод Монте-Карло використовувався головним чином заради вирішення завдань нейтронної фізики, де традиційні чисельні методи виявилися мало придатними. Далі його вплив поширилося класом завдань статистичної фізики, дуже різних за своєму содержанию.

Метод Монте-Карло надавав і продовжує надавати значний вплив в розвитку методів обчислювальної математики (наприклад, розвиток методів чисельного інтегрування) і за розв’язанні багатьох завдань успішно узгоджується з іншими обчислювальними методами і доповнює їх. Його застосування виправдано насамперед у його завданнях, що припускають теоретико-вероятностное опис. Це як природністю отримання відповіді із певною заданої ймовірністю в завданнях з вірогіднісним змістом, і істотним спрощенням процедури решения.

Глава 1. Деякі дані теорії вероятностей

§ 1. Математичне очікування, дисперсия.

Дискретной називають випадкову величину, яка приймає окремі, ізольовані можливі значення з певними імовірностями. Кількість можливих значень дискретної випадкової величини може бути кінцевим чи нескінченним.

Математическим очікуванням дискретної випадкової величини називають суму творів всіх її можливих значень з їхньої ймовірність.

,.

где Х — випадкова величина,  — значення, ймовірності яких відповідно рівні .

Математическое очікування приближённо одно (тим точніше, що більше число випробувань) середньому арифметичному можна побачити значень випадкової величины.

Дисперсией (розсіюванням) випадкової величини називають математичне очікування квадрата відхилення випадкової величини від її математичного очікування: .

Средним квадратичным відхиленням випадкової величини Х називають квадратний корінь з дисперсії: .

§ 2. Точність оцінки, довірча ймовірність. Довірчий интервал.

Точечной називають оцінку, визначене одним числом.

Интервальной називають оцінку, визначене двома числами — кінцями інтервалу. Интервальные оцінки дозволяють встановити точність і надійність оценок.

Пусть, знайдена за даними вибірки, статистична характеристика служить оцінкою невідомого параметра . Зрозуміло, що тим точніше визначає параметр , що менше абсолютна величина різниці . Інакше кажучи, якщо d>0 і , то, що менше d, тим оцінка точніше. Позитивне число d характеризує точність оценки.

Надёжностью (довірчій ймовірністю) оцінки по називають ймовірність g, з якою здійснюється нерівність .

Доверительным називають інтервал , що покриває невідомий параметр із заданою надёжностью g.

§ 3. Нормальне розподіл.

Нормальным називають розподіл ймовірностей безупинної випадкової величини, яке описується диференціальної функцією.

.

а — математичне очікування, p. s — середнє квадратичне відхилення нормального розподілу.

Глава 2. Метод Монте-Карло

§ 1. Загальна схема методу Монте-Карло.

Сущность методу Монте-Карло ось у чому: потрібно знайти значення, а деякою досліджуваної величини. І тому вибирають таку випадкову величину Х, математичне очікування якої одно а: М (Х)=а.

Практически само роблять так: виробляють n випробувань, у яких отримують n можливих значень Х; обчислюють їх середнє арифметичне і приймають x в ролі оцінки (приближённого значення) a* шуканого числа a:

.

Поскольку метод Монте-Карло проведення значної частини випробувань, його часто називають методом статистичних випробувань. Теорія цього вказує, як найдоцільніше вибрати випадкову величину Х, як знайти її можливі значення. Зокрема, розробляються способи зменшення дисперсії використовуваних випадкових величин, у результаті зменшується помилка, допускаемая при заміні шуканого математичного очікування, а його оцінкою а*.

§ 2. Оцінка похибки методу Монте-Карло.

Пусть щоб одержати оцінки a* математичного очікування, а випадкової величини Х було виконано n незалежних випробувань (розіграно n можливих значень Х) і за ними було знайдено вибіркова середня , ухвалену як шуканої оцінки: . Зрозуміло, що й повторити досвід, то отримають інші можливі значення Х, отже, інша середня, отже, й інша оцінка a*. Вже це означає, що одержати вірну оцінку математичного очікування неможливо. Природно виникає запитання величину допускаемой помилки. Обмежимося відшуканням лише верхньої межі d допускаемой помилки із заданою ймовірністю (надёжностью) g: .

Интересующая нас верхня грань помилки d не що інше, як «точність оцінки» математичного очікування по вибіркової середньої з допомогою довірчих інтервалів. Розглянемо такі три случая.

Случайная величина Х розподілено нормально і її середнє квадратичне відхилення d известно.

В цьому випадку з надёжностью g верхня межа помилки.

, (*).

где n число випробувань (розіграних значень Х); t — значення аргументу функції Лапласа, у якому , p. s — відоме середнє квадратичне відхилення Х.

Случайная величина Х розподілено нормально, причому її середнє квадратическое відхилення p. s неизвестно.

В цьому випадку з надёжностью g верхня межа помилки.

, (**).

где n — число випробувань; p. s — «виправлене» середнє квадратическое відхилення, знаходять за таблицею докладання 3.

Случайная величина Х розподілено згідно із законом, що відрізняється від нормального.

В цьому за досить великому числі випробувань (n>30) з надёжностью, приближённо рівної g, верхня межа помилки то, можливо обчислена по формулі (*), якщо середнє квадратическое відхилення p. s випадкової величини Х відомо; Якщо ж p. s невідомо, можна підставити в формулу (*) його оцінку p. s — «виправлене» середнє квадратическое відхилення або скористатися формулою (**). Зауважимо, чим більше n, тим менше відмінність між результатами, що дають обидві формули. Це тим, що з розподіл Стьюдента прагне нормальному.

Из викладеного слід, що метод Монте-Карло тісно пов’язані з завданнями теорії ймовірностей, математичної статисти та обчислювальної математики. У зв’язку з завданням моделювання випадкових величин (особливо рівномірно распределённых) істотну роль грають також методи теорії чисел.

Среди інших обчислювальних методів, метод Монте-Карло вирізняється своєю простотою і спільністю. Повільна відповідність є істотним недоліком методу, проте, можуть бути вказані його модифікації, що забезпечують високий порядок збіжності за певних припущеннях. Щоправда, обчислювальна процедура у своїй ускладнюється і наближається за своєю складністю решти процедурам обчислювальної математики. Відповідність методу Монте-Карло є сходимостью по ймовірності. Це обставина навряд чи варто відносити до числу його недоліків, бо імовірнісні методи в достатній мірі справджуються в практичних додатках. Що ж до завдань, мають ймовірнісна опис, то сходимостью по ймовірності є навіть у певною мірою природною за її дослідженні.

Глава 3. Обчислення з дитинства інтегралів методом Монте-Карло.

§ 1. Алгоритми методу Монте-Карло на вирішення інтегральних рівнянь другого рода.

Пусть необхідно обчислити лінійний функціонал , де , причому для інтегрального оператора K з ядром виконується умова, що забезпечує відповідність низки Неймана: . Ланцюг Маркова визначається початковій щільністю та перехідною щільністю ; ймовірність обриву ланцюзі у точці дорівнює . N — випадковий номер останнього стану. Далі визначається функціонал від траєкторії ланцюга, математичне очікування якого одно . Найчастіше використовується так звана оцінка по сутичкам , де , . Якщо при , і при , то, при деякому додатковому умови . Важливість досягнення малої дисперсії в знакопостоянном разі показує таке твердження: якщо і , де , то , а . Моделюючи підходящу ланцюг Маркова на ЕОМ, отримують статистичну оцінку лінійних функционалов від рішення інтегрального рівняння другого роду. Це дає можливість і локальної оцінки рішення з урахуванням уявлення: , де . Методом Монте-Карло оцінка першого власного значення інтегрального оператора здійснюється интерациональным методом з урахуванням співвідношення . Усі розглянуті результати майже автоматично поширюються на системи лінійних алгебраїчних рівнянь виду . Рішення диференційних рівнянь здійснюється методом Монте-Карло з урахуванням відповідних інтегральних соотношений.

§ 2. Спосіб усереднення подынтегральной функции.

В ролі оцінки певного інтеграла приймають.

,.

где n — число випробувань;  — можливі значення випадкової величини X, распределённой рівномірно в інтервалі інтегрування , їх розігрують за такою формулою , де  — випадкове число.

Дисперсия усредняемой функції дорівнює.

,.

где , . Якщо точне значення дисперсії обчислити важко чи неможливо, то знаходять вибіркову дисперсию (при n>30) , чи виправлену дисперсию (при n.