Особливості викладання геометрії в школі

План

1. Вступ

2. Логічна будова шкільного курсу геометрії

3. Методична структура курсу геометрії

4. Геометричні побудови (на площині і в просторі)

а) Геометричні побудови в курсі планіметрії

б) Стереометричні задачі на побудову в) Різні підходи стосовно видів стереометричних задач на побудову

5. Висновок

6. Список використаної літератури

1. ВСТУП геометрія школа стереометрія задача Одним із найважливіших завдань викладання геометрії в школі є формування і розвиток у учнів просторових уявлень, а також здатності й уміння виконувати операції над просторовими об'єктами. Досягти цього важливо не тільки для тих учнів, які далі присвятять себе тим або іншим технічним професіям, а й для тих, хто вибере собі різні інші спеціальності, чи то спеціальність художника, хірурга, астронома, географа або хіміка. Слабкий розвиток просторових уявлень дається взнаки вже в школі, утруднюючи вивчення ряду шкільних предметів, а в діяльності дорослої людини він іноді буває причиною багатьох невдач. Винахідникові, наприклад, ця вада часто перешкоджає реалізувати свої творчі плани.

Важко сумніватися в тому, що систематична робота над утворенням і розвитком просторових уявлень майже завжди приводить до їх поліпшення. Це особливо помітно на тих, кому за родом своєї діяльності доводиться багато працювати над рисунками. У таких осіб, навіть при наявності лише середніх природних даних, розвивається дуже тонке уявлення просторових відношень і правильна оцінка розмірів зображених або спостережуваних предметів. Разом з тим стає ясним, що проекційні зображення можуть відіграти серйозну роль у досягненні вищевказаної мети.

На перших порах навчання основним джерелом утворення геометричних понять і уявлень е навколишні предмети, що їх дитина не тільки бачить, а й порівнює, доторкуючись до них або пересуваючи, щоб краще визначити форму й відносне положення їх у просторі.

Важливо, щоб школяр умів підмічати предмети, які мають однакову або схожу форму, наприклад ящик або сірникову коробку (прямокутний паралелепіпед), а також розуміти її оцінювати їх відмінність щодо величини. Багато предметів мають форму прямокутника (зошит, книга, стіл, віконна рама, класна дошка і т. д.), інші - форму кола (тарілка, монета, циферблат годинника та інше.).

Потроху школярі привчаються пізнавати геометричні форми н тих предметах, які їм доводиться бачити мало не щодня.

Ця здатність, бачити геометрію навколо себе є найцінніша якість, і її треба всіляко підтримувати й розвивати. Вона приводить до утворення абстрактних понять геометричних фігур, таких як прямокутник, коло, призма, циліндр і т. д. Величезну допомогу в цьому процесі можуть подати моделі найпростіших, асиметричних тіл. Перевага їх полягає в тому, що вони дають геометричні форми тіл, так би мовити, в «чистому», Ідеальному вигляді, а не н ускладненому і не в спотвореному, якими ми їх бачимо в навколишньому середовищі. Спостереження і запам’ятовування форми геометричних тіл на моделях дають. школяреві можливість розпізнавати потім геометричну форму того чи іншого конкретного предмета, хоч вона виражена у нього лише приблизно.

Отже, на цьому ступені утворення геометричних уявлень застосовуються моделі геометричних тіл. Корисне також самостійне моделювання, тобто виготовлення моделей силами учнів.

Після того як учні навчилися розрізняти геометричні форми моделей і навколишніх предметів, треба добиватися закріплення наступного етапу: уміння мислено уявляти геометричні образи в просторі.

До цієї мети можна йти різними шляхами. Так, після розгляду моделей можна забрати їх і продовжувати вправи, оперуючи з тими мисленими уявленнями геометричних фігур, які лишилися в пам’яті учнів. При цьому корисно контролювати їх відповіді з приводу властивостей фігур повторними звертаннями до моделей і конкретних (предметних) форм. Деякі педагоги рекомендують навіть частину занять проводити в темряві, примушуючи учнів мислено уявляти бачені форми предметів або геометричних моделей.

Проте доцільніше починати цю роботу з вправ в уявлюванні геометричних фігур за їх зображеннями (рисунками).

Рисунки не тільки допомагають розвивати просторове уявлення учнів, а й можуть значно сприяти розв’язанню наступного щодо складності завдання: умінню оперувати з геометричними образами, поданими на рисунку. На цьому етапі учні мають бути здатні мислено уявляти геометричні фігури і розв’язувати різні питання, які стосуються до взаємного положення і розмірів фігур. Зрозуміло, що вправи такого роду не можна робити на моделях, або в усякому разі такі можливості дуже обмежені. До того ж між розв’язуванням задачі на моделі і без неї створюється надто великий розрив: наприклад, в той час як можливість перерізу куба площиною по шестикутнику учні сприймають легко, коли їм це показують на моделі, мислене уявлення цієї операції без моделі багатьом учням дається дуже важко.

Проекційний рисунок особливо корисний у таких випадках. Рисунок полегшує виконання яких-небудь дій над зображеними на ньому фігурами, бо він допомагає їх просторовому уявленню і зберігає на папері все виконуване на рисунку. З другого боку, рисунок не відтворює самих цих фігур, і для розв’язування тих чи інших питань треба мислено уявити дані фігури в просторі.

Отже, рисунок ніби заповнює прогалину між предметними моделями і абстрактними уявленнями просторових фігур. Він викликає і розвиває просторові уявлення, причому ця робота полегшується зображеннями, виконаними на рисунку. Що це справді так, можна бачити з того загальновідомого факту, що рисунки просторових фігур можуть бути більш наочними або менш наочними, тобто не всі рисунки тієї самої фігури можуть в однаковій мірі викликати її просторове уявлення.

Отже, ми не тільки знаємо про цю властивість рисунків, а й розрізняємо їх за нею, говорячи про наочність рисунка.

В нашому розпорядженні лишається можливість застосовувати для розвитку просторових уявлень рисунки різного ступеня наочності. Але особливо велика перевага проекційних рисунків полягає в тому, що на таких рисунках можна «ефективно» розв’язувати задачі з просторовими фігурами, фактично будуючи на рисунку шукані елементи і виконуючи необхідні операції майже зовсім так, як це мало б виконуватися в самому просторі. Цього не можна досягти на моделях з тієї причини, що на них неможливо виконувати геометричні побудови. Мислені побудови без моделей також не дадуть повного ефекту, бо положення фігур та їх елементів при цьому не фіксується в просторі, і геометричні образи стають невизначеними. До того ж такі побудови майже недоступні для більшості учнів. Тільки проекційний рисунок робить можливим таку постановку стереометричних задач. Це має першорядне освітнє значення. Не випадково і в практичному житті це питання розв’язується цілком так само: просторові об'єкти зображаються па проекційних рисунках, які є найбільш точними і зручними описами даного об'єкта. Значення і поширений їх величезне.

З усього сказаного ясно, що вправи на проекційних рисунках, розв’язування задач на таких рисунках мають становити істотну чистину викладання стереометрії. Таке викладання геометрії якнайкраще відповідає завданню політехнічного навчання у школі. При цьому проекційні рисунки, застосовувані в стереометрії, не повинні виходити за рамки матеріалу звичайного курсу геометрії, тобто не повинні ґрунтуватися на специфічних прийомах нарисної геометрії, що зумовлюються інженерно-технічними міркуваннями. Такі побудови мають бути віднесені до курсу креслення, де вони знайдуть своє справжнє місце. В пропонованій книзі для вчителя дано приклади стереометричних задач на проекційних рисунках, причому вони не вимагають ніяких додаткових відомостей з нарисної геометрії.

Досвід розв’язування учнями таких задач був проведений в ряді московських шкіл і показав цілковиту можливість запровадження їх до шкільної практики, а також їх доступність для учнів.

2. Логічна будова шкільного курсу геометрії

Загальноосвітній курс геометрії забезпечує базову геометричну підготовку достатню для продовження освіти в старшій або професійній школі. Виділяються три ступені вивчення геометрії: 1- 4, 5- 6, 7- 9. В 1- 4 класах здійснюється пропедевтична підготовка учнів до вивчення цього курсу. 5- 6 класи. Основна мета вивчення геометричного матеріалу — ознайомити учнів з елементами геометричних знань і підготувати їх до успішного вивчення геометрії в наступних 7- 9 класах.

Вивчення геометричних фігур і тіл супроводжується безпосередніми маніпуляціями з моделями, їх побудовою, конструюванням, спирається на приклади з навколишнього середовища і максимально враховує життєвий досвід учнів.

Учні знайомляться з величинами (довжина і площа), їх вимірюванням і відношенням (взаємне розміщення, паралельності, перпендикулярності).

Основна мета вивчення геометрії в 5- 6 класах ввести на наочноінтуїтивному рівні поняття про основні фігури на площині і простіші геометричні тіла, їх побудову і вимірювання, розширити уявлення учнів, здобуті в попередніх класах, про істотні ознаки геометричних фігур, уміння обчислювати геометричні величини (довжини, площі, об'єми деяких фігур) за формулами. Геометричні поняття, операції і відношення дістають математичне спрямування.

Мета курсу геометрії в 7- 9 класах — систематичне вивчення властивостей геометричних фігур на площині; засвоєння елементів стереометрії на наочно-інтуїтивному рівні; вироблення вмінь будувати геометричні фігури і застосовувати їх властивості при вивченні суміжних дисциплін; дальше вивчення величин; ознайомлення учнів із застосуванням аналітичного апарату (елементи тригонометрії і алгебри, вектори і координати) до розв’язування задач. Курс геометрії стає базовим курсом, який забезпечує систему фундаментальних знань з геометрії для всіх учнів. Основний апарат доведення — ознаки рівності трикутників, однак залучаються і засоби алгебри.

Поглиблений курс геометрії вивчається учнями 8- 9 класів, які мають намір обрати в старшій школі профілюючим предметом математику або піти навчатися в природничо-математичні ліцеї, спеціалізовані фізико-математичні школи, технічні коледжі тощо.

Геометрія вивчається на більш високому теоретичному рівні, деякі питання загальноосвітнього курсу поглиблюються (поняття про довжину кривої, ізопериметрична задача, перспективне розміщення многокутників, композиція симетрій, поворотів і ін.).

Розглянуті курси геометрії - рівневодиференційовані. Це досягається запровадженням таких рівнів вивчення геометрії, а, значить, сформованості геометричних умінь:

1 рівень (мінімально базовий). Матеріал засвоюється в обсязі обов’язкових результатів навчання, які необхідні учням для подальшого вивчення геометрії в основній і здобуття, в майбутньому, робітничих професій.

2 рівень (базовий). Передбачає засвоєння знань і вироблення вмінь в обсязі, заданому програмами з геометрії.

3 рівень (підвищений). Учні, що вчаться на цьому рівні, дістають більш глибокі знання і вміння, ніж це передбачено програмами.

Рівнева диференціація досягається модульним принципом побудови курсів, який забезпечує підвищений рівень навчання. Кожний курс включає дві частини — інваріантну і варіативну. Варіативна частина містить логічно завершені порції матеріалу, які доповнюють інваріантну частину.

3. Методична структура курсу геометрії

«…Головне завдання викладення курсу геометрії в школі - навчити учнів логічно мислити, аргументувати свої твердження, доводити…»

… Навряд знайдеться хоч один учень (який закінчив школу), якому не знадобиться розмірковувати, аналізувати, доводити" (Погорелов А. В. Элементарная геометрия. М., 1977, с. 8.).

Логічне мислення — не тільки міркувати, доводити, але і ставити питання, проводити співставлення, аналізувати.

Порівняння основних елементів і відношення між ними двовимірного і тривимірного просторів.

Основні елементи двовимірного метричного простору і відношення між ними Основні елементи тривимірного простору і відношення між ними

1. Основні формулюючі елементи: точка, пряма. Ними означаються прості двовимірні фігури, із яких створюються більш складні об'єкти.

1. Основні формлюючі елементи: точка, пряма, площина. Ними означаються прості тривимірні фігури, з яких складаються більш складні об'єкти простору.

Між елементами простору існують такі відношення:

— Тотожність (збіг)

— Інцедентність (належність)

— Паралельність

— Перпендикулярність Над елементами простору можна виконувати такі операції:

— сполучення

— перетин Обов’язковий мінімум при вивченні геометрії в 7- 9 класах:

зображувати геометричній фігури, вказані в умовах теорем і задач і виділяти відомі фігури на кресленнях і моделях;

— проводити доказові міркування в ході розв’язання типових задач;

— обчислювати значення геометричних величин (довжин, кутів, площ) застосовуючи вивчені властивості і формули;

— виконувати основні побудови циркулем і лінійкою, розв’язувати нескладні комбіновані задачі, які зводяться до виконання основних побудов;

— застосовувати апарат алгебри і тригонометрії в ході розв’язання геометричних задач;

— використовувати вектори і координати для розв’язання стандартних задач (обчислення довжин і кутів, додавання векторів і множення вектора на число).

Перші уроки систематичного курсу планіметрії досить важкі, так як на них систематизуються одержані раніше знання про взаємне розміщення прямих на площині. Це обумовлене причинами: психічними особливостями учнів цього віку, виділенням курсу геометрії в окрему навчальну дисципліну і новизною його структури, різним підвищенням рівня строгості логічних міркувань, введенням більшого числа нових понять, термінів, нової символіки, підвищення рівня абстрактності вивченого матеріалу, новим змістом заданого матеріалу, недостатнім розвитком просторових уявлень учнів, несформуванням умінь і навичок узагальнення, абстрагування. Методика викладання перших розділів планіметрії пропонує поступовий перехід від конкретного до загального, постійне звертання до оточуючої дійсності і іншим засобам наочності, велика увага навчанню учнів умінню логічно міркувати, обґрунтовувати, доводити висловлені твердження, орієнтуватися у вивчених математичних твердженнях, аксіомах, теоремах, означеннях, які для них являються новими.

З перших етапів вивчення геометрії необхідно пов’язати в єдину систему розповідь вчителя, текст підручника, відповідні записи на дошці і в зошиті з малюнками, які є опорою для учнів під час самостійної роботи. На першому уроці геометрії необхідно учнів познайомити з історією виникнення геометрії.

Геометричні об'єкти постають перед учнями в новому вигляді. Точка і пряма розглядаються як основні поняття, властивості яких розкриваються в аксіомах.

При розробці методики ведення аксіом доцільно враховувати такі моменти:

— ілюстрація прикладами із оточуючого життя за допомогою спеціальної моделі;

— формулювання аксіоми;

— ілюстрація аксіоми на малюнку;

— короткий запис аксіом.

Велика обережність вимагається при навчанні учнів першим доведенням.

В числі перших учням дається метод від супротивного, який викликає найбільші труднощі. Учні із двовимірного простору «переходять» в реальний тривимірний простір, тобто приступають до вивчення властивостей стереометричних фігур, які існують в просторі трьох вимірів.

Всі знання і уявлення учнів про властивості фігур, які вивчались раніше, спирались на площину, а в тривимірному просторі площина стає самостійною фігурою і одночасно носієм всіх плоских фігур з їх багаточисельними властивостями. Нелегко учню уявити образ площини в тривимірному просторі, ще складніше уявити можливе розміщення в ньому трьох і більше площин і зовсім важко побачити розміщення на цих площинах вже відомих плоских фігур з їх властивостями. Навчити кожного учня бачити, малювати, уявляти про яку фігуру йде мова в теоремі, задачі, означені і доведенні - головні навчально-виховні цілі уроку.

Учням необхідно роз’яснити, що доведення проводиться не тільки з метою переконання істинності якого-небудь твердження, але і для того, щоб звести дане твердження до раніше відомих, показати, яким чином із аксіом, означень і вже доведених теорем виникає дане твердження.

З перших уроків вивчення курсу стереометрії необхідно вчити учнів робити малюнок до умови задачі, намічати хід розв’язання, тобто проводити аналіз розв’язання задачі, опускаючи обґрунтування, а після цього переходити до строгого обґрунтування розв’язання.

Побудова системи аксіом стереометрії здійснюється за допомогою таких дій:

1) переформулюються аксіоми планіметрії для простору (дія виконується за допомогою прийняття аксіоми: «В кожній площині простору виконуються всі аксіоми планіметрії»).

2) доповнюються нові «специфічні» аксіоми стереометрії (дія полягає в формулюванні декількох аксіом належності для простору).

Методична схема вивчення аксіом планіметрії:

— ввести аксіому на наочній основі;

— сформулювати аксіому;

— виконати логічний аналіз формулювання аксіоми;

— провести математичний диктант.

Методична схема вивчення аксіом стереометрії:

— роз'яснити абстрактний характер геометричних понять;

— роз'яснити сутність аксіом і їх роль в побудові геометрії, сформулювати аксіоми;

— проілюструвати аксіоми на моделях;

— закріпити аксіоми шляхом логічного аналізу їх формулювань;

— закріпити аксіоми в процесі їх застосування до доведення перших наслідків геометрії належності в просторі, до розв’язання задач.

Наслідки являють собою нове завдання площини. В заключеннях теорем — наслідків необхідно виділити дві частини:

1) існування площин;

2) єдності.

4. Геометричні побудови (на площині і в просторі)

А) Геометричні побудови в курсі планіметрії

Що таке задача на побудову?

В задачах на побудову мова йде про побудову геометричної фігури за допомогою даних інструментів креслення. Такими інструментами частіше всього є лінійка і циркуль. Розв’язання задач полягає не стільки в побудові фігури, скільки у вирішенні питання, як це зробити, і відповідним доведенням. Задача вважається розв’язаною, якщо вказано спосіб побудови фігури і доведено, що в результаті вказаних побудов дійсно здобувається фігура з потрібними властивостями.

Розділ геометрії, в якому вивчаються задачі на побудову, називається конструктивною геометрією. Основним поняттям конструктивної геометрії, крім основних понять геометрії, є поняття «побудована геометрична фігура». Це поняття не має логічного означення.

При розв’язуванні задач на побудову використовуються: загальні аксіоми геометрії, загальні аксіоми конструктивної геометрії і аксіоми інструментів геометричних побудов. Всі задачі на побудову з допомогою циркуля і лінійки зводяться до побудови — точки, відрізку, кола. Для побудови відрізку і кола досить виділити їх визначальні точки. З іншої сторони, побудова фігури, в якій є всі задані властивості (це являється вимогою будь-якої задачі на побудову), також зводиться до побудови визначальних її точок (характеристичних точок цієї фігури). Побудова точки як геометричної фігури, ідентична перетину двох ліній — прямої і прямої, прямої і кола, двох кіл.

Структура задачі на побудову — в ній дані геометричні фігури і умови, пов’язані між собою, вимоги такої задачі можна розподілити на дві часини: а) побудувати нову фігуру, пов’язану з даними фігурами деякими умовами; б) побудувати певним набором інструментів. При цьому в деяких задачах інструменти зазначаються (наприклад, побудова паралельних прямих за допомогою косинця і лінійки), а в задачах, де інструменти не зазначені, припускаються циркуль і лінійка.

Основні задачі на побудову До основних задач на побудову в дев’ятирічній школі відносять:

— на даній прямій від даної точки відкласти відрізок даної довжини;

— побудову трикутника за даними сторонами;

— побудову кута, рівного даному;

— побудову бісектриси даного кута;

— поділ відрізка пополам;

— побудову перпендикулярної прямої;

— побудову трикутника за двома сторонами і куту між ними;

— побудову трикутника за стороною і прилеглими кутами;

— побудову прямокутного трикутника за гіпотенузою і катетом;

— побудову прямокутного трикутника за гіпотенузою і прилеглим до неї гострим кутом;

— через дану точку провести пряму паралельну даній прямій;

— поділ відрізку на nрівних частин;

— побудову відрізка х, пов’язаного з даними відрізками, а і b рівністю х2 = а2 + b2;

— побудову відрізка х, пов’язаного з даними відрізками, а і b рівністю х2 = а2 — b2;

— поділ дуги кола пополам;

— побудову дотичної до кола в даній точці;

— побудову дотичної до кола з даної точки поза колом;

— поділ відрізка в даному відношенні;

— побудову відрізка, четвертого пропорціонального до трьох даних;

— побудову відрізка х, пов’язаного з даними відрізками, а і b рівністю x2 = vab.

Питання методики розв’язування задач на побудову Розглядаються задачі на побудову в курсі геометрії 7 класу, потім, починаючи з 8 класу, задачі на побудову входять в склад тем, які вивчаються. В діючих підручниках кожна задача на побудову дається відокремлено, не дивлячись на те, що авторами задається продумана послідовність цих задач.

Розв’язуючи задачі на побудову, з перших уроків учням потрібно пояснювати сутність термінів «побудувати точку», «побудувати пряму», «дано точку», «дано пряму». Точка (пряма) вважається побудованою, якщо накреслено її умовне зображення. Вираз «дано точку» — означає, що точка побудована. «Дано фігуру» — означає, що фігура побудована; фігура, яку треба побудувати, називають шуканою. Побудувати фігуру — це значить накреслити її, застосовуючи певні інструменти. Суть цих термінів треба пояснювати послідовно при розв’язуванні задач, але не завчати. Перші задачі на побудову прості і вчителя не надають їм значення, а це приводить до «застою» геометричного мислення, який дуже важко потім ліквідувати. Умови перших задач по геометрії не треба записувати в зошити, треба, щоб учні відразу ж виконували побудови.

Наприклад:

1. Побудувати точку, позначити її буквою. Скільки точок можна побудувати на площині?

2. Побудувати точку і провести через неї пряму. Скільки прямих можна провести через неї? Побудувати через цю точку ще чотири прямих.

Ставлячи такі питання ми поступово привчаємо учнів до розуміння дослідження задач на побудову.

3. Побудувати пряму, яка проходить через три дані точки. Чи завжди дана задача має розв’язання?

При розв’язанні цієї задачі корисно сказати учням, що задачі, в яких треба побудувати точки або лінії, або інші фігури, називаються задачами на побудову.

Задача на побудову не завжди має розв’язання. На задачах такого типу учні фактично і знайомляться з аксіомами конструктивної геометрії (але ми не формулюємо аксіоми для учнів і не даємо їх назви).

Аналіз підручників і посібників з геометрії показав, що автори використовують в основному індуктивний шлях у викладені матеріалу, який відноситься до геометричних побудов. Учні спочатку вивчають конкретні види побудов: відкладання на даному промені від його початку відрізка, рівного даному; побудова кута рівного даному; побудова бісектриси кута; побудова перпендикулярних прямих; побудова середини відрізку; побудова трикутника за трьома елементами. Тільки після цього учні знайомляться з загальною ідеєю геометричної побудови; пропонується схема, по якій розв’язують задачі на побудову циркулем і лінійкою. Ця схема складається з чотирьох частин: аналіз, побудова, доведення, дослідження.

Розкриємо їх зміст

І. Аналіз — це підготовчий етап і в той же час найбільш важливий для розв’язування задач. Метою аналізу є встановлення таких залежностей між елементами шуканої фігури і даними задачі, які дозволяли б побудувати цю фігуру. Аналіз задачі полягає в тому, що припускають її розв’язання і знаходять різні наслідки (або передумови) цього припущення, а потім, в залежності від виду цих наслідків, намагаються знайти шлях відшуку розв’язання поставленої задачі.

При розв’язанні геометричних задач на побудову в склад діяльності «аналіз» входять такі дії:

— розпізнати задачу, її вигляд і предметну область;

— оформити інформацію, яка міститься в задачі так, щоб вона добре сприймалась в цілому (у вигляді схеми, геометричного образу); виділити дане і шукане;

— перевірити вимоги визначеності шуканого об'єкту: знайти число елементів, визначаючих шукане; з’ясувати чи є в умові достатня кількість даних для розв’язання задач;

— знайти і усунути зайві умови в формулюванні задачі; встановити серед даних метричні і кутові елементи;

— вказати елементи (єдиним способом визначити шукану фігуру) шуканої фігури, які дозволяють відразу здійснювати побудову і встановлювати серед них відомі і невідомі;

— переформулювати задачу;

— скласти план побудови.

ІІ. Побудова за наміченим планом.

ІІІ. Доведення того, що побудована фігура задовольняє умовам задачі.

ІV. Дослідження задачі, тобто вияснення питань про те, чи при будь-яких даних задача має розв’язок, а якщо має, то скільки?

Запропонована схема має згорнутий характер. Її дотримувались ще в Стародавній Греції (ІVІІІ вв. до н.е.).

Зміст загального методу розв’язання задач на побудову за допомогою циркуля і лінійки .

Виділити геометричні фігури, які подані в умові задачі, і відношення між ними.

Виділити геометричну фігуру, яку необхідно побудувати (шукана фігура).

Виділити із умови задачі, якими властивостями повинна володіти шукана фігура.

Дати означення шуканої фігури (назвати необхідні і достатні ознаки відповідного поняття).

Виділити точки, необхідні і достатні для побудови шуканої фігури (визначені точки).

Перерахувати знання, за допомогою яких можна забезпечити потрібні умовою задачі властивості шуканої фігури.

Встановити достатність і недостатність даних умов для побудови шуканої фігури.

Встановити, за якими значеннями можуть бути «приховані» ті, які необхідні для побудови шуканої фігури.

Вибрати знання, які будуть використані для побудови шуканої фігури і пояснити доцільність такого вибору.

Встановити можливість побудови шуканої фігури за даними умовами задачі:

а) чи завжди можлива побудова за даних умовах?

б) чи являється вибраний спосіб розв’язування задач єдиним, чи можливо декілька розв’язань?

в) які із раніше відомих задач на побудову можуть бути використані як проміжні побудови?

г) до якої із раніше вивчених задач на побудову може бути зведена дана задача?

Вибрати спосіб побудови кожної з визначених точок шуканої фігури: перетин або двох прямих, або прямої і кола, або двох кіл.

Побудувати кожну з визначальних точок шуканої фігури і за ними фігуру в цілому.

Довести, що побудована фігура задовольняє умові задачі.

Запропонований прийом включає загальні, базові дії. Природно, що при розв’язанні конкретних задач деякі з цих компонентів будуть опускатись.

Використання загального способу розв’язання задач на побудову дозволяє навчити учнів здійснювати аналіз умови задачі, виявити знання, необхідні для побудови шуканої фігури, вибрати раціональний спосіб побудови кожної визначальної точки фігури і по ним фігури в цілому, доводити правомірність пропонованого шляху розв’язання задач. На прикладі декількох задач вчитель може пояснити учням зміст загального прийому, призначення кожного із компонентів і процедуру використання цього прийому. Потім організувати засвоєння змісту цього прийому у відповідності з принципами діяльності теорії учення (Гальперин П. Я. Методы обучения и умственное развитие ребенка. — М.: Изд. Московского унта, 1985; Талызина Н. Ф. Управление процессом усвоения знаний. — М.: Изд. Московского унта, 1984).

Оволодіння загальним прийомом розв’язання задач на побудову буде сприяти розумному, свідомому і самостійному знаходженню учнями способу побудови потрібної геометричної фігури.

Короткий запис

1. Якщо дані вигляд і розміщення фігур відносно один одного, то в «Дано» можна записати тільки позначення фігур і з допомогою позначок відносини між ними, а самі фігури зобразити пізніше, коли будуть виконуватися побудови.

Приклад. Дані дві паралельні прямі і точка на одній з них. Побудувати коло, що дотикається цих прямих і проходить через дану точку.

Дано: прямі а і в, точка А.

А — належить, а, а || в Побудувати: коло О так, щоб:

а дотикалась до кола. в дотикалась до кола.

А знаходилась на колі.

2. Якщо дані вигляд і розміри фігур, без урахування їх взаємного розташування, то в «Дано» треба зобразити і позначити фігури.

Приклад. Побудувати трикутники за двома сторонами і радіусу описаного кола.

Дано:

Побудувати: АВС, так, щоб 1) ВС = а,

2) АС = в,

3) А, В, С — на колі (О, R).

Розглядаючи способи розв’язування задач на побудову, як практичні способи, виділяють чотири етапи їх формування: підготовчий, ознайомчий, формуючий і етап удосконалення умінь. Спочатку вчителю необхідно виявити систему умов, на яку повинен спиратися учень для успішного оволодіння практичними уміннями.

Методи розв’язування задач на побудову.

1. Метод базисних трикутників Сутність методу — використання допоміжного трикутника (його ми назвемо базисним). Доцільно вважати базисними трикутники, які можна побудувати за двома сторонами і кутом між ними, за стороною і двома кутами, за трьома сторонами. Якщо трикутник прямокутний, то його можна побудувати за двома катетами, катетом і гострим кутом, гіпотенузою і гострим кутом, гіпотенузою і катетом Аналіз побудови дозволяє виділити слідуючі етапи:

— спочатку треба знайти трикутник, який можна легко побудувати — базисний.

з’ясувати, що дала побудова базисного трикутника (які з’явились елементи, не зазначені в умові задачі).

— якщо нові елементи такі, що за їх допомогою можна розв’язати задачу, то мету досягнуто.

— якщо цього не відбулося, то можна побудувати ще один допоміжний трикутник, властивості і елементи якого допоможуть закінчити розв’язання.

Задача 1. Побудувати рівнобедрений трикутник АВС (в = с) за а, hв.

Розв’язання. Зробимо аналіз задачі (рис 1):

Рис. 1

Оскільки в прямокутному трикутнику ВЕС (РВЕС = 900) задано катет ВЕ = hв і гіпотенуза ВС = а, то трикутник ВЕС легко побудувати (тому він і є базисним). Дістанемо кут АСВ = РС, отже, й кут АВС = РВ. Маємо а, В, С, тому можна побудувати трикутник АВС.

Схематично розв’язання задачі можна записати так:

1) (а, hв) ® DСЕВ ® С

2) (а, В, С) ® DАВС Задача 2. Побудувати рівнобедрений трикутник АВС (в = с) за А; hc.

Розв’язання. Проведемо аналіз задачі. У трикутнику АВС СД^АВ (рис. 2).

Прямокутний трикутник АСД можна побудувати за катетом СД і гострим кутом А. Дістанемо сторону АС = АВ. Отже, маючи дві сторони і кут між ними, будуємо трикутник АВС.

Рис.2

Схематичний запис розв’язку задачі такий:

1) (A, hc) ® DАСД ® в

2) (в, С, А) ® DАВС Задача 3. Побудувати трикутник АВС за А, hB, hC.

Розв’язання. Аналіз показує, що трикутник АН2В — базисний (рис. 3).

Одержуємо сторону АВ. Будуючи трикутник АСН3, дістанемо сторону АС. Маємо АВ, АС, РВАС = РА.

Рис. 3

Схематично розв’язання можна записати:

1) (A, hв) ® DABH2 ® C

2) (A, hc) ® DАСH3 ® в

3) (в, c, А) ® DАВС

2. Сегмент, що вміщує даний кут.

В основі методу лежить слідуюча задача: Знайти геометричне місце точок (ГМТ), з якого даний відрізок видно під даним кутом.

3. Алгебраїчний метод в задачах на побудову.

Основа методу. Задано декілька відрізків. Необхідно за допомогою циркуля і лінійки побудувати відрізок, довжина якого за деякою формулою виражена через довжини заданих відрізків. Тому перший етап алгебраїчного методу — вміння будувати відрізок, заданий деякою формулою і відрізками, які входять в цю формулу.

Суть методу. Нехай а, в, с, d — довжини даних відрізків, Х — шуканий відрізок. Спочатку будуємо відрізки, які задано формулами.

Задача 4. Побудувати відрізок x = ab / c.

Рис. 4

3. Метод спрямлення.

Суть методу. Якщо дана сума або різниця двох або декількох лінійних елементів трикутника, знаходимо базовий трикутник, який будується по цій сумі або різниці та другим даним задачі. Із базового трикутника одержати пошуковий, як правило, допомагає симетрія. Основа методу — в назві, тобто два не даних лінійних елемента «спрямляємо» в лінію (в даний відрізок).

Прийом вибору адекватного методу розв’язання задач на побудову На основі теоретичних положень математики: геометричні місця точок, які володіють визначальними властивостями; геометричні перетворення (відбиття від прямої, відбиття від двох прямих, відбиття від точки; подібність фігур і подібне перетворення); алгебраїчні співвідношення в геометричних фігурах, розроблена орієнтовна основа дій — вибір методу і конструювання відповідного прийому.

Б) Стереометричні задачі на побудову Стереометричними задачами називають задачі, в яких ідеться про фігури тривимірного простору. Залежно від вимог, які ставляться в стереометричній задачі, розрізняють задачі на обчислення, на побудову, на доведення і на дослідження.

До стереометричних задач на побудову відносять задачі, у яких вимагається в тривимірному просторі побудувати фігуру з певними властивостями.

Базою для розв’язування стереометричних задач на побудову є розроблена Н.Ф.Четверухіним теорія довільного паралельного проектування, яка дає можливість довільно швидко і просто одержувати правильні і наочні малюнки.

В) Різні підходи стосовно видів стереометричних задач на побудову

Існують різні підходи стосовно видів стереометричних задач на побудову і методики їх розв’язування. Г. П. Бевз (Бевз Г. П. Методика розв’язування стереометричних задач: Посібник для вчителя. — К.: Рад.шк., 1988. — 192 с.) дотримується погляду, що до стереометричних задач на побудову належать задачі на уявлювані побудови, задачі на проекційних малюнках і задачі на моделях (ефективні побудови). Під час розв’язування задач першого типу побудови за допомогою інструментів не виконують, а тільки пояснюють спираючись на аксіоми і наслідки з них, що і в якій послідовності «будують». Приклад задачі на уявлювану побудову. Через точку, яку дано поза прямою, проведіть площину перпендикулярну до цієї прямої.

Задачі на ефективні побудови починають розв’язувати лише тоді, коли учні засвоять основні властивості паралельного проектування (припускається, що напрями прямих і відрізків, про які йдеться в цих властивостях, не збігаються з напрямами проектування):

— проекція прямої є пряма;

— проекція відрізка є відрізок;

— паралельні відрізки на проекції зображуються паралельними відрізками або — - відрізками однієї прямої;

— відношення відрізків однієї прямої чи паралельних прямих зберігається;

— проекція спільної точки двох фігур є спільною точкою їх проекцій.

Основні задачі на побудову розбиті на слідуючі групи.

До першої належить побудова точки перетину прямої з площиною, побудова лінії перетину двох площин і побудова перерізу многогранника площиною.

До другої відносять побудову прямої, що проходить через точку поза даною прямою і паралельна даній:

— побудова прямої, паралельної даній площині;

— побудова площини, паралельної даній;

— побудову площини, яка проходить через одну з даних мимобіжних прямих і паралельна другій з них;

— побудову прямої, яка проходить через дану точку і перетинає дві дані мимобіжні прямі.

До третьої групи належить побудова перпендикуляра до даної площини і побудова площини, перпендикулярної до даної прямої.

Стосовно методики розв’язування задач на побудову, то вона традиційна. Схема розв’язування стереометричних задач на побудову збігається із схемою, введеною в курсі планіметрії, за винятком відмінностей у дослідженні. Л. М. Лоповок (Лоповок Л. М. Методика отбора упражнений по геометрии и обучения их решению / Методика преподавания геометрии в старших классах средней школы. Под ред. А. И. Фетисова. Пособие для учителей. — М.: Просвещение. — 1967. — с.157- 196) вказує види стереометричних задач на побудову: задачі на побудову зображень просторових фігур, основні задачі на побудову, позиційні задачі на побудову і метричні задачі на побудову. Цього погляду дотримуються Г. М. Литвиненко, Собко М. С. Г.І. Саранцев, З. В. Рафаловський, Я.М. Жовнір та ін.

Зображення просторових фігур Зображенням фігури (прообразу) називається будьяка фігура (образ), подібна до паралельної проекції даної фігури на площину. Форма зображення залежить від положення зображуваної фігури щодо площини проекцій, а також від вибору напряму проектування.

Задача зображення фігури вважається розв’язаною, якщо одержано будь-яке зображення фігури, яке вдало, правильно і наочно відображає форму геометричної фігури і співвідношення між її елементами. Для цього у процесі виконання малюнків мають бути реалізовані такі вимоги:

— правильність, яка означає, що існує такий спосіб проектування, при якому зображення фігури подібне до його проекції;

— наочність, яка передбачає, що образ фігури створює саме те враження, що і прообраз;

— простота зображення, яка полягає в тому, що для виконання додаткових побудов не треба користуватися складними допоміжними побудовами;

— повнота, суть якої в тому, що за розміщенням усіх елементів геометричної фігури або її частин на малюнку можна говорити про розміщення цих елементів у просторі (Литвиненко Г. М., Собко М. С. Розв’язування екзаменаційних завдань з математики. Методичний лист. — К.: Рад.шк., 1585 — 128 с.).

Способи побудови зображення фігур ґрунтуються на властивостях паралельного проектування (мається на увазі загальний випадок, коли проектування здійснюється паралельно прямій, яка не паралельна тим прямим чи відрізкам, що проектуються):

— проекція точки є точка;

— проекцією прямої є пряма;

— зберігається паралельність прямих (відрізків);

— відношення довжин відрізків прямої (яка проектується) дорівнює відношенню довжин їх проекцій;

— відношення довжин проекцій двох паралельних відрізків дорівнює відношенню довжин відрізків, які проектуються.

Зображення просторових геометричних фігур досить детально розглянуто як в математичній, так і методичній літературі (Четверухин Н. Ф. Проблема изображения пространственных фигур в условиях педагогического процесса, Владимирский Г. Н. Каким должен быть чертеж преподавателя геометрии, Изаак Д. Ф. Об изображении пространственных фигур // Математика в школе. — 1998. — № 4. — с.66- 81; Гольдберг Я. Е. С чего начинается решение стереометрической задачи: Пособие для учителя. — К.: Рад.шк., 1990 — 118 с.).

До основних задач на побудову відносяться: побудова точки зустрічі прямої з площиною; побудова лінії перетину двох даних площин; побудова перерізу многогранника площиною, яка визначена відповідним способом.

Розглянемо побудову перерізів в многогранниках. Уміння розв’язувати задачі на побудову перерізів є основою вивчення майже усіх тем курсу стереометрії. Основними діями, які складають метод побудови перерізів, є:

— знаходження точки перетину прямої з площиною;

— побудова лінії перетину двох площин;

— побудова прямої, паралельної до площини;

— побудова прямої перпендикулярної до площини;

— метод внутрішнього проектування;

— комбінований метод.

Для формування вмінь володіти вказаними діями, потрібно мати на увазі, що в сукупності вправ повинні бути передбачені всі ситуації застосування перерахованих дій.

Задача на побудову точок перетину двох фігур чи взаємне розміщення їх, називається позиційною. Для розв’язання позиційної задачі потрібне повне зображення. Позиційні задачі зводяться до таких найпростіших: побудови лінії перетину двох площин, точки перетину прямої з площиною.

5. Висновок У процесі вивчення шкільного курсу стереометрії просторові об'єкти доводиться зображати на площині, тобто рисунки просторових фігур. Проте досі в шкільні її практиці немає єдиного, загальноприйнятого підходу и трактуванні цього питання. Більш того, багато вчителів приділяють цьому питанню мало уваги, вважаючи його другорядним. Немає єдиної думки і в питанні про те, що слід розуміти під рисунком просторової фігури, придатним з методичного погляду. Немає загальноприйнятих способів побудови цих рисунків. Внаслідок цього створився такий стан, коли вживані шкільні рисунки многогранників лише в деякій мірі прийнятні, а такі рисунки, як-от круглих тіл і особливо комбінацій круглих тіл з многогранниками, взагалі не можна вважати задовільними.

Питання про зображення просторових тіл на площинні не нове, з ним доводиться мати справу в багатьох дисциплінах як теоретичного, так і практичного характеру.

У кресленні також застосовується метод аксонометрії. Аксонометрією називається певна паралельна проекція оригіналу на одну площину проекцій. Аксонометричні проекції, як правило, дають наочні метрично визначені зображення просторових об'єктів.

В архітектурі і почасти в живопису застосовується метод центрального проектування (перспективи). Перспективні зображення цілком відповідають нашим зоровим уявленням.

Те, що було сказано про метод ортогонального проектування па дві (три) площини проекцій та метод перспективи, є досить переконливим, і думається, що ніхто з учителів не буде відстоювати придатність цих методів при вивченні курсу стереометрії. Щодо методу аксонометрії, то серед учителів він має багато прихильників. Останнім часом у зв’язку з завданням політехнізації шкільного, викладання деякі вчителі висловлюють думки про доцільність застосування методу аксонометрії при вивченні стереометрії. Ці вчителі на захист своїх поглядів наводять такі доводи:

Аксонометричні зображення досить наочні.

Аксонометричні зображення метрично визначені. На таких зображеннях можна безпосередньо лінійкою визначити будь-які розміри зображуваних фігур.

Учнів легко навчити методу аксонометрії. Навчання йтиме паралельно — і на уроках креслення, і на уроках геометрії.

Знання аксонометрії — корисна навичка в системі політехнічної освіти.

Ці доводи досить переконливі, і ніхто не буде їх спростовувати. Проте не менш переконливі й заперечення проти застосування методу аксонометрії при вивченні стереометрії в школі.

А саме побудова аксонометричних зображень потребує значної витрати часу на уроці. Досвід показує, що навіть тоді, коли учні більшменш добре володіють методом аксонометрії, на рисунки середньої складності доводиться витрачати 20—25 хвилин, а то й більше. А це вже зовсім неприпустимо, оскільки рисунки геометричних фігур при викладанні геометрії не можна розглядати як самоціль. Основним все-таки лишається доведення теорем, аналіз, розв’язування і дослідження задач.

З іншого боку, характерна для аксонометричних зображень метрична визначеність при вивченні стереометрії здебільшого не потрібна. Як правило, немає потреби рисувати в учнівських зошитах або на класній дошці фігури, які метрично точно відповідають своїм оригіналам. Навіть у планіметрії ми здебільшого не користуємося метрично точними зображеннями. Ніхто з учителів при розв’язуванні планіметричних задач не вимагає від учнів, щоб вони виконували рисунки, які були б метричними копіями оригіналів. Звичайно такі рисунки лише з певною точністю відповідають своїм оригіналам.

Нарешті, ніхто не відкидає великого значення знань аксонометрії з погляду політехнічного навчання. Але цих знань учні можуть набути на уроках креслення при належній постановці їх.

Оскільки в шкільному курсі стереометрії найважливіше значення мають позиційні задачі на побудову, то ми обмежуємося розглядом лише цих задач; задачі на побудову метричного характеру зовсім не розглядаються.

Розглядаючи спочатку питання по суті, ми методичні вказівки та зауваження свідомо відносимо на кінець, де викладено точку зору з приводу застосування проекційних рисунків в шкільній практиці.

Автор далекий від думки, що його досвід найдосконаліший. Очевидно, є більш вдалі методичні схеми трактування порушених питань.

6. Список використаної літератури

1. Бевз Г. П. Методика розв’язування стереометричних задач: Посібник для вчителя. — К.: Рад.шк., 1988. — 192 с.

2. Четверухин Н. Ф. Проблема изображения пространственных фигур в условиях педагогического процесса, Владимирский Г. Н. Каким должен быть чертеж преподавателя геометрии, Изаак Д. Ф. Об изображении пространственных фигур // Математика в школе. — 1998. — № 4. — с.66- 81; 3. Гольдберг Я. Е. С чего начинается решение стереометрической задачи: Пособие для учителя. — К.: Рад.шк., 1990 — 118 с.

4. Погорелов А. В. Элементарная геометрия. М., 1977, с. 8.

5. Четверухін М.Ф.- Стереометричні задачі на проекційному рисунку. -К.:Радянська школа, 1954.

6. Каплан Я.Л.- Проекційні рисунки в курсі стереометрії. — К.:Радянська школа, 1955.