Дзета-функція Рімана

року міністерство освіти Російської Федерации.

Ставропольський Державний университет.

Кафедра математичного анализа.

Курсова робота на задану тему :

«Дзета-функция Римана».

Виконав: студент 2го курсу ФМФ групи «Б» Симонян Сергей.

Олегович.

Ставрополь, 2004 г.

Функція — одна з головних понять переважають у всіх природничонаукових дисциплінах. Невипадково ще середньої школи діти одержують інтуїтивне уявлення звідси понятті. З шкільних років наш багаж знань поповнюється відомостей про таких функціях як лінійна, квадратична, статечний, показова, тригонометрические та інших. У курсі вищої математики коло відомих функцій значно розширюється. Сюди додаються інтегральні і гіперболічні функції, эйлеровы інтеграли (гамаі бетафункції), тета-функции, функції Якобі і з другие.

Хто ж функція? Точного визначення неї немає. Це поняття в математиці первинним, аксиоматизируется. Проте, під функцією розуміють закон, правило, яким кожному елементу якогось безлічі X ставлять у відповідність чи кілька елементів безлічі Y. Елементи безлічі X називаються аргументами, а безлічі Y — значеннями функції. Якщо кожному аргументу відповідає одне значення, функція називається однозначної, якщо більше — то багатозначній. Синонімом функції є термін «відображення». У найпростішому разі безліч X то, можливо підмножиною поля дійсних R чи комплексних З чисел. Тоді функція називається числової. Нам зустрічатимуться лише отображения.

Функції може бути задано багатьма у різний спосіб: словесним, графічним, з допомогою формули. Функція, що її розглядатимемо в цієї роботи, ставиться через нескінченний ряд. Але, попри таке нестандартне визначення, зі свого уявленню у вигляді ряду вони можуть бути добре вивчена методами теорії лав і плідно застосована до різним теоретичним і прикладним питанням математики суміжних із нею наук.

Звісно ж, йдеться про знаменитої дзета-функции Рімана, має щонайширші застосування теоретично чисел. Вперше і запровадив їх у науку великий швейцарський математик і механік Леонард Эйлер і одержав її багато її властивості. Далі активно займався вивченням дзета-функции німецький математик Бернгард Ріман. Робота із вшанування нього отримала своє назва, оскільки він опублікував кілька виключно видатних робіт, присвячених цієї функції. Вони він поширив дзета-функцию галузь комплексних чисел, знайшов її аналітичне продовження, досліджував кількість простих чисел, менших заданого числа, дав точну формулу перебування цього числа з участю функції [pic] й заявив про свою гіпотезу про нулях дзета-функции, над доказом чи спростуванням якої безрезультатно б’ються кращі уми людства стоїть вже майже 150 лет.

Науковий загал вважала, і вважає розв’язання проблеми однієї з пріоритетних завдань. Так Давид Гільберт, що виступав Міжнародної Паризької математичної конференції 1900 року із підбиттям підсумків розвитку науку й розглядом планів у майбутнє, включив гіпотезу Рімана в список 23 проблем, які підлягають рішенню нового століття і здібних просунути науку далеко вперед. На межі століть, 2000 року американський The Clay Mathematics Institute назвав сім завдань, за рішення кожної з яких виплачений 1 мільйон доларів. До числа також потрапила гіпотеза Римана.

Отже, навіть б поверхове ознайомлення з дзета-функцией буде і цікавим, і полезным.

Глава 1.

Отже, приступимо до вивчення цій важливій і цікавою дзета-функции Рімана. У цьому главі ми матимемо деякі властивості функції в речовинної області, з її визначення з допомогою ряда.

Визначення. Дзета-функцией Рімана ?(p.s) називають функцію, яка кожному дійсному числу p. s ставить за відповідність суму ряда.

[pic].

(1) якщо вона существует.

Основний характеристикою будь-який функції є область визначення. Знайдемо її нашій функции.

Нехай спочатку s?0, тоді s=-t, де t належить безлічі неотрицательных дійсних чисел R+[pic]{0}. І тут [pic] і кілька (1) звертається до ряд [pic], який, очевидно, розходиться як із t>0, так і за t=0. Тобто значення s?0 не входить у область визначення функции.

Тепер нехай s>0. Для дослідження збіжності низки (1) скористаємося інтегральним ознакою Коші. При кожному p. s розглянемо функцію [pic], де [pic], що є на проміжку безупинної, позитивної і монотонно убутній. Виникає три різних возможности:

1) 01. Перепишемо ряд (1) як [pic]. Як було понад показано, ряд [pic] сходиться, а функції [pic] при s>s0 монотонно убуває і усе разом обмежені одиницею. Отже, за ознакою Абеля для s>s0 ряд (1) сходиться рівномірно. Використовуючи теорему безперервністю суми функціонального низки, отримуємо, що у будь-яку точці s>s0 дзета-функция безупинна. Через довільності s0 ?(p.s) безупинна на області определения.

Тепер почленным дифференцированием низки (1), поки формально, знайдемо похідну дзета-функции Римана:

[pic].

(2). Аби виправдатися за цей результат, досить переконатися у тому, що кілька (2) рівномірно говорять про проміжку [pic] й скористатися теоремою про дифференцировании рядів. Використовуємо хоча б прийом. Зафіксуємо будь-яке s0>1 і уявімо ряд (2) як [pic] для s>s0. Множники [pic], починаючи з n=2, монотонно убувають, залишаючись обмеженими числом ln 2. Тож за ознакою Абеля ряд (2) сходиться рівномірно при s>s0, отже, і незалежно від s>1. Яке б значення s>1 ні взяти може бути укласти між [pic] і [pic], де [pic], а [pic]; до проміжку [pic] застосовна вищевказана теорема.

Так само шляхом можна переконатися у існуванні для дзета-функции похідних всіх порядків й одержати їх висловлювання на вигляді рядов:

[pic].

Спробуємо побудувати наочне зображення функції у вигляді графіки. Для цього вивчимо спочатку її поведінка на нескінченності та на околиці точки s=1.

У першому випадку, через рівномірної збіжності низки (1), по теоремі про почленном перехід до межі, маємо [pic]. При n=1 межа дорівнює одиниці, інші межі рівні нулю. Тому [pic].

Щоб досліджувати випадок [pic], доведемо деякі допоміжні оценки.

По-перше, відомо, що й для низки [pic] існує безперервна, позитивна, монотонно убутна функція [pic], певна на безлічі [pic], така, що [pic], і має первообразную [pic], то залишок низки оцінюється так: [pic], де [pic]. Застосовуючи вищесказане до низки (1), знайдемо, що необхідна функція [pic], а [pic] і [pic]. Звідси, підставляючи в подвійне нерівність, имеем.

[pic] (3). У лівому нерівності між іншим n=0, тоді [pic], тобто [pic]. У правом ж візьмемо n=1 й одержимо [pic], далі [pic], [pic] і, нарешті, [pic]. Переходячи в неравенствах [pic] до межі при [pic], знаходимо [pic].

Звідси, зокрема, слід, що [pic]. Справді, між іншим [pic]. Тоді [pic], тобто [pic] [pic]. Тому [pic]. З те, що [pic], а [pic], випливає доказуване утверждение.

Можна, проте, отримати ще більше точний результат з метою оцінки поведінки дзета-функции на околиці одиниці, ніж приведені вище, приналежний Дирихле. Будемо відштовхуватися від очевидного при довільному n рівності [pic]. Додамо всім частинам нерівностей (3) суму [pic] і віднімемо [pic]. Маємо [pic]. Нехай тут p. s прагне одиниці. За правилом Лопиталя легко обчислити [pic] і [pic]. Ми не знаємо, може бути межа висловлювання [pic] при [pic], тому, скориставшись найбільшим і найменшим межами, напишемо нерівності так: [pic] [pic]. Через довільності n візьмемо [pic]. Перше й останнє висловлювання прагнуть эйлеровой постійної З (C[pic]0,577). Отже [pic], а, отже, є і звичайний межа і [pic].

Знайдені вище межі дозволяють отримати лише приблизне уявлення про вигляді графіка дзета-функции. Сьогодні ми виведемо формулу, яка можна буде завдати на координатну площину конкретні точки, саме, визначимо значення [pic], де k — натуральне число.

Візьмемо відоме розкладання [pic], де [pic] - знамениті числа Бернуллі (власне, нього ці числа і визначаються). Перенесём складова [pic] у ліві частина рівності. Зліва отримуємо [pic] [pic]cth[pic], а правій частині - [pic], тобто [pic]cth[pic]. Замінюємо [pic] на [pic], отримуємо [pic]cth[pic].

З іншого боку, існує рівність cth[pic], з яких [pic]cth[pic]. Підстановкою [pic] замість [pic] знаходимо [pic]cth[pic] [pic]. Якщо [pic], то тут для будь-якого [pic]N [pic] [pic] і з теоремі про складання нескінченного безлічі статечних рядів [pic]cth[pic] [pic].

Прирівняємо отримані розкладання: [pic] [pic], отже [pic]. Звідси негайно слід бажана формула.

[pic].

(4), де [pic] - k-е число Бернуллі. Вона зручна тим, що це числа добре вивчені і їх складено великі таблицы.

Тепер, з отриманих результатів, можна побудувати ескіз графіка дзета-функции Рімана, досить добре який відбиває її поведінка на й усієї області определения.

[pic].

Леонард Эйлер, вперше рассмотревший дзета-функцию, отримав чудове розкладання їх у нескінченне твір, яке теж сприймають як определение:

[pic], де pi — i-е просте число.

(4).

Доведемо тотожність низки (1) і твори (4). Згадавши формулу суми геометричній прогресії, отримуємо рівність [pic] [pic] Якщо перемножити кінцеве число таких рядів, відповідальних всім простим числам, не переважаючим заданого натурального числа N, то отриманий часткове твір виявиться рівним [pic], де символ * означає, що підсумовування поширюється не так на все натуральні числа, а лише на їх (беручи до уваги одиниці), які у своєму розкладанні утримують тільки прості числа менші N. Оскільки перші N натуральних чисел цією властивістю мають, то.

[pic].

(5). Сума [pic] містить в повному обсязі числа, великі N+1, тому, очевидно, [pic]. З (5) получаем.

[pic] (6). Через збіжності низки (1), вираз справа, що представляє його залишок після N-го члена, котиться до нуля при N хто прагне до нескінченності, а [pic] є твором (4). Отже з нерівності при [pic] [pic], як і вимагалося доказать.

Формула (4) важлива вона пов’язує натуральний ряд, представлений безліччю значень аргументу дзета-функции, з безліччю простих чисел. Ще крок у цьому напрямі ми зробимо, оцінивши [pic], а саме показавши, що [pic], де [pic] залишається обмеженим при [pic].

З (4) слід, що [pic], де [pic]N, а [pic] при [pic]. Візьмемо логарифм від обох частин рівності, тоді [pic] [pic]. Натуральні логарифми під знаком суми розкладаються до кількох: [pic] [pic]. Підставивши отримані розкладання в рівність і спрямувавши N до нескінченності, маємо [pic]. Залишається довести обмеженість останнього доданка. Зрозуміло, що [pic]. Останнє рівність справедливо, оскільки [pic] [pic]. Далі, очевидно, [pic], як і завершує доказательство.

У цьому закінчимо виклад властивостей дзета-функции Рімана для дійсного аргументу, оскільки найбільший теоретичний і прикладної інтерес представляє випадок викладений на другий главе.

Глава 2.

Усі результати першого розділу, що стосуються дзета-функции Рімана, були одержані припущенні, що її аргумент p. s — дійсне число. Проте, найвидатніші дослідження та численні важливі докладання стали можливі лише після включення до область визначення функції комплексних чисел. Вперше розглянув дзета-функцию як функцію мнимого аргументу німецький математик Бернгард Ріман, котрий вивчив її властивості і дуже застосовувала їх у теорії чисел. Робота із вшанування нього функція отримала своє название.

Для комплексної дзета-функции залишається у силі визначення, дану у главі 1, із тією лише зміною, що тепер там [pic]C. Виникає необхідність знайти нову область визначення. Для цього він доведемо таке твердження: в напівплощини [pic] ([pic] справжня частина числа x) ряд.

[pic].

(1) сходиться абсолютно.

Нехай [pic]. Підрахуємо абсолютні величини членів низки (1), [pic]. Перший множник містить лише речові числа і [pic], оскільки [pic]. До другої ж множнику застосуємо знамениту формулу Эйлера, одержимо [pic][pic]. Отже, [pic]. Через збіжності низки [pic] при ?>1, маємо абсолютну відповідність низки (1).

На своїй сфері визначення дзета-функция аналитична. Справді, при усякому q>0 і фіксованому ?>1+q, числової ряд [pic] мажорирует декотрі з абсолютних величин [pic], де [pic], звідки, по теоремі Вейерштрасса, слід рівномірна відповідність низки в напівплощини [pic]. І сума рівномірно сходящегося багатьох з аналітичних функцій сама є аналітичної функцией.

Неважко показати, що це отримані для дзета-функции формули без змін переносяться у разі комплексного аргументу. Докази перетерплюють незначні перетворення, пов’язані переходити до абсолютним величинам.

У зв’язку з цим зауваженням стає можливим використовувати розкладання дзета-функции у твір [pic], де p. s тепер будь-яке комплексне число, таке, що [pic]. Застосуємо його до доведенню відсутності в функції [pic] корней.

Оцінимо величину [pic], використовуючи властивість модуля [pic]: [pic], де як зазвичай [pic]. Оскільки [pic], то [pic], а [pic], отже, дзетафункція в нуль не обращается.

Питання нулях дзета-функции, і навіть інші прикладні питання отримують нові широкі змогу дослідження, якщо поширити її протягом усього комплексну площину. Тому, тепер ми однією з багатьох можливих способів знайдемо аналітичне продовження дзета-функции і виведемо її функціональне рівняння, характеризує і однозначно що б [pic].

І тому нам знадобиться формула.

[pic] (2), яка виводиться так. Використовуючи властивості з дитинства інтегралів можна записати [pic]. Для будь-якого d при [pic] [pic], отже [pic] і [pic], а [pic]. [pic]. Отже, [pic] [pic] [pic][pic][pic]. Інтеграл [pic] можна знайти інтегруванням частинами, приймаючи [pic], [pic]; тоді [pic], а [pic]. Через війну [pic] [pic]. Віднімемо від цього інтеграла попередній й одержимо [pic], звідси легко слід рівність (2).

Тепер між іншим в (2) [pic], [pic], a і b — цілі позитивні числа. Тоді [pic] [pic]. Нехай спочатку [pic], приймемо a=1, а b устремим до нескінченності. Одержимо [pic]. Додамо по одиниці обидві частини равенств:

[pic].

(3).

Вислів [pic] є обмеженим, оскільки [pic], а функція [pic] абсолютно интегрируема на проміжку [pic] при [pic], тобто за [pic], [pic]. Отже, інтеграл [pic] абсолютно сходиться при [pic], причому рівномірно у будь-якій кінцевої області, що у комплексної площині справа від прямий [pic]. Цим він поєднує визначає аналітичну функцію перемінної p. s, регулярну при [pic]. Тому права частина рівності (3) представляє собою аналітичне продовження дзета-функции на полуплоскость [pic] і має лише одне просте полюс у точці [pic] якщо вирахувати оплату, рівним единице.

Для [pic] можна перетворити вираз (3) дзета-функции. При [pic] маємо [pic], отже, [pic] и[pic]. Тепер при [pic] (3) то, можливо записано як [pic].

Трохи складнішими міркуваннями можна встановити, що у дійсності (3) дає аналітичне продовження дзета-функции на полуплоскость [pic]. Поклавши [pic], а [pic], тобто [pic] первообразная для [pic]. [pic] обмежена, оскільки [pic], а інтеграл [pic] [pic] і [pic] [pic] обмежений тому, що [pic]. Розглянемо інтеграл [pic] при x1>x2 і [pic]. Проинтегрируем його за частинам, прийнявши [pic], [pic], тоді [pic], а за вказаною вище утвердженню [pic]. Отримуємо [pic] [pic]. Візьмемо [pic], а [pic]. Маємо [pic], [pic], оскільки [pic] обмежена функцією. Значит,.

[pic].

(4).

Користуючись абсолютної сходимостью інтеграла [pic], якщо [pic], і обмеженістю функції [pic], бачимо, що у лівої частини рівності (4) інтеграл теж сходиться при [pic]. Отже формулою (3) можна продовжити дзета-функцию і полуплоскость правіше прямий [pic].

Неважко встановити, що з негативних [pic] [pic], тому з (3) имеем.

[pic].

(5) при [pic].

З теорії рядів Фур'є відомо, що з нецелых значень x справедливо розкладання в ряд.

[pic].

(6).

Подставим їх у рівність (5) і проинтегрируем ряд почленно: [pic]. Зробимо в отриманому интеграле підстановку [pic], це означає [pic], а [pic], й одержимо далі [pic]. Відомо, що [pic] [pic], отже [pic] [pic]. З відомого співвідношення для гамма-функции [pic], за такою формулою доповнення [pic], отже [pic] [pic].

Отже, ми маємо функціональне рівняння дзета-функции Римана.

[pic].

(7), що саме собою може бути засобом вивчення цієї функції, оскільки цілком характеризує її, тому, будь-яка інша функція [pic], яка задовольнить рівності (7), і навіть ще деяким природним умовам, тотожна з [pic].

Поки, щоправда, як випливає з міркувань, ми довели формулу (7) для [pic]. Проте права частину акцій цього рівності є аналітичної функцією p. s і за [pic]. Це свідчить, що дзета-функция то, можливо аналітично продовжено протягом усього комплексну площину, причому немає у ньому ніяких особливостей, крім згадуваного полюси при [pic].

Щоб доказ було суворим, ми повинні ще обгрунтувати почленное інтегрування. Оскільки ряд (6) сходиться майже усюди, і його часткові суми залишаються обмеженими, почленное інтегрування будь-якою кінцевому відрізку припустимо. Через [pic] [pic] нічого для будь-якого [pic], залишається довести, що [pic] [pic] при [pic]. Але інтегруючи внутрішній інтеграл частинами маємо [pic] [pic]. Звідси легко виходить наше утверждение.

Функціональне рівняння дзета-функции (7) то, можливо записано багатьма способами. Наприклад, замінимо p. s на 1-s, отримуємо равносильное равенство.

[pic].

(8). З нього можна отримати два невеликих следствия.

Підставимо в (8) замість p. s число 2m, де m — натуральне число. Маємо [pic]. За формулою (4) першого розділу [pic] [pic], а [pic], тому [pic] і виготовивши у правій частині все скорочення, враховуючи, що [pic], одержимо [pic].

Покажемо ще, що [pic]. І тому прологарифмируем рівність (8): [pic] [pic] і результати продифференцируем [pic] [pic]. У околиці точки s=1 [pic], [pic] [pic], [pic], де З — стала Эйлера, а k — довільна стала. Отже, спрямовуючи p. s до одиниці, одержимо [pic], тобто [pic]. Знову з формули (4) глави 1 при k=0 [pic], отже, справді, [pic].

Глава 3.

Як було зазначено, дзета-функция Рімана широко застосовується у математичному аналізі. Проте особливо повно важливість її виявляється в теорії чисел, де надає неоціненну допомогу у вивченні розподілу простих чисел в натуральному ряду. На жаль, оповідання про серйозних і нетривіальних цілях дзета-функции Рімана за межі цієї роботи. Та й щоб хоча трохи уявити міць цієї функції, доведемо з її допомогою кілька цікавих утверждений.

Наприклад, відомо, що простих чисел нескінченно багато. Найстрашніше знамените елементарне доказ належить Евклиду. Вона полягає в наступному. Припустимо, що є кінцеве число простих чисел, позначимо їх p1, p2, …, pn. Розглянемо число p1p2… pn+1, він ділиться ні одне з і не збігається ні одним із них, тобто є простим числом, відмінними від вищевказаних, що суперечить припущенню. Отже, кількість простих чисел може бути конечным.

Інше доказ цього факту, що використовує дзета-функцию, було дано Эйлером. Розглянемо дану у першому розділі рівність (5) при s=1, одержимо [pic], звідси [pic] і через расходимости гармонійного низки, маємо при [pic].

[pic].

(1). Якби кількість простих чисел було кінцевим, те й те твір мало кінцеве значення. Проте, отриманий результат свідчить про інше. Доказ завершено.

Тепер перепишемо (1) як [pic]. Маючи теорему про збіжності нескінченного твори, з расходимости попереднього бачимо, що ряд [pic] розходиться. Цю пропозицію дає деяку характеристику зростання простих чисел. Підкреслимо, що набагато сильніше твердження про расходимости гармонійного низки, оскільки тут йде лише частину його членів, тим більше в натуральному ряді є як завгодно довгі проміжки без простих чисел, наприклад: [pic], [pic], …, [pic].

Попри свою простоту приведені вище пропозиції важливі в концептуальному плані, оскільки вони починають низку досліджень дедалі більше і глибших властивостей низки простих чисел, що триває по цей день. Спочатку, основна мета вивчення дзета-функции таки було дослідження функції [pic], тобто кількості простих чисел не переважаючих x. Як приклад формули, яка зв’язує [pic] і [pic], ми зараз одержимо равенство.

[pic].

(2).

Спочатку скористаємося розкладанням дзета-функции у твір: [pic]. З логарифмічного низки [pic], враховуючи, що [pic], дійшли ряду [pic] [pic]. Отже, [pic].

Тепер обчислимо інтеграл у правій частині (2). Бо за [pic] [pic], то [pic]. У внутрішньому интеграле між іншим [pic], тоді [pic] і [pic], звідси [pic]. В проміжку інтегрування [pic], тому вірно розкладання [pic] і [pic] [pic]. Отримуємо [pic] [pic]. Тепер [pic] [pic] [pic]. Якщо порівняти отримане значення інтеграла із низкою для [pic], то побачимо, що вони тотожні і рівність (2) доказано.

Використовуємо формулу (2) як доказ однієї дуже серйозної і важливою теореми, саме одержимо асимптотический закон розподілу простих чисел, тобто покажемо, що [pic].

Як історична довідка відзначу, що великий німецький математик Карл Фрідріх Гаусс емпірично встановив цю закономірність ще 15-річному віці, коли йому подарували збірник математичних таблиць, у якому таблицю простих чисел і таблицю натуральних логарифмов.

Аби довести візьмемо формулу (2) і спробуємо дозволити це рівняння щодо [pic], тобто звернути інтеграл. Зробимо це з допомогою формули звернення Меллина так. Нехай [pic] [pic]. Тогда.

[pic].

(3). Цей інтеграл має потрібну форму, а [pic] вплине на асимптотику [pic]. Справді, оскільки [pic], інтеграл для [pic] сходиться рівномірно в напівплощини [pic], що легко можна знайти порівнянням з інтегралом [pic]. Отже, [pic] регулярна і обмежена в напівплощини [pic]. Це ж справедливе й щодо [pic], так як [pic] [pic].

Ми б вже застосувати формулу Меллина, але було дуже важко виконати інтегрування. Тож перш перетворимо рівність (3) так. Дифференцируя по p. s, отримуємо [pic]. Означимо ліву частина через [pic] і між іншим [pic], [pic], ([pic], [pic] і [pic] вважаємо рівними нулю при [pic]). Тоді, інтегруючи частинами, знаходимо [pic] при [pic], чи [pic].

Але [pic] безупинна і має обмежену варіацію будь-якою кінцевому інтервалі, бо як [pic], то [pic] ([pic]) і [pic] ([pic]). Отже, [pic] абсолютно интегрируема на [pic] при [pic]. Тому [pic] при [pic], чи [pic] при [pic]. Інтеграл у правій частині абсолютно сходиться, оскільки [pic] обмежене при [pic], поза деякою околиці точки [pic]. У околиці [pic] [pic] і можна покласти [pic], де [pic] обмежене при [pic], [pic] і має логарифмический порядок при [pic]. Далі, [pic] [pic]. Перший член дорівнює сумі відрахувань особливих точках, розташованих зліва прямий [pic], тобто [pic]. У другому члені можна покласти [pic], оскільки [pic] має за [pic] лише логарифмічну особливість. Отже, [pic]. Останній інтеграл котиться до нуля при [pic]. Значит,.

[pic].

(4). Для переходу назад до [pic], використовуємо таку лемму.

Нехай [pic] позитивна і убуває і нехай при [pic] [pic]. Тоді [pic].

Справді, якщо [pic] - дане позитивне число, то [pic] [pic] ([pic]). Звідси отримуємо нічого для будь-якого [pic] [pic] [pic]. Та оскільки [pic] не убуває, то [pic]. Отже, [pic]. Вважаючи, наприклад, [pic], отримуємо [pic].

Аналогічно, розглядаючи [pic], отримуємо [pic], отже [pic], як і вимагалося доказать.

Застосовуючи лемму, з (4) маємо, що [pic], [pic], тому [pic] і теорема доказана.

Для ознайомлення з глибшими результатами теорії дзета-функции Рімана можу відіслати зацікавленого читача до прилагаемому списку використаної литературы.

Список використаної литературы.

1. Титчмарш Є. К. Теорія дзета-функции Рімана. Череповец, 2000 г.

2. Фихтенгольц Г. М. Курс диференціального і інтегрального обчислення, тому II. М., 1970 г.

3. Привалов І.І. Введення у теорію функцій комплексного переменного.

М., 1999 г.

4. Айерленд До., Роузен М. Класичне введення у сучасну теорію чисел. М., 1987 г.

5. Шафаревич З. А. Теорія чисел. М., 1986 г.