Производная і його використання у алгебрі, геометрії, физике

Гімназія № 1 міста Полярні Зори.

Алгебра, геометрія, физика.

Наукова работа.

ТЕМА «ПОХІДНА І ЇЇ ЗАСТОСУВАННЯ У АЛГЕБРІ, ГЕОМЕТРІЇ, ФИЗИКЕ».

Руководители:

Полуектова Наталя Павлівна, викладач алгебри, геометрии.

Конкин Олександр Миколайович, викладач фізики, астрономии.

Автор:

Бірюков Павло Вячеславович.

Полярні Зори.

Січень-травень 2001 г.

СОДЕРЖАНИЕ Производная функція: …3 1. Похідна функція …3 2. Дотична до кривою …5 3. Геометричний сенс похідною …6 4. Залежність між дифференцируемостью і безперервністю функції …7 Похідні від елементарних функцій: …8 1. Похідна постійної …8 2. Таблиця елементарних похідних …8 3. Правила диференціювання …8 Вивчення функцій з допомогою похідною: …9 1. Ознаки сталості, зростання і зменшення функцій …9 2. Завдання на пошук найбільших і найменших значень величин …11 3. Максимум і мінімум функції …12 4. Ознаки існування экстремума …12 5. Правило перебування экстремума …14 6. Перебування экстремума з допомогою другий похідною …14 7. Напрям увігнутості кривою …16 8. Крапки перегину …17 9. Механічне значення другий похідною …18 Диференціал: …19 1. Порівняння нескінченно малих …19 2. Диференціал функції …19 3. Диференціал аргументу. Похідна як ставлення диференціалів …21 4. Додатка поняття диференціала до наближеним обчисленням …22 Приклади застосування похідною в алгебрі, геометрії і фізиці …23 Список літератури …34 Рецензія працювати …35.

Похідна функция Поставим своїм завданням визначити швидкість, з якою змінюється величина у залежно через зміну величини x. Оскільки нас цікавлять різноманітні випадки, то не будемо надавати певного фізичного сенсу залежності y=f (x), тобто. розглядатимемо величини x і в як математичні. Розглянемо функцію y=f (x), безперервну на відрізку [а, b]. Візьмемо два числа у цьому відрізку: x і х+?x; перше, x, під час всього міркування вважаємо незмінним, ?x — його збільшенням. Прирощення? x; аргументу обумовлює прирощення? у функції, причем:

?y=f (x+?x)-f (x). (I) Знайдемо ставлення збільшення ?у функції до збільшенню ?x аргумента:

?у/?x=(f (x+?x)-f (x))/ ?x.

(II) По попередньому, цей показник є середню швидкість зміни у щодо x на відрізку [x, x+?x]. Будемо тепер необмежено наближати? x нанівець. Для безупинної функції f (x) прагнення? x нанівець викликає прагнення нулю? у, ставлення (II) стає у своїй ставленням нескінченно малих, взагалі величиною перемінної. Нехай це змінне ставлення (II) має цілком певний предел (утверждать, що це певне межа відносини ?x/?у завжди існує не можна), позначимо його символом f «(х).

(III).

С фізичної погляду цю межу є значення швидкості зміни функції f (x) щодо неї аргументу при даному значенні x цього аргументу. У аналізі цю межу називають похідною даної функції в точці x. Визначення. Похідною даної функції в точки x називається межа відносини збільшення цієї функції до збільшенню аргументу у точці x, коли прирощення аргументу котиться до нуля. 2°. Нехай кожному значенням аргументу x відповідає певне значення швидкості зміни функції f (x). Тоді швидкість f «(x) є нова функція аргументу x, вона називається похідною функцією від даної функції f (x). Наприклад, похідна функція від квадратної функції Q=bt+at2 є лінійна функція Q «= b + 2at. 3°. Похідна функція позначається так: 1) в даної функції ставиться штрих тому місці, де зазвичай поміщається показник ступеня, чи 2) перед позначенням даної функції ставиться символ d/dx.

Если дана функція позначена буквою у, що його похідна то, можливо позначена: 1) у ", читати: «похідна функції у», чи 2) dy/dx, читати: «де ігрек по де ікс». Якщо ця функція позначена символом f (x), що його похідна може бути позначена: 1) f «(x), читати: «похідна функції f (x)», або ж 2) df (x)/dx, читати: «де еф від ікс по де ікс». 4°. Перебування похідною від даної функції називається дифференцированием даної функції. Загальне правило диференціювання (перебування похідною) таке: 1) знайти прирощення? y функції, т. е. різницю значень функції при значеннях аргументу x + ?x і x; 2) знайти ставлення? y/?x, при цьому отримане вище рівність розділити на? x; 3) знайти межа відносини ?y/?x при? x >0. Приклад. Знайти похідну функції у = х3 + 1 у будь-якій точці x. Рішення. 1) ?y = (x + ?x)3 + 1 — (х3 + 1). По виконанні дій: ?y = Зx2*?x+Зx*?x 2+?x 3; 2) ?y/?x=3×2 + Зx*?x+?x 2; 3) dy/dx = lim (3×2+3x*?x+?x 2 = 3×2+3x*0+0 = 3×2.

?x>0 5°. Зауважимо, що похідна лінійної функції у= =kx+b є величина стала, рівна k. Справді, для лінійної функції y = kx+b ?у = k*?x; ?y/?x=k;

6°. Похідні часто зустрічаються у техніці і природознавстві. Приклади похідних: 1) на своєму шляху тіла пройдений шлях p. s є функція від часу t швидкість руху на цей час часу t є похідна від шляху p. s за часом t, т. е. v=ds/dt; 2) при обертальному русі твердого тіла (наприклад, маховика) (чорт) вoкруг осі Ой, кут повороту його? є функція часу t:

?=f (t); кутова швидкість (омега) в момент часу t є похідна від кута повороту за часом, т. е.

?=d?/dt; 3) при охолодженні тіла температура Т тіла є функція часу t,.

T=f (t); швидкість охолодження в останній момент часу t є похідна від температури Т у часі з, т. е. dT/dt; 4) теплоємність З для даної температури t є похідна кількості теплоти Q по температурі t,.

C=dQ/dt; 5) при нагріванні стрижня його подовження? l, як свідчать ретельні досліди, лише наближено вважатимуться пропорційним зміни температури Дt. Тому функція l=f (t) не лінійної, а ставлення? l/?t лише середнім коефіцієнтом лінійного розширення відрізку [t, t+Дt]. Коефіцієнт лінійного розширення, а при даному значенні температури t є похідна від довжини l по температурі t,.

?=dl/dt.

Дотична до кривой.

1°. Візьмемо на прямий АВ (чорт) точку З повагою та проведемо неї пряму РМ, не збігається з АВ. Уявімо, що пряма РМ обертається навколо точки З отже кут? між прямими котиться до нуля. Нерухома пряма АВ називається у разі граничним становищем рухомий прямий РМ. 2°, Уявімо, що у кривою АВ (чорт. 93) точка М необмежено наближається до нерухомій точці З, секанс РМ у своїй обертається навколо точки З. Може статися, що, незалежно від цього, було б точка М наближатися до З у бік від A до З чи то з У до З (на чорт точка M "), існує сама й той самий пряма СП — граничне становище січною РМ. Визначення. Пряма СП, граничне становище січною РМ, називається дотичній до кривою у точці З. Крапка З називається точкою доторку чи торкання. 3°. Слідство. Кут? (чорт.), утвореним дотичній СП з віссю Ой, є межа кута ?, утвореного з віссю Ой січною РМ, на яку дана дотична служить граничним становищем. Справді, кут? між дотичній СП і січною РМ дорівнює різниці? — ?:

? —? = ?. За визначенням дотичній, кут? — нескінченно мала величина, а поэтому.

? — lim?. (I) 4°. Теорему. Якщо до лінії y=f (x) у точці x є дотична, непараллельная Зу, то кутовий коефіцієнт дотичній дорівнює значенням похідною f «(x), у точці x. Доказ. Кутовий коефіцієнт дотичній: tg? = tg (lim?), оскільки, за попереднім,? = lim?.

Исключая випадок? = ?/2, з безперервності тангенса маємо: tg (lim?) = lim tg?. Тому tg? = lim tg?. За формулою (VI) для РМ (чорт.) маємо: tg?=(f (x+?x) -f (x))/?x Переходячи до межі при? x>0 (точка М при? x> 0 необмежено наближається до З, а кут ?>?), имеем:

Отже, (IV).

Геометричний сенс производной.

1°. Справедлива зворотна теорема, якою виражено геометричний сенс похідною: якщо функція y=f (x) має певну похідну у точці x, то: 1) у цій точці є дотична до графіка функції, 2) кутовий коефіцієнт її дорівнює значенням похідною f «(x) у точці x. Д про до, а із, а т е л т з тонн на про. За умовою, існує межа відносини ?y/?x. Але яке це? у/?x є тангенс кута січною РМ (черт.).

?y/?x=tgx (1) Отже, відповідно до умові, существует Из рівності (1) следует:

?=arctg (?y/?x). У результаті безперервності арктангенса, имеем:

Но, за умовою, є і дорівнює числу f «(x). Поэтому Полагая arctg f «(x)=?, получаем:

Следовательно, існує межа ?. Отже, є прямий, що відбувається через точку З, кут якої з Ой дорівнює Така пряма є дотична у цій точці С[х, f (x)] і його угловой коэффициент tg? = f «(x). 2°. Зауваження. 1. Кутовий коефіцієнт k прямий y=kx+b називається нахилом прямий до осі Ой. Нахилом кривою y=f (x) у точці (х1, у1) називається кутовий коефіцієнт дотичній до кривою, він дорівнює значенням похідною в цієї точці, т. е. tg? = f «(х1). 2. Якщо дотична у точці (х1, y1) кривою y=f (x) утворює з Ой: а) гострий кут ?, то похідна f «(x)>0, оскільки tg? >0 (чорт.); б) тупий кут ?, то похідна f «(х1)0.

lim f (c — ?x) = f© і lim f (c + ?x) = f©. — ?x>0 + ?x>0.

Y.

X.

C.

2?

m.

f (c-?x).

-?x.

+?x.

f©.

f (c+?x).

lim (?y/?x)>0.

?x>0.

f ''(з) = lim ((f'(c + ?x)-f '(c))/?x)>0.

?x>0.

Y.

X.

a.

b.

c.

M1.

M2.

M3.

M4.

M5.

X.

Y.

?5.

?1.

?2.

?3.

?4.

T.

T.

N.

M.

P.

lim (?/?) = lim (1+x) =2. х>1.

lim ((1-cosx)/x) = lim ((2sin2(x/2))/x) = lim ((sin (x/2))*sin (x/2)/(x/2))= x>0 x>0 x/2>0 =lim ((sin (x/2))/(x/2))*lim (sin (x/2)) = 1*0 = 0 x/2>0 x/2>0.

dy=f «(x)*?x.

P.

?x.

x.

M.

N.

Q.

T.

X.

Y.

lim ((?y-dy)/ ?x) = lim? = 0. ?x > 0? x > 0.

lim ((?y—z)/ ?x) = 0? x>0.

lim ((?y-k*?x)/ ?x) = lim (?y/?x—k) = lim (?y/?x)—limk = y'—k=0,.

?x > 0.

?x > 0? x > 0.

dy = f '(x)*dx,.

?y? dy =f «(х)?x.

f (x+?x)? f (x) + f «(x)* ?x.

y.

B.

A.

x.

A.

B.

D.

P.

A1.

C.

K.

L.

S.

M.

N.

O.

D1.

C1.

B1.

A1.

C1.

C.

A.

O.

S.

D.

C.

B.

A.

24-x.

L.

P.

x.

K.

A.

B.

C.

K.

M.

H.

E.

T.

F.

A.

B.

M.

F.

C.

K.

P.

O.

K.

A.

T.

P.

C.

D.

L.

N.

M.

A.

S.

B.

C.

L.

O.

M.

N.

D.

P.

O1.

K.

F.

S.

D.

C.

L.

B.

M.

A.

N.

O.

K.

h.

x.

E.

H/6.

x.

a/b.

2a/b.

3a/b.

3a/b.

2a/b.

a/b.

r.

U.

F.

r.

O.

H2.

H1.

H.

B.

n.

m.

n.

R.

E.

mE.

n.

R.

mr.

mE.

mr/n.

R.

=>

=>

(.

М.

F.