Оцінка порогу перколяції

Визначення перколяційного порогу

Будемо називати випадковим пробігом впорядковану неперервну послідовність з n кроків впродовж зв’язків від одного вузла до найближчого сусіднього. Пробіг називають пробігом без самоперетинань, якщо кожен вузол проходиться лише один раз.

Константа зв’язаності м описує топологічні властивості ґратки і визначається як.

(7).

де c_n — число шляхів пробігу без самоперетинань, що починаються на даному вузлі. Константа зв’язаності, відома також як ліміт пробігів, є мірою зв’язаності ґратки, тобто характеризує ступінь її пересічності.

Розглянемо всі шляхи довжиною n випадкового пробігу без самоперетинань від даного вузла. Кожен шлях може бути продовжений на один крок z-1 способами. Таким чином, шляхів з n+1 кроків в z-1 разів більше ніж шляхів з n кроків. Звідси м? z-1 [8].

Проста і точна оцінка порога протікання може бути отримана із необхідної умови для перколяції, щоб середнє число незаблокованих шляхів випадкових пробігів без самоперетинань довжини n мⁿpⁿ залишалось скінченним для недуже великих n, що дає.

p_c ?1/м (8).

Співвідношення (8) залишається справедливим як для вузлів так і для шляхів.

Для вузлів.

p_c ?1/м1?1/(z-1) (9).

Гратка L* втримує гратку L, якщо L може бути отримана з L* шляхом видалення деяких ребер.

Справедливе співвідношення.

(10).

Дуальна гратка L^D володіє наступною властивістю: кожен її зв’язок перетинає зв’язки вихідної ґратки L один і лише один раз і навпаки. 3] Фішер показав, що.

(11).

(12).

Значення порога перколяції залежить від розмірності простору та координаційного числа.