Визначення тарифів за договорами загального страхування

ВИЗНАЧЕННЯ ТАРИФІВ ЗА ДОГОВОРАМИ ЗАГАЛЬНОГО СТРАХУВАННЯ Класичний підхід до визначення тарифів. Під договорами за­гального страхування розумітимемо договори страхування, які не є договорами страхування життя. Договори загального страхування характеризуються відносно коротким терміном дії договору — від кількох днів до одного року. Ця особливість визначає характерні особливості розрахунку страхових тарифів за такими договорами:

• бчислюється розмір лише разової страхової премії;

• е враховується можливий інвестиційний прибуток від роз­міщення тимчасово вільних коштів страхових резервів із цих ви­дів страхування.

При розрахунку нетто-премії за договорами загального стра­хування вважають, що розмір N разової нетто-премії виражає ек­вівалентність зобов’язань страховика та страхувальників І пропо­рційна до страхової суми S:

N=T· S,.

де коефіцієнт пропорційності Т називають нетто-тарифом, або нетто-ставкою.

Брутто-премія B, або просто страхова премія, пропорційна нетто-премії N:

B=>

де коефіцієнт пропорційності > 1) містить частку f наванта­ження (адміністративні витрати, комісійні, плановий прибуток страховика) і визначається співвідношенням.

$$=\frac{1}{1-f}$$.

Для визначення структури нетто-тарифу за договором загаль­ного страхування розглянемо гіпотетичний випадок, коли відома вся необхідна для розрахунків інформація.

Приклад. Припустимо, що при проведенні страхування ви­значеного ризику (наприклад, майнове страхування будівель від стихійного лиха) протягом фіксованого проміжку часу напри­клад, одного року) страховиком заплановано:

• проведення страхування за п (п = 1, 2, …) договорами зі страховими сумами S1, S2, S3, … Sп відповідно;

• настання за цими договорами т страхових випадків зі стра­ховими виплатами $$S_{b_1},S_{b_2},S_{b_3},\text{.}\text{.}\text{.}\text{.},S_{b_m}$$ .

Визначимо розмір нетто-тарифу при страхуванні ризику, який відповідав би взятим зобов’язанням страховика з названих видів страхування.

У розглянутому випадку нетто-тариф можемо визначити на підставі загального принципу еквівалентності зобов’язань стра­ховика та страхувальників Зобов’язання страховика дорівнюють сумі страхових відшкодувань.

$$S_{b_1}+S_{b_2}+S_{b_3}+\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}+S_{b_m}$$.

а зобов’язання страхувальників — сумі внесених нетто-премій.

$$N_1+N_2+N_3+\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}+N_n=T_0{S}_1+T_0{S}_2+T_0{S}_3+\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}+T_0{S}_n=T_0(S_1+S_2+S_3+\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}+S_n)$$.

де T0 — нетто-тариф, який потрібно визначити. Значення Т0 в да­ному прикладі можемо знайти з рівняння балансу зобов’язань страховика та страхувальників:

$$S_{b_1}+S_{b_2}+S_{b_3}+\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}+S_{b_m}=T_0(S_1+S_2+S_3+\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}+S_n)$$.

або.

$$\underset{i=1}{\overset{m}{}}{S}_{B_i}=T_0\underset{j=1}{\overset{n}{}}{S}_j$$.

У цьому балансовому співвідношенні зручно виконати усеред­нення за договорами страхування, поділивши обидві частини останнього на тп:

$$\frac{1}{\text{mn}}\underset{i=1}{\overset{m}{}}{S}_{B_i}=T\frac{1}{\text{mn}}\underset{j=1}{\overset{n}{}}{S}_j$$.

а далі, ввівши значення $${\stackrel{}{S}}_e$$ — середньої страхової виплати та значення $$\stackrel{}{S}$$ — середньої страхової суми на один договір

$${\stackrel{}{S}}_B=\frac{1}{m}\underset{i=1}{\overset{m}{}}{S}_{B_i},\stackrel{}{S}=\frac{1}{n}\underset{j=1}{\overset{n}{}}{S}_j$$.

перейти до співвідношення ,.

$$\frac{1}{n}{\stackrel{}{S}}_B=\frac{1}{m}{T}_0\stackrel{}{S}$$.

звідки знаходимо шукане значення нетто-тарифу.

$$T_0=\frac{{\stackrel{}{S}}_B}{\stackrel{}{S}}\frac{m}{n}$$.

Останню рівність записують, як правило, у вигляді.

Т0=Кзбw,.

тобто виражають нетто-тариф при страхуванні визначеного ризику через два основні параметри:

• коефіцієнт збитковості за даним страховим ризиком.

$${К}_{\text{зб}}=\frac{{\stackrel{}{S}}_B}{\stackrel{}{S}}$$.

• відносну частоту настання страхової події за даним страхо­вим ризиком.

$$w=\frac{m}{n}$$.

Наведені співвідношення вирішують поставлене завдання і дають змогу розраховувати нетто-тариф при страхуванні визначе­ного ризику лише у апостеріорному (післядослідному) випадку, коли відома вся необхідна інформація, а саме — відомі значення параметрів п, т, $${\stackrel{}{S}}_B,\stackrel{}{S}$$ або Кзб, w. На практиці при апріорному (до початку досліду) визначенні тарифів жодний із цих парамет­рів не відомий і всі вони є випадковими додатними величинами. Але наведений приклад та отримані співвідношення мають важ­ливе значення для перевірки і коригування за результатами стра­хової діяльності правильності апріорного визначення тарифів. Саме ці співвідношення вказують на необхідність у діяльності кожної страхової компанії постійного спостереження та аналізу значень параметрів Кзб, w за прийнятим на страхування ризиком і дають змогу періодично коригувати наперед визначені для такого ризику тарифні ставки.

При апріорному визначенні нетто-тарифу у загальному випад­ку розглянутої моделі страхових відшкодувань у співвідношенні Т0 = Кзбw потрібно розв’язати суперечність, яка полягає в тому, що ліва частина (нетто-тариф) має бути наперед визначеною фік­сованою величиною, а права частина є випадкова величина, зна­чення якої можуть істотно змінюватися в різні періоди діяльності страховика.

Для розв’язання цієї суперечності широке застосування набув метод, який грунтується на тому, що замість випадкової величи­ни достатньо взяти її найбільше можливе із заданою довірчою ймовірністю значення.

Такий підхід визначає структуру нетто-тарифу за договором загального страхування:

T=T0+Tp.

де T0= М [Кзбw] - основна частина нетто-тарифу (математичне сподівання величини збитків з одиниці страхової суми в разі ве­ликої кількості договорів страхування за визначеним ризиком);

Тр = Т0 $$$$ ~ ризикова (страхова) надбавка до основної частини нетто-тарифу, яка із заданою довірчою ймовірністю враховує можливі небажані відхилення — $$$$ відносної величини виплат і об­числюється за формулою:

$$=\mathrm{1,2}\sqrt{\frac{1-p}{\text{np}}}$$.

де п — кількість договорів страхування за визначеним ризиком, що планується;

р — імовірність настання страхової події за визначеним ризиком.

За законом великих чисел при великих значеннях п випадкова величина w прямує з імовірністю одиниця до значення р теорети­чної імовірності настання страхової події за визначеним ризиком i р=M[w].

Отже, нетто-тариф при страхуванні виділеного ризику розра­ховується із заданою довірчою ймовірністю, а формулою.

$$T=M[K_{\text{зб}}]p\left(1+\mathrm{1,2}{t}_{}\sqrt{\frac{1-p}{\text{np}}}\right)$$.

де tвантиль рівня у нормального розподілу;

п — кількість договорів страхування за визначеним ризиком, що планується;

р — ймовірність настання страхової події за визначеним ризиком;

M[Кзб] - математичне сподівання збитковості.

Математичне сподівання величини Кзб для визначеного ризи­ку практично не змінюється і може бути визначено так:

• 3 — при страхуванні від нещасних випадків та хвороби;

• 4 — при страхуванні засобів наземного транспорту;

• 5 — при страхуванні вантажів та майна (крім засобів транс­порту);

• 6 — при страхуванні засобів повітряного та водного транс­порту;

• 7 — при страхуванні відповідальності власників автотран­спортних засобів та інших видів відповідальності, а також при страхуванні фінансових ризиків.

Для обчислення нетто-премії за договором страхування ви­значеного ризику слід нетто-тариф помножити на страхову суму: N=ST.

Зауважимо, що величина нетто-тарифу істотно залежить:

• ід запланованої кількості договорів страхування за визна­ченим ризиком і зменшується з їх зростанням до математичного сподівання величини збитків з одиниці страхової суми;

• ід значення довірчої ймовірності шуканого тарифу і зростає з наближенням цього значення до одиниці;

• ід точності вибору значення коефіцієнта збитковості.

Страхові тарифи в індивідуальній моделі ризику. Наведені формули у явному вигляді виражають класичний підхід розра­хунку нетто-тарифу для страхового ризику за наявності міні­мальної інформації про можливі майбутні страхові виплати. Як­що відомі додаткові статистичні дані про процес настання страхової події, можливе застосування більш точних методів об­числення страхових тарифів.

Для розв’язання відповідних задач вводять різні статистичні моделі страхових ризиків і розглядають відповідні моделі розпо­ділу сумарного розміру страхового відшкодування. Найпрості­шою з них є модель індивідуальних ризиків, яка щодо договорів загального страхування передбачає таке:

• кількість п незалежних між собою договорів страхування фіксована та наперед визначена;

• для кожного договору страхування відомі статистичні влас­тивості пов’язаного з ним можливого відшкодування Хk де k — порядковий номер договору.

Зауважимо, що далеко не за кожним договором виплачується страхове відшкодування, тому деякі випадкові величини Хk. (страхо­вих відшкодувань за k-м договором) можуть дорівнювати нулю.

Загальний розмір страхового відшкодування за страховою по­дією, тобто розмір зобов’язань страховика, визначає сума неза­лежних між собою випадкових величин.

Sn=X1+X2+…+Xn.

У загальному випадку при використанні моделі індивідуаль­ного ризику величина Вk страхової премії за k-м договором стра­хування (k = 1, 2, …, п) розраховується з умови достатності із за­даною довірчою ймовірністю отриманих страхових премій для виконання зобов’язань страховика за формулою.

$$B_k=M\left[X_k\right](1+)$$.

де М[Хk] - математичне сподівання відшкодувань за k-м догово­ром страхування;

$$$$.

Основний внесок до величини Bk у загальному випадку вно­сить значення суми M[Xk], яку називають основною частиною нетто-премії. Додаткову суму $$$$

M[Xk] називають ризиковою (страховою) надбавкою до основної частини, яка із заданою довірчою ймовірністю враховує можливі небажані відхилення відносної частоти настання страхової події.

.

На практиці використовують кілька способів розрахунку від­носної страхової надбавки при страхуванні визначеного ризику:

1. 1)з фіксованим значенням для всіх договорів страхування.

$$=t_{}\frac{\sqrt{D\left[S_n\right]}}{M\left[S_n\right]}$$.

де tквантиль рівня ормального розподілу;

М[Sn] - математичне сподівання сумарного розміру страхо­вих відшкодувань;

D[Sп] - дисперсія сумарного розміру страхових відшкоду­вань;

2) зі змінним значенням, пропорційним дисперсії або серед-ньоквадратичному відхиленню величини страхового відшкоду­вання Хk за k-м договором, тобто у вигляді.

$$=t_{}\frac{D\left[X_k\right]}{M\left[X_k\right]\sqrt{D\left[S_n\right]}},\text{або}$$ $$={е}_{}\frac{\sqrt{В\left[X_k\right]}\sqrt{D\left[S_n\right]}}{M\left[X_k\right]\underset{j=1}{\overset{n}{}}\sqrt{D\left[X_j\right]}},k=\mathrm{1,2,}\text{.}\text{.}\text{.}n$$.

Зауважимо, що у наведених співвідношеннях числові характе­ристики випадкових величин Xk, страхового відшкодування за k-м договором визначаються залежно від наявної статистичної ін­формації про процес настання страхової події.

У разі, коли відомі числові характеристики сумарного розміру Sn страхових відшкодувань за страховим ризиком на підставі центральної граничної теореми, можна обчислити ймовірність достатності наявних страхових резервів розміру г для виконання зобов’язань страховика за цим ризиком:

$$P\left\{S_n>r\right\}=F_0\left(\frac{r-M\left[S_n\right]}{\sqrt{D\left[S_n\right]}}\right)$$.

або ймовірності розорення (недостатності наявних страхових резервів):

$$P\left\{S_n<r\right\}=1-P\left\{S_n>r\right\}$$.

де F0(х) — інтегральна функція нормованого нормального розпо­ділу.

Страхові тарифи в колективній моделі ризику. Складнішу модель розподілу сумарного розміру страхового відшкодування за визначеним ризиком виражає колективна модель ризику, яка розглядає не окремі договори страхування, а весь портфель дого­ворів за даним страховим ризиком і передбачає таке:

• ількість v вимог про страхове відшкодування за даним ри­зиком на фіксованому проміжку часу є випадкова величина (як правило, з пуассонівським розподілом);

• начення послідовних страхових відшкодувань Y1, Y2,…Yv за портфелем страхового ризику за цей проміжок часу утворю­ють послідовність випадкових величин, що однаково розподілені;

• ипадкові величини v, Y1, Y2,…Yv незалежні в сукупності.

Колективна модель враховує можливість неодноразового на­стання страхової події за одним договором страхування (що дуже важливо в договорах загального страхування), не обмежена умо­вою визначеності кількості майбутніх договорів страхування та розглядає завжди додатні значення відшкодувань Yk, k = 1, 2, …, v (на відміну від індивідуальної моделі, де значення відшкоду­вань Хk могли бути нульовими). Сумарний розмір S страхових відшкодувань за страховим ризиком у колективній моделі визна­чає випадкова сума незалежних між собою випадкових величин.

$$S=Y_1+Y_2+\text{.}\text{.}\text{.}+Y_v$$.

За заданими числовими характеристиками кількості v вимог про страхове відшкодування та величиною Y одного страхового відшкодування в загальному випадку можемо знайти числові ха­рактеристики сумарного розміру S страхових відшкодувань за страховим ризиком у колективній моделі.

$$M\left[S\right]=M\left[v\right]M\left[Y\right]$$.

$$D\left[S\right]=D\left[Y\right]M\left[v\right]+D\left[v\right](M\left[Y\right]{)}^2$$.

Найпростішу і найпоширенішу модель розподілу кількості стра­хових вимог v визначає розподіл Пуассона з параметром оли.

$$P\left\{n=k\right\}=\frac{l^k}{k!}{e}^{-},k=\mathrm{0,1,2,}\text{.}\text{.}\text{.}$$.

причому.

$$M\left[v\right]=D\left[v\right]=$$.

У цьому випадку розподіл випадкової величини S називають складним розподілом Пуассона, а її числові характеристики ви­значають за формулами.

$$M\left[S\right]=\mathit{}\left[Y\right]$$.

$$D(S)=(D\left[Y\right]+(M\left[Y\right]{)}^2)=\mathit{}\left[Y^2\right]$$.

Зауважимо, що параметр озподілу Пуассона випадкової ве­личини v та інтегральну функцію F (t) = Р{Y<t} розподілу зна­чень випадкової величини У одного страхового відшкодування називають параметрами складного розподілу Пуассона, що запи­сують у вигляді S ~ СР (. Крім того, у наведених співвідно­шеннях параметр изначає середню за портфелем кількість страхових вимог (вимог про виплату страхового відшкодування) за одиницю часу (наприклад, за один рік).

У страховій практиці дуже важливий той факт, що сума неза­лежних випадкових величин, кожна з яких має складний розподіл Пуассона, також має складний розподіл Пуассона. Виконується твердження:

Якщо S1, S2, … — взаємно незалежні випадкові величини, ко­жна з яких розподілена за складним розподілом Пуассона.

Sk~ СР (k), k = 1, 2, …, та ряд $$\underset{k}{}{}_k$$ — збіжний, то сума S =.

= S1 + S2+ … також має складний розподіл Пуассона S ~ СР (, параметри якого визначають співвідношення.

$$=\underset{k}{}{}_k$$

;

$$F(t)=\underset{k}{}\frac{{}_k}{}{F}_k(t)$$.

Наведене твердження на практиці використовують у таких ви­падках:

• ри об'єднанні т незалежних страхових портфелів, таких що сумарний розмір страхових відшкодувань Sk, k = 1, 2, …, т по кожному з них має складний розподіл Пуассона Sk~ СР (k) у результаті отримують об'єднаний портфель, сумарний розмір страхових відшкодувань S якого також буде визначати складний розподіл Пуассона $$S\text{~}\text{CP}(\underset{k}{}{}_k-\underset{k}{}\frac{{}_k}{}{F}_k(t))$$ ;

• ри дослідженні сумарного за т років страхового відшкоду­вання S за одним і тим самим страховим ризиком з незалежними річними сумарними страховими відшкодуваннями Sk, k = 1, 2, …, m кожне з яких має складний розподіл Пуассона, можемо вважа­ти, що S також має складний розподіл Пуассона.

У загальному випадку при використанні моделі колективного ризику величина В страхової премії для всіх договорів страху­вання однакова й визначається з умови достатності із заданою довірчою ймовірністю отриманих страхових премій для виконан­ня зобов’язань страховика за формулою.

$$B={}_{1}M\left[Y\right](1+)$$.

M[Y] де — математичне сподівання виплати одного страхового відшкодування;

середня на один договір кількість страхових вимог за одиницю часу;

$$$$.

Основний внесок до величини В у загальному випадку вносить значення суми ], яку називають основною частиною нетто-премії. Додаткову суму $$$$

Y] називають ризиковою (страхо­вою) надбавкою до основної частини, яка із заданою довірчою ймовірністю враховує можливі небажані відхилення відносної час­тоти настання страхової події.

.

Відносна страхова надбавка при страхуванні визначеного ризи­ку має фіксоване для всіх договорів значення І розраховується за формулою.

$$=t_{}\frac{\sqrt{D\left[S\right]}}{M\left[S\right]}$$.

де tвантиль рівня у нормального розподілу;

М[S] - математичне сподівання сумарного розміру страхових відшкодувань;

D[S] - дисперсія сумарного розміру страхових відшкодувань.

Математичне сподівання М[Y] одного страхового відшкоду­вання визначається залежно від наявної статистичної інформації про процес настання страхової події.

Середня на один договір кількість трахових вимог за оди­ницю часу (у загальному випадку — за один рік) розраховується на підставі середньої за портфелем кількості трахових вимог за одиницю часу (також — один рік):

$${}_1=\frac{}{n}$$.

Де п — визначає кількість договорів страхового портфеля, для якого було знайдено оцінку параметра >

ТЕСТ 18. Визначення страхових тарифів.

1. Таблиця містить дані страхових відшкодувань за останній рік зі страхування автомобілів (каско).

Номер	Сума відшкодування.

Знайти емпіричне середнє та незсунену емпіричну дисперсію стра­хових відшкодувань.

а). $$\stackrel{}{x}=$$

99,5,.

$$s^2=$$

75;

.

б). $$\stackrel{}{x}=$$

75,.

$$s^2=$$

99,5;

.

в). $$\stackrel{}{x}=$$

98,3,.

$$s^2=$$

9,5.

.

2. Ставка інвестиційного доходу І дорівнює 50% Знайти дискон-туючий множник та інтенсивність ставки інвестиційного доходу.

а). $$v=$$

0,563,.

$$=$$

0,740;

.

б). $$v=$$

0,723,.

$$=$$

0,566;

.

в). $$v=$$

0,667,.

$$=$$

0,405.

.

3. Нетто-премія становить 123 грн, навантаження до нетто-премії дорівнює 35% Обчислити брутто-премію а). В=135,11;

б). В=189,23;

в). В=123,00.

4. За даними задачі № 1 класичним методом обчислити нетто-тариф, коли відомо, що страховий портфель становив 50 договорів Довірча ймовірність (імовірність нерозорення) — 98%.

а). N = 12,58%;

б). N = 10,5%;

в). N = 6,88%.

5. За даними задачі № 4 в індивідуальній моделі ризику обчислити нетто-тариф, коли відомо, що страхова сума за кожним з договорів становила 150.

а). N = 12.58%;

б). N = 10.5%;

в). N = 6.88%.