Критерій інтегрованості функцій (реферат)

Реферат на тему:

Критерій інтегрованості функцій

Комбінацією, що інтегрується, називається диференціальне рівняння, отримане шляхом перетворень із системи, диференціальних рівнянь, але яке вже можна легко інтегрувати.

$$\mathit{d}(t,x_1,x_2,\text{.}\text{.}\text{.},x_n)=0$$ .

Одна комбінація, що інтегрується, дає можливість одержати одне кінцеве рівняння.

$$(t,x_1,x_2,\text{.}\text{.}\text{.},x_n)=C$$ ,.

яке є першим інтегралом системи.

Геометрично перший інтеграл являє собою $$n$$ -вимірну поверхню в $$(n+1)$$ -вимірному просторі, що цілком складається з інтегральних кривих.

Якщо знайдено $$k$$ -комбінацій, що інтегруються, то одержуємо $$k$$ перших інтегралів.

$$\begin{array}{c}{}_1(t,x_1,x_2,\text{.}\text{.}\text{.},x_n)=C_1\\ {}_2(t,x_1,x_2,\text{.}\text{.}\text{.},x_n)=C_2\\ \text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\\ {}_k(t,x_1,x_2,\text{.}\text{.}\text{.},x_n)=C_k\text{.}\\ \\ \begin{array}{c}\{\{\{\end{array}\hfill \\ \end{array}$$.

І, якщо інтеграли незалежні, то хоча б один з визначників $$\frac{D({}_1,{}_2,\text{.}\text{.}\text{.},{}_k)}{D(x_{i_1},x_{i_2},\text{.}\text{.}\text{.},x_{i_k})}/=0$$. Звідси з системи можна виразити $$k$$ — невідомих функцій $$x_{i_1},x_{i_2},\text{.}\text{.}\text{.},x_{i_k}$$ через інші і підставивши їх у вихідну систему, понизити порядок до $$(n-k)$$ — рівнянь. Якщо $$n=k$$ і всі інтеграли незалежні, то одержимо загальний інтеграл системи.

Особливо поширеним засобом знаходження комбінацій, що інтегруються, є використання систем у симетричному вигляді.

Систему диференціальних рівнянь, що записана в нормальній формі.

$$\begin{array}{c}\stackrel{}{x_1}(t)=f_1(x_1,x_2,\text{.}\text{.}\text{.},x_n,t)\\ \stackrel{}{x_2}(t)=f_2(x_1,x_2,\text{.}\text{.}\text{.},x_n,t)\\ \text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\\ \stackrel{}{x_n}(t)=f_n(x_1,x_2,\text{.}\text{.}\text{.},x_n,t)\\ \\ \begin{array}{c}\{\{\{\end{array}\hfill \\ \end{array}$$.

можна переписати у вигляді.

. $$\frac{{\text{dx}}_1}{f_1(x_1,x_2,\text{.}\text{.}\text{.},x_n,t)}=\frac{{\text{dx}}_2}{f_2(x_1,x_2,\text{.}\text{.}\text{.},x_n,t)}=\text{.}\text{.}\text{.}=\frac{{\text{dx}}_n}{f_n(x_1,x_2,\text{.}\text{.}\text{.},x_n,t)}=\frac{\text{dt}}{1}$$ .

При такій формі запису всі змінні $$x_1,x_2,\text{.}\text{.}\text{.},x_n,t$$ рівнозначні.

Система диференціальних рівнянь, що записана у вигляді.

$$\frac{{\text{dx}}_1}{X_1(x_1,x_2,\text{.}\text{.}\text{.},x_n)}=\frac{{\text{dx}}_2}{X_2(x_1,x_2,\text{.}\text{.}\text{.},x_n)}=\text{.}\text{.}\text{.}=\frac{{\text{dx}}_n}{X_n(x_1,x_2,\text{.}\text{.}\text{.},x_n)}$$ ,.

називається системою у симетричному вигляді.

При знаходженні комбінацій, що інтегруються, найбільш часто використовується властивість «пропорційності». А саме, для систем в симетричному вигляді справедлива рівність.

$$\frac{{\text{dx}}_1}{X_1(x_1,x_2,\text{.}\text{.}\text{.},x_n)}=\frac{{\text{dx}}_2}{X_2(x_1,x_2,\text{.}\text{.}\text{.},x_n)}=\text{.}\text{.}\text{.}=\frac{{\text{dx}}_n}{X_n(x_1,x_2,\text{.}\text{.}\text{.},x_n)}=$$.

$$=\frac{k_1{\text{dx}}_1+k_2{\text{dx}}_2+\text{.}\text{.}\text{.}+k_n{\text{dx}}_n}{k_1{X}_1(x_1,x_2,\text{.}\text{.}\text{.},x_n)+k_2{X}_2(x_1,x_2,\text{.}\text{.}\text{.},x_n)+\text{.}\text{.}\text{.}+k_n{X}_n(x_1,x_2,\text{.}\text{.}\text{.},x_n)}$$ .

Розглянемо деякі типи диференціальних рівнянь, що інтегруються в квадратурах.

1) Рівняння вигляду.

$$y^{(n)}=f(x)$$ .

Проінтегрувавши його $$n$$ -раз одержимо загальний розв’язок у вигляді.

$$y=\underset{n}{\underset{}{\text{.}\text{.}\text{.}f(x)}}\underset{n}{\underset{}{\text{dx}\text{.}\text{.}\text{.}\text{dx}}}+C_1{x}^{n-1}+C_2{x}^{n-2}+\text{.}\text{.}\text{.}+C_{n-1}x+C_n$$ .

Якщо задані умови Коші.

$$y(x_0)=y_0,y\text{'}(x_0)=y_0^{\text{'}},\text{.}\text{.}\text{.},y^{(n-1)}(x_0)=y_0^{(n-1)}$$ ,.

то розв’язок має вигляд.

$$\begin{array}{c}y={}_{x_0}^x\text{.}\text{.}\text{.}{}_{x_0}^{x}f(x)\text{dx}\text{.}\text{.}\text{.}\text{dx}+\frac{y_0}{(n-1)!}(x-x_0{)}^{(n-1)}+\\ +\frac{y{\text{'}}_0}{(n-2)!}(x-x_0{)}^{(n-2)}+\text{.}\text{.}\text{.}+y^{(n-2)}(x-x_0)+y_0^{(n-1)}\text{.}\end{array}$$.

2) Рівняння вигляду.

$$F(x,y^{(n)})=0$$ .

Нехай це рівняння вдалося записати в параметричному вигляді.

$$\begin{array}{c}x=(t)\\ y^{(n)}=(t)\text{.}\\ \\ \begin{array}{c}\{\end{array}\hfill \\ \end{array}$$.

Використовуючи основне співвідношення $${\text{dy}}^{(n-1)}=y^{(n)}\text{dx}$$, одержимо.

$${\text{dy}}^{(n-1)}=(t)\text{'}(t)\text{dt}$$ .

Проінтегрувавши його, маємо.

$$y^{(n-1)}=(t)\text{'}(t)\text{dt}+C_1={}_1(t,C_1)$$ .

І одержимо параметричний запис рівняння $$(n-1)$$ -порядку.

$$\begin{array}{c}x=(t)\\ y^{(n-1)}={}_1(t,C_1)\text{.}\\ \\ \begin{array}{c}\{\end{array}\hfill \\ \end{array}$$.

Проробивши зазначений процес ще $$(n-1)$$ -раз, одержимо загальний розв’язок рівняння в параметричному вигляді.

$$\begin{array}{c}x=(t)\\ y={}_n(t,C_1,\text{.}\text{.}\text{.},C_n)\\ \\ \begin{array}{c}\{\end{array}\hfill \\ \end{array}$$.

3) Рівняння вигляду.

$$F(y^{(n-1)},y^{(n)})=0$$ .

Нехай це рівняння вдалося записати в параметричному вигляді.

$$\begin{array}{c}{y}^{(n-1)}=(t)\\ y^{(n)}=(t)\text{.}\\ \\ \begin{array}{c}\{\end{array}\hfill \\ \end{array}$$.

Використовуючи основне співвідношення $${\text{dy}}^{(n-1)}=y^{(n)}\text{dx}$$, одержуємо.

$$\text{dx}=\frac{{\text{dy}}^{(n-1)}}{{\text{dy}}^{(n)}}=\frac{\text{'}(t)}{(t)}\text{dt}$$. Проінтегрувавши, маємо.

$$x=\frac{\text{'}(t)}{(t)}\text{dt}+C_1={}_1(t,C_1)$$ .

І одержали параметричний запис рівняння $$(n-1)$$ -порядку.

$$\begin{array}{c}x={}_1(t,C_1)\\ y^{(n-1)}=(t)\text{.}\\ \\ \begin{array}{c}\{\end{array}\hfill \\ \end{array}$$.

Використовуючи попередній пункт, понизивши порядок на одиницю, запишемо.

$$\begin{array}{c}x={}_1(t,C_1)\\ y^{(n-2)}={}_2(t,C_2)\text{.}\\ \\ \begin{array}{c}\{\end{array}\hfill \\ \end{array}$$.

Проробивши останню процедуру $$(n-2)$$ -раз, запишемо загальний розв’язок у параметричному вигляді.

$$\begin{array}{c}x={}_1(t,C_1)\\ y={}_n(t,C_2,\text{.}\text{.}\text{.},C_n)\text{.}\\ \\ \begin{array}{c}\{\end{array}\hfill \\ \end{array}$$.

4) Нехай рівняння вигляду.

$$F(y^{(n-2)},y^{(n)})=0$$.

можна розв’язати відносно старшої похідної.

$$y^{(n)}=f(y^{(n-2)})$$ .

Домножимо його на $$2y^{(n-1)}\text{dx}$$ й одержимо.

$$2y^{(n-1)}{y}^{(n)}\text{dx}=2f(y^{(n-2)})y^{(n-1)}\text{dx}$$ .

Перепишемо його у вигляді.

$$d(y^{(n-1)}{)}^2=2f(y^{(n-2)})d(y^{(n-2)})$$ .

Проінтегрувавши, маємо.

$$(y^{(n-1)}{)}^2=2f(y^{(n-2)})d(y^{(n-2)})+C_1$$ ,.

тобто $$y^{(n-1)}=\pm \sqrt{2f(y^{(n-2)})d(y^{(n-2)})+C_1}$$ ,.

або.

$$y^{(n-1)}=\pm {}_1(y^{(n-2)},C_1)$$ .

Таким чином одержали параметричний запис рівняння $$(n-1)$$ -порядку.

$$\begin{array}{c}{y}^{(n-2)}=t\\ y^{(n-1)}=\pm {}_1(t,C_1)\\ \\ \begin{array}{c}\{\end{array}\hfill \\ \end{array}$$.

і повернулися до третього випадку.