Рівняння стану речовини

Во-первых, для создания теории Земли необходимо найти радиальную зависимость её плотности г®. Для этого нужно записать уравнение для сил, приложенных к земному веществу, и уравнение его состояния, т. е. зависимость плотности вещества от приложенного к нему давления. При малых давлениях зависимость плотности вещества г® от давления описывается законом Гука:

г=г01?p/B,.

т.е. при малых давлениях уравнение состояния имеет вид:

p=B (1?г/г0).

Здесь г0 — плотность вещества в отсутствии внешнего давления, B — модуль всестороннего сжатия вещества.

При высоких давлениях модуль всестороннего сжатия сам начинает зависеть от плотности. Эту зависимость можно представить в виде политропы:

B=бг1+1/k,.

где б — постоянная, k — политропный индекс, описывающий сжимаемость вещества (k = 0 описывает несжимаемое вещество). Таким образом, уравнение состояния может быть записано в виде:

p=бг1+1/k (1?г0/г).

При малых давлениях это уравнение превращается в закон Гука, а при больших давлениях трансформируется в стандартное политропное равенство:

p=бг1+1/k.

Ядро и мантия

Можно рассматривать Землю (или любую другую планету достаточно большой массы) как сферическое тело, разделённое на две области — внутреннее ядро и внешнюю мантию. Будем предполагать, что мантия Земли состоит из твёрдой породы типа базальта. Поскольку это непроводящая твёрдая среда, её политропический индекс k = 1. Будем считать, что под действием сверхвысоких давлений ядро планеты превращается в электрон-ионную плазму. Модуль всестороннего сжатия его в этом случае будет определяться электронным газом, имеющим политропический индекс k = 3/2. Плазма является электрически поляризуемым веществом. В поле тяжести в плазме возникает гравитационно-индуцированная электрическая поляризация [2]. С появлением этой поляризации связан рост электрической энергии плазмы, что энергетически невыгодно. Однако если рассматривать полную энергию гравитирующего тела, то его электрическая поляризация становится энергетически выгодной за счёт того, что с её возникновением уменьшаются гравитационная и внутренняя энергия тела [15, 2].

Если допустить, что внутри планеты имеется электрически поляризованное ядро, то для решения задачи необходимо найти величину поляризации и радиус этого ядра Rn, при которых полная энергия планеты минимальна.

Если минимальной энергии планеты соответствует конфигурация с Rn = 0, то это будет означать, что разделение планеты на электрически поляризованное ядро и неполяризованную мантию энергетически невыгодно.

При оценке механических напряжений будем предполагать, что мантия химически однородна по составу и её вещество при отсутствии внешнего давления имеет плотность г0 и модуль всестороннего сжатия B0.

Согласно расчётам [15] интенсивность электрической поляризации плазмы P пропорциональна силе тяготения:

P=(4рG½)?1g,.

здесь g — ускорение свободного падения.

Поэтому внутри ядра действие тяготения полностью компенсируется электрической силой [15]:

гng+сэффEэфф=0.

Здесь гn — плотность вещества внутри ядра и сэфф=?divP.

есть плотность связанного заряда, Eэфф = -?4рP — напряжённость электрического поля, связанного с поляризацией вещества.

Таким образом, поляризация плазменного ядра P при наличии дивергенции может быть описана в терминах связанного заряда. Из уравнения равновесия (52) видно, что гравитационно-индуцированная поляризация внутри ядра ведёт к образованию у космического тела плазменного ядра с постоянной массовой плотностью и с постоянной плотностью связанного положительного электрического заряда. При этом электронейтральность ядра выполняется за счёт того, что на поверхности ядра образуется отрицательный поверхностный заряд, величина которого равна суммарному положительному объёмному заряду внутри ядра.

Такое решение оказывается возможным потому, что поведение напряжённости электрического поля и поля тяготения подобны друг другу:

divEэфф=4рсэффdivg=?4рGгn.

Легко видеть, что скачок поляризации на поверхности ядра сопровождается скачком давления или, говоря в терминах связанного заряда, поверхностный слой отрицательного заряда стремится сжать положительно заряженное ядро. Таким образом, сила тяжести внутри ядра полностью скомпенсирована электрической силой. Вещество ядра при этом испытывает давление всей массы мантии.

pm (Rn)=бmг2mR2n (1?г0гm (Rn)),.

(здесь Rn — радиус поверхности ядра), а также давление поверхностного заряда [1]:

pe=2р9Gг2nR2n.

Это дополнительное давление имеет значительную величину и само вполне достаточно для того, чтобы превратить вещество ядра в плазму.

Поскольку сжимаемость плазмы определяется модулем всестороннего сжатия электронного газа (ионы можно считать невзаимодействующими друг с другом), то политропический индекс должен быть равным 3/2 как у металлов. В этом случае давление внутри ядра и его плотность постоянны.

cpn=бnг5/3n1?г0гn==бmг2m (Rn)1?г0гm (Rn)+2р9Gг2nR2n.

В результате плотность вещества в ядре выше, чем та, которая существовала бы в этом объёме при отсутствии поляризации.

Уравнение состояния для вещества мантии можно записать в виде:

dpdr=?Gг®M (r)r2,.

где M® — масса вещества планеты, находящаяся внутри сферы радиуса r:

M®=4р?r0г®r2dr.

Таким образом, для вещества мантии с учётом равенства (57) имеем г2m1? г0гm=Am?Rrгm (гnR3n3+?rRnгmx2dx)dxx2,.

здесь Am = 4рGR02г02 / B = 4рGR02 / бm и R0 — радиус, который имела бы планета, если бы она была сформирована из вещества, не сжатого давлением (в отсутствие тяготения).

При сжатии полная масса планеты естественно сохраняется:

гn4рR3n3+4р?RRnгmr2dr=4р3г0R30.

Решая совместно уравнения (56), (59) и (60), мы можем найти гn, гm и относительный радиус R?/?R0 как функции Rn.