Теорії інтеграла Стільєса

Зміст

Введення Глава I. Розвиток поняття інтеграла

1.1 Проблема моментів Глава II. Інтеграл Стільєса

2.1 Визначення інтеграла Стільєса

2.2 Загальні умови існування інтеграла Стільєса

2.3 Класи випадків існування інтеграла Стільєса

2.4 Властивості інтеграла Стільєса

2.6 Приведення інтеграла Стільєса до інтеграла Римана

2.7 Обчислення інтегралів Стільєса

2.8 Приклади

2.9 Приклади інтегралів

2.10 Теорема про середній, оцінки

2.11 Граничний перехід під знаком інтеграла Стільєса

2.12 Приклади й доповнення Глава III. Застосування інтеграла Стільєса

3.1 Застосування в теорії ймовірностей

3.2 Застосування у квантовій механіці

Висновок Список літератури

Введення

інтеграл стільєс теорема Поняття інтеграла Римана, відоме з елементарного курсу аналізу, застосовне лише до таких функцій, які або безперервні або мають «не занадто багато» крапок розриву. Для вимірних функцій, які можуть бути разривні всюди, де вони визначені (або ж взагалі можуть бути задані на абстрактній множині, так що для них поняття безперервності просто не має змісту), римановська конструкція інтеграла стає непридатною. Разом з тим для таких функцій є аналоги в теорії вимірів: це інтеграли Лебега й Стільєса. Тому що інтеграл Стільєса охоплює більше широкий клас функцій, ми зупинимося на розгляді цього інтеграла.

Вибір теми обумовлений тим, що вивченню інтеграла Стільєса приділяється менше уваги, чим інтегралам Римана й Лебега, хоча саме ідея стільєсовського інтегрування багатіше попередніх, визначення інтеграла Стільєса ширше класичного й у деякому відношенні зручніше його.

Ціль роботи — розглянути необхідність введення поняття інтеграла Стільєса, дати точний, компактний, порівняно повний виклад теорії інтеграла Стільєса.

Задачі, які потрібно виконати для досягнення мети:

вивчити літературу по цій темі;

привести приклади використання інтеграла.

Робота складається із трьох глав. Перша присвячена розвитку даного поняття, проблемі моментів, що і привела до необхідності введення нового поняття інтеграла.

У другому розділі розглянуті основні поняття, визначення самого інтеграла, властивості, способи обчислення, розглянута множина прикладів.

Третій розділ присвячений застосуванню інтеграла Стільєса в інших розділах математики й в інших науках.

Глава I. Розвиток поняття інтеграла

1.1 Проблема моментів

Введення поняття інтеграла Стільєса й наступна його розробка пов’язані із проблемою моментів, що складає в наступному. Нехай задана послідовність чисел; потрібно знайти таку функцію розподілу, щоб члени заданої послідовності були моментами, тобто. Якщо a і b кінцеві, то поставлена задача називається проблемою моментів у кінцевому інтервалі; якщо, те одержуємо проблему моментів Стільєса.

Проблема моментів спочатку ставилася в менш загальній формі. А саме по заданій послідовності чисел шукається така функція, щоб мали місце рівності. Доцільність залучення інтеграла Стільєса для постановки й рішення проблеми моментів напрошується досить природно. З таким положенням речей і зштовхнувся Стільєс при вивченні безперервних дробів, і саме в результаті цих досліджень він запропонував своє узагальнення інтеграла.

Ранні дослідження Стільєса викладені в його статті про механічні квадратури, у якій з’ясовується, чи дозволяють формули квадратур одержувати необмежене наближення інтеграла в змісті Римана. У вступній частині статті Стільєс вирішує задачу про визначення багаточлена Умовами

(1)

при ненегативній на .

Ми торкнемося двох моментів зі змісту його статті.

Перший ставиться до задачі про ступінь наближення, що дається квадратурною формулою Гаусса:

Тут Стільєс користується доведеними їм формулами П. Л. Чебишева у вигляді

де. (2)

Він показує, що якщо у квадратурній формулі Гаусса в якості брати числа, одержувані по формулі (2) з ланцюгового дробу, що відповідає інтегралу, а будуть коріннями знаменників підходящих дробів, то формула Гаусса дасть як завгодно точне наближення при зростанні. Для цього ланцюгового дробу числа, мабуть, задовольняють нерівностям

(3)

тому що в цьому випадку .

Другим моментом є наступний. Відзначивши, що його результати корисні при вивченні питання про квадратуру інтеграла, Стільєс порушує питання про квадратурні формули для інтеграла виду

. (4)

Він обмежується тим часткою случаємо, коли — довільна інтегрувальна по Риману функція, а така, що усередині не існує інтервалу, у якому, і показує, що в цьому випадку апроксимація можлива з як завгодно великим ступенем точності. Доказ цього факту опирається на те, що функція

(5)

є безперервною й строго монотонної, а тому існує зворотна функція, і в інтегралі (4) можлива заміна змінних Які зводять інтеграл (4) до вже вивченого Стільєсом случаю.

Із приводу ж загального випадку Стільєс указав, що «умови, що накладаються на функції, робляться джерелом труднощів, яких удасться уникнути лише за допомогою нових досліджень про самі принципи інтегрального вирахування». Дійсно, якщо не задовольняє умові відсутності в інтервалу, у якому, то вона може виявитися не монотонної, тому обіг у тім виді, у якому таку заміну тоді робили, стає неможливим, і квадратуру інтеграла (4) уже не можна звести до квадратури інтеграла .

Наведені слова Стільєса показують, що вже в 1884 р. він був до деякої міри підготовлений до перегляду поняття інтеграла. До думки про такий перегляд його приводив прийом заміни змінних, котрий відігравав помітну роль у наступній історії інтеграла Стільєса.

Стільєс розглядав безперервні дроби виду

(6)

де — у загальному випадку комплексне число.

Нехай — підходящий дріб порядку для безперервного дробу (6). Тоді існують межі

причому, якщо ряд розходиться, то

якщо ж ряд сходиться, то

і функції й різні.

До цього часу математикам, що займалися безперервними дробами, був відомий зв’язок між інтегралом

(7)

і безперервним дробом

(8)

де — суть лінійні функції, а числа пов’язані з коефіцієнтами розкладання (7) у ряд по убутних ступенях :

Формулами

Тим зв’язком і керувався Стільєс у своїх дослідженнях. Хід його думки був наступним. Для підходящих дробів справедливі наступні властивості: коріння й дійсні й різні, ступінь менше ступеня. Дляй підходящої дробі справедлива рівність або, в іншій формі,

Зокрема, Як уже говорилося при, а тому, якщо позначити через нулі, те й при. Аналогічно, якщо — нулі функції, те й для випадку непарних. У випадку ряду очевидно, що .

Нехай дріб виду (6) задана розкладанням у ряд по убутних ступенях :

(9)

Тоді виявляється, що ряди

сходяться й

(10)

Ці формули дозволяють по ланцюгової дробі (6) знайти її розкладання в ряд (9). Зворотна ж задача — по розкладанню (9) знайти дріб (6) — неминуче приводить до рішення більш-менш загальної проблеми моментів.

Справді, Стільєсу була відома чебишевске-марковська інтерпретація, як маси, зосередженої в крапці, що є коренем. Природно було поширити цю інтерпретацію й на граничний випадок, розглядаючи як маси, розташовані в нулях функції (або). Після введення формул Стільєс пише: «Розглянемо на нескінченної прямої розподіл маси (позитивної), при якому на відстані від початку зосереджена маса .

Сума може бути названа моментом порядку мас відносно початку. У такому випадку з попередніх формул треба, що момент порядку системи мас має значення .

Так само система мас, де, будемо мати ті ж моменти .

Ми назвемо проблемою моментів наступну задачу:

Знайти розподіл позитивної маси на прямій, якщо дані моменти порядку «.

Дійсно, формули (10) приводять до постановки проблеми моментів, якщо прийнято тлумачення і як мас, а як відповідних відстаней цих мас від початку координат.

Ланцюгові дроби що розглядається П. Л. Чебишевим і А. А. Марковим вийшли з розкладання інтеграла (7) і всі коріні знаменників їхніх підходящих дробів були укладені в проміжку. Стільєс же не зв’язував розглянуті їм дроби із заздалегідь даним аналітичним вираженням у вигляді інтеграла, і корінь, виявлялися в загальному випадку розподіленими по всій позитивній частині числової осі. Тому закономірним був вихід у проблемі моментів за межі кінцевого інтервалу й розгляд її на інтервалі. Далі, оскільки розглядаються як моменти маси відносно початку координат, то колишнє визначення моменту через інтеграл Римана ставало недостатнім, істотно обмежуючи клас послідовностей чисел; навіть для таких розподілів маси, як концентрація її в окремих крапках, доводилося приймати досить несподівані припущення щодо функції щільності, як це було в росіян учених. Тим часом, як показав Стільєс, на послідовність чисел досить було накласти досить слабкі обмеження, щоб ряд (9) можна було перетворити в ланцюговий дріб (6), а тим самим знайти функції. Знаючи ж ці функції, ми тим самим знаємо рішення системи рівнянь (10), тобто рішення проблеми моментів. Якщо при цьому й, і попарно збіжаться, то вийде певне рішення: якщо ж вони попарно різні, то рішень принаймні дві: системи й. Отже, спільність ланцюгових дробів виду (6) досить широка, щоб зробити висновок про можливість розв’язання проблеми моментів для інтервалу, але для цього було потрібно дати інше визначення моментів.

Фізичне визначення моменту матеріальної крапки в з'єднанні зі звичайним для фізиків і математиків переходом від моменту крапки до моменту відрізка приводило до нового визначення інтеграла, тісно пов’язаному з функціями розподілу.

Таким чином, саме для того, щоб описати у формі деякого аналітичного вираження фізичне поняття моменту, Стільєс увів нове поняття інтеграла, причому останнє, як це звичайно й трапляється в математику, виявилося мають більше загальний характер, чим вихідне фізичне поняття.

Він розглянув інтеграл для випадку довільної безперервної й довільної зростаючої. У цих припущеннях він висловив без доказу теорему існування інтеграла, відзначивши лише, що воно може бути здійснене так само, як і для певного інтеграла Римана. Потім у цих же загальних додатках він довів одну з найважливіших формул теорії нового інтеграла, а саме формулу інтегрування вроздріб. І теорему існування, і формулу інтегрування вроздріб ми розглянемо в наступних главах.

Глава II. Інтеграл Стільєса

2.1 Визначення інтеграла Стільєса

Нехай у проміжку задані дві обмежені функції й. Розкладемо крапками

(1)

проміжок на частині й покладемо. Вибравши в кожній із частин по крапці, обчислимо значення функції й помножимо його на відповідному проміжку приріст функції

.

Нарешті, складемо суму всіх таких добутків:

. (2)

Ця сума зветься інтегральної суми Стільєса.

Кінцева межа суми Стільєса при прагненні до нуля називається інтегралом Стільєса функції по функції й позначається символом

. (3)

Інший раз, бажаючи особливо чітко підкреслити, що інтеграл розглядається в змісті Стільєса, уживають позначення Межа тут розуміється в тім же змісті, що й у випадку звичайного певного інтеграла. Точніше кажучи, число називається інтегралом Стільєса, якщо для будь-якого числа існує таке число, що як тільки проміжок роздроблений на частині так, що, негайно ж виконується нерівність

як би не вибирати крапки у відповідних проміжках.

При існуванні інтеграла (3) говорять також, що функція в проміжку інтегрувальна по функції .

Читач бачить, що єдина (але істотне) відмінність даного вище визначення від звичайного визначення інтеграла Римана полягає в тому, що множиться не на приріст незалежної змінної, а на приріст другої функції. Таким чином, інтеграл Римана є окремий випадок інтеграла Стільєса, а коли як функція взята сама незалежна змінна :

.

2.2 Загальні умови існування інтеграла Стільєса

Установимо загальні умови існування інтеграла Стільєса, обмежуючись, втім, припущенням, що функція монотонно зростає.

Звідси треба, що при тепер усе .

Аналогічно сумам Дарбу, і тут доцільно внести суми де й означають, відповідно, нижні й верхню точні границі функції вм проміжку. Ці суми ми будемо називати нижньою й верхньою сумами Дарбу-Стільєса.

Насамперед, ясно, що (при тому самому розбивці)

причому й служать точними границями для стільєсовских сум .

Самі суми Дарбу-Стільєса мають наступні двома властивості:

1-е властивість. Якщо до наявних крапок ділення додати нові крапки, то нижня сума Дарбу-Стільєса може від цього хіба лише зрости, а верхня сума — хіба лише зменшитися.

2-е властивість. Кожна нижня сума Дарбу-Стільєса не перевершує кожної верхньої суми, хоча б і відповідають іншій розбивці проміжку.

Якщо ввести нижній і верхній інтеграли Дарбу-Стільєса:

і

те, виявляється, що

.

Нарешті, за допомогою сум Дарбу-Стільєса легко встановлюється для розглянутого випадку основна ознака існування інтеграла Стільєса:

Теорема: Для існування інтеграла Стільєса необхідно й досить, щоб було Або

якщо під, як звичайно, розуміти коливання функції вм проміжку .

У наступному пункті ми застосуємо цей критерій до встановлення важливих парних класів функцій і, для яких інтеграл Стільєса існує.

2.3 Класи випадків існування інтеграла Стільєса

I. Якщо функція безперервна, а функція має обмежену зміну, то інтеграл Стільєса

(5)

існує.

Спочатку припустимо, що монотонно зростає: тоді застосуй критерій попереднього пункту. По довільно заданому через рівномірну безперервність функції найдеться таке, що в будь-якому проміжку з довжиною, меншої, коливання буде менше. Нехай тепер проміжок довільно розбитий на частині так, що. Тоді всі

і

звідки й треба виконання умови (4), а стало бути й існування інтеграла.

У загальному випадку, якщо функція має обмежену зміну, вона представимо у вигляді різниці двох обмежених зростаючих функцій:. Відповідно до цього перетвориться й сума Стільєса, що відповідає функції :

.

Тому що по вже доведеному кожна із сум і при прагне до кінцевої межі, те це справедливо й щодо суми, що й було потрібно довести.

Можна послабити умови, що накладаються на функцію, якщо одночасно підсилити вимоги до функції :

Якщо функція інтегрувальна в у змісті Римана, а задовольняє умові Липшица:

(6)

те інтеграл (5) існує.

Для того щоб знову мати можливість застосувати встановлений вище критерій, припустимо спочатку функцію не тільки задовольняючій умові (6), але й монотонно зростаючої.

Через (6), мабуть,, так що

.

Але остання сума при й сама прагне до 0 внаслідок (у змісті Римана) функції, а тоді прагне до нуля й перша сума, що доводить існування інтеграла (5).

У загальному випадку функції, що задовольняє умові Липшица (6), представимо у вигляді різниці

Функція, мабуть, задовольняє умові Липшица й у той же час монотонно зростає. Те ж справедливо й для функції, тому що, у силу (6), при

и У такому випадку міркування завершується, як і вище.

III. Якщо функція інтегрувальна в змісті Римана, а функція представима у вигляді інтеграла зі змінною верхньою межею:

(7)

де абсолютно інтегрувальна, у проміжку, то інтеграл (5) існує.

Нехай, так що монотонно зростає. Якщо інтегрувальне у власному змісті й, отже, обмежена: то для

Маємо Таким чином, у цьому випадку задовольняє умові Липшица, і інтеграл існує в силу 2.

Припустимо тепер, що інтегрувальне в невласному змісті. Обмежимося випадком однієї особливої крапки, скажемо. Насамперед, по довільно взятому виберемо так, щоб було

(8)

де — загальне коливання функції в розглянутому проміжку.

Розіб'ємо проміжок по сваволі на частині й складемо суму Вона розкладається на дві суми, з яких перша відповідає проміжкам, що цілком утримуються в проміжку, а друга — іншим проміжкам. Останні напевно втримуватися в проміжку, якщо тільки

; тоді, у силу (8),

З іншого боку, тому що в проміжку функція інтегрувальна у власному змісті, то по доведеному при досить малому й сума стане менше. Звідси треба (4), що й було потрібно довести.

У загальному випадку, коли функція абсолютно інтегрувальна в проміжку, ми розглянемо функції

очевидно, ненегативні й інтегрувальні в названому проміжку. Тому що те питання зводиться, як і вище, до вже розглянутого випадку.

Зауваження. Нехай функція безперервна в проміжку й має, крім хіба лише кінцевого числа крапок, похідну, причому ця похідна інтегрувальна (у власному або невласному змісті) від до; тоді, як відомо, має місце формула типу (7):

.

Якщо абсолютно інтегрувальна, то до функції повністю застосовне викладене в 3.

2.4 Властивості інтеграла Стільєса

З визначення інтеграла Стільєса безпосередньо випливають наступні його властивості:

При цьому у випадках з існування інтегралів у правій частині випливає існування інтеграла в лівій частині.

Потім маємо у припущенні, що й існують всі три інтеграли.

Для доказу цієї формули досить лише затурбуватися включенням крапки в число крапок ділення проміжку при складанні суми Стільєса для інтеграла .

Із приводу цієї формули зробимо ряд зауважень. Насамперед, з існування інтеграла треба вже існування обох інтегралів

и.

Для своєрідного граничного процесу, за допомогою якого зі стільєсовской суми виходить інтеграл Стільєса, має місце принцип збіжності Больцано-Коші. Таким чином, по заданому через існування інтеграла найдеться таке, що будь-які дві суми й Стільєса, яким відповідають і, відрізняються менше ніж на. Якщо при цьому до складу крапок ділення включити крапку, а крапки ділення, що доводяться на проміжок, брати в обох випадках тими самими, то різниця зведеться до різниці двох сум Стільєса, що ставляться вже до проміжку, тому що інші доданки взаємно знищаться. Застосовуючи до проміжку й обчисленим для нього стільєсовским сумам той же принцип збіжності, укладемо про існування інтеграла. Аналогічно встановлюється й існування інтеграла .

Особливо заслуговує бути відзначеним той не факт, що має прецедентів, що з існування обох інтегралів і, загалом кажучи, не випливає існування інтеграла .

Щоб переконатися в цьому, досить розглянути приклад. Нехай у проміжку функції й задані наступними рівностями:

;

Легко бачити, що інтеграли обоє існують і рівні 0, тому що відповідні їм суми Стільєса всі рівні 0: для першого це треба з того, що завжди, для другого — зі сталості функції, завдяки чому завжди

У той же час інтеграл не існує. Дійсно, розіб'ємо проміжок на частині так, щоб крапка 0 не потрапила до складу крапок ділення, і складемо суму Якщо крапка 0 потрапить у проміжок, так що, то в сумі залишиться тільки однее доданок; інші будуть нулі, тому що

для .

Отже,

Залежно від того, чи буде або, виявиться або, так що межі не має.

Зазначена своєрідна обставина пов’язане з наявністю розривів у крапці для обох функцій і .

2.5 Інтегрування вроздріб

Для інтегралів Стільєса має місце формула

(9)

у припущенні, що існує один із цих інтегралів; існування іншого звідси вже випливає. Формула ця зветься формули інтегрування вроздріб. Доведемо неї.

Нехай існує інтеграл. Розклавши проміжок на частині, виберемо в цих частинах довільно по крапці, так що Суму Стільєса для інтеграла

можна представити у вигляді

Якщо додати й знову відняти праворуч вираження те перепишеться так:

Вираження у фігурних дужках представляє собою стільєсову суму для інтеграла (існування якого припущено!). Вона відповідає розбивці проміжку крапками ділення якщо в якості обраних із проміжків крапок взяти, а для проміжків і, відповідно, і. Якщо, як звичайно, покласти, то тепер довжини всіх часткових проміжків не перевершать. При сума у квадратних дужках прагне до, отже, існує межа й для, тобто інтеграл, і цей інтеграл визначається формулою (9).

Як наслідок нашого міркування, особливо відзначимо той цікавий факт, що якщо функція в проміжку інтегрувальна по функції, те й функція інтегрувальна по функції .

Це зауваження дозволяє додати ряд нових випадків існування інтеграла Стільєса до тих, які були розглянуті в п. 3, перемінивши ролі функцій і .

2.6 Приведення інтеграла Стільєса до інтеграла Римана

Нехай функція безперервна в проміжку, а монотонно зростає в цьому проміжку, і притім у точному значенні. Тоді, як показав Лебег, інтеграл Стільєса за допомогою підстановки безпосередньо приводиться до інтеграла Римана.

На малюнку зображений графік функції. Для тих значень, при яких функція випробовує стрибок (тому що ми зовсім не припускаємо обов’язково безперервної), ми доповнюємо графіка прямолінійним вертикальним відрізком, що з'єднує крапки й. Так створюється безперервна лінія, що кожному значенню між і відносить одне певне значення між і. Ця функція, мабуть, буде безперервної й монотонно зростаючої в широкому змісті; її можна розглядати як свого роду зворотну для функції .

Саме, якщо обмежитися лише тими значеннями, які функція дійсно приймає при зміні від до, те є зворотною для неї у звичайному змісті, тобто відносить саме те значення, при якому. Але із проміжку значень

зв’язаного зі стрибком функції, лише одне значення має собі відповідне значення; іншим значенням у згаданому проміжку ніякі значення, мабуть, не відповідають. Але ми умовно відносимо і їм те ж значення; геометрично це й виразилося в доповненні графіка функції рядом вертикальних відрізків.

Доведемо тепер, що

(10)

де останній інтеграл береться у звичайному змісті, його існування забезпечене, тому що функція, а з нею й складна функція, безперервна.

Із цією метою розкладемо проміжок на частині за допомогою крапок ділення

і складемо стільєсову суму

.

Якщо покласти, то будемо мати Тому що, те

.

Це вираження має вигляд римановой суми для інтеграла Звідси, однак, не можна ще безпосередньо укласти, переходячи до оператора, про рівність (10), тому що навіть при може виявитися, що до нуля не прагне, якщо, наприклад, між безмежно зближаються й буде укладене значення, де функція випробовує стрибок. Тому ми будемо міркувати інакше.

Маємо и

так що Припустимо тепер настільки малими, щоб коливання функції у всіх проміжках були менше довільного наперед заданого числа. Тому що при, мабуть,

те одночасно й У такому випадку

.

Цим доведено, що звідки й треба (10).

Незважаючи на принципову важливість отриманого результату, він не дає практично зручного засобу для обчислення інтеграла Стільєса. Як здійснювати обчислення в деяких найпростіших випадках, ми покажемо в наступному пункті.

2.7 Обчислення інтегралів Стільєса

Доведемо наступну теорему:

Якщо функція інтегрувальна в змісті Римана в проміжку, а представлена інтегралом де функція абсолютно інтегрувальна в, те

(11)

Інтеграл праворуч існує. Існування інтеграла Стільєса при зроблених припущеннях уже було доведено (п. 3,3).

Залишається лише встановити рівність (11).

Без применшення спільності можна припустити функцію позитивної.

Складемо, як звичайно, суму Стільєса Тому що, з іншого боку, можна написати

те будемо мати Очевидно, для буде, де означає коливання функції в проміжку. Звідси випливає така оцінка написаної вище різниці:

Але ми вже знаємо (п. 3,3), що при остання сума прагне до 0, отже, що й доводить формулу (11).

Зокрема, з доведеної теореми випливає (якщо врахувати зауваження в п.3) такий наслідок, зручне для безпосереднього застосування на практиці:

2. При колишніх припущеннях щодо функції допустимо, що функція безперервна у всім проміжку й має в ньому, крім хіба лише кінцевого числа крапок, похідну, що в абсолютно інтегрувальна. Тоді

(12)

Цікаво відзначити, що інтеграл праворуч у формулі (12) формально виходить із інтеграла ліворуч, якщо, розуміючи символ буквально як диференціал, замінить його вираженням .

Звертаючись до випадків, коли функція виявляється розривною (що для практики, як побачимо, становить особливий інтерес), почнемо з розгляду «стандартної» розривної функції, обумовленої рівностями Вона має розривши першого роду — стрибок — у крапці праворуч, причому величина стрибка дорівнює 1; у крапці ліворуч і в інших крапках функція безперервна. Функція буде мати такий же розрив у крапці праворуч; навпаки, буде мати подібний розрив у крапці ліворуч, причому величина стрибка буде дорівнює - 1.

Припустимо, що функція безперервна в крапці, і обчислимо інтеграл де (при цей інтеграл дорівнює нулю).

Складемо суму Стільєса:

Нехай крапка потрапить, скажемо, вй проміжок, так що. Тоді, а при, мабуть,. Таким чином, вся сума зводиться до одного доданка: Нехай тепер. По безперервності. Отже, існує (при)

(13)

Аналогічно можна переконатися в тім, що (при)

(14)

(при цей інтеграл звертається в нуль).

Тепер ми в стані довести теорему, у деякому змісті більше загальну, чим 2, а саме, відмовитися від вимоги безперервності функції:

Нехай функція в проміжку безперервна, а має в цьому проміжку, крім хіба лише кінцевого числа крапок, похідну, що абсолютно інтегрувальна в. При цьому нехай функція в кінцевому числі крапок терпить розривши першого роду. Тоді існує інтеграл Стільєса й виражається формулою

(15)

Характерно тут наявність суми, де фігурують перегони функції в крапках або — однобічні.

Для спрощення запису введемо позначення для стрибків функції праворуч і ліворуч:

очевидно, для

Складемо допоміжну функцію:

яка як би вбирає в себе всі розриви функції, так що різниця, як ми зараз установимо, виявляється вже безперервної.

Для значень, відмінних від усіх, безперервність функції не викликає сумнівів, тому що для цих значень безперервні обидві функції й. Доведемо тепер безперервність у крапці праворуч. Всі суми, що складаються, крім члена, безперервні при праворуч; тому досить вивчити поводження вираження. При воно має значення; але такий же і його межа при :

Аналогічно перевіряється й безперервність функції в крапці ліворуч.

Далі, якщо взяти крапку (відмінну від усіх), у якій функція має похідну, те поблизу цієї крапки зберігає постійне значення, отже, у ній і функція має похідну, причому

.

Для безперервної функції, по попередній теоремі, існує інтеграл Стільєса Точно так само легко обчислити й інтеграл Складаючи по членне ці дві рівності, ми й прийдемо до рівності (15); існування інтеграла Стільєса від по функції встановлюється попутно (п. 4,3).

2.8 Приклади

Обчислити по формулі (11) інтеграли:

а)

б)

в)

Рішення:

а)

б)

в)

Обчислити по формулі (15) інтеграли:

а) де

б) де

Рішення:

а) Функція має стрибок 1 при й стрибок — 2 при; в інших крапках. Тому

б) Стрибок 1 при й — 2 при (значення функції при не впливає на результат); в інших крапках .

Маємо:

Обчислити по формулі (15) інтеграли:

а) б) в)

де Рішення:

Функція має перегони, рівні 1, при й. Похідна Тому а)

Аналогічно, б)

в)

Припустимо, що уздовж відрізка осі розташовані маси, як зосереджені в окремих крапках, так інтеграл розподілені безупинно. Не роблячи розходження між ними, позначимо для через суму всіх мас, розташованих у проміжку; поверх того, покладемо,. Очевидно, — монотонно зростаюча функція. Поставимо собі задачею знайти статичний момент цих мас відносно початку координат.

Розіб'ємо проміжок на частині крапками На відрізку при втримується, мабуть, маса. Точно так само на відрізку втримується маса. Уважаючи масу у всіх випадках зосередженої, наприклад, на правому кінці проміжку, одержимо для шуканого статичного моменту наближеної вираження

.

При прагненні до 0 усіх, у межі прийдемо до точного результату:

. (16)

Можна було б тут спочатку встановити «елементарний» статичний момент, що відповідає відрізку осі від до, а потім «підсумувати» ці елементи.

Аналогічно для моменту інерції тих же мас відносно почав знайдемо формулу

(17)

Важливо підкреслити, що інтеграл Стільєса дав можливість об'єднати одною інтегральною формулою різнорідні випадки безупинно розподілених інтеграл зосереджених мас!

Нехай безупинно розподілені маси мають лінійну щільність; крім них нехай у крапках розташовані зосереджені маси. Тоді, крім цих крапок, функція має похідну У кожній же крапці функція випробовує стрибок, рівний саме масі, у цій крапці зосередженої.

Якщо тепер розкласти інтеграл (16) по формулі (15), то одержимо Вдивившись у праву частину, легко в першому члені довідатися статичний момент безупинно розподілених мас, а в другому — статичний момент зосереджених мас. Аналогічний результат вийде інтеграл для інтеграла (17).

а) Скласти вираження й побудувати графік його для наступного розподілу мас: маси величини 1 у крапках і безупинно розподілені маси із щільністю 2 у проміжку .

Рішення:

У проміжку маємо:

б) Те ж саме — для такого розподілу: маси величини 2 при й 4 і безупинно розподілені маси із щільністю в проміжку .

Рішення:

У проміжку маємо в) з’ясувати розподіл мас, якщо дорівнює функції задачі 3).

Рішення:

Маси величини 1 у крапках і 0, у проміжку безупинно розподілені маси із щільністю 1, у проміжку — маси із щільністю .

6. Розглянемо інше питання, у якому інтеграл Стільєса грає таку ж роль, як інтеграл у вправі 4). Припустимо, що на балку (мал) спочиваючу на двох опорах, крім безупинно розподіленого навантаження діють і зосереджені сили. Розташуємо вісь уздовж по осі балки, а вісь вертикально долілиць (див. мал) Не роблячи розходжень між діючими силами, позначимо для через суму всіх сил, прикладених на відрізку балки, включаючи інтеграл реакції опор; далі, нехай. Силу називають зусиллям, що перерізує, у перетині балки. При цьому сили, спрямовані долілиць, будемо вважати позитивними, а нагору — негативними.

Поставимо задачею визначити так званий згинальний момент у довільному перетині балки. Під цим розуміють суму моментів всіх сил, що діють на праву (або на ліву) частину балки, щодо цього перетину. При цьому, коли мова йде про праву частину балки, момент уважають позитивним, якщо він обертає цю частину за годинниковою стрілкою (для лівої частини — зворотне правило).

Тому що на елементі, скажемо, правої частини балки прикладена сила, що створює елементарний момент те, «підсумовуючи» одержимо Аналогічно, виходячи з лівої частини балки, можна було б одержати (з огляду на зміну позитивного напрямку для відліку моментів)

(18)

Легко безпосередньо доглянути, що обоє вираження згинального моменту в дійсності тотожні. Їхня рівність рівносильна умові

яке є наслідком з умов рівноваги Які виражають рівність нулю суми всіх сил інтеграл суми моментів (відносно початку) всіх сил, що діють на балку.

Якщо інтенсивність безупинно розподіленого навантаження позначити через, те, крім крапок, де прикладені зосереджені сили, буде Нехай зосереджені сили прикладені в крапках. Тоді, мабуть, що перерізує зусилля саме в цих крапках має перегони, відповідні рівні. Далі, застосовуючи, наприклад, до інтеграла (18) формулу (15), одержимо

.

У двох доданках правої частини легко довідатися моменти, породжені порізно безперервним навантаженням інтеграл зосередженими силами: інтеграл Стільєса охоплює їх єдиною інтегральною формулою.

Установимо ще один факт, цікавий для теорії опору матеріалів. Зробивши у формулі (18) інтегрування вроздріб, одержимо Звідси ясно, що всюди, за винятком крапок додатка зосереджених сил, має місце рівність Нехай балка довжини несе «трикутну» навантаження з інтенсивністю; крім того, нехай до неї прикладені зосереджена сила, рівна 3, у крапці, інтеграл реакції опор, обидві рівні - 3 (вони встановлюються за законом важеля). Визначити зусилля, що перерізує, інтеграл згинальний момент .

Рішення:

Формула (15) може виявитися корисної інтеграл для обчислення звичайних інтегралів (у змісті Римана). Проілюструємо це на наступному прикладі.

Нехай — «кусочно-поліноміальна» функція в проміжку; це означає, що проміжок розкладається на кінцеве число частин крапками так, що в кожній із частин функція представляється поліномом не вищей ступеня. Замінивши значення функції й всіх її похідних у крапках і нулями, позначимо через величину стрибкай похідній вй крапці .

Нехай, далі, — будь-яка безперервна функція; покладемо

і, взагалі,

Тоді має місце наступна формула:

Дійсно, послідовно знаходимо подвійна підстановка зникає, а інтеграл Аналогічно

і т.д.

Установимо на закінчення, за допомогою формули (11) одне корисне узагальнення формули інтегрування вроздріб для звичайних інтегралів. Саме, якщо й обидві абсолютно інтегрувальні в проміжку, а й визначаються інтегральними формулами:

те справедлива формула

(19)

Для доказу, по формулі (11) замінимо інтеграл ліворуч інтегралом Стільєса інтеграл інтегруємо вроздріб (п.5):

Залишається ще раз застосувати формулу (11) до останнього інтеграла, щоб прийти до (19).

Тут функції й грають як би роль похідних від функцій, не будучи ними на ділі. При безперервності функцій і ми вертаємося до звичайної формули інтегрування вроздріб, тому що тоді, напевно Геометрична ілюстрація інтеграла Стільєса

2.9 Приклади інтегралів

Розглянемо інтеграл

(20)

припускаючи функцію безперервної інтеграл позитивної, а — лише монотонно зростаючої (у точному значенні); функція може мати й розриви (перегони).

Система параметричних рівнянь

(21)

виражає деяку криву, загалом кажучи, розривну (мал). Якщо при якімсь функція випробовує стрибок, так що, то цьому граничному значенням відповідає один інтеграл те ж граничне значення, рівне. Доповнимо криву всіма горизонтальними відрізками, що з'єднують пари крапок

і

Які відповідають всім скачкам функції (див. мал). Таким чином, складеться вже безперервна крива. Покажемо, що інтеграл (20) представляє площу фігури під цій кривій, точніше, площа фігури, обмеженої кривій, віссю й двома крайніми ординатами, що відповідають абсцисам і .

Із цією метою розкладемо проміжок на частині крапками

і відповідно до цього проміжок на осі - на частині крапками Увівши найменше й найбільше значення й функції вм проміжку, складемо нижню інтеграл верхню суми Стільєса-Дарбу Легко бачити тепер, що вони представляють площі фігур, складених із вхідний інтеграл з вихідних прямокутників, між якими втримується розглянута криволінійна фігура.

Тому що при прагненні до 0 усіх обидві суми прагнуть до загальної межі (20), те звідси треба, що наша фігура квадрируєма й площею її служить дійсно інтеграл (20).

2.10 Теорема про середній, оцінки

Нехай у проміжку функція обмежена:

а монотонно зростає. Якщо існує інтеграл Стільєса від по, то має місце формула

(22)

Це і є теорема про середній для інтегралів Стільєса.

Для доказу будемо виходити з очевидних нерівностей для стільєсовской суми :

Переходячи до межі, одержимо

(23)

Або Позначаючи написане відношення через, прийдемо до (22).

Якщо функція в проміжку безперервна, то звичайним шляхом переконуємося в тім, що є значення функції в деякій крапці цього проміжку, інтеграл формула (22) здобуває вид

де (24)

У практиці інтегралів Стільєса найбільш важливим є випадок, коли функція безперервна, а функція має обмежену зміну. Для цього випадку справедлива така оцінка інтеграла Стільєса:

(25)

Де

.

Дійсно, для суми Стільєса буде так що залишається лише перейти до межі, щоб одержати необхідну нерівність.

Звідси випливає, зокрема, і оцінка близькості суми до самого інтеграла Стільєса (при колишніх припущеннях щодо функцій і). Представивши й у вигляді

і по членне віднімаючи ці рівності, одержимо Якщо, як звичайно, позначити через коливання функції в проміжку, так що

для

те, застосовуючи оцінку (25) до кожного інтеграла окремо, будемо мати Якщо проміжок роздроблений на настільки дрібні частини, що всі, де — довільне наперед узяте число, то містимо, що

(26)

Ці оцінки будуть нами використані в наступному пункті.

2.11 Граничний перехід під знаком інтеграла Стільєса

Нехай функції безперервні в проміжку й при рівномірно прагнуть до граничної функції

(очевидно, також безперервної), а — функція з обмеженою зміною. Тоді

Доказ: По заданому найдеться таке, що при буде для всіх

Тоді, у силу (25), для

що, через довільність, і доводить теорему.

Нехай тепер функція безперервна в проміжку, а функції - усе з обмеженою зміною в цьому проміжку. Якщо повні зміни цих функцій у їхній сукупності обмежені:

і при прагнуть до граничної функції

Те Доказ:

Насамперед, переконаємося в тім, що гранична функція сама також буде мати обмежену зміну. Розклавши проміжок довільним образом на частині крапками будемо мати (при кожному)

Переходячи до межі тут при, одержимо

звідки й Складемо суми Стільєса Якщо припустити, що проміжок при цьому розкладений на настільки дрібні частини, що коливання функції в кожній з них буде вже менше довільного наперед узятого числа, то в силу оцінки (26), при всіх

(27)

З іншого боку, якщо розбивка, обрана під зазначеною умовою, фіксувати, то, мабуть, при, так що найдеться таке, що для буде

. (28)

Тоді для тих же значень будемо мати, у силу (27) і (28),

звідки, через довільність, і треба необхідний висновок.

2.12 Приклади й доповнення

Припускаючи функцію монотонно зростаючої в точному значенні, можна довести щодо числа, що фігурує у формулі (24), більше точне твердження:

Дійсно, позначивши через і найменше й найбільше значення функції в проміжку й уважаючи, легко знайдемо таку частину цього проміжку, у якій границями служать числа й, так що Написавши для проміжків і нерівності виду (23) інтеграл складаючи їх з попередніми, одержимо замість (23) більше точні нерівності:

так що число Лежить строго між і; а тоді знайдемо й строго між і, для якого й т.д.

Використовуючи формулу (11) п., формулу інтегрування вроздріб і теорему про середній для інтегралів Стільєса, дуже легко заново встановити другу теорему про середній для звичайних інтегралів.

Отже, нехай інтегрувальна (у змісті Римана), а монотонно зростає в проміжку. Уведемо функцію

;

вона, як ми знаємо, буде безперервна.

Тепер послідовно маємо що й було потрібно довести.

Якщо монотонно зростає в точному значенні, то на підставі зробленого в 1) зауваження можна точніше сказати відносно :

Довести, що, якщо в крапці одна з функцій і безперервна, у той час як інша в околиці цієї крапки обмежена, то існування інтегралів і спричиняє існування й .

Із цією метою помітимо, що, якщо при складанні стільєсової суми ми будемо включати крапку до складу крапок ділення, то сума буде складатися із двох аналогічних сум для часткових проміжків і; при вона буде прагнути до суми інтегралів. Нехай тепер крапка не входить до числа крапок ділення. Приєднуючи до них крапку, ми від перейдемо до нової суми, про яку ми вже знаємо, що при вона має зазначену межу. Таким чином, досить показати, що різниця буде разом із прагнути до 0.

Нехай крапка попадає в проміжок; тоді сума відрізняється від суми лише тим, що замість доданка у ній є два доданки:

де й вибираються довільно під умовами й. Поклавши для спрощення, зведемо останнє вираження до так що

(29)

Коли, те один із множників правої частини нескінченно малий, у той час як другий обмежений; отже, що й було потрібно довести.

Якщо обидві функції й виявляються розривними в один інтеграл тій же крапці, то інтеграл Стільєса

(30)

свідомо не існує.

Для доказу будемо розрізняти два випадки. Нехай спочатку, і межі й не рівні. Тоді при побудові суми Стільєса ми крапку не станемо вводити в число крапок ділення; нехай, скажемо, Вибравши один раз, а інший раз взявши в якості складемо дві суми й, різниця яких зведеться до вираження (29).

Зближаючи крапки ділення, будемо мати Крім того, крапку можна вибрати так, щоб різниця була по абсолютній величині більшій деякого постійного позитивного числа. Тоді різниця не прагне до 0, так що інтеграл існувати не може.

Якщо ж, але їхнє загальне значення відмінно від («переборний розрив»), те, навпаки, включимо в число крапок ділення; нехай. Якщо має, наприклад, розривши в крапці праворуч, те, як і тільки що, складемо дві суми й, що відрізняються лише вибором: для крапка взята довільно між і, а для в якості взята. Як і раніше маємо (29), інтеграл міркування завершується аналогічно.

Вправи 3) і 4) проливають світло на той факт, про яке говорилося наприкінці п. 4.

Нехай безперервна, а має обмежена зміна в проміжку .

Опираючись на оцінку (25), довести безперервність інтеграла Стільєса по змінній верхній межі в крапці, де функція безперервна.

Висновок відразу випливає з нерівності

якщо взяти до уваги, що в крапці повинна бути безперервна й варіація .

Якщо є клас безперервних у проміжку функцій, а — клас функцій з обмеженою зміною в цьому проміжку, те, як відомо, кожна функція одного класу, інтегрувальна по кожній функції іншого класу. Довести, що жоден, ні іншої із цих класів не може бути розширений зі збереженням згаданої властивості.

Це, через 4), майже очевидно щодо класу. Дійсно, якщо функція має крапку розриву, то вона свідомо не інтегрувальна, наприклад, по функції з обмеженою зміною, що має ту ж крапку розриву.

Нехай тепер у проміжку має нескінченна повна зміна; у цьому припущенні побудуємо таку безперервну функцію, для якої інтеграл (30) не існує.

Якщо розділити проміжок навпіл, то хоч в одній з половин повна зміна функції теж буде нескінченно; розділимо цю половину знову навпіл інтеграл т.д. По цьому методі визначиться деяка крапка, у кожній околиці якої не має обмеженої зміни. Для простоти нехай .

У такому випадку легко побудувати послідовність зростаючий інтеграл прагнучих до значень :

так, щоб ряд

розходився. Для цього ряду потім можна підібрати таку послідовність прагнучих до 0 чисел, щоб і ряд

(31)

все-таки розходився. Тепер визначимо функцію, думаючи, а в проміжках уважаючи лінійної:

Очевидно, буде безперервна. У той же час, через ряд (31), при й так що інтеграл від по дійсно не існує.

Доведене твердження можна сформулювати й так: якщо інтеграл Стільєса (30) для даної функції існує по кожній з, те необхідно належить; аналогічно, якщо цей інтеграл по даній функції існує для кожної з, те необхідно належить .

У першій теоремі про граничний перехід під знаком інтеграла Стільєса ми поставили вимогу, щоб послідовність функцій прагнула до граничної функції рівномірно. Можна, однак, замінити ця вимога більше загальною умовою, що ці функції обмежені в їхній сукупності:

(Тільки при цьому потрібно ще наперед припустити безперервність граничної функції).

При доказі досить розглянути випадок, коли зростає в точному значенні. Але для цього випадку можна скористатися перетворенням, проведеним у п.:

і, маючи справу вже з римановими інтегралами, просто застосувати теорему Арцелла.

Укажемо, на закінчення, інше трактування поняття інтеграла Стільєса, зв’язавши його з поняттям адитивної функції від проміжку.

Нехай для кожної частини даного проміжку визначене число, причому, якщо проміжок крапкою розкладений на частині й, те й Тоді є адитивна функція від змінного проміжку. Припустимо, що крім її для проміжку задана й функція крапки. Розкладемо тепер, як звичайно, проміжок крапками на частині, у кожній частині довільно виберемо по крапці й, нарешті, складемо суму

(32)

Межа цієї суми при і є інтеграл Стільєса, що природно — з огляду на процес його побудови — позначити так:

(33)

Якщо визначити другу функцію крапки, поклавши

для

те, через адитивності функції, у всіх випадках

(34)

так що сума (32) зведеться до звичайного стільєсовой сумі

а межа (33) — до звичайного інтеграла Стільєса

.

Обернено, якщо існує останній інтеграл, те, визначивши функцію від проміжку рівністю (34) (причому легко перевірити, що вона виявиться адитивною), можна звести звичайний інтеграл Стільєса до інтеграла (33).

Глава III. Застосування інтеграла Стільєса

3.1 Застосування в теорії ймовірностей

В елементарній теорії ймовірностей, де розглядаються випадкові величини, які можуть приймати тільки кінцеву множину значень, середнє значення або математичне очікування визначається формулою:

(1)

Маючи цю формулу, ми можемо за допомогою інтеграла Стільєса поширити визначення середнього значення на випадкові величини, які можуть приймати будь-яку множину значень, укладена в якому-небудь обмеженому інтервалі , — якщо тільки ми приймемо наступну аксіому:

Які б не були функції й випадкової величини, для яких завжди, для них будуть мати місце також і нерівності:

(2)

Щоб поширити визначення середнього значення, візьмемо який-небудь підрозділ

і нехай і, коли Тут, і тому в силу умови (2):

Величини ж і, у такий спосіб певні, можуть приймати відповідно тільки значення й, а тому по формулі (1):

З іншого боку, очевидно, що ймовірності й обидві рівні ймовірності, і тому Отже, якщо ввести функції розподілу випадкової величини :

Верхня грань сум у лівій частині й нижній грані сум у правій частині цих нерівностей обидві дорівнюють інтегралу Стільєса функції, узятому в межах від до; останній завжди існує, як інтеграл безперервної функції, обмеженої в проміжку інтегрування. Отже, для середнього значення повинне мати місце рівність:

.

Трохи складніше є справа з випадковими величинами, які можуть приймати необмежену множину значень. Якщо така випадкова величина може приймати тільки рахункову множину значень, то середнє значення визначається формулою

(3)

причому ряд у правій частині цієї формули повинен бути абсолютно збіжним, інакше його сума залежала б від порядку, у якому перенумеровані значення випадкової величини, і середнє значення не було б однозначно визначене.

Маючи формулу (3), ми можемо за допомогою відповідним чином певного невласного інтеграла Стільєса поширити визначення середнього значення й на багато таких випадкових величин, які можуть приймати незліченну необмежену множину значень.

Приведемо приклад обчислення середнього значення випадкової величини, для якої це обчислення вимагає саме інтеграла Стільєса, незамінного ні звичайним інтегралом, ні кінцевим, ні нескінченним рядом.

Нехай випадкова величина визначається наступними умовами:

Вона може приймати тільки значення між 0 і 1. Таким чином, її функція повинна бути дорівнює 0 при x<0 і дорівнює 1 при .

0 1

Вона не може приймати жодного значення в інтервалі; влучення в сусідні інтервали рівно імовірно. Таким чином, в інтервалі її функція розподілу повинна бути постійна й дорівнює .

У кожному із крайніх інтервалів повторюється така ж картина, тобто не може приймати жодного значення в інтервалі й, влучення ж у чотири інтервали, ,, для неї однаково ймовірно. Таким чином, в інтервалах і її функції розподілу повинна мати постійні значення: у першому й у другому .

Така ж картина повторюється й у кожному з названих чотирьох інтервалів довжини й т.д.

0 1

0 1

Повторивши раз наше міркування, ми будемо мати інтервалів, кожний довжини; для із цих інтервалів імовірність влучення в кожний з них буде дорівнює, влучення в інші буде неможливо. У цих наступна функція розподілу буде постійна. Щоб визначити функцію розподілу в кожній крапці інтервалу, досить уявити собі, що ми повторюємо такі ж міркування нескінченне число раз. Після цього навіть у крапках, що залишилися поза інтервалами, у яких функція розподілу постійна, вона повинна була одержати певні значення в силу того, що вона повинна бути не убутною.

Справді, і ліворуч, і праворуч від кожної такої крапки, по обидва боки як завгодно близько до неї, будуть зустрічатися інтервали, у яких функція розподілу постійна, тому що в міру розширення цих інтервалів шляхом приєднання до наявним уже інтервалів довжини наступних інтервалів довжини відстані між ними стають як завгодно малими.

Визначивши в такий спосіб функцію розподілу, ми вже без праці обчислимо середнє значення .

Для цього досить звернутися до його геометричного зображення. У цьому випадку воно зображується площею, обмеженої прямими й і кривій розподілу. Але ця площа в силу симетрії дорівнює площі, обмеженої прямими й і кривій. Узяті ж разом ці площі становлять площу квадрата рівну 1. Звідси ясно, що

3.2 Застосування у квантовій механіці

Апарат стільєсовського інтегрування пристосований для однакового опису дискретних і безперервних явищ. Ця обставина виявилася вирішальної й при введенні його в математичний арсенал квантової механіки.

Якщо в механіку раніше користувалися в основному класичним математичним аналізом — апаратом, пристосованим для опису певного класу безперервних явищ, а в тих випадках, коли потрібно було описати дискретні явища, прибігали до теорії рядів, кінцевих або нескінченних, то у квантовій механіці такі прийоми виявилися недостатніми. Безперервні й дискретні аспекти переплелися в ній настільки тісно, що ідея їхнього однакового опису напрошувалася сама собою.

Ідея стільєсовського інтегрування могла виявитися корисної із самого початку. Але в момент зародження квантової механіки і якийсь час через інтегрування по Стільєсу було ще недостатньо розроблене, а головне — занадто мало відомо, щоб лягти в основу квантової механіки. І Дирак повернув напрямок її розвитку в іншому напрямку.

Дирак як вихідна позиція тож ставить проблему однакового опису дискретних і безперервних явищ. При цьому за основне поняття він бере поняття безперервності, а дискретне описує в термінах останнього. Проти такого підходу відразу повстав И. Нейман, запропонувавши замінити узагальнені функції інтегралами Стільєса. Більшість фізиків не прийняло концепції Неймана, проте він продовжував відстоювати й розвивати свою точку зору, докладно виклавши свої міркування у своїй монографії. І хоча його концепція була прийнята не відразу, проте у квантовій механіці інтеграл Стільєса знайшов своє застосування.

Інтеграл Стільєса й лінійні функціонали.

Поняття функціонала з’явилося предметом численних досліджень, що сходять ще до Ейлеру. Серед цих досліджень важливе місце зайняли вишукування по аналітичному зображенню функціоналів.

У явній формі поняття функціонала сформулював Вольтера в 1887 році. Він же дав і перше аналітичне вираження для деякого класу функціоналів у вигляді вираження, аналогічного ряду Тейлора із залученням поняття похідній функціонала. У теорії функцій найпоширенішим способом зображення функцій є вираження їхніми рядами того або іншого типу. За аналогією почалися спроби подання функціоналів у вигляді рядів по функціоналах

де — деякі константи, що залежать від природи функціонала, що розкладається в ряд, а — певна послідовність фіксованих функціоналів. Першим таким розкладанням було розкладання, запропоноване Пинкерле й Амальді в 1901 р. Воно мало вигляд:

де з — деяке фіксоване число проміжку, на якому задане розглянута множина функцій .

Крім них запропонували загальні вираження лінійних функціоналів Фреше й Адамар, але всі ці способи придатні тільки для відносно вузьких класів безперервних функцій. Тому пошуки нових аналітичних виражень для функціоналів тривали.

Вирішальної в цьому напрямку був результат Рисса. В 1909 р. Він довів, що всякий лінійний функціонал, певний у просторі безперервних функцій, заданих на, відстань між якими виражається інтегралом Стільєса