Властивості розв"язків лінійних однорідних систем (реферат)

Реферат на тему:

Властивості розв’язків лінійних однорідних систем

Властивість 1. Якщо вектор $$\begin{array}{c}{x}_1(t)\\ x_2(t)\\ \text{.}\text{.}\text{.}\\ x_n(t)\\ \\ \mathit{righ}\\ \\ \\ \\ \begin{array}{c}\left(\right)\left(\right)\left(\right)\end{array}\\ x(t)=\\ \end{array}$$ є розв’язком лінійної однорідної системи, то і $$\begin{array}{c}{\text{Cx}}_1(t)\\ {\text{Cx}}_2(t)\\ \text{.}\text{.}\text{.}\\ {\text{Cx}}_n(t)\\ \\ \mathit{righ}\\ \\ \\ \\ \begin{array}{c}\left(\right)\left(\right)\left(\right)\end{array}\\ \text{Cx}(t)=\\ \end{array}$$, де $$C$$ — стала скалярна величина, також є розв’язком цієї системи.

Дійсно, за умовою.

$$\stackrel{}{x(t)}-A(t)x(t)0$$ .

Але тоді і.

$$\frac{d}{\text{dt}}\left[\text{Cx}(t)\right]-A(t)\left[\text{Cx}(t)\right]=C\left[\stackrel{}{x(t)}-A(t)x(t)\right]0$$.

оскільки дорівнює нулю вираз в дужках. Тобто $$\text{Cx}(t)$$ є розв’язком однорідної системи.

Властивість 2. Якщо дві векторні функції $$\begin{array}{c}{x}_{\text{11}}(t)\\ x_{\text{21}}(t)\\ \text{.}\text{.}\text{.}\\ x_{n1}(t)\\ \\ \mathit{righ}\\ \\ \\ \\ \begin{array}{c}\left(\right)\left(\right)\left(\right)\end{array}\\ x_1=\\ \end{array}$$, $$\begin{array}{c}{x}_{\text{12}}(t)\\ x_{\text{22}}(t)\\ \text{.}\text{.}\text{.}\\ x_{n2}(t)\\ \\ \mathit{righ}\\ \\ \\ \\ \begin{array}{c}\left(\right)\left(\right)\left(\right)\end{array}\\ x_2=\\ \end{array}$$ є розв’язками однорідної системи, то і їхня сума також буде розв’язком однорідної системи.

Дійсно, за умовою.

$$\stackrel{}{x_1}(t)-A(t)x_1(t)0$$ і $$\stackrel{}{x_2}(t)-A(t)x_2(t)0$$.

Але тоді і.

$$\begin{array}{c}\frac{d}{\text{dt}}\left[x_1(t)+x_2(t)\right]-A(t)\left[x_1(t)+x_2(t)\right]=\\ \left[\stackrel{}{x_1}(t)-A(t)x_1(t)\right]+\left[\stackrel{}{x_2}(t)-A(t)x_2(t)\right]\mathrm{0,}\end{array}$$.

тому що дорівнюють нулю вираз в дужках, тобто $$x_1(t)+x_2(t)$$ є розв’язком однорідної системи.

Властивість 3. Якщо вектори $$\begin{array}{c}{x}_{\text{11}}(t)\\ x_{\text{21}}(t)\\ \text{.}\text{.}\text{.}\\ x_{n1}(t)\\ \\ \mathit{righ}\\ \\ \\ \\ \begin{array}{c}\left(\right)\left(\right)\left(\right)\end{array}\\ x_1(t)=\\ \end{array}$$, …, $$\begin{array}{c}{x}_{1n}(t)\\ x_{2n}(t)\\ \text{.}\text{.}\text{.}\\ x_{\text{nn}}(t)\\ \\ \mathit{righ}\\ \\ \\ \\ \begin{array}{c}\left(\right)\left(\right)\left(\right)\end{array}\\ x_n(t)=\\ \end{array}$$ є розв’язками однорідної системи, та і їхня лінійна комбінація з довільними коефіцієнтами також буде розв’язком однорідної системи.

Дійсно, за умовою.

$$\stackrel{}{x_i}(t)-A(t)x_i(t)\mathrm{0,}i=\stackrel{}{\mathrm{1,}n}$$ .

Але тоді і.

$$\frac{d}{\text{dt}}\left[\underset{i=1}{\overset{n}{}}{C}_i{x}_i(t)\right]-A(t)\left[\underset{i=1}{\overset{n}{}}{C}_i{x}_i(t)\right]=\underset{i=1}{\overset{n}{}}{C}_i\left[\stackrel{}{x_i}(t)-A(t)x_i(t)\right]\mathrm{0,}$$.

тому що дорівнює нулю кожний з доданків, тобто $$\underset{i=1}{\overset{n}{}}{C}_i{x}_i(t)$$ є розв’язком однорідної системи.

Властивість 4. Якщо комплексний вектор з дійсними елементами $$\begin{array}{c}{u}_1(t)\\ \text{.}\text{.}\text{.}\\ u_n(t)\\ \\ \mathit{righ}\\ \\ \\ \\ v_1(t)\\ \text{.}\text{.}\text{.}\\ v_n(t)\\ \\ \mathit{righ}\\ \\ \\ \\ \begin{array}{c}\left(\right)\left(\right)\end{array}\\ u(t)+\text{iv}(t)=\\ \end{array}$$ є розв’язком однорідної системи, то окремо дійсна та уявна частини є розв’язками системи.

Дійсно за умовою.

$$\frac{d}{\text{dt}}[u(t)+\text{iv}(t)]-A(t)[u(t)+\text{iv}(t)]0\text{.}$$.

Розкривши дужки і зробивши перетворення, одержимо.

$$[\stackrel{}{u}(t)-A(t)u(t)]+i[\stackrel{}{v}(t)-A(t)v(t)]0\text{.}$$.

А комплексний вираз дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли дорівнюють нулю дійсна і уявна частини, тобто.

$$\stackrel{}{u}(t)-A(t)u(t)\mathrm{0,}\stackrel{}{v}(t)-A(t)v(t)\mathrm{0,}$$.

що і було потрібно довести.

Визначення 1. Вектори $$\begin{array}{c}{x}_{\text{11}}(t)\\ x_{\text{21}}(t)\\ \text{.}\text{.}\text{.}\\ x_{n1}(t)\\ \\ \mathit{righ}\\ \\ \\ \\ \begin{array}{c}\left(\right)\left(\right)\left(\right)\end{array}\\ x_1(t)=\\ \end{array}$$, $$\begin{array}{c}{x}_{\text{12}}(t)\\ x_{\text{22}}(t)\\ \text{.}\text{.}\text{.}\\ x_{n2}(t)\\ \\ \mathit{righ}\\ \\ \\ \\ \begin{array}{c}\left(\right)\left(\right)\left(\right)\end{array}\\ x_2(t)=\\ \end{array}$$, …, $$\begin{array}{c}{x}_{1n}(t)\\ x_{2n}(t)\\ \text{.}\text{.}\text{.}\\ x_{\text{nn}}(t)\\ \\ \mathit{righ}\\ \\ \\ \\ \begin{array}{c}\left(\right)\left(\right)\left(\right)\end{array}\\ x_n(t)=\\ \end{array}$$ називаються лінійно залежними на відрізку $$t[a,b]$$, якщо існують не всі рівні нулю сталі $$C_1,C_2,\text{.}\text{.}\text{.},C_n$$, такі, що $$C_1{x}_1(t)+C_2{x}_2(t)+\text{.}\text{.}\text{.}+C_n{x}_n(t)0$$ при $$t[a,b]$$ .

Якщо тотожність справедлива лише при $$C_i=\mathrm{0,}i=\stackrel{}{\mathrm{1,}n}$$, то вектори лінійно незалежні.

Визначення 2. Визначник, що складається з векторів.

$$x_1(t),x_2(t),\text{.}\text{.}\text{.},x_n(t)$$, тобто.

$$\begin{array}{c}{x}_{\text{11}}(t)x_{\text{12}}(t)\text{.}\text{.}\text{.}{x}_{1n}(t)\\ x_{\text{21}}(t)x_{\text{22}}(t)\text{.}\text{.}\text{.}{x}_{2n}(t)\\ \text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\\ x_{n1}(t)x_{n2}(t)\text{.}\text{.}\text{.}{x}_{\text{nn}}(t)\\ \\ \mathit{rli}\\ \\ \\ \begin{array}{c}||||||\end{array}\\ W[x_1,\text{.}\text{.}\text{.},x_n]=\\ \end{array}$$.

називається визначником Вронського.

Теорема 1. Якщо векторні функції $$x_1(t),\text{.}\text{.}\text{.},x_n(t)$$ лінійно залежні, то визначник Вронського тотожно дорівнює нулю.

Доведення. За умовою існують не всі рівні нулю $$C_1,C_2,\text{.}\text{.}\text{.},C_n$$, такі, що $$C_1{x}_1(t)+C_2{x}_2(t)+\text{.}\text{.}\text{.}+C_n{x}_n(t)0$$ при $$t[a,b]$$ .

Або, розписавши покоординатно, одержимо.

$$\begin{array}{c}{C}_1{x}_{\text{11}}(t)+C_2{x}_{\text{12}}(t)+\text{.}\text{.}\text{.}+C_n{x}_{1n}(t)0\\ C_1{x}_{\text{21}}(t)+C_2{x}_{\text{22}}(t)+\text{.}\text{.}\text{.}+C_n{x}_{2n}(t)0\\ \text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\\ C_1{x}_{n1}(t)+C_2{x}_{n2}(t)+\text{.}\text{.}\text{.}+C_n{x}_{\text{nn}}(t)0\\ \\ \begin{array}{c}\{\{\{\end{array}\hfill \\ \end{array}$$ .

А однорідна система має ненульовий розв’язок $$C_1,C_2,\text{.}\text{.}\text{.},C_n$$ тоді і тільки тоді, коли визначник дорівнює нулю, тобто.

$$\begin{array}{c}{x}_{\text{11}}(t)x_{\text{12}}(t)\text{.}\text{.}\text{.}{x}_{1n}(t)\\ x_{\text{21}}(t)x_{\text{22}}(t)\text{.}\text{.}\text{.}{x}_{2n}(t)\\ \text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\\ x_{n1}(t)x_{n2}(t)\text{.}\text{.}\text{.}{x}_{\text{nn}}(t)\\ \\ \mathit{rli}\\ \\ \\ \begin{array}{c}||||||\end{array}\\ W[x_1,\text{.}\text{.}\text{.},x_n]=\\ \end{array}$$ .

Теорема 2. Якщо розв’язки $$x_1(t),\text{.}\text{.}\text{.},x_n(t)$$ — лінійної однорідної системи лінійно незалежні, то визначник Вронського не дорівнює нулю в жодній точці $$t[a,b]$$ .

Доведення. Нехай, від супротивного, існує точка $$t_0[a,b]$$ і $$W[x_1(t_0),\text{.}\text{.}\text{.},x_n(t_0)]=0$$ .

Тоді система однорідних алгебраїчних рівнянь.

$$\begin{array}{c}{C}_1{x}_{\text{11}}(t_0)+C_2{x}_{\text{12}}(t_0)+\text{.}\text{.}\text{.}+C_n{x}_{1n}(t_0)=0\\ C_1{x}_{\text{21}}(t_0)+C_2{x}_{\text{22}}(t_0)+\text{.}\text{.}\text{.}+C_n{x}_{2n}(t_0)=0\\ \text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\\ C_1{x}_{n1}(t_0)+C_2{x}_{n2}(t_0)+\text{.}\text{.}\text{.}+C_n{x}_{\text{nn}}(t_0)=0\\ \\ \begin{array}{c}\{\{\{\end{array}\hfill \\ \end{array}$$.

має ненульовий розв’язок $$C_1^0,C_2^0,\text{.}\text{.}\text{.},C_n^0$$. Розглянемо лінійну комбінацію розв’язків з отриманими коефіцієнтами.

$$x(t)=C_1^0{x}_1(t)+C_2^0{x}_2(t)+\text{.}\text{.}\text{.}+C_n^0{x}_n(t)$$ .

Відповідно до властивості 4, ця комбінація буде розв’язком. Крім того, як випливає із системи алгебраїчних рівнянь, для отриманих $$C_1^0,C_2^0,\text{.}\text{.}\text{.},C_n^0$$: $$x(t_0)0$$, $$t_0[a,b]$$. Але розв’язком, що задовольняють таким умовам, є $$x0$$. І в силу теореми існування та єдиності ці два розв’язки збігаються, тобто $$x(t)0$$ при $$t[a,b]$$, або.

$$C_1^0{x}_1(t)+C_2^0{x}_2(t)+\text{.}\text{.}\text{.}+C_n^0{x}_n(t)0$$ ,.

або розв’язки $$x_1(t),\text{.}\text{.}\text{.},x_n(t)$$ лінійно залежні, що суперечить умові теореми.

Таким чином, $$W[x_1,\text{.}\text{.}\text{.},x_n]/=0$$ у жодній точці $$t[a,b]$$, що і було потрібно довести.

Теорема 3. Для того щоб розв’язки $$x_1(t),\text{.}\text{.}\text{.},x_n(t)$$ були лінійно незалежні, необхідно і достатно, щоб $$W[x_1(t),\text{.}\text{.}\text{.},x_n(t)]/=0$$ у жодній точці $$t[a,b]$$ .

Доведення. Випливає з попередніх двох теорем.

Теорема 4. Загальний розв’язок лінійної однорідної системи представляється у вигляді лінійної комбінації плінійно незалежних розв’язків.

Доведення. Як випливає з властивості 3, лінійна комбінація розв’язків також буде розв’язком. Покажемо, що цей розв’язок загальний, тобто завдяки вибору коефіцієнтів $$C_1,\text{.}\text{.}\text{.},C_n$$ можна розв’язати будь-яку задачу Коші $$x(t_0)=x_0$$ або в координатній формі:

$$x_1(t_0)=x_1^0,\text{.}\text{.}\text{.},x_n(t_0)=x_n^0$$ .

Оскільки розв’язки $$x_1(t),\text{.}\text{.}\text{.},x_n(t)$$ лінійно незалежні, то визначник Вронського відмінний від нуля. Отже, система алгебраїчних рівнянь.

$$\begin{array}{c}{C}_1{x}_{\text{11}}(t_0)+C_2{x}_{\text{12}}(t_0)+\text{.}\text{.}\text{.}+C_n{x}_{1n}(t_0)=x_1^0\\ C_1{x}_{\text{21}}(t_0)+C_2{x}_{\text{22}}(t_0)+\text{.}\text{.}\text{.}+C_n{x}_{2n}(t_0)=x_2^0\\ \text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\\ C_1{x}_{n1}(t_0)+C_2{x}_{n2}(t_0)+\text{.}\text{.}\text{.}+C_n{x}_{\text{nn}}(t_0)=x_n^0\\ \\ \begin{array}{c}\{\{\{\end{array}\hfill \\ \end{array}$$.

має єдиний розв’язок $$C_1^0,C_2^0,\text{.}\text{.}\text{.},C_n^0$$ .

Тоді лінійна комбінація.

$$x(t)=C_1^0{x}_1(t)+C_2^0{x}_2(t)+\text{.}\text{.}\text{.}+C_n^0{x}_n(t)$$.

є розв’язком поставленої задачі Коші. Теорема доведена.

Властивість 1. Максимальне число незалежних розв’язків дорівнює кількості рівнянь.

Це випливає з теореми про загальний розв’язок системи однорідних рівнянь, тому що будь-який інший розв’язок може бути представлений у вигляді лінійної комбінації $$n$$ лінійно незалежних розв’язків.

Визначення. Матриця, складена з будь-яких $$n$$ -лінійно незалежних розв’язків, називається фундаментальною матрицею розв’язків системи.

Якщо лінійно незалежними розв’язками будуть.

$$\begin{array}{c}{x}_{\text{11}}(t)\\ x_{\text{21}}(t)\\ \text{.}\text{.}\text{.}\\ x_{n1}(t)\\ \\ \mathit{righ}\\ \\ \\ \\ \begin{array}{c}\left(\right)\left(\right)\left(\right)\end{array}\\ x_1=\\ \end{array}$$, $$\begin{array}{c}{x}_{\text{12}}(t)\\ x_{\text{22}}(t)\\ \text{.}\text{.}\text{.}\\ x_{n2}(t)\\ \\ \mathit{righ}\\ \\ \\ \\ \begin{array}{c}\left(\right)\left(\right)\left(\right)\end{array}\\ x_2=\\ \end{array}$$, …, $$\begin{array}{c}{x}_{1n}(t)\\ x_{2n}(t)\\ \text{.}\text{.}\text{.}\\ x_{\text{nn}}(t)\\ \\ \mathit{righ}\\ \\ \\ \\ \begin{array}{c}\left(\right)\left(\right)\left(\right)\end{array}\\ x_n=\\ \end{array}$$ ,.

то матриця.

$$\begin{array}{c}{x}_{\text{11}}(t)x_{\text{12}}(t)\text{.}\text{.}\text{.}{x}_{1n}(t)\\ x_{\text{21}}(t)x_{\text{22}}(t)\text{.}\text{.}\text{.}{x}_{2n}(t)\\ \text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\text{.}\\ x_{n1}(t)x_{n2}(t)\text{.}\text{.}\text{.}{x}_{\text{nn}}(t)\\ \\ \mathit{righ}\\ \\ \\ \\ \begin{array}{c}\left(\right)\left(\right)\left(\right)\end{array}\\ X(t)=\\ \end{array}$$.

буде фундаментальною матрицею розв’язків.

Як випливає з попередньої теореми загальний розв’язок може бути представлений у вигляді.

$$x_{\text{одн}}(t)=\underset{i=1}{\overset{n}{}}{C}_i{x}_i(t)$$ ,.

де $$C_i$$ — довільні сталі. Якщо ввести вектор $$\begin{array}{c}{C}_1\\ C_2\\ \text{.}\text{.}\text{.}\\ C_n\\ \\ \mathit{righ}\\ \\ \\ \\ \begin{array}{c}\left(\right)\left(\right)\left(\right)\end{array}\\ C=\\ \end{array}$$, то загальний розв’язок можна записати у вигляді $$x_{\text{одн}}(t)=X(t)C$$ .