Застосування диференціальних рівнянь у задачах економічної динаміки

Реферат на тему:

Застосування диференціальних рівнянь у задачах економічної динаміки Диференціальні рівняння використовують у економічних моделях, що відображують зміну і взаємозв'язок економічних показників у часі.

1. Модель Еванса встановлення рівноважної ціни.

У цій моделі розглядають ринок одного товару, неперервно залежний від часу. Нехай Q (t), S (t), P (t) — відповідно попит, пропозиція і ціна цього товару у момент часу t. Будемо вважати, що і попит, і пропозиція лінійні функції від ціни, тобто Q (t) = a-bP (t), a, b>0 (із зростанням ціни попит спадає), S (t) =(f), gt-0 (із зростанням ціни пропозиція зростає), причому а>ля нульової ціни попит перевищує пропозицію, тобто товар бажаний споживачу).

Головним припущенням є те, що збільшення ціни прямо пропорційне перевищенню попиту над пропозицією за час тобто.

$$\mathit{}=(Q-S)\mathit{},$$ де 0, або $$\frac{\text{dP}}{\text{dt}}=(Q-S)\text{.}$$.

Підставивши у це рівняння лінійні залежності попиту і пропозиції від ціни, одержимо лінійне неоднорідне диференціальне рівняння з початковою умовою:

$$\frac{\text{dP}}{\text{dt}}=-(b-)P+(a-)\begin{array}{cc},& P(0)=P_0\end{array}\text{.}$$.

Розв’язавши рівняння, маємо:

$$P(t)=P_0{e}^{-(b+)t}+\frac{a-}{b+}\left(1-e^{-(b+)t}\right),$$.

звідки.

$$P(t)=P_0{e}^{-(b+)t}+\frac{a-}{b+}\left(1-e^{-(b+)t}\right),$$ де $$P^{}=\frac{a-}{b+}\text{.}$$.

Точка $$P^{}=\frac{a-}{b+}$$ > 0 є стаціонарною: $$\underset{t->\mathrm{}}{\text{lim}}P(t)=P^{}$$, бо для P0<P*.

Ціна прямує до Р*, зростаючи, а для Р0>Р* ціна, спадаючи, теж прямує до Р*. Сама ціна Р* є рівноважна ціна — для неї Q (P*) = S (P*). Рівноважну ціну можна також знайти графічно.

2. Модель росту (зростання для постійного темпу приросту).

Нехай Q = Q (t) — обсяг продукції деякої галузі (підприємства), виробленої за час t. Будемо вважати, що ринок ненасичений, тобто вся продукція буде реалізована, причому за деякою фіксованою ціною Р. Тоді на момент часу t галузь отримає дохід PQ (t). Нехай I = I (t) -величина чистих інвестицій, тобто засобів, направлених на розширення виробництва (чисті інвестиції - це різниця між загальним обсягом інвестицій і амортизаційними витратами).

Якщо т (0<m<l) — норма інвестицій, тобто частина доходу P, направлена на розширення виробництва, то.

I (t)= m (t). (8.1).

Для збільшення інтенсивності випуску продукції необхідно, щоб чисті інвестиції I = I (t) були більше нуля. У випадку І(і) = 0 загальні інвестиції лише покривають амортизаційні витрати і рівень випуску продукції залишається незмінним. Випадок I (t)<0 веде до зменшення основних фондів, що призводить до зменшення рівня випуску продукції. Таким чином, швидкість збільшення випуску продукції (Q'(t)) є зростаючою функцією від I (бо I (t)>0).

Припустимо, що ця залежність прямо пропорційна, тобто має місце так званий принцип акселерації:

Q'(t) = l (l = const), (8.2).

де $$\frac{1}{l}$$ — норма акселерації.

Підстановкою у формулу (8.2) значення I з формули (8.1), одержимо:

Q'(t)=l.

або.

Q' = kQ, де k = lmP. (8.3).

Це диференціальне рівняння першого порядку з відокремлюваними змінними. Знайдемо його загальний розв’язок:

$$\frac{\text{dQ}}{\text{dt}}=\text{kQ}=>\frac{\text{dQ}}{Q}=\text{kdt}=>\frac{\text{dQ}}{Q}=\text{kdt}=>\text{ln}|Q|=\text{kt}+\text{ln}|C|=>Q={\text{Ce}}^{\text{kt}}\text{.}$$.

Якщо у початковий момент часу г0 обсяг продукції становить Q0, то.

$$Q_0={\text{Ce}}^{{\text{kt}}_0},$$ звідки $$C=Q_0{e}^{-{\text{kt}}_0}\text{.}$$.

Отже, частинний розв’язок рівняння (8.3).

$$Q=Q_0{e}^{k(t-t_0)}\text{.}$$ (8.4).

Рівняння (8.4) називають рівнянням росту. Цим рівнянням можна описати також динаміку зміни цін для постійного темпу інфляції, процеси радіоактивного розпаду, розмноження бактерій тощо.

3. Модель росту в умовах конкуренції.

Розглянемо більш загальний випадок. Нехай ціна Р = P (Q) — спадна функція $$\left(\frac{\text{dP}}{\text{dQ}}<0\right),$$ тобто із збільшенням випуску продукції відбувається насичення ринку і ціна спадає. Тоді з формул (8.1), (8.2) одержимо рівняння:

Q'(t) = l (Q)-Q (t),.

або.

Q'=Q)де т. (8.5).

Оскільки всі множники у правій частині цього рівняння додатні, Q'>0, тобто функція Q зростає. Характер зростання функції Q (t) (опуклість) визначається знаком другої похідної:

$$\begin{array}{c}Q\text{(t) =t ({ { ital}\mathit{dP}\text{} over { ital}\mathit{dQ}\text{} } Q’Q+P (Q) cdot Q' right)=left (1+ { { ital}\mathit{dP}\text{} over { ital}\mathit{dQ}\text{} } { {Q} over {P} } right)=left (1 — { {1} over { lline E rSub { size 8{p} } (Q) rline } } right),} {}\\ \end{array}$$.

де $$E_p(Q)=\frac{P}{Q}\frac{\text{dQ}}{\text{dP}}$$ — еластичність попиту. Розглянемо два випадки:

I. Попит еластичний, тобто $$|E_p(Q)|>1\text{.}$$ Тоді Q" >0 і функція Q опукла вниз. Це означає прискорення зростання обсягу продукції.

II. Нееластичний попит $$|E_p(Q)|<1\text{.}$$ Тоді Q" <0 і функція Q — опукла вгору, що означає уповільнення росту обсягу продукції (насиченість ринку). У найпростішому випадку, коли залежність Р = P (Q) лінійна, тобто.

P (Q) = a-bQ, а>0, b>0,.

рівняння (8.5) матиме вигляд:

Q' = bQ)-Q. (8.6).

Розв’яжемо це рівняння:

$$\frac{\text{dQ}}{Q(a-\text{bQ})}=\text{dt}=>\frac{\text{dQ}}{Q(a-\text{bQ})}=\mathit{}+C=>\frac{1}{a}\text{ln}\frac{Q}{\text{bQ}}=\mathit{}+C=>\frac{Q}{a-\text{bQ}}={\text{Ce}}^{\mathit{a}}=>Q=\frac{\text{Ca}}{e^{-\mathit{a}}+\text{Cb}}\text{.}$$.

(8.7).

Графік функції (8.7) називають логістичною кривою. Легко бачити, що Q'=0, коли Q = 0, або Q =a/b, і Q = a/2bточка перегину:

Кривою такого типу можна описати також деякі моделі розповсюдження інформації (реклами), динаміку епідемій, процеси розмноження бактерій в обмеженому середовищі тощо.

4. Динамічна модель Кейнса.

Розглянемо найпростішу балансову модель, що включає основні компоненти динаміки витрат та доходів економіки деякої країни. Нехай Y (t) — національний дохід, E (t) — державні витрати, S (t) — споживання, I (t) — інвестиції. Тоді можна скласти такі співвідношення:

$$\begin{array}{c}Y(t)=S(t)+I(t)+E(t),\\ S(t)=a(t)Y(t)+b(t),\\ I(t)=k(t)Y\text{'}(t),\\ \\ \begin{array}{c}\{\{\end{array}\hfill \\ \end{array}$$.

де a (t) — коефіцієнт схильності до споживання (0<а (t)<і), b (t)-кінцеве споживання, k (t) — норма акселерації. Всі величини розглядаються як функції від часу t і додатні.

Перше рівняння системи означає, що сума всіх витрат повинна дорівнювати національному доходу. У другому рівнянні відображено, що загальне споживання складається з внутрішнього споживання деякої частини національного доходу та кінцевого споживання. І, нарешті, величина інвестицій не може бути довільною: вона визначається добутком норми акселерації на граничний національний дохід. Будемо вважати, що функції a (t), b (t), k (t), E (t) відомі. Необхідно знайти динаміку національного доходу (зміну доходу залежно від часу).

Підставимо вирази з другого та третього рівнянь системи у перше та зробимо елементарні перетворення. Одержимо лінійне рівняння першого порядку відносно функції Y (t):

$$Y\text{'}=\frac{1-a(t)}{k(t)}Y-\frac{b(t)+E(t)}{k(t)}\text{.}$$.

У найпростішому випадку, коли функції a (t), b (t), k (t), E (t) є сталими величинами, маємо рівняння.

$$Y\text{'}=\frac{1-a}{k}Y-\frac{b+E}{k}\text{.}$$ (8.8).

За формулою (3.3) § 4 знайдемо розв’язки:

$$Y(t)=\frac{b+E}{1-a}+{\text{Сe}}^{\left(\frac{1-a}{k}t\right)}$$.

(Частинний розв’язок $$Y^{}=\frac{b+E}{1-a}$$ було знайдено за умови Y' = 0, його називають рівноважним розв’язком). Інтегральні криві рівняння (8.8) мають вигляд:

Якщо у початковий момент часу Y0<Y*, то С = Y0-Y*<0 і криві прямують вниз від рівноважного розв’язку, тобто національний дохід з часом зменшується. Якщо ж Y0>Y*, то С = Y0-Y*>0 і національний дохід зростає - інтегральні криві прямують вгору від рівноважної прямої.

5. Неокласична модель росту.

Нехай Y = F (K, L) — національний дохід, отриманий за рахунок капіталовкладень К і витрат праці L, F (K, L) — однорідна виробнича функція (F (tK, tL) = tF (K, L)). Цю умову, наприклад, задовольняє виробнича функція Кобба-Дугласа. Позначимо.

$$f(k)=\frac{F(K,L)}{L}=F\left(\frac{K}{L}\mathrm{,\; 1}\right)=F(k\mathrm{,\; 1}),$$.

де k = K/Lфондоозброєність. Як відомо, f'(k) > 0, f" (k) < 0. Припустимо, що:

1) відбувається природний приріст трудових ресурсів, тобто.

L' = onst). (8.9).

2) інвестиції спрямовані як на збільшення виробничих фондів, так і на амортизацію, тобто.

І = К' + h1>

(норма амортизації).

Нехай I — норма інвестицій (тобто I=lY), тоді.

lY = K' + math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" >=> K' =lY- (8.10).

З означення фондоозброєності маємо:

Ln k = lnK — lnL, тoмy (In k)' = (lnK — ln. L)',.

отже.

$$\frac{k\text{'}}{k}=\frac{K\text{'}}{K}-\frac{L\text{'}}{L}\text{.}$$.

Підставивши у цю формулу значення L' і К' з (8.9) і (8.10), одержимо.

$$\frac{k\text{'}}{k}=\frac{\text{lY}-\mathit{}}{K}-=>k\text{'}=\frac{\text{lYk}}{K}-(+)k=\frac{\text{lYK}}{\text{kL}}-(+)k\text{.}$$.

Враховуючи, що $$f=\frac{Y}{L}$$, остаточно отримаємо рівняння:

$$k\text{'}=\text{lf}(k)-(+)k$$ (8.11).

яке називають рівнянням неокласичного росту. Стаціонарний розв’язок к* рівняння (8.11) знаходимо з початкової умови $$k\text{'}=0=>\text{lf}(k)-(+)k=0\text{.}$$ Криву $$\begin{array}{c}k(t)=k\\ \end{array}$$ називають стаціонарною кривою.

Нехай к — величина фондоозброєності, для якої досягається повна зайнятість. Знайдемо норму інвестицій, що забезпечує зайнятість робітників. З умови задачі випливає, що $$\begin{array}{c}k(t)=k\\ \end{array}$$, тобто.

$$\begin{array}{c}k\text{'}=0=>l=(+)\frac{k}{f(k)}\\ \end{array}$$ .

6. Модель ринку з прогнозованими цінами.

У простих моделях ринку (наприклад, модель Еванса) вважають, що попит і пропозиція залежать тільки від поточної ціни на товар. Однак у реальних ситуаціях попит і пропозиція залежать не тільки від ціни Р, але й від тенденції ціноутворення (тобто від Р'), і від темпів зміни ціни (Р'). Розглянемо конкретний приклад.

Нехай функції попиту Q (t) і пропозиції S (t) залежать від ціни Р (t) таким чином:

$$\begin{array}{c}Q(t)=3P\text{— P' - 2P+}18\text{,} {} \# size 12{S (t) =4P}+P\text{'}+3P+3\text{.}\end{array}$$.

Треба знайти залежність ціни від часу. Оскільки в точці рівноваги Q (t)=S (t). маємо: 3P" -P'-2P+18 S (t) = 4P" +P'+3P+3, або Р" + 2Р' + 5Р = 15. (8.12).

Це лінійне диференціальне рівняння другого порядку із сталими коефіцієнтами. Загальний розв’язок цього рівняння є сумою якогось його частинного розв’язку і загального розв’язку відповідного однорідного рівняння Р" +2Р'+5Р = 0.

Характеристичне рівняння P2+2P'+5P = 0 має корені к1,2 = -1±2і.

Звідси загальний розв’язок відповідного однорідного рівняння має вигляд

$$P_{з\text{.}о\text{.}}(t)=e^{-t}(C_1\text{cos}2t+C_2\text{sin}2t)$$.

Частинним розв’язком рівняння (8.12) візьмемо Р = Рst — сталу, що задовольняє рівняння і яку будемо називати стаціонарною ціною. Підставивши цей розв’язок у рівняння (8.12), одержимо:

Pst=3.

Таким чином, загальний розв’язок рівняння (8.12) має вигляд.

$$P(t)=3+e^{-t}(C_1\text{cos}2t+C_2\text{sin}2t)\text{.}$$ (8.13).

Легко бачити, що $$P(t)->P_{\text{st}}=3\begin{array}{cc},& t->\mathrm{},\end{array}$$ тобто всі ціни з коливаннями прямують до стаціонарної ціни, причому амплітуда цих коливань з часом затухає.

Припустимо тепер, що в початковий момент часу відомі ціна і тенденція її зміни:

t=0- P= 4, Р' = 1.

Підставивши першу умову у (8.13), одержимо.

$$P(0)=C_1+3=4=>C_1=1\text{.}$$.

тобто.

$$P\text{'}(t)=e^{-t}(\text{cos}2t+C_2\text{sin}2t)\text{.}$$.

Продиференціюемо цю рівність:

$$P\text{'}(t)=e^{-t}((2C_2-1)\text{cos}2t-(C_2+2)\text{sin}2t)\text{.}$$.

З другої умови задачі Коші маємо.

Р'(0) = 2С2−1 = 1 $$=>$$ С2=1.

Остаточно розв’язок задачі Коші має вигляд.

$$P(t)=3+e^{-t}(\text{cos}2t+\text{sin}2t)\text{.}$$.

Задачі.

1. 1.Розв'язати рівняння Самуельсона P' = 2(Q (P)-S (P)), що моделює зв’язок між зміною ціни Р і незадоволеним попитом Q (P)-S (P), якщо Q (P) = 4 — 3Р, S (P)=2+2P. Побудувати схематично графік.

2. 2. Описати динаміку росту випуску продукції і знайти обсяг продукції, виробленої галуззю за час t=10 років, якщо ціна Р одиниці продукції становить 10.3 грош. од., сума інвестицій пропорційна доходу з коефіцієнтом пропорційності m=0.3, підвищення швидкості випуску продукції пропорційне збільшенню інвестицій з коефіцієнтом пропорційності l=6. Відомо, що в початковий момент часу t0 обсяг продукції становив Q0 = 6 од.

3. 3.Розв'язати задачу 272, якщо t = 11, Р = 10, т = 0.2, l = 8, Q0 = 60.

4. 4.Розв'язати задачу 272, якщо t = 2, Р = 6, т = 0.6, l = 4, Q0 = 50.

5. 5.Розв'язати задачу 272, якщо t = 5, Р = 5, т = 0.5, l = 2, Q0 = 40.

6. 6.Описати динаміку цін, якщо функції попиту і пропозиції мають вигляд Q (P) = 8−4P, S (P) = 2 + 6P і збільшення ціни прямо пропорційне різниці попиту і пропозиції з коефіцієнтом 4, причому у початковий момент часу t0 ціна Р (t0)=2. Побудувати схематично графік.

7. 7.Нехай попит і пропозицію на товар відображено функціями Q (P)=4P'-2Р+39, S (P) = 44P'+2P-1, причому у початковий момент часу t0 ціна P (t0)=1. Виходячи з вимоги відповідності попиту пропозиції, знайти закон зміни ціни залежно від часу.

8. 8.Нехай попит і пропозиція на товар визначаються співвідношеннями Q (P)=2P" -P'-P+15, S (P)=3P" +P'+P+5, де Рціна на товарР' - тенденція формування ціниР" - темп зміни ціни. Відомо, що у початковий момент часу Р (0) = 6, Q (0) = S (0)=10. Виходячи з вимоги відповідності попиту пропозиції, знайти залежність ціни від часу.

9. 9. Знайти функції, еластичність яких є стала величина.

10. 10. Знайти залежність ціни і попиту від часу, якщо попит і пропозиція визначаються співвідношеннями: Q (P) = P" -4P'-P+17, S (P)=2P" +P'+3P+5, Р (0) = 3, Q (0) = 11, Q (t) = S (t).

11. 11. Знайти залежність ціни і попиту від часу, якщо попит і пропозиція визначаються співвідношеннями: Q (P) = P" -4P'-2P+30,.

S (P)=2P" +2P'+6P-18, P (0) = 6, Р (0) = 14, Q (t) = S (t).

1. 12.Знайти залежність ціни і попиту від часу, якщо попит і пропозиція визначаються співвідношеннями: Q (Р)=Р" -4Р'-4Р+38, S (P)=2P" +4P'+12P-10, Р (0) = 3, Q (0) = 26, Q (t) = S (t).

2. 13.Швидкість знецінювання обладнання внаслідок його зносу пропорційна в кожний момент часу його фактичній вартості з коефіцієнтом пропорційності к. Початкова вартість обладнання — А0. Якою буде вартість обладнання після використання його впродовж t років?

3. 14. Знайти функцію загальних витрат виробництва TC (Q), якщо загальні і граничні витрати задовольняють рівнянню МТСTC+Q=0 і в початковий момент часу ТС (0) = 0.

4. 15. Знайти функцію загальних витрат виробництва TC (Q), якщо відомо, що граничні витрати для всіх значень Q пропорційні середнім витратам з коефіцієнтом пропорційності к і в початковий момент часу TC (1)=1.

5. 16. Еластичність виробничої функції y = f (x) відносно змінної х характеризується співвідношенням $$E_x(y)=\frac{x-2x^2}{1+x-x^2}$$ .Знайти цю функцію, якщо її графік проходить через точку М (1−2).

6. 17. Еластичність виробничої функції y=f (x) відносно змінної х характеризується співвідношенням $$E_x(y)=\frac{1}{2}$$. Знайти цю функцію, якщо її графік проходить через точку М (1−1).

7. 18.Для виробничої функції F (K, L) = $$\sqrt{\text{KL}}$$ знайти інтегральні криві рівняння (8.11) і стаціонарний розв’язок.

8. 19. Для виробничої функції F (K, L) = aK + bL знайти інтегральні криві рівняння (8.11) і стаціонарний розв’язок.

9. 20. Для виробничої функції F (K, L) = $$K^{\frac{1}{3}}{L}^{\frac{1}{2}}\text{.}$$ знайти інтегральні криві рівняння (8.11) і стаціонарний розв’язок.

10. 21.Проаналізувати зміну попиту залежно від часу в умовах конкуренції, якщо P (Q) = 20−0,3Q, норма акселерації $$\frac{1}{l}$$ = 2, норма інвестицій m = 0,5 і відомо, що у початковий момент часу обсяг продукції становив Q0 = 5.

11. 22.Проаналізувати зміну попиту залежно від часу в умовах конкуренції, якщо Р (Q) = 200−0,2Q, норма акселерації $$\frac{1}{l}$$ = 2, норма інвестицій т = 0,5 і відомо, що у початковий момент часу обсяг продукції становив Q0 = 50.

12. 23.Знайти і побудувати інтегральні криві рівняння (8.5) у випадку, коли ціна на продукцію обернено пропорційна кількості випущеної продукції.

13. 24.Знайти і побудувати інтегральні криві рівняння (8.5) у випадку, коли P (Q)= $$\text{300}-0\text{.}\text{03}\sqrt{Q}$$ у початковий момент часу обсяг продукції становить Q0=30.

14. 25.Знайти і побудувати інтегральні криві рівняння (8.5) у випадку, коли P (Q)= $$\text{500}-0\text{.}\text{02}\sqrt{Q}$$ i у початковий момент часу обсяг продукції становить Q0 = 50.

15. 26. Нехай відомі такі показники: $$E(t)=e^{1/2}\text{sin}t$$ — державні витрати- $$S(t)=\frac{Y(t)}{2}$$ — споживання, к = 0,5 — норма акселерації. Знайти величину національного доходу, якщо Y (0)=10. Побудувати схематично графік.

16. 27.Розв'язати задачу 296, якщо $$\begin{array}{cccc}E(t)=0\text{.}1e^t\text{sin}t,& S(t)=\frac{Y(t)}{5}+\text{20},& k=\mathrm{2,}& Y(0)=\text{50}\text{.}\end{array}$$.

17. 28.Розв'язати задачу 296, якщо $$\begin{array}{cccc}E(t)=0\text{.}\text{01}{e}^{t/4},& S(t)=\frac{Y(t)}{3}+\text{10},& k=3/\mathrm{2,}& Y(0)=\text{50}\text{.}\end{array}$$.

18. 29.Розв'язати задачу 296, якщо $$\begin{array}{cccc}E(t)=\text{10}{e}^t\text{sin}t,& S(t)=\frac{Y(t)}{2}+\text{100},& k=\mathrm{3,}& Y(0)=\text{100}\text{.}\end{array}$$.

19. 30.Знайти залежність ціни і попиту від часу, якщо попит і пропозиція визначаються співвідношеннями: Q (P) = 3P" -P'-2P+18, S (P)=4P" +P'+3P+3, P (0) = 4, Q (0) = 16, Q (t) = S (t).