Допомога у написанні освітніх робіт...
Допоможемо швидко та з гарантією якості!

Розкладання елементарних функцій в ряд Маклорена (реферат)

РефератДопомога в написанніДізнатися вартістьмоєї роботи

Ряд (45) називають біноміальним. Якщо m N дістаємо відомий розклад двочлена, який називають біномом Ньютона (гл. 5. п. 5.4.). Розглянемо ряди Маклорена деяких елементарних функцій (вони часто використовуються і тому їх варто запам’ятати): З п. 2.4 випливає таке правило розкладання функції в ряд: щоб функцію f (x) розкласти в ряд Маклорена потрібно: Рядом Маклорена функції f (x) називають… Читати ще >

Розкладання елементарних функцій в ряд Маклорена (реферат) (реферат, курсова, диплом, контрольна)

2.5. Розкладання елементарних функцій в ряд Маклорена.

Рядом Маклорена функції f (x) називають степеневий ряд по степенях х, який можна дістати з ряду (38) при х0 = 0:

f ( 0 ) + f ' ( 0 ) 1 ! x + f ' ' ( 0 ) 2 ! x 2 + + f ( n ) ( 0 ) n ! x n + . .

З п. 2.4 випливає таке правило розкладання функції в ряд: щоб функцію f (x) розкласти в ряд Маклорена потрібно:

а) знайти похідні f'(х), f" (х), …, fп (х), …;

б) обчислити значення похідних в точці х = 0;

в) записати ряд Маклорена (41) для даної функції і знайти інтервал його збіжності;

г) визначити інтервал (-RR), в якому залишковий член формули Маклорена Rп (х) -> 0 при п -> p>

Якщо такий інтервал існує (він може відрізнятись від інтервалу збіжності ряду (41)), то в цьому інтервалі функція f (х) і сума ряду Маклорена збігаються:

f ( x ) = f ( 0 ) + f ' ( 0 ) 1 ! x + f ' ' ( 0 ) 2 ! x 2 + + f ( n ) ( 0 ) n ! x n + . .

Розглянемо ряди Маклорена деяких елементарних функцій (вони часто використовуються і тому їх варто запам’ятати):

e x = 1 + x 1 ! + x 2 2 ! + + x n n ! + , x ( - - + ) - (42).

sin x = x - x 3 3 ! + x 5 5 ! - x 7 7 ! + + + ( - 1 ) n x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) + , x ( - - + ) - (43).

cos x = 1 - x 2 2 ! + x 4 4 ! - x 6 6 ! + + ( - 1 ) n x 2 n ( 2 n ) ! + , x ( - - + ) - (44).

( 1 + x ) m = 1 + m 1 ! x + m ( m - 1 ) 2 ! x 2 + m ( m - 1 ) ( m - 2 ) 3 ! x 3 + + .

+ m ( m - 1 ) . . . ( m - n + 1 ) n ! x n + , m R , x ( - 1 - 1 ) - (45).

1 1 - x = 1 + x + x 2 + + x n + + , x ( - 1 - 1 ) - (46).

ln ( 1 + x ) = x - x 2 2 + x 3 3 - x 4 4 + + ( - 1 ) ( n - 1 ) x n n ! + , x ( - 1 - 1 ] - (47).

arctg x = x - x 3 3 + x 5 5 - x 7 7 + + ( - 1 ) n x 2 n + 1 2 n + 1 + , x [ - 1 - 1 ] . (48).

Доведемо формули (42) — (48).

  1. 1.Нехай f (x)=ex. Маємо:

а) f ( n ) ( x ) = e x , n N - б) f ( n ) ( 0 ) = 1, n = 0,1,2, . . . в) 1 + x + x 2 2 ! + . . . + x n n ! + . . . = n = 0 x n n ! - .

R = lim n -> | a n a n + 1 | = lim n -> ( n + 1 ) ! n ! = lim n -> ( n + 1 ) = , отже знайдений ряд зберігається в інтервалі (;

г) f ( n ) ( x ) <= e | x | e R , x ( - R - R ) , .

тому за теоремою 3 (п. 2.4.) функцією ех можна розкласти в степеневий ряд на довільному інтервалі (- RR)

(- а отже, і на всьому інтервалі (- Формулу (42) доведено.

.

  1. 2.Нехай f (x) = sin x. Дістанемо.

а) f'(x) = cos x = sin (x + 2 );

fn (x) = sin x = sin (x + 2 2 );

f'''(x) = cos x = sin (x + 3 2 );

fn (x) = sin (x + 2 2 ), n N;

б) fn (0) = sin n 2 = { 0, n = 0,2,4,6, . . . - - 1, n = 3,7, 11 , . . . - + 1, n = 1,5,9, . . . - .

в) x - x 3 3 ! + x 5 5 ! + (-1)n + x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) + = n - 0 ( - 1 ) n x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! ;

R= lim | a n a n + 1 | = lim n -> ( 2 n + 3 ) ! 2 n + 1 ) ! = .

г) | f ( n ) ( x ) | = | sin ( x + n 2 | 1 < 2, x ( - - + ) , n = 0,1,2, . . . , тобто формулу (43) доведено.

3.Нехай f (х) = cos x. Формулу (44) можна довести так само, як і формулу (43). Проте це можна зробити значно простіше, про диференціювавши почленно ряд (43).

4.Нехай f (х) = (1+x)m, m R. Маємо:

а) f'(x) =m (1+x)m-1, fn (x) =m (m-1) (1+x)m-2,…,.

f (n)(x) =m (m-1)…(m-n+1) (1+x)m-n, n N;

б) f (n)(0) =m (m-1)…(m-n+1) (1+x)m-n, n N;

в) 1+ mx.

+ m ( m - 1 ) 2 ! x 2 + m ( m - 1 ) ( m - 2 ) 3 ! x 3 + . . . + m ( m - 1 ) . . . ( m - n + 1 ) n ! x n . . . = n = 0 m ( m - 1 ) . . . ( m - n + 1 ) n ! x n - .

R= lim m - n | a n a n + 1 | = lim n -> | m ( m - 1 ) . . . ( m - n + 1 ) ( n + 1 ) ! ( m - n + 1 ) ( m - n ) | = lim n -> | n = 1 m = n | = 1, .

тобто знайдений ряд збіжний в інтервалі (1,1). Доведення, що на цьому інтервалі lim n -> R n ( x ) = 0 , опускаємо.

Ряд (45) називають біноміальним. Якщо m N дістаємо відомий розклад двочлена, який називають біномом Ньютона (гл. 5. п. 5.4.).

Збіжність біноміального ряду в кінцевих точках інтервалу (-1−1) залежить від числа m.

Ряд ((45) збіжний до функції (1+ч)m в таких випадках:

при m, якщо x [ - 1 - 1 ] ;

при -1<m < 0, якщо x [ - 1 - 1 ] ;

при m - 1 , якщо x [ - 1 - 1 ] .

Приймемо ці твердження без доведення.

5. Нехай f (x) = 1 1 - x . Формулу (46) виводимо трьома способами: користуючись правилом розкладання функції в рядзастосувавши формуу (45) і поклавши в ній m=-1 іx замість хрозглядаючи ряд 1+х+х2+…хn+… як геометричну прогресію, перший член якої дорівнює одиниці, а знаменний q=x. Відомо (п. 1.1), що даний ряд збіжний при | x | < 1 і сума його дорівнює (1-х)-1.

6. Не зупиняючись на деталях, зазначимо, що коли у формулі (46) покласти — х замість х, потім — х2 замість х і знайдені ряд про інтегрувати, то дістанемо розклад в степеневий ряд функції ln (1+x) і функції arctg x (формули (47), (48)).

Ряди (42) = (48) використовуються при знаходження степеневих рядів для інших функцій.

Приклади.

1.Розкласти в ряд функцію f (x) = x2 ln (1-x3).

Поклавши у форму (47) — х3 замість х, маємо.

ln (1-x3)=-x3- x 6 2 - x 9 3 - . . . - x 3 n n - . . . , x [ - 1 - 1 ) - ] .

x2 ln (1-x3) =-x5- x 8 2 - x 11 3 - . . . - x 3 n + 2 n - . . . , x [ - 1 - - 1 ) - ] .

Показати весь текст
Заповнити форму поточною роботою