Розкладання елементарних функцій в ряд Маклорена (реферат)
Ряд (45) називають біноміальним. Якщо m N дістаємо відомий розклад двочлена, який називають біномом Ньютона (гл. 5. п. 5.4.). Розглянемо ряди Маклорена деяких елементарних функцій (вони часто використовуються і тому їх варто запам’ятати): З п. 2.4 випливає таке правило розкладання функції в ряд: щоб функцію f (x) розкласти в ряд Маклорена потрібно: Рядом Маклорена функції f (x) називають… Читати ще >
Розкладання елементарних функцій в ряд Маклорена (реферат) (реферат, курсова, диплом, контрольна)
2.5. Розкладання елементарних функцій в ряд Маклорена.
Рядом Маклорена функції f (x) називають степеневий ряд по степенях х, який можна дістати з ряду (38) при х0 = 0:
.
З п. 2.4 випливає таке правило розкладання функції в ряд: щоб функцію f (x) розкласти в ряд Маклорена потрібно:
а) знайти похідні f'(х), f" (х), …, fп (х), …;
б) обчислити значення похідних в точці х = 0;
в) записати ряд Маклорена (41) для даної функції і знайти інтервал його збіжності;
г) визначити інтервал (-RR), в якому залишковий член формули Маклорена Rп (х) -> 0 при п -> p>
Якщо такий інтервал існує (він може відрізнятись від інтервалу збіжності ряду (41)), то в цьому інтервалі функція f (х) і сума ряду Маклорена збігаються:
.
Розглянемо ряди Маклорена деяких елементарних функцій (вони часто використовуються і тому їх варто запам’ятати):
(42).
(43).
(44).
.
(45).
(46).
(47).
(48).
Доведемо формули (42) — (48).
1.Нехай f (x)=ex. Маємо:
а) б) в) .
отже знайдений ряд зберігається в інтервалі (;
г) .
тому за теоремою 3 (п. 2.4.) функцією ех можна розкласти в степеневий ряд на довільному інтервалі (- RR)
(- а отже, і на всьому інтервалі (- Формулу (42) доведено.
.2.Нехай f (x) = sin x. Дістанемо.
а) f'(x) = cos x = sin (x + );
fn (x) = sin x = sin (x + 2 );
f'''(x) = cos x = sin (x + 3 );
…
fn (x) = sin (x + 2 ), n N;
б) fn (0) = sin n = .
в) (-1)n = ;
R= lim = = .
г) x тобто формулу (43) доведено.
3.Нехай f (х) = cos x. Формулу (44) можна довести так само, як і формулу (43). Проте це можна зробити значно простіше, про диференціювавши почленно ряд (43).
4.Нехай f (х) = (1+x)m, m R. Маємо:
а) f'(x) =m (1+x)m-1, fn (x) =m (m-1) (1+x)m-2,…,.
f (n)(x) =m (m-1)…(m-n+1) (1+x)m-n, n N;
б) f (n)(0) =m (m-1)…(m-n+1) (1+x)m-n, n N;
в) 1+ mx.
+ .
R= .
тобто знайдений ряд збіжний в інтервалі (1,1). Доведення, що на цьому інтервалі , опускаємо.
Ряд (45) називають біноміальним. Якщо дістаємо відомий розклад двочлена, який називають біномом Ньютона (гл. 5. п. 5.4.).
Збіжність біноміального ряду в кінцевих точках інтервалу (-1−1) залежить від числа m.
Ряд ((45) збіжний до функції (1+ч)m в таких випадках:
при m, якщо ;
при -1<m < 0, якщо ;
при m , якщо .
Приймемо ці твердження без доведення.
5. Нехай f (x) = . Формулу (46) виводимо трьома способами: користуючись правилом розкладання функції в рядзастосувавши формуу (45) і поклавши в ній m=-1 іx замість хрозглядаючи ряд 1+х+х2+…хn+… як геометричну прогресію, перший член якої дорівнює одиниці, а знаменний q=x. Відомо (п. 1.1), що даний ряд збіжний при і сума його дорівнює (1-х)-1.
6. Не зупиняючись на деталях, зазначимо, що коли у формулі (46) покласти — х замість х, потім — х2 замість х і знайдені ряд про інтегрувати, то дістанемо розклад в степеневий ряд функції ln (1+x) і функції arctg x (формули (47), (48)).
Ряди (42) = (48) використовуються при знаходження степеневих рядів для інших функцій.
Приклади.
1.Розкласти в ряд функцію f (x) = x2 ln (1-x3).
Поклавши у форму (47) — х3 замість х, маємо.
ln (1-x3)=-x3- .
x2 ln (1-x3) =-x5- .