Розкладання елементарних функцій в ряд Маклорена (реферат)

2.5. Розкладання елементарних функцій в ряд Маклорена.

Рядом Маклорена функції f (x) називають степеневий ряд по степенях х, який можна дістати з ряду (38) при х0 = 0:

$$f\left(0\right)+\frac{f^{\text{'}}\left(0\right)}{1!}x+\frac{f^{\text{'}\text{'}}(0)}{2!}{x}^2++\frac{f^{(n)}(0)}{n!}{x}^n+\text{.}$$.

З п. 2.4 випливає таке правило розкладання функції в ряд: щоб функцію f (x) розкласти в ряд Маклорена потрібно:

а) знайти похідні f'(х), f" (х), …, fп (х), …;

б) обчислити значення похідних в точці х = 0;

в) записати ряд Маклорена (41) для даної функції і знайти інтервал його збіжності;

г) визначити інтервал (-RR), в якому залишковий член формули Маклорена Rп (х) -> 0 при п -> p>

Якщо такий інтервал існує (він може відрізнятись від інтервалу збіжності ряду (41)), то в цьому інтервалі функція f (х) і сума ряду Маклорена збігаються:

$$f(x)=f\left(0\right)+\frac{f^{\text{'}}\left(0\right)}{1!}x+\frac{f^{\text{'}\text{'}}(0)}{2!}{x}^2++\frac{f^{(n)}(0)}{n!}{x}^n+\text{.}$$.

Розглянемо ряди Маклорена деяких елементарних функцій (вони часто використовуються і тому їх варто запам’ятати):

$$e^x=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}++\frac{x^n}{n!}+,x(-\mathrm{}-+\mathrm{})-$$ (42).

$$\text{sin}x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}++$$ $$+\frac{(-1{)}^n{x}^{2n+1}}{(2n+1)}+,x(-\mathrm{}-+\mathrm{})-$$ (43).

$$\text{cos}x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}++\frac{(-1{)}^n{x}^{2n}}{(2n)!}+,x(-\mathrm{}-+\mathrm{})-$$ (44).

$$(1+x{)}^m=1+\frac{m}{1!}x+\frac{m(m-1)}{2!}{x}^2+\frac{m(m-1)(m-2)}{3!}{x}^3++$$.

$$+\frac{m(m-1)\text{.}\text{.}\text{.}(m-n+1)}{n!}{x}^n+,mR,x(-1-1)-$$ (45).

$$\frac{1}{1-x}=1+x+x^2++x^n++,x(-1-1)-$$ (46).

$$\text{ln}(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}++(-1{)}^{(n-1)}\frac{x^n}{n!}+,x(-1-1]-$$ (47).

$$\text{arctg}x=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}++(-1{)}^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1}+,x[-1-1]\text{.}$$ (48).

Доведемо формули (42) — (48).

1. 1.Нехай f (x)=ex. Маємо:

а) $$f^{(n)}(x)=e^x,nN-$$ б) $$f^{(n)}(0)=\mathrm{1,}n=\mathrm{0,1,2,}\text{.}\text{.}\text{.}$$ в) $$1+x+\frac{x^2}{2!}+\text{.}\text{.}\text{.}+\frac{x^n}{n!}+\text{.}\text{.}\text{.}=\underset{n=0}{\overset{\mathrm{}}{}}\frac{x^n}{n!}-$$.

$$R=\underset{n->\mathrm{}}{\text{lim}}|\frac{a_n}{a_{n+1}}|=\underset{n->\mathrm{}}{\text{lim}}\frac{(n+1)!}{n!}=\underset{n->\mathrm{}}{\text{lim}}(n+1)=\mathrm{},$$ отже знайдений ряд зберігається в інтервалі (;

г) $$f^{(n)}(x)<=e^{|x|}{e}^R,x(-R-R),$$.

тому за теоремою 3 (п. 2.4.) функцією ех можна розкласти в степеневий ряд на довільному інтервалі (- RR) $$$$

(- а отже, і на всьому інтервалі (- Формулу (42) доведено.

.

1. 2.Нехай f (x) = sin x. Дістанемо.

а) f'(x) = cos x = sin (x + $$\frac{}{2}$$);

fn (x) = sin x = sin (x + 2 $$\frac{}{2}$$);

f'''(x) = cos x = sin (x + 3 $$\frac{}{2}$$);

…

fn (x) = sin (x + 2 $$\frac{}{2}$$), n $$$$ N;

б) fn (0) = sin n $$\frac{}{2}$$ = $$\{\begin{array}{c}\mathrm{0,}n=\mathrm{0,2,4,6,}\text{.}\text{.}\text{.}-\\ -\mathrm{1,}n=\mathrm{3,7,}\text{11},\text{.}\text{.}\text{.}-\\ +\mathrm{1,}n=\mathrm{1,5,9,}\text{.}\text{.}\text{.}-\end{array}$$.

в) $$x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+$$ (-1)n $$+\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)}+$$ = $$\underset{n-0}{\overset{\mathrm{}}{}}\frac{(-1{)}^n{x}^{2n+1}}{(2n+1)!}$$ ;

R= lim $$|\frac{a_n}{a_{n+1}}|$$ = $$\begin{array}{c}\text{lim}\\ n->\mathrm{}\end{array}\frac{(2n+3)!}{2n+1)!}$$ = $$\mathrm{}$$.

$$$$ г) $$|f^{(n)}(x)|=|\text{sin}(x+n$$ $$\frac{}{2}$$ $$|$$ $$1<\mathrm{2,}$$ x $$(-\mathrm{}-+\mathrm{}),n=\mathrm{0,1,2,}\text{.}\text{.}\text{.},$$ тобто формулу (43) доведено.

3.Нехай f (х) = cos x. Формулу (44) можна довести так само, як і формулу (43). Проте це можна зробити значно простіше, про диференціювавши почленно ряд (43).

4.Нехай f (х) = (1+x)m, m $$$$ R. Маємо:

а) f'(x) =m (1+x)m-1, fn (x) =m (m-1) (1+x)m-2,…,.

f (n)(x) =m (m-1)…(m-n+1) (1+x)m-n, n $$$$ N;

б) f (n)(0) =m (m-1)…(m-n+1) (1+x)m-n, n $$$$ N;

в) 1+ mx.

+ $$\frac{m(m-1)}{2!}{x}^2+\frac{m(m-1)(m-2)}{3!}{x}^3+\text{.}\text{.}\text{.}+\frac{m(m-1)\text{.}\text{.}\text{.}(m-n+1)}{n!}{x}^n\text{.}\text{.}\text{.}=\underset{n=0}{\overset{\mathrm{}}{}}\frac{m(m-1)\text{.}\text{.}\text{.}(m-n+1)}{n!}{x}^n-$$.

R= $$\begin{array}{c}\text{lim}\\ m-n\end{array}|\frac{a_n}{a_{n+1}}|=\begin{array}{c}\text{lim}\\ n->\end{array}|\frac{m(m-1)\text{.}\text{.}\text{.}(m-n+1)(n+1)!}{(m-n+1)(m-n)}|=\begin{array}{c}\text{lim}\\ n->\mathrm{}\end{array}|\frac{n=1}{m=n}|=\mathrm{1,}$$.

тобто знайдений ряд збіжний в інтервалі (1,1). Доведення, що на цьому інтервалі $$\begin{array}{c}\text{lim}\\ n->\mathrm{}\end{array}{R}_n(x)=0$$, опускаємо.

Ряд (45) називають біноміальним. Якщо $$mN$$ дістаємо відомий розклад двочлена, який називають біномом Ньютона (гл. 5. п. 5.4.).

Збіжність біноміального ряду в кінцевих точках інтервалу (-1−1) залежить від числа m.

Ряд ((45) збіжний до функції (1+ч)m в таких випадках:

при m, якщо $$x\left[-1-1\right]$$ ;

при -1<m < 0, якщо $$x\left[-1-1\right]$$ ;

при m $$-1$$, якщо $$x\left[-1-1\right]$$ .

Приймемо ці твердження без доведення.

5. Нехай f (x) = $$\frac{1}{1-x}$$. Формулу (46) виводимо трьома способами: користуючись правилом розкладання функції в рядзастосувавши формуу (45) і поклавши в ній m=-1 іx замість хрозглядаючи ряд 1+х+х2+…хn+… як геометричну прогресію, перший член якої дорівнює одиниці, а знаменний q=x. Відомо (п. 1.1), що даний ряд збіжний при $$|x|<1$$ і сума його дорівнює (1-х)-1.

6. Не зупиняючись на деталях, зазначимо, що коли у формулі (46) покласти — х замість х, потім — х2 замість х і знайдені ряд про інтегрувати, то дістанемо розклад в степеневий ряд функції ln (1+x) і функції arctg x (формули (47), (48)).

Ряди (42) = (48) використовуються при знаходження степеневих рядів для інших функцій.

Приклади.

1.Розкласти в ряд функцію f (x) = x2 ln (1-x3).

Поклавши у форму (47) — х3 замість х, маємо.

ln (1-x3)=-x3- $$\frac{x^6}{2}-\frac{x^9}{3}-\text{.}\text{.}\text{.}-\frac{x^{3n}}{n}-\text{.}\text{.}\text{.},x\left[-1-1)-\right]$$.

x2 ln (1-x3) =-x5- $$\frac{x^8}{2}-\frac{x^{\text{11}}}{3}-\text{.}\text{.}\text{.}-\frac{x^{3n+2}}{n}-\text{.}\text{.}\text{.},x\left[-1--1)-\right]$$.