Моделювання екзотичних опціонів

Курсова робота на тему: «Моделювання екзотичних опціонів»

Зміст Вступ Розділ 1. Основні поняття про стохастичні процеси

1.1 Стохастичний (Випадковий) процес

1.2 Вінерівський процес Розділ 2. Моделі ціноутворення

2.1 Альтернативи моделі Блека-Шоулза

2.1.1 Модель дисперсії з постійною еластичністю

2.1.2 Модель стрибкоподібної дифузії Мертона

2.1.3 Модель гамма-дисперсія

2.2 Модель стохастичної волатильності

2.3 Модель передбачуваної волатильності

Розділ 3. Опціони. Метод Монте-Карло

3.1 Ванільні опціони та модель Блека-Шоулза

3.2 Проблема деривативів та бар'єрні опціони

3.3 Метод Монте-Карло і американські опціони

3.3.1 Метод найменших квадратів

3.3.2 Параметризація кордону виконання Розділ 4. Процентні деривативи та опціони

4.1 Процентні деривативи: стандартні ринкові моделі

4.1.1 Облігаційні опціони

4.1.2 Процентні опціони «кеп» і «фло»

4.1.3 Європейські свопціони

4.2 Оцінка премії європейських опціонів на індекси та ф’ючерсні контракти

4.3 Хеджингові процентні деривативи

4.4 Грецькі букви Висновок Список використаної літератури Вступ В сучасному суспільстві використовуються цінні папери, як потужний інструмент підвищення дохідності операцій. Розрізняють звичайні інструменти, які володіють стандартними, докладно описаними властивостями і є предметом активної торгівлі. Їхні ціни або волатильність регулярно котирується біржами або брокерами. У той же час однією з найбільш привабливих особливостей позабіржового ринку є наявність на ньому великої кількості незвичайних (екзотичних) інструментів, розроблених фінансистами. Цими інструментами є екзотичні опціони.

Незважаючи на те що екзотичні цінні папери, як правило, утворюють відносно невелику частину інвестиційного портфеля, вони представляють великий інтерес для інвестиційних банків, оскільки їх прибутковість набагато вище, ніж у звичайних опціонів.

В роботі запропоновано безліч моделей, що представляють собою альтернативу геометричному броунівському руху. Вони дозволяють успішно вирішити проблему оцінки екзотичних опціонів за допомогою методів оцінки звичайних опціонів. Ці альтернативні процеси описують ціну активу, краще апроксимують вартість звичайних опціонів, ніж модель геометричного броунівського руху, і, отже, підвищується надійність оцінки екзотичних опціонів.

Екзотичні опціони з’явилися з багатьох причин. Іноді вони використовуються виключно для хеджування, іноді - для подолання труднощів, викликаних податковими, бухгалтерськими, юридичними чи управлінськими проблемами. В одних ситуаціях вони розробляються у відповідності з точкою зору фінансиста компанії на майбутнє зміни певного ринкового показника, а в інших — вони винаходяться інвестиційними банками, які прагнуть підвищити свою привабливість.

Лише десятиліття тому усе, що було стандартним американським чи європейським опціоном, облігацією чи валютою належало до категорії екзотичного. Але ринок рухається. І вчорашні екзотичні опціони стають стандартними «ванільними» опціонами. Тепер різні ринки можуть по-різному визначати, що для них є екзотичним.

То що ж таке екзотичні опціони? Один із визначень лежить в математичній площині: «Екзотичні опціони — це опціони, які не можна оцінити за допомогою однофакторної моделі». Інші стверджують, що рідкість підписання і складність виплат є двома основними ознаками екзотичних опціонів. Отже, при збільшенні від попиту й оборотності екзотичний опціон може перейти в стандартний.

Популярним альтернативним визначенням екзотичних опціонів є легкість продажу. Якщо дилер стикається з труднощами просування свого продукту, його продукт може бути екзотичним.

Екзотичні опціони звертаються над ринком близько 30 років, а термін «екзотичний» з’явився всього 7 років тому. У 60-ті роки перші бар'єрні опціони було винесено на фінансовому ринку, їх називали «boutique» чи «designer» .

Створення ринку екзотичних опціонів було процесом неминучим, так як екзотичні опціони за своєю природою гнучкіші фінансові інструменти, ніж прості опціони. Поява попиту на нові модифіковані інструменти була лише питанням часу.

До 1973 р. торгівля опціонами здійснювалася виключно на вільний ринок, а після 1973 р. біржові опціони швидко завоювали ринок. Істотним поштовхом до розвитку біржової торгівлі стала теорія оцінки премії опціону, джерело якої в дослідженні Блека і Шоулза. У 80-x роках нових умов, які диктуються складними стратегіями страхування портфеля, сформували попит на фінансові продукти, які давали можливість отримати бажаний профіль грошового потоку. Інакше кажучи, ці фінансові продукти мали функцію виплат, котру можна змінити за бажанням покупця. Спочатку, подібні виплати будувалися синтетично з допомогою лінійної комбінації з виплат простих опціонів, але такі побудови виявлялися за дорогими. Єдиний вихід був у фінансовому управлінні. У стислі терміни над ринком з’явилося понад десять екзотичних опціонів.

Коли дивитися на нові продукти з погляду хеджування, то, як засвідчив досвід, вони дають можливість отримувати гарантовані доходи у нестійких ринкових умовах та створює додаткові доходи під час низьких відсоткових ставках. Найчастіше, нові продукти відрізняються як дивовижною гнучкістю, а й відносно низькою ціною, проти комбінацією з простих опціонів.

Курсова робота складається з чотирьох розділів. У першому розділі «Основні поняття про стохастичні процеси» описано стохастичний (випадковий), вінерівський процеси. У другому розділі «Моделі ціноутворення» наведено різні моделі для екзотичних опціонів,, альтернативи моделі Блека-Шоулза. У третьому «Опціони. Метод Монте-Карло» досліджено проблему деривативів та бар'єрні опціони, ванільні опціони та модель Блека-Шоулза, опціони двох корельованих активів, метод Монте-Карло і американські опціони, метод найменших квадратів. У четвертому розділі «Процентні деривативи та опціони» описано облігаційні опціони, процентні опціони «кеп» і «фло», європейські свопціони, хеджингові процентні деривативи, зроблено оцінку премії європейських опціонів на індекси та ф’ючерсні контракти, розглянуто грецькі букви.

Розділ 1. Основні поняття про стохастичні процеси

1.1 Стохастичний (Випадковий) процес Якщо значення змінної непередбачувано змінюються з часом, кажуть, що вона підпорядковується стохастичному процесу (випадковий процес). Розрізняють стохастичні процеси з дискретним і неперервним часом. Стохастичний процес з дискретним часом виникає, коли значення змінної змінюються лише у фіксовані моменти часу. Стохастичний процес з безперервним часом описує поведінку змінної, значення якої можуть змінюватися в будь-який момент. Крім того, стохастичні процеси утворюють дві категорії: неперервні змінні (неперервної змінної) і дискретні змінні (дискретної змінної). У першому випадку змінна може приймати будь-яке значення з певного діапазону, а в другому — лише значення дискретні.

Розглянемо стохастичний процес з неперервним часом і неперервної змінної, що описує зміну ціни акції. Щоб навчитися оцінювати опціони і складніші деривативи, необхідно добре розуміти особливості цього процесу. Слід підкреслити, що на практиці ми не можемо інтерпретувати зміну ціни акції за допомогою стохастичного процесу з безперервним часом і безперервної змінної. Ціна акції являє собою дискретну величину (наприклад, кількість центів), а його зміни реєструються тільки в момент відкриття біржі. Незважаючи на це, стохастичний процес з безперервним часом і безперервної змінної являє собою вельми корисну модель.

Марківська властивість Марківський процес — це різновид стохастичного процесу, в якому майбутнє значення змінної залежить тільки від її безпосередньо попереднього значення. Всі інші значення змінної ігноруються. Як правило, вважається, що ціна акції описується марківським процесом. Припустимо, що в даний момент ціна акції компанії IBM рівна 100 дол. Тоді для передбачення її майбутнього значення не використовується ціна, яка зафіксована тиждень, місяць чи рік тому. Єдиним значенням, котрої впливає на майбутнє, є поточна ціна, тобто 100 дол. Прогнози майбутніх значень не є абсолютно точними і повинні бути виражені в термінах розподілу ймовірностей. Марківська властивість означає, що розподіл ймовірностей ціни акції в конкретний момент часу в майбутньому не залежить від шляху, який ця ціна пройшла в минулому.

Марківська властивість ціни акції узгоджується зі слабкою формою ринкової ефективності. Вона стверджує, що поточна ціна акції вже містить у собі всю інформацію про його попередні значення. Якби ця умова не виконувалася, то, інтерпретуючи графіки минулих років, фахівці з технічного аналізу дослідили б доходи, що перевищують середній рівень. Однак насправді у нас немає майже ніяких підстав стверджувати, що це відбувається насправді.

Саме конкуренція, що панує на ринку, гарантує виконання слабкого принципу ринкової ефективності. Ціну акції уважно відстежують тисячі інвесторів. Будь-яка спроба отримати прибуток створює ситуацію, в якій ціна акції, виміряна в будь-який момент часу, відображає інформацію про її минулі значення. Припустимо, що, аналізуючи минулі графіки, інвестори виявили конфігурацію, яка дозволяє з ймовірністю 65% передбачати подальше зростання ціни акції. Отже, виявивши таку конфігурацію, інвестори поспішать купувати акції, і попит на них негайно виросте. Це відразу спричинить за собою зростання поточної ціни акції, і спостережуваний ефект, а з ним і можливість отримати прибуток зникнуть.

Стохастичні процеси з неперервним часом Розглянемо змінну, яка підпорядковується марківському стохастичному процесу. Припустимо, що її поточне значення дорівнює 10, а зміна протягом року описується функцією, де — нормальний розподіл ймовірностей з математичним сподіванням і стандартним відхиленням. Який розподіл ймовірностей описує зміна цієї змінної протягом двох років?

Зміна змінної через два роки описується сумою двох нормальних розподілів з нульовими математичними сподіванням і поодинокими стандартними відхиленнями. Оскільки змінна є марковською, ці розподіли не залежать один від одного. Додаючи два незалежні нормальні розподіли, ми отримаємо нормальний розподіл, математичне очікування якого дорівнює сумі математичних сподівань кожного з доданків, а дисперсія — сумі дисперсій їх. Таким чином, математичне очікування змін аналізованої змінної протягом двох років дорівнює нулю, а дисперсія — 2,0. Отже, зміна значення змінної через два роки є випадковою величиною з розподілом ймовірностей .

Розглянемо далі зміну змінної за шість місяців. Дисперсія через трансформаційних змін цієї змінної протягом одного року дорівнює сумі дисперсій цих змін протягом перших і других шести місяців. Припустимо, що ці дисперсії однакові. Тоді дисперсія змін змінної на протязі шести місяців дорівнює 0,5, а стандартне відхилення —. Отже, розподіл ймовірностей зміни змінної протягом шести місяців рівний .

Аналогічні міркування дозволяють довести, що зміна змінної протягом трьох місяців має розподіл. Взагалі кажучи, зміна змінної протягом тимчасового періоду, що має довжину, описується розподілом ймовірностей тимчасового —. Зокрема, зміна змінної за дуже короткий проміжок часу, що має довжину, описується розподілом ймовірностей .

Квадратні корені у цих виразах можуть здатися дивними. Вони виникають через те, що при аналізі марківського процесу дисперсії змін змінної в послідовні моменти часу додаються, а стандартні відхилення — ні. У нашому прикладі дисперсія змін змінної протягом одного року дорівнює 1,0, тому дисперсія змін цієї змінної протягом двох років дорівнює 2,0, а через три роки — 3,0. У той же час стандартні відхилення змін змінних через два і три роки рівні у і відповідно. Строго кажучи, ми не повинні говорити, що стандартне відхилення змін змінної за один рік дорівнює 1,0 на рік. Слід говорити, що воно дорівнює «кореню квадратному з одиниці на рік». Це пояснює, чому величину невизначеності часто вважають пропорційної квадратному кореню із часу.

1.2 Вінерівський процес Процес, якому підпорядковується розглянута вище змінна, називається вінерівським. Він являє собою окремий випадок марківського стохастичного процесу, коли математичне очікування змін змінної дорівнює нулю, а їх дисперсія дорівнює 1,0. Цей процес широко використовується у фізиці для опису руху матеріальної точки, яка бере участь у великій кількості зіткнень з молекулами (це явище називається броунівським рухом).

Геометричний броунівський рух (GBM) — випадковий процес з неперервним часом, логарифм якого являє собою броунівський рух (вінерівський процес). GBM застосовується з метою моделювання ціноутворення на фінансових ринках і використовується переважно в моделях ціноутворення опціонів, оскільки GBM може приймати будь-які додатні значення. GBM є розумним наближенням до реальної динаміки цін акцій, не враховує, однак, рідкісні події (викиди).

Випадковий процес є GBM, якщо він задовольняє наступне стохастичне диференціальне рівняння:

(1.1)

де є броунівський рух, а («параметр зміщення») і («параметр волатильності») постійні.

Для довільного початкового значення дане рівняння має розв’язки

(1.2)

що є логнормально розподілена випадкова величина з математичним очікуванням

(1.3)

і дисперсією

(1.4)

Коректність рішення може бути встановлена з використанням леми Іто. Випадкова величина розподілена нормально з математичним сподіванням і дисперсією, що означає, що прирости GBM нормальні, що дає можливість говорити про «геометричність» процесу.

Говорячи формально, змінна підпорядковується вінерівському процесу, якщо вона має такі властивості.

ВЛАСТИВІСТЬ 1. Зміна протягом малого проміжку часу задовільняє рівність

(1.5)

де — випадкова величина, що підкоряється стандартизованому нормальному розподілу .

ВЛАСТИВІСТЬ 2. Величини на двох малих проміжках часу є незалежними.

З першої властивості випливає, що величина має нормальний розподіл, у якого математичне сподівання дорівнює нулю, стандартне відхилення дорівнює, а дисперсія дорівнює. Друга властивість означає, що величина підпорядковується марківському процесу.

Розглянемо збільшення змінної протягом відносно тривалого періоду часу. Цю зміну можна позначити як —. Його можна представити у вигляді суми збільшення змінної протягом відносно малих проміжків часу, що мають довжину. Тут Отже, де — випадкові величини, що мають розподіл ймовірностей. З другої властивості вінерівського процесу випливає, що величини є незалежними один від одного. З виразу (1.6) випливає, що величина має нормальний розподіл, математичне сподівання якого дорівнює нулю, дисперсія дорівнює, а стандартне відхилення —. Ці висновки узгоджуються з результатами, зазначеними вище.

Розділ 2. Моделі ціноутворення

2.1 Альтернативи моделі Блека-Шоулза Модель Блека-Шоулза побудована на припущенні, що ціна активу неперервно змінюється, а її майбутні значення мають логнормальні розподіли. Однак існує велика кількість альтернативних процесів, які можуть замінити цю гіпотезу. Частково все-таки можна рахувати, що ціна активу неперервно змінюється, але не підкоряється законам геометричного броунівського руху. Крім того, можна припустити, що і в цілому ціна активу вимірюється неперервно, але в деякі моменти часу відбуваються стрибки. Ще одною альтернативною являється розглядаються приклади стохастичних процесів всіх трьох типів. Модель, в рамках якої ціна активу змінюється неперервно, називається дифузійною (diffusion model). Модель, в якій ціна активу в цілому змінюється неперервно, але інколи відчуває стрибки, називається змішаною моделлю стрибкоподібної дифузії (mixed jump-diffusion model). Модель, в якій ціна активу постійно відчуває стрибки, називається стрибкоподібною (pure jump model). Всі ці процеси відносяться до категорій процесів Леві(Levy Processes).

2.1.1 Модель дисперсії з постійною еластичністю Модель дисперсії з постійною еластичністю (модель CEV) побудована на припущенні, що ризик-нейтральний процес, який описує поведінку ціни акції S, має вид де r — без ризикова процентна ставка, — дивідендна дохідність, — вінерівський процес, — параметр волатильності і - позитивна константа. Якщо, модель CEV співпадає з моделлю геометричного броунівського руху. Якщо, то при зменшенні ціни акції її волатильність збільшується. Це створює розподіл ймовірностей, який зміщений вправо. Якщо ж, то при збільшенні ціни актива її волатильність зростає, створюючи розподіл ймовірностей з кращим лівим хвостом. Це відповідає «усмішці волатильності», в якій дана волатильність являється зростаючою функцією, залежною від ціни акції. Такий тип волатильності інколи спостерігається у ф’ючерсних опціонів. Формули для обчислення вартості європейських опціонів «колл» і «пут» за моделлю CEV мають наступний вигляд.

Якщо і (2.2)

Якщо, де, а — інтегральна ймовірність того, що випадкова змінна з нецентральнимрозподілом, параметром не центральності і степенями вільності менше числа .

Модель дисперсії з постійною волатильністю особливо корисна для оцінки екзотичних опціонів на звичайні акції. Мінімізуючи середньоквадратичне відхилення модельних цін від ринкових, можна знайти параметри цієї моделі, які дозволяють максимально точно апроксимувати вартість звичайних опціонів.

2.1.2 Модель стрибкоподібної дифузії Мертона Мертон запропонував модель, в якій ціна активу змінювалась неперервно, але час від часу відчувала стрибки. Введемо наступні позначення.

середня кількість стрибків на протязі року;

середня величина стрибка, представлена у вигляді процентів від ціни активу.

Припускається, що величина стрибка узгоджена з розподілом ймовірності, прийнятим в моделі. Ймовірність стрибка на протязі інтервалу довжиною рівна. Отже, середня величина швидкості росту ціни активу під час стрибка рівна. Ризик-нейтральний процес, котрий описує поведінку ціни активу, має вигляд де — вінерівський процес, — пуассонівський процес, який породжує стрибки, а — волатильність геометричного броунівського руху. Процеси і припускаються незалежними один від одного.

Важливим варіантом вважається модель Мертона, в якій логарифм величини стрибка має нормальний розподіл. Припустимо, що стандартне відхилення нормального розподілу рівне. Мертон довів, що ціну європейського опціону можна обчислити по формулі

де. Змінна являє собою ціну опціону, обчислену по формулі Блека-Шоулза, коли дивідендна дохідність активу рівна, рівень зміни дорівнює

а без ризикова процентна ставка рівна де

Як і моделі дисперсії з постійною еластичністю, шукані параметри моделі повинні мінімізувати середньоквадратичне відхилення модельних цін від ринкових.

2.1.3 Модель гамма-дисперсія Прикладом моделі, в якій ціна активу змінюється тільки стрибкоподібно, являється модель гамма-дисперсії. В цій моделі вводиться змінна, яка представляє собою величину, на яку за час змінюється змінна, яка підкоряється гамма-процесу з одиничним математичним сподіванням і дисперсією, рівної. Гамма-процес являється лише стрибкоподібним процесом, в якому малі стрибки проявляються дуже часто, а великі - лише інколи. Щільність ймовірності змінної має вигляд де — гамма-функція.

Введемо наступні позначення: — ціна активу в момент , — поточна ціна активу, — без ризикова процентна ставка, а — дивідендна дохідність. В ризик-нормальному світі величина в рамках моделі гамма-дисперсії має нормальний розподіл відносно змінної. Її математичне сподівання дорівнює

а умова стандартне відхилення ;

Модель гамма-дисперсії має три параметра: та Параметр являє собою дисперсію гамма-процесу, — його волатильність, а — параметр асиметрії. При функція вважається симетричною, при вона має від'ємну асиметрію, а при — додатню.

Розподіл в моделі гамма-дисперсії має більш складні хвости, ніж розподіл, отриманий для геометричного броунівського руху.

Одна із можливих інтерпретацій розподілу гамма-дисперсії виникає, коли параметр представляє собою швидкість надходження інформації протягом періоду часу довжиною. Якщо величина велика, то в систему надходить великий об'єм інформації, і вибірка, яку ми отримаємо на другому етапі алгоритму, буде мати відносно великі математичне сподівання і дисперсію. Якщо величина мала, то в систему надходить мало інформації, і відповідна вибірка буде мати відносно малі математичне сподівання та дисперсію. Параметр представляє собою одиницю вимірювання часу, а величину інколи називають одиницею вимірювання економічного часу чи часу, погодженого з потоком інформації. Модель гамма-дисперсії породжуєобразну форму «усмішка волатильності», при чому «усмішка» не завжди являється симетричною. Вона має особливо яскраву форму для коротких термінів погашення і «зникає вдалині» при довгих термінах. Цю модель можна використовувати як для оцінки опціонів на звичайні акції, так і для оцінки валютних опціонів.

2.2 Модель стохастичної волатильності

В основі моделі Блека-Шоулза лежить припущення, що волатильність являється постійною, а на практиці вона залежить від часу. Модель гамма-дисперсії враховує ту особливість за допомогою параметра. Малі значення параметра відповідають низькій швидкості надходження інформації і слабкої волатильності, а великі значення параметра — високій швидкості надходження інформації і сильної волатильності. Альтернативною моделлю гамма-дисперсії являється модель, в якій процес, що описує поведінку волатильності, задається явно. Припустимо для початку, що волатильність в моделі геометричного броунівського руху описується відомою функцією, залежної від часу. Тоді ризик-нейтральний процес, який описує поведінку ціни акції, має наступний вигляд.

Таким чином, якщо дисперсія рівна середньому рівню зміни на протязі терміну дії опціона, формули Блека-Шоулза виявляються коректними. Нагадаємо, що дисперсія рівна квадрату волатильності. Припустимо, що протягом одного року волатильність на протязі перших шість місяців була рівною 20%, а на протязі наступних шести місяців — 30%. Отже, середня дисперсія рівна

Тепер формули Блека-Шоулза потрібно використовувати, враховуючи дисперсію рівною 0,0065. Випливає, що волатильність рівна в процентах ;

Формула (2.15.) заснована на припущенні, що миттєву волатильність активу можна точно передбачити. На практиці волатильність описується стохастичним процесом. Це пробудило декотрих дослідників розробити кілька моделей, які містять дві стохастичні змінні: ціну активу і її волатильність.

Одна з моделей стохастичної волатильності при ризик-нейтральній поведінці ціни активу виглядає наступним чином.

де і - константи, а і - вінерівські процеси. Змінна в цій моделі представляє собою дисперсію ціни активу. Вона має зміщення, який зносить її до рівня зі швидкістю

Халл і Уайт показали, що якщо волатильність має стохастичний характер, але не корелює з ціною активу, ціна європейського опціону рівна ціні Блека-Шоулза, потрібно взяти інтеграл за середньою дисперсією протягом терміну дії опціону. Таким чином, ціна європейського опціону рівна де — середня дисперсія, — ціна Блека-Шоулза, представлена у вигляді функції, залежної від, а — щільність ймовірних значень в ризик-нейтральних умовах. За допомогою цього результату можна довести, що модель Блека-Шоулза переоцінює опціони з програшем і великим програшем. Ця модель узгоджується з поведінкою передбачуваної волатильності, характерною для валютних опціонів.

Моделі стохастичної волатильності можна використовувати для оцінки як звичайних, так і екзотичних опціонів. Для опціонів, термін дії котрих менше одного року, вплив стохастичної волатильності на ціну має відносно невелику абсолютну величину (хоча в процентному відношенні для опціонів з великим програшем ця величина може стати досить великою). По мірі збільшення терміну дії опціону ця величина зростає.

2.3 Модель передбачуваної волатильності

Параметри розглянутих вище моделей вибирались так, щоб правильно апроксимувати ціни звичайних опціонів і будь-який заданий момент часу. Але іноді фінансові організації віддають перевагу не обмежуватися цим і будують моделі, які дають точні оцінки простих опціонів. В 1994 році Дерман, Кані, Дюпіре і Рубінштейн розробили модель передбачуваної волатильності, чи модель передбачуваного дерева. Ця модель дозволяє точно вичислити текучі ціни всіх європейських опціонів незалежно від форми поверхні волатильності.

Ризик-нейтральний процес, який описує поведінку ціни активу в цей момент, має вигляд де — миттєва форвардна процентна ставка за контрактом, термін дії котрого в момент, а — дохідність активу, представлена у вигляді функції, залежної від часу. Волатильність залежить від ціни і часу. Вона вибирається так, щоб ціни всіх європейських опціонів, обчислені за допомогою цієї моделі, співпали зі спостережуваними. Як показали Дюпіре, Андерсен і Бразертон-Реткліфф, функцію можна обчислити за аналітичною формулою:

де — ринкова ціна європейського опціону «колл» з ціною виконання і терміном дії. Якщо на ринку реєструється велика кількість цін європейських опціонів, ця формула дозволяє оцінити функцію .

Андерсон і Бразертон-Реткліфф реалізували свою модель за допомогою формули (2.19) в поєднанні з неявним кінцево-різницевим методом. Альтернативний підхід, метод передбачуваного дерева, був запропонований Дерманом, Кані і Рубінштейном. Він передбачає побудову дерева, який відображає зміну ціни активу і узгодженого з ринковими цінами опціонів.

На практиці модель передбачуваної волатильності щоденно калібрується за цінами простих опціонів. Нагадаємо, що ціль цієї моделі - оцінка екзотичних опціонів, узгоджена з простими опціонами. Прості опціони задають ризик-нейтральний розподіл ймовірних цін активу у всі майбутні моменти часу. З цього слідує, що модель передбачуваної волатильності повинна породжувати правильний ризик-нейтральний розподіл ймовірних цін «все або нічого» чи «актив або нічого»), повинні правильно оцінюватись моделлю передбачуваної волатильності. Проте ця модель може неправильно оцінювати спільний розподіл ймовірних цін активу і різні моменти часу. Це значить, що екзотичні опціони, наприклад складні чи бар'єрні, можуть оцінюватись неправильно.

Розділ 3. Опціони. Метод Монте-Карло

3.1 Ванільні опціони і модель Блека-Шоулза Ціна опціону неповного диференціального рівняння. У цьому розділі ми введемо (Блека-Шоулза) неповні диференціальні рівняння, які підкоряються опціонимі контрактам одного активу. Тут ми будемо припускати, що функція є вартість фінансового опціону, і що ціна базового активу, наступним GBM (геометричний броунівський рух). Якщо позначити значення фінансового деривативу через то її зміна, за інтервал часу визначається за формулою:

Дискретизована версія цього рівняння:

де часовий інтервал тепер і зміна похідного значення є .

Якщо припустити, що ціни активу, наступним GBM у нас також є:

де є постійним зносом та визначення інших символів, як раніше.

Розглянемо тепер портфель, що складається з -1 похідною і одиниць основного цінного паперу. Іншими словами, ми маємо короткострокову (яка продається) похідну на актив і цінного паперу (те саме) основного активу.

Значення портфеля,, тому:

і зміни,, у вартості портфеля протягом довгого часу складає:

Підставляючи. (3.1) і (3.2) в рівняння (3.4) отримуємо:

Скорочуючи члени, ми отримуємо:

Якщо це портфель буде рости на безризикову процентну ставку, маємо:

Тоді маємо:

Підсталяючи, отримуємо:

Після перестановки:

який є Блека-Шоулза неповного диференціального рівняння.

Розглянемо тепер пут і колл опціони на тому ж базовому активі. Якщо ми позначимо значення європейського опціону колл і у європейського колл, то ми маємо наступні рівняння:

Якщо ми в даний час запишемо лінійну комбінацію пут і колл опціонів,, де обидва і константи, то також підпорядковується рівнянню Блека-Шоулза:

Тепер ми доведемо, що задовольняє рівняння (3.12).

Спочатку ми перепишемо рівняння (3.12), як:

та використовувати такі результати елементарних обчислень:

Якщо ми позначимо ліву частину рівняння (3.12) за, то ми маємо:

Скористаємося тепер формулами (3.10) і (3.11) для заміни значень в фігурних дужках у формулі (3.14), і ми отримуємо:

який знаходиться весь в правій частині рівняння (3.12), так що ми довели результат. Слід зазначити, що цей результат справедливий і для американського опціону, тому що вони також підпорядковуються рівнянню Блека-Шоулза.

Отриманий результат може бути узагальнений портфелем, що складається з активів опціонів. Тут ми маємо:

де представляє значенняї похідної і - це число одиниції похідної. Щоб довести, що супроводжує Блека-Шоулза рівняння, ми просто розділимо портфель по секторах, чиї опціони залежать від базового активу. Потім ми як і раніше, показуєм, що значення кожного окремого сектора підкоряється Блека-Шоулза рівнянню і, отже, значення повного портфеля (сума значень всіх секторів) підпорядковується Блека-Шоулза рівнянню теж. Слід зазначити, що цей результат відноситься як до американських та європейсьихі опціонів, і це не має значення, чи у нас купилені чи продані опціони.

Активи опціону неповного диференціального рівняння У цьому розділі ми виведемо активи (Блека-Шоулза) диференціального рівняння, тобто підкоряються опціонні контракти на активів. Будемо використовуватимірний варіант леми Іто, щоб знайти процес супроводжується значенням активу фінансової похідної. Ми будемо позначати значення цієї похідної, де єелементний стохастичний вектор, що містить ціни на базові активи,,. Якщо припустити, що супроводжуєтьсямірним GBM, то зміна значення похідної,, має вигляд:

Дискритизуюча версія цього рівняння:

де часовий інтервал тепер і зміна в диференціальному значенні є .

Розглянемо тепер портфель, що складається з -1 похідною і одиницьго основного складу. Іншими словами, ми маємо коротку похідну, яка залежить від ціни,, , базових активів, і має одиниць-го активу. Вартість портфеля,, тому:

і зміни,, у вартості портфеля протягом довгого часу складає:

З випадкових величин, , супроводжуєтьсямірним GBM, зміна вго активу ціни, за проміжок часу т визначається за формулою:

Де Підставляючи рівняння (3.17) і (3.20) в рівняння (3.19), ми отримуємо:

Скорочуючи доданки, ми отримаємо:

Якщо цей портфель буде рости на безризикову процентну ставку, то матимемо:

З рівняння (3.22) маємо:

Підсталяючи, отримуємо:

Перебудовуючи рівняння (3.24), маємо:

де є n-вимірне Блека — Шоулза часткове диференціальне рівняння.

Модель Блека-Шоулза Модель Блека-Шоулза складається з двох активів: безризикового рахунку грошей і власного капіталу. Це може бути показано в якості наступного двовимірного рівняння Іто:

де є броунівським рухом (без дрейфу) в міру, де .

Будемо позначати момент часу — і момент часу опціону зрілості -. Рахунок грошового ринку має цінність d в момент часу і в момент часу .

Розглянемо тепер процес, який застосовує відносне значення

Використовуючи правило Іто, підсталяємо і у рівняння броунівського руху з одного джерела випадковості:

Будемо мати:

де .

Посилаючись на теорему Гірсанова, ми можемо вибрати ймовірності міри Q такі, що:

Зробимо заміну :

Підсталяючи у формулу (3.27) маємо:

що спрощується до:

Рівняння (3.30) означає, що процес є мартингальним при ймовірності міри .

Заміна в рівнянні (3.26) із значенням у формулі (3.28) дає:

Таким чином, в ризику нейтральна міра при динаміці є:

Порівняння рівняння (3.31) з оригінальною формулою (3.26), ми бачимо, що перехід від реальної міри ризику, нейтральна міра полягає просто в заміні на і на

Тепер ми можемо розв’язати рівняння (3.31) з використанням результатів наведених у формулі ми маємо:

де є ціна активу в поточний час, і .

Форвардна ціна зі строком погашення, позначається, є отримаємо:

Використовуючи формулу, маємо:

Ми хочемо отримати поточну ціну ванільного європейського опціону зі страйком ціна, який дозріває в майбутньому часі, і, таким чином, тривалість Спочатку ми отримаємо вираз для значення європейського опціону колл, а потім значення відповідного європейського пут.

Посилаючись на формулу ми маємо:

Замінюючи, і маємо:

і так позначають значення колл-опціона тоді отримуємо:

Як видно з формули. (36), що вартість європейського опціону колл є очікуване значення виграшу опціону при настанні строку погашення, дисконтованих до поточної часу з безризиковою процентною ставкою .

Це означає, що вартість опціону може бути записана як:

де) є функція щільності ймовірності .

Замість того, інтегруючи по ми будемо оцінювати (3.37) за допомогою змінної З рівняння (3.33), ми знаємо, що функція щільності ймовірності є:

і тому значення опціону є:

де ми маємо використовували заміну Нижня межа у формулі (3.39) відповідно в рівнянні (3.37) знаходиться, що дає нижня межа

Інтеграл у формулі (3.39) обчислюється, розділивши її на дві частини:

Для оцінки цих інтегралів ми будемо використовувати той факт, що одномірна кумулятивна нормальна функція є:

За симетрії ми маємо і

Розглянемо спочатку ., який легший з двох інтегралів.

Якщо ми візьмемо тоді Отже де нижня межа інтегралу дорівнює

Тому маємо:

Розглянемо тепер інтеграл

Зміна порядку підінтегральної:

Розширення умов в експоненті:

Результат такий:

Підставляючи рівняння (45) в підінтегральне рівняння (44) маємо:

Інтеграл тому може бути виражений таким чином:

Якщо ми замінимо, тоді Отже де нижня межа інтегралу дорівнює

Тому маємо:

Тому значення європейського опціону колл є:

що дає звичайна форма формула Блека-Шоулза для європейського опціону колл, як:

Щоб отримати деяке уявлення про значення цього рівняння, ми перепишемо його в наступному вигляді:

Термін є ймовірність того, що можливість буде реалізована в ризик-нейтральному світі, щоб є ціною помноженої на ймовірність ціни, яка буде оплачена. Термін є очікуваним значенням змінної в ризик-нейтральному світі, яке дорівнює, якщо, а решта — нулю.

Відповідну формулу для опціону пут можна показати, використовуючи пут колл парності:

або, що еквівалентно, використовуючи, маємо:

3.2 Проблема деривативів та бар'єрні опціони Деривативи, залежні від передісторії, — це похідні фінансові інструменти, виграш котрих залежить від всієї траєкторії ціни активу, а не тільки від іі останнього значення. Прикладами деривативів, залежних від передісторії, являються азіатські опціони і опціони «Lookback». Виграш азіатського опціону залежить від середньої ціни базового активу. В свою чергу, ціни опціону «Lookback «залежить від мінімальної і максимальної ціни. Якщо аналітичні формули не дозволяють оцінювати вартість опціонів, залежних від передісторії, можна застосувати метод Монте-Карло. Вибіркову вартість деривативу можна обчислити, попередньо згенерувавши випадкову траєкторію ціни активу в ризик-нейтральних умовах, обчисливши виграш і зробивши дисконт з врахуванням без ризикової процентної ставки. Щоб отримати оцінку вартості деривативу, необхідно обчислити велику кількість вибіркових значень вартості, а потім усереднити їх.

Остання проблема, пов’язана зі застосуванням методу Монте-Карло, полягає в тому, що для досягнення потрібної точності необхідно витратити неприйнятно велику кількість обчислювального часу. Крім того, за допомогою цього методу важко оцінювати американські деривативи, залежні від передісторії (деривати, які допускають дострокове виконання). Метод біноміального дерева для обчислення вартості декотрих деривативів, залежних від передісторії дозволяє оцінити американські деривативи, при чому його ефективність при оцінці аналогічних європейських опціонів вище ефективності методу Монте-Карло.

Для застосування цієї процедури необхідно виконання двох вимог.

1. Виграш деривативу повинен залежати від єдиної функції, який описує траєкторію базового активу.

2. Повинна існувати можливість обчислювати значення функції в момент за значенням функції в момент і ціни базового активу в момент .

Бар'єрний опціон Бар'єрний опціон — це опціон, виплата якого залежить від того, чи досягла ціна базового активу деякого рівня за певного періоду часу, чи ні.

Відповідний ціновий рівень може розглядатися як бар'єр, який «включає» опціон, або «виключає». Першому випадку відповідає клас бар'єрних опціонів knock-in, другому — knock-out.

Відмінність опціону knock-out від простого опціону у тому, що коли базовий актив сягає певного бар'єра, опціон перестає існувати. Що стосується опціону knock-out «колл» бар'єр лежить нижче ціни виконання. Якщо опціон перестає існувати, то власник залежно від умов контракту або отримує нічого, або отримує фіксовану суму — компенсацію.

Для опціонів knock-in справедливо зворотне. Опціони knock-in і knock-out поділяються кожен на два підтипу залежно від напрямку руху ціни. | |In |Out | |Down |набирає чинності, якщо ціна впаде до бар'єра, |Up |набирає чинності, якщо ціна сягне бар'єра.

Усі чотири варіанта застосовні до обох класам опціонів — колл і пут. Отже, виникає вісім можливих комбінацій, які поділяють звичні і зворотні бар'єрні опціони.

Вважається, що це звичайні бар'єрні опціони в останній момент виписування перебувають «поза грошей», тобто у виконанні на той час власник опціону не отримує премії. Навпаки, щоб досягти бар'єра, ціна базисного активу має рухатися у бік «гроші», що є ознакою зворотних опціонів.

Крім того, необов’язково, щоб бар'єр визначався за ціною активу, який лежить у його основі. Якщо бар'єр, визначається за ціною іншого активу, то він називається зовнішнім.

Ми будемо розглядати європейські бар'єрні опціони наступного одного активу:

· Вниз і вверх колл: Knockout ванільний опціон колл, значення, яка перестає існувати, коли ціна активу досягає або опускається нижче бар'єрного рівня.

· До і вверх колл: Knockout ванільний опціон колл, значення, яка перестає існувати, коли ціна активу досягає або проходить над бар'єрним рівнем.

· Вниз і в колл: Knockin ванільний опціон колл, значення, який починає існувати, коли ціни на активи досягаються або опускаються нижче бар'єрного рівня.

· До і в колл: Knockin ванільний опціон кол, значення, який починає існувати, коли ціна активу досягає або піднімається вище бар'єрного рівня.

Наступні вирази мають бути істинними:

де — значення ванільного колл опціону. Таким чином потрібно тільки отримати вирази для обох варіантів нокаут опціонів, а потім за допомогою цих рівнянь для розрахунку значення відповідного Knockin опціонів.

Позначення, що ми будемо використовувати: символ представляє поточний час, представляє час, у який опціон дозріває, і тривалість опціону. Символ, з обмеженням, будь-який проміжний час, за який опціон існує.

Аналіз ціноутворення вниз та вверх опціонів колл Якщо врахувати броунівський рух (з нульовим дрейфом), , який починається в, і, після закінчення часу, який закінчується в момент, тоді функція щільності ймовірності для цього руху не перевищує значення при час визначається за формулою:

де для зручності ми використовували, і З є броунівський рух без дрейфу і волатильністю, потім — є ідентичним броунівським рухом. Тому, замінюючи, і в це рівняння, отримуємо:

де ми використовували. Рівняння (3.55) є функція щільності ймовірності залишається вище значення, де. Ці результати можна узагальнити на дрейф, так що, для. Тепер ми маємо такі результати:

де — безризикова ставка і - безперервного дивідендну прибутковість. Європейський вниз і вверх бар'єрний опціон з терміном погашення і бар'єр на припинить своє існування (буде непридатним), якщо в будь-який момент, для. Функція щільності ймовірності, якщо бар'єрний опціон буде продовжувати існувати в момент часу, якщо кінцева точка, отже:

де ми об'єднали по всіх можливих значеннях (тобто), що залишиє опціон існувати. Нагадуючи, що:

і відзначаючи, що:

ми маємо:

Отже ми маємо:

Значення європейського вниз і вверх колл-опціону із страйком, що задовольняють, визначається за формулою:

Значення вниз і назовні колл-опціону:

Аналіз ціни до і вгору колл-опціону Тут ми отримаємо вираз для до і вгору європейського колл-опціону з безперервною дивідендною прибутковістю, в подібній манері, яка використовується в попередньому пункті для вниз і вгору європейського колл-опціону. Європейський до і вгору бар'єрний опціон з терміном погашення і бар'єр на припинить своє існування (стане непридатним), якщо в будь-який час для. Функція щільності ймовірності, що бар'єрний опціон буде продовжувати існувати в момент часу, якщо кінцева точка, отже:

де, як і в попередньому пункті, ми використовували і включили більш як всі можливі значення, які дають опціону існувати, посилаючись на:

і відзначаючи:

ми маємо:

Тому:

Ми зараз виведемо формулу для до і вгору коллопціону, коли .

Насправді, якщо, то опціон нікуди не годиться, тому що в даний час колл-опціони виплачується,, то опціон буде knocked out.:

Беручи до уваги той факт, опціон стає марним, коли ,

(), маємо:

Значення вниз і вгору колл-опціону є:

де — значення ванільного колл-опціону і, значення до і в колл-опціону, визначається за формулою:

Бар'єрні опціони широко застосовуються при хеджуванні. Їх використання дає велику свободу дії з порівнянням зі стандартними опціонами, а більш низькі видатки — проведення операцій хеджування у слідстві з низькою премією по бар'єрним опціонам.

Бар'єрні опціони можуть утримувати додаткову опцію, яка називається поступкою. Це грошовий платіж, якщо на термін дії опціону ціна активу не пробила обумовлений бар'єр. Поступка неспроможна перевищувати премії за опціон і її підвищило б його вартість, ще більше знижує ризик втрати грошей.

Бар'єрні опціони завжди дешевше звичайних європейських опціонів відповідної серії, оскільки максимальний дохід із них однаковий, але ймовірність його одержання нижче. Через дешевше премії та значною мірою схожих зі звичайними опціонами можливостями бар'єрні опціони поруч із азіатськими стали найпопулярнішими серед екзотичних деривативів.

3.3 Метод Монте-Карло і американські опціони З однієї сторони, метод Монте-Карло дуже зручний для оцінки опціонів, вартість котрих залежить від передісторії, а також опціони, в основі котрих лежить багато стохастичних змінних. З другої сторони, при оцінці американських опціонів добре зарекомендували себе дерева і звичайно — різницеві методи. А що робити, якщо вартість американського опціону залежить від передісторії? І як поводити себе в ситуаціях, коли ціна американських опціонів залежить від кількох стохастичних змінних? Багато вчених запропонували використати для обчислення вартості американських опціонів метод Монте-Карло. Розглянемо два альтернативних підходи.

3.3.1 Метод найменших квадратів Для того щоб оцінити американський опціон, в кожний момент часу необхідно зробити вибір між достроковим виконанням і очікуванням. Обчислити вартість виконання, як правило, доволі просто. Велику кількість дослідників, включаючи Лонгстаффа і Шварца, запропонували спосіб визначення вартості очікування на основі методі Монте-Карло. В рамках цього підходу в кожний момент часу, який допускає дострокове виконання опціону, для визначення найкращого наближення його вартості застосовується метод найменших квадратів. Проаналізуємо цей метод використовуючи обчислювальний приклад з роботи ЛонгстаффаШварца.

Розглянемо трьохрічний американський опціон на продажу без дивідендної акції, котрий можна виконати в кінці першого, другого чи третього року. Без ризикова процентна ставка рівна 6% в рік (при неперервному нарахуванні). Текуча ціна акції рівна 1,00 дол., а ціна виконання — 1,10 дол. припустимо, що ми змоделювали вісім траєкторій ціни акції, показаних в табл. 3.1. (цей приклад носить виключно ілюстративний характер. На практиці для оцінки опціону необхідно згенерувати набагато більше траєкторій.) якщо опціон виконується тільки в кінці третього року, його виграш рівний його дійсній вартості. Цей факт вказаний в останньому стовпчику табл. 3.2.

Табл. 3.1. Вибіркові траєкторії ціни акції, змодельовані при оцінці опціону «пут»

Табл. 3.2. Грошові потоки, які виникають при виконанні опціону тільки в кінці третього року

Якщо в кінці другого року опціон «пут» приносить виграш, власник опціону повинен вирішити, чи виконувати його достроково. Із табл. 3.1. Слідує, що в кінці другого року опціон приносить виграш, якщо ціна акції проходить траєкторію 1, 3, 4, 6, і 7. Для цих траєкторій пропонується використовувати приближену залежність.

де — ціна акції, зареєстрована в кінці другого року, а — вартість продовження опціону з урахуванням дисконту на кінець другого року. Перші п’ять спостережень ціни такі: 1,08, 1,07, 0,97, 0,77 і 0,84. З табл. 3.2. випливає, що відповідні значення змінної рівні 0,00, 0,07, 0,18, 0,20, 0,09. Використовуючи ці дані, для обчислення коефіцієнтів і необхідно мінімізувати функцію де і - і-е спостереження змінних і відповідно.

Зробимо заміну

Звідси маємо Отримаємо такі результати, і. Отже, залежність, забезпечує найкращу апроксимацію даних, має наступний вигляд.

Отже, відмова від дострокового виконання опціону в кінці другого року, якщо ціна акції пройшла траєкторії 1, 3, 4, 6 і 7, приносить 0,0369, 0,0461, 0,1176, 0,1520 і 0,1565 дол. відповідно. Аналіз табл. 3 показує, що виграш від виконання опціону в цей момент дорівнює 0,02, 0,03, 0,13, 0,33 і 0,26 дол. відповідно. Це значить, що наприкінці другого року опціон доцільно виконає, якщо ціна акції пройшла траєкторії 4, 6 або 7.

Табл. 3.3 Грошові потоки, які виникають при виконанні опціону в кінці другого і третього року.

Грошові потоки по восьми шляхах, що виникають при достроковому виконанні опціону в кінці другого або третього року, наведено в табл. 3.3.

Розглянемо тепер траєкторії ціни акції, за яких опціон в кінці першого року виявляється у виграші. До них відносяться траєкторії 1, 4, 6, 7 і 8. З табл. 3 випливає, що ціни акції в кінці кожної з траєкторій рівні 1,09, 0,93, 0,76, 0,92 і 0,88 дол. відповідно. Значення змінної для цих траєкторій визначаються за табл. 5. Вони рівні 0,00, 0,13, 0,33, 0,26, і 0,00 відповідно. Використовуючи ці дані, для обчислення коефіцієнтів і необхідно мінімізувати функцію де і - і-е спостереження змінних і відповідно.

Коефіцієнти обчислюються за формулами, наведеними вище.

Залежність, визначена за методом найменших квадратів, має такий вигляд.

Таким чином, відмова від дострокового виконання опціону в кінці першого року, якщо ціна акції пройшла траєкторії 1, 4, 6, 7 або 8, приносить 0,0139, 0,1092, 0,2866, 0,1175 і 0,1533 дол. відповідно. Аналіз табл. 3 показує, що виграш від виконання опціону в цей момент дорівнює 0,01, 0,17, 0,34, 0,18 і 0,22 дол. відповідно. Це означає, що в кінці першого року опціон доцільно виконає, якщо ціна акції пройшла траєкторії 4, 6, 7 або 8. Грошові потоки, що виникають при достроковому виконанні опціону в кінці першого, другого або третього років, наведені в табл. 6. Вартість опціону в початковий момент часу визначається за допомогою застосування дисконту з без ризиковою відсотковою ставкою до кожного з отриманих результатів з подальшим усередненням. Це приводить нас до наступної відповіді.

Оскільки ця величина більше 0,10, негайно виконувати опціон недоцiльно.

Табл. 3.4. Грошові потоки, які виникають при виконанні опціону

Цей метод має багато модифікацій. Якщо опціон допускає дострокове використання в будь-який момент часу, то його вартість можна апроксимувати, розглянувши велику кількість точок виконання (як це робиться при побудові біноміального дерева). Крім того, залежність між величинами і може бути більш складною. Наприклад, вона може бути не квадратичної, а кубічної. Якщо дострокове виконання опціону залежить від декількох змінних стану, слід робити так, як описано вище. Потім слід сформулювати функціональну залежність між змінними і змінними стану і визначити його невідомі параметри за допомогою методу найменших квадратів.

3.3.2 Параметризація кордону виконання Безліч дослідників, зокрема Андерсен, запропонували альтернативний підхід, заснований на параметризації кордону виконання і ітераційному визначенні оптимальних параметрів, переміщуючись від кінця дії опціону до його початку. Для ілюстрації повернемось до нашого прикладу, пов’язаному з опціоном на продаж акцій, що не приносять дивідендів, і припустимо тепер, що в ході моделювання були знову згенеровані вісім траєкторій ціни акції, представлені в табл. 3. У цьому випадку дострокове виконання опціону в момент можна параметризувати критичною ціною акції. Якщо ціна акції в момент менша величини, опціон виконується достроково, якщо ж ціна акції більша значення, опціон не виконується. Значення рівне 1,10 дол. Якщо ціна акції в цей момент (тобто в кінці терміну дії опціону) більша 1,10 дол, то опціон не виконується. Якщо ж ціна акції в кінці третього року менша 1,10 дол., то опціон виконується. Розглянемо спосіб визначення значення. Припустимо, що ми вибрали значення меншим 0,77. У цьому випадку опціон в кінці другого року не виконується ні в одному з восьми варіантів. Вартість опціону в кінці другого року для кожної з восьми траєкторій дорівнює 0,00, 0,00, 0,07, 0,18, 0,00, 0,20, 0,09 і 0,00 відповідно. Середнє значення цих величин дорівнює 0,0636. Припустимо тепер, що. Тоді вартість опціону в кінці другого року для кожної з восьми траєкторій дорівнює 0,00, 0,00, 007, 0,18, 0,00, 0,33, 0,09 і 0,00 відповідно. Середнє значення цих величин дорівнює 0,0813. Аналогічно, якщо значення рівне 0,84, 0,97, 1,07 і 1,08, вартість опціону в кінці другого року для кожної з відповідних траєкторій дорівнює 0,1032, 0,0982,0, 0938 і 0,0963 відповідно. Цей аналіз показує, що оптимальне значення (тобто таке, при якому досягається максимальна середня вартість) дорівнює 0,84.

(Точніше, значення слід вибирати в діапазоні .) Якщо вибрати оптимальне значення, то вартість опціону в кінці другого року для кожної з восьми траєкторій стане рівною 0,00, 0,00, 0,0659, 0,1695, 0,00, 0,33, 0,26 і 0,00 відповідно. Середня вартість опціону дорівнює 0,1032 дол. Перейдемо до обчислення величини. Якщо, то опціон в кінці другого року не виконується ні в одному з восьми варіантів, а його вартість в кінці другого року дорівнює. Якщо, то вартість опціону в кінці другого року для кожної з восьми траєкторій дорівнює 0,00, 0,00, 0,0659, 0,1695, 0,00, 0,34, 0,26 і 0,00 відповідно. Середнє значення цих величин дорівнює 0,1008. Аналогічно, якщо значення дорівнює 0,88, 0,92, 0,93 і 1,09, то середня вартість опціону в кінці другого року для кожної з відповідних траєкторій дорівнює 0,1283, 0,1202, 0,1215 і 0,1228 відповідно. Таким чином, аналіз показує, що оптимальне значення дорівнює 0,88. (Точніше, значення слід вибирати в діапазоні .) Вартість опціону в нульовий момент часу за умови відмови від його дострокового виконання дорівнює. Ця величина більша, ніж 0,10 дол., які можна отримати, достроково виконавши опціон в початковий момент часу. На практиці для визначення кордону виконання опціону необхідно провести десятки тисяч сеансів моделювання. Отримавши кордон дострокового виконання, траєкторії ціни акції слід відкинути і виконати новий сеанс моделювання за методом Монте-Карло, використовуючи обчислену границю. Розглянутий американський опціон на продаж акцій є досить простим, оскільки межі виконання опціону в будь-який момент часу можна визначити за цінами акції. У більш складних ситуаціях необхідно виконати параметризацію кордону дострокового виконання. Обидва описані підходи недооцінюють вартість американських опціонів, оскільки вони використовують субоптимальні границі дострокового виконання. Це спонукало Андерсена і Броуді запропонувати процедуру для уточнення верхньої межі вартості опціону. У поєднанні з будь-яким методом обчислення нижньої межі вартості опціону ця процедура дозволяє уточнити справжню вартість американського опціону.