Кардинальні числа (реферат)

Реферат на тему:

Кардинальні числа

Нехай A — деяка множина і S = { B | B ~ A} - сукупність усіх множин, рівнопотужних множині A. Очевидно, що всі множини з S рівнопотужні. Кардинальним числом (позначається |A|, $$\stackrel{}{\stackrel{}{A}}$$ або Card A) будемо називати деякий об'єкт для позначення потужності будь-якої множини із сукупності S.

Зокрема, для скінченної множини A кардинальним числом |A| є натуральне число, яким позначається кількість елементів будь-якої з множин сукупності S. Таким чином, можна вважати, що кардинальне число є узагальненням поняття числа елементів.

Природно виникає питання про порівняння кардинальних чисел нескінченних множин.

Нехай A і B нескінченні множини, тоді логічно можливі такі чотири випадки:

1. Iснує взаємно однозначна відповідність між A і B, тобто A ~ B і |A|=|B|.

2. Існує взаємно однозначна відповідність між множиною A і деякою власною підмножиною B' множини B. Тоді кажуть, що потужність множини A не менша від потужності множини B і записують |A|.

3. Множина A рівнопотужна деякій підмножині множини B і, навпаки, множина B рівнопотужна деякій підмножині множини A, тобто A~B' і B~A'.

За теоремою Кантора-Бернштейна, доведення якої наведено нижче, у цьому випадку виконується A ~ B, тобто |A|=|B|.

4. Не існує взаємно однозначної відповідності між множиною A і жодною підмножиною множини B і, також, не існує взаємно однозначної відповідності між множиною B і жодною підмножиною множини A. З цієї ситуації випливало б, що потужності множин A і B непорівнювані між собою.

Однак більш глибокі дослідження в теорії множин показали, що, спираючись на аксіому вибору (див.розд.1.13), можна довести неможливість четвертого випадку.

Таким чином, потужності будь-яких двох множин A і B завжди порівнювані між собою. Отже, для кардинальних чисел |A| і |B| довільних множин A і B виконується одне з трьох співвідношень: |A|=|B|, |A| або |B|.

Якщо |A|, однак множина A нерівнопотужна множині B, то писатимемо |A|<|B|.

Теорема 1. (теорема Kантора-Бернштейна).

Якщо множина A рівнопотужна деякій підмножині B1 множини B, A~B1і, одночасно, множина B рівнопотужна деякій підмножині A1 множини A, B~A1то множини A і B рівнопотужні.

Доведення. Зрозуміло, що роблячи припущення про існування таких підмножин B1і A1що A1 ~ B і B1 ~ A, вважаємо, що A1 і B1 є власними підмножинами множин A і B відповідно. Якщо A1 = A або B1=B, то справедливість теореми очевидна.

Нехай f0взаємно однозначна відповідність між B і A. Тоді з того, що B1випливає, що існує множина A2 = f0(B1)така, що f1 f1і f1 є взаємно одозначною відповідністю між B1 і A2, тобто B1~A2. За умовою теореми A~B1, отже A~A2. Це означає, що існує взаємно однозначна відповідність f2 між множинами A і A2, f2.

Образом f2(A1) підмножини A1при відповідності f2 буде деяка множина A3 Відповідність f3 f3є взаємно однозначною, отже A1~A3. Аналогічно, образом f3(A2) підмножини A2при відповідності f3 буде деяка множина A4 а відповідність f4 f4буде взаємно однозначною, тобто A2~A4.

Продовжуючи ці міркування, одержимо нескінченний ланцюг строгих включень A. При цьому виконуються такі співвідношення:

A ~ A2 ~ A4 ~… ~ A2k ~ A2k+2 ~…,.

A1 ~ A3 ~ A5 ~… ~ A2k+1 ~ A2k+3 ~…,.

f0 .

Із наведених співвідношень випливає, що відповідності.

f'2 = f2 f3 A1) A3),.

f'4 = f4 f52 A3) A5),.

.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... .

f'2k+2 = f2k+2 f2k+32k A2k+1)k+2 A2k+3),.

.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... .

є взаємно однозначними.

Отже, (A A1) ~ (A2 A3) ~ (A4 A5) ~…~ (A2k A2k+1) ~ (A2k+2 A2k+3) ~…

Оскільки рівнопотужні множини (A A1), (A2 A3), (A4 A5),…, (A2k A2k+1),… попарно не перетинаються, то множини.

C1 = (A A1) 2 A3) 4 A5) 2k A2k+1)…,.

C2 = (A2 A3) 4 A5) 6 A7) 2k+2 A2k+3)…

також рівнопотужні, тобто C1 ~ C2.

Позначимо через D = A.

Неважко переконатись, що.

A = D A1) 1 A2) 2 A3) n An+1)…,.

A1 = D 1 A2) 2 A3) n An+1)…,.

Нехай D0 = D 1 A2) 3 A4) 2k+1 A2k+2)…,.

тоді попередні співвідношення можна подати у вигляді:

A = D0 A A1) 2 A3) 4 A5) 2k A2k+1)…] = D0.

A = D0 A2 A3) 4 A5) 6 A7) 2k+2 A2k+3)…] = D0.

Оскільки між множинами C1 і C2 існує взаємно однозначна відповідність g, а D0 D0то iD0 є взаємно однозначною відповідністю між A і A1, отже, A~A1. Через iD0позначено тотожню взаємно однозначну відповідність між елементами множини D0: iD0 = { (d, d) | d}.

З умови теореми B ~ A1, одержаного співвідношення A~A1 і властивостей симетричності і транзитивності відношення рівнопотужності маємо B ~ A.

Теорема доведена.

Наслідок 1. Якщо виконуються включення A2і A2~A (|A2|=|A |), то.

A1 ~ A (|A1|=|A|).

Справедливість твердження випливає з того, що A ~ A2і A1~A1/p>

Наслідок 2. Якщо Aто |A| |.

Для кардинальних чисел зліченних і континуальних множин, враховуючи їхню поширеність і популярність в сучасній математиці, введені спеціальні позначення. Так кардинальне число множини N всіх натуральних чисел, а значить, і будь-якої зліченної множини позначають через читається «алеф-нуль»). Кардинальне число континуальних множин позначають через c або «алеф-один»). Якщо порівняти доведення теорем 1.1 і 1.7, то неважко помітити аналогію у встановленні взаємно однозначної відповідності між підмножинами множини A і двійковими послідовностями (скінченними в теоремі 1.1 і нескінченними в теоремі 1.7). Враховуючи цю аналогію, часто записують співвідношення || =2|A| як для скінченних, так і для нескінченних множин. Зокрема, за теоремою 1.7 2/p>

Наступне питання, яке виникло в теорії множин: чи існує найбільше кардинальне число, тобто, чи існує множина найбільшої потужності? Негативну відповідь на це питання дає наступна важлива теорема, доведення якої належить Г. Кантору.

Теорема 2. Потужність множини підмножин будь-якої непорожньої множини A більша, ніж потужність даної множини A: | | > |A|.

Доведення. Оскільки існує тривіальна взаємно однозначна відповідність f між множиною A і підмножиною множини: f = { (a,{a}) | a{a}(A)}, то достатньо довести, що множини A і) нерівнопотужні.

Доведення проведемо від супротивного. Припустимо, що існує взаємно однозначна відповідність g між множинами A і: g = { (b, B) | bі B (A)}. У кожній парі відповідності перша координата b — це елемент множини A, а друга координата B — деяка підмножина множини A. Тому для кожної пари (b, B) виконується одне з двох співвідношень: або bабо bПобудуємо нову множину K = { b | bі bдля (b, B).

З того, що) випливає, що K .

Оскільки K є підмножиною множини A (K (A)), то при взаємно однозначній відповідності g підмножина K відповідає деякому елементові kтобто існує пара (k, K) Тоді відносно елемента kі підмножини Kможливі дві ситуації: або kабо k/p>

Нехай kтоді з умови (k, K)і правила побудови множини K випливає, що k/p>

З іншого боку, якщо припустити, що kто з (k, K)і правила побудови множини K повинно виконуватись k/p>

Одержана суперечність доводить неможливість встановлення взаємно однозначної відповідності між A і. Таким чином, |A| < |)|.

Наслідок 1.9.1. Не існує множини, яка має найбільшу потужність, тобто не існує найбільшого кардинального числа.

Справді, розглянувши множини N, ,),…, одержимо нескінченно зростаючу послідовність відповідних кардинальних чисел 22…

На закінчення зупинимось ще на одній цікавій класичній проблемі теорії множин, сформульованій ще у 1884 році Г. Кантором:

гіпотеза континуума, яка стверджує, що не існує множини, кардинальне число якої розташоване між і тобто ltt- /p>

Ця гіпотеза припускає узагальнення, яке носить назву узагальненої гіпотези континуума:

для довільного кардинального числа еякої нескінченної множини з нерівності > ля будь-якого кардинального числа випливає > 2p>

Проблему гіпотези континуума майже вісім десятків років намагалися розв’язати найкращі математики світу. I лише у 1963 році тридцятирічний американський математик Пол Коен довів, що гіпотезу континуума не можна ні довести, ні спростувати, виходячи з аксіом теорії множин. Отже, прийняття або відхилення гіпотези континуума є однаково законними, що веде до можливості побудови двох різних несуперечливих теорій множин.